荷電 粒 子系 に対 す る相対 論 的分 子運動 論
斉 藤 徹 也
第 一一節 は じ め に
高 速 度 で 運 動 しか つ 互 い に相 互 作 用 して い る粒 子 系 を記 述 す る基 礎 理 論 が 相 対 論 的 分 子 運 動 論 又 は 相 対 論 的 統 計 力 学 と呼 ばれ る理 論 で あ る。 四 半 世 紀 以 前 に は,相 対 論 的 分 子 運 動 論 の 対 象 は主 に 宇 宙 空 間 の プ ラ ズ マ 現 象 で あ っ た 。 最 近,パ ル ス状 の 高 電 圧 を え る技 術 が 開 発 され, 105‑一一10'Vの 電 圧 で 加 速 され10 7秒 間 に電 流 値 が105Aに 達 す る,い わ ゆ る大 強 度 の 相 対 論 的 電 子 ビー ム が 実 験 室 内 で 作 れ るよ うに な っ た(1)その 相 対 論 的 電 子 ビー ム は種 々 の 新 現 象 を ひ き お こす こ と も確 認 され,そ れ らの 新 現 象 を利 用 し た応 用 分 野 も多 方 面 に わ た る もの が 研 究 され つ つ あ る(2)と くに大 強 度 相 対 論 的 電 子 ビ ー ムの 慣 性 閉 じ こ め 核 融 合 へ の応 用 研 究 は近 年 各 国 の 研 究 者 に よ っ て 精 力 的 に 推 進 され て い る(3)その 応 用 研 究 は翻 って 大 強 度 相 対 論 的 電 子 ビ ー ム 自 体 の よ り正 確 な 物 理 的 記 述 を要 求 して い る よ うで あ る 望 大 強 度 相 対 論 的 電 子 ビ ー ム を記 述 す る 基 礎 理 論 は や は り相 対 論 的 分 子 運 動 論 で あ ろ う。
上 述 の 如 く,現 実 的 な課 題 と して も強 く要 請 され て い る に もか か わ らず,相 対 論 的 分 了 運 動 論 の 定 式 化 は ま だ 確 立 され て い な い(5)0相対 論 的 分 子 運 動 論 の 定 式 化 が 困 難 で あ る の は 次 の 事 情 が あ るか らで あ る。 相 互 作 用 を して い る粒 子 系 を正 準 形 式 で か つ 相 対 論 的 な 共 変 形 式 に 記 述 す る た め に は,粒 子 間 の 相 互 作 用 を表 わ す 場(fields)と 粒 子 系 の 共 存 系 の 定 式 化 を 行 な わ な け れ ば な らな い(6)とこ ろ が,場 は 一 般 に無 限大 の 自 由 度 を有 す る の で,場 と粒 子 系 の 共 存 系 の 定 式 化 に お い て は そ の 無 限 大 の 自 由度 に と もな う発 散 の 困 難 が 存 在 す るf7)
最 近,Hakim(8)と かDeGroot等(9)に よ っ て,上 記 の 困 難 を巧 妙 に 回 避 して 相 対 論 的 分 子 運 動 論 を定 式 化 す る方 式 が 提 案 され た 。 本 論 文 に お い て,我 々 は 形 式 的 に は 彼 等 の方 式 に従 っ て 荷 電 粒 子 系 に 対 す る 相 対 論 的 分 子 運 動 論 を展 開 す る が,し か し,我 々 の 基 本 的 な立 場 は彼 等 の それ と は 異 な る。 彼 等 は 粒 子 の時 空 座 標 と四 元 速 度 お よ び 四 元 加 速 度 等 を表 わ す 位 相 空 間 を 考 え,そ の 位 相 空 間 に お い て 連 続 の 式(方 程 式)が 成 立 す る こ と を前 提 に して い る。 あ る位 相 空 間 に お い て 連 続 の 方 程 式 が 成 立 す る か 否 か は そ の 位 相 空 間 の 性 質 と粒 子 の 力 学 法 則 の 両 者 と 密 接 な 関 係 が あ る と い う立 場 を我 々 は と る。 した が って,本 論 文 に お いて は,ま ず 位 相 空 間 に お け る連 続 の 方 程 式 が 証 明 され るで あ ろ う。 