微分積分学１ No.8 2005. 6.15
3. 関数のグラフと近似 3.1 グラフの概形
担当：市原 高次導関数¶ ³
関数y =f(x)の導関数y=f0(x)がさらに微分可能となっているとき,y=f0(x)の導関数 をy=f00(x)と書き,y=f(x)の第2次導関数と呼ぶ.
µ ´
例題 16 f(x) = 5x2−3x+ 1とする. 関数y=f(x)の(第1次)導関数,第2次導関数を求め なさい.
¶ 極値 ³
(1) 関数y=f(x)が条件 「c のごく近くでは常にf(c)> f(x) となる」
をみたすとき,x=cで極大値f(c)をとるという.
(2) 関数y=f(x)が条件 「c のごく近くでは常にf(c)< f(x) となる」
をみたすとき,x=cで極小値f(c)をとるという.
µ ´
例題 17 関数y =x2,y=x3は,x= 0で極値をとるか調べなさい.
曲線の凹凸
¶ ³
関数y=f(x)のグラフが, (a, f(a))の近くで常に接線より (1)上にあるとき,このグラフ(あるいは関数)は下に凸 (2)下にあるとき,このグラフ(あるいは関数)は上に凸 という.
µ ´
f " ( a ) > 0
f " ( a ) < 0
f '( a ) > 0 f '( a ) < 0 f '( a ) = 0
Figure 1: 上に凸, 下に凸
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定理 13 (関数の増減) 関数y =f(x)を微分可能関数とする. 導関数y=f0(x)がx=aで連続のとき
f0(a)>0ならばx=aの付近で,y=f(x)は増加関数. f0(a)<0ならばx=aの付近で,y=f(x)は減少関数.
x=aの前後でf0(x)の符号が変化すれば,y=f(x)はx=aで極値をとる. 第2次導関数y=f00(x)がx=aで連続のとき
f00(a)>0ならばx=aで,y=f(x)は下に凸.
f0(a) = 0,f00(a)>0ならば,y=f(x)はx=aで極小値をとる. f00(a)<0ならば,y=f(x)はx=aで上に凸.
f0(a) = 0,f00(a)<0ならば,y=f(x)はx=aで極大値をとる.
¶ 変曲点 ³
微分可能関数y=f(x)の第2次導関数y=f00(x)で, x=aの前後でf00(x)の符号が変わ るとき,y=f(x)はx=aで変曲点をとるという.
つまり,変曲点とは「関数の凹凸が変化する境目」である.
µ ´
例題 18 関数y =x3−3xの増減を調べ,極大値,極小値を求めなさい.
¶ 漸近線 ³
関数y=f(x)のグラフに対して,
x→∞lim {f(x)−(ax+b)}= 0 または
x→−∞lim {f(x)−(ax+b)}= 0
となっているとき,直線 y=ax+bをy=f(x)のグラフの漸近線とよぶ.
µ ´
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微分積分学１ No.8 2005. 6.15
3. 関数のグラフと近似 3.1 グラフの概形
担当：市原問題 16 次の関数の第2次導関数を求めなさい. (1) y=x5 +x−2
(2) y=xlogx
問題 17 次の関数の増減を調べ,そのグラフの概形を描きなさい. (1) y= 2x3+ 3x2−1
(2) y=−x4+ 4x3
(3) y=x2e−x