この 連 続 の 方 程 式 と荷 電 粒 子 の 力 学 法 則 と荷 電 粒 子 系 の 初 期 状 態 の確 率 分 布 に 関 す る仮 定 だ け を 基 礎 に して,相 対 論 的 な 共 変 性 を もち,か つ 「自 己 相 互 作 用 項 」 に 関 して 曖 昧 さの な い 分 子 運 動 論 が 展 開 され る。 こ こで 「自己 相 互 作 用 項 」 と い うの は,一 つ の 荷 電 粒 子 の ク ー ロ ン場 ま た は磁 場 と そ の 荷 電 粒 子 自身 とが 相 互 作 用 す る こ と を表 わ す 項 と い う意 味 で,後 述 す る荷 電 粒 子 の 加 速 度 運 動 に と もな う輻 射 に よ る 反 作 用 項 とは 異 な る。 自己 相 互 作 用 項 は一 般 に発 散 す る。 従 来 の 分 子 運 動 論 に お い て は,非 相 対 論 的 扱 い の 場 合(10)も相 対 論 的 扱 い の場 合(1皇)も,この 自己 相 互 作 用 項 は 曖 昧 に 扱 わ れ て い る。 本 論 文 に お い て は こ の よ う な項 を完 全 に取 り除 く定 式 化 が な され る。 ま た,荷 電 粒 子 系 の 量 子 効 果 と輻 射 の 反 作 用 に よ る効 果 と粒 子 間 の3体 以 上 の 相 関 効 果 は 無 視 され る。
次 の 第2節 に お い て,考 え る位 相 空 間 に お け る連 続 の方 程 式 が 証 明 され る 。 そ の 連 続 の方 程 式 と荷 電 粒 子 の 力 学 法 則 を基 礎 に して,ミ ク ロ ス コ ピ ッ ク分 布 関 数 に対 す る階 層 方 程 式 系 が 導
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か れ る。 第3節 で は,荷 電 粒 子 系 の初 期 分 布 は確 率 論 的 で あ る と い う仮 定 の も と に,第2節 で 得 られ た 階 層 方 程 式 系 に 初 期 分 布 に 関 す る平 均 操 作 が ほ ど こ され,マ ク ロス コ ピ ッ ク分 布 関数
に対 す る階 層 方 程 式 系 が え られ る。 粒 子 数 が 大 き い こ と と粒 子 間 の2体 相 関 が 弱 い こ と を仮 定 し,階 層 方 程 式 系 の 各 方 程 式 に要 請 され る精 度 を 考 慮 して,我 々 は マ ク ロ ス コ ピ ッ ク分 布 関数 に対 す る5個 の 方 程 式 か らな る閉 じた方 程 式 系 を う る。 第4節 で は,第3節 で 得 られ た 方 程 式 系 が 一 層 簡 単 な 方 程 式 系 に ま と め られ,結 果 に 関 す る若 干 の議 論 が な され る 。 な お,附 録 に お い て,位 相 空 間 の体 積 要 素 は粒 子 の 世 界 線 に沿 っ て どの よ うに 変 化 す る か が 調 べ られ る。
最 後 に,以 後 の各 節 に お い て 共 通 的 に 使 用 され る記 号 を定 義 して お く。 ア ル フ ァ ベ ッ トの 中 程 に 属 す る文 字i,」,k等 は粒 子 の 番 号 を表 わ し,ギ リシ ャ文 字 の μ,u,σ 等 は添 字 と し て4次 元 空 間 の ベ ク トル(テ ン ソ ル)の 成 分 を表 わ す もの とす る。 時 空 間 の メ トリ ッ クgμ.と
して,対 角 要 素 が(‑1,1,1,1)で 他 の 要 素 は全 て0で あ る もの を と る 。 添 字 が 上 に 付 い た 量Aμ と下 に 附 い た 量Aμ は そ れ ぞ れ 反 変 ベ ク トル と共 変 ベ ク トル を表 わ し,gμ.に よ って 次 の よ うに 関係 づ け られ て い る もの とす る,
Aμ=9μ レAレ.
上 式 に お い て もそ うで あ る が,今 後 も,同 じギ リシ ャ文 字 の 添 字 が 一 つ の 項 に2度 出現 し た場 合 は そ の 添 字 に つ い て0か ら3ま で の 和 を と る こ と に 約 束 す る。 真 空 中 の光 速 はcと 記 す こ と
に す る。
第2節 ミク ロス コ ピ ック分布 関数 お よ び方 程 式
N個 の 荷 電 粒 子 か らな る系 を 考 え,そ れ らの 荷 電 粒 子 は遅 延 し た電 磁 相 互 作 用 を し て い る も の とす る。 以 下 で は,荷 電 粒 子 は 全 て 同一 種i類で あ っ て,外 力 が 存 在 しな い 場 合 を 考 察 す るが, 以 下 の 定 式 化 を異 種 類 の 荷 電 粒 子 が存 在 す る場 合 とか 外 力 が 作 用 して い る場 合 に 拡 張 す る こ と は 容 易 で あ る。
ま ず,i番 目 の 荷 電 粒 子 の運 動 方 程 式 は 次 式 で 与 え られ る(12)O
du'"(z;
dzi>一 誓 滋 伽(Z」)∫ 砺 〔Vu;(篇)∂ ゲー 働(切 グ 〕
×D,[∬ ・(τの 一 コ じ 、(τ、)] . (2.1)
上 式 に お い て,mと ￠は そ れ ぞ れ粒 子 の 質 量 と電 荷 を 表 わ し,τiとuu;(τ 、)は そ れ ぞ れi番 目 の 粒 子 の 固 有 時 間 と四 元 速 度 の μ成 分 を表 わ し,誹 はi番 目 の粒 子 の 時 空 座 標 銑μで偏 徴 分 す る演 算 子 を 表 わ す 。 ま た,DR[x;(τi)‑x;(τ ゴ)]はi番 目 粒 子 の 時 空 座 標 と 」番 目粒 子 の 時 空 座 標 との 間 の 遅 延 グ リ ー ン関 数,具 体 的 に は 次 の よ うに 与 え られ る(13)
DR[xL{ri)一 銑 ㈲]一 賑 ≒
1δ[Xz...."X;一(00xLx.T]・(2・2)
こ こ で,XgとOxiは そ れ ぞ れi番 目粒 子 の 空 間 座 標 と時 間 座 標 を表 わ し,δ はDiracの δ 一 関 数 を表 わ す 。(2.1)式 の 右 辺 のjに 関 す る総 和 に お い て1=iの 場 合 が 除 か れ て い る が
これ は 一 つ の 荷 電 粒 子 が 自分 自身 の電 場 又 は 磁 場 と は相 互 作 用 しな い こ と を表 わ して い る。
次 に,粒 子 系 の 中 の任 意 の 一 粒 子,た と え ばi番 目粒 子 に 関 す るす る次 式 で 定 義 され る量L (x,u)を 考 え る,
・・(x,u}≡ ∫ 砺 δ[x° 一 職)]δ[X‑Xi(ち)]δ[u・‑u°¥zi/[u一 叫(ri)]
≡ ∫d訓 一(rg)]δ ・4)[駕一 脇(ち)] . (2.3)
上 式 に お い て,四 元 ベ ク トル(x°,x)を ま と め てxで 表 示 し た,今 後 も こ の よ う な 記 法 を 使 う。(2.3)式 で 定 義 さ れ た1、(x,の の 物 理 的 な 意 味 を み る た め に,IL(x,u)にuoを
か けXとu(eu°,u)に 関 し て 微 小 領 域 △3x△ 鋭 内 で 積 分 し て み よ う。 一 般 に 時 間 座 標Oxi と 固 有 時 間TLと の 間 に,
dri
な る 関 係 が あ る こ とに 注 意 して 上 述 の 積 分 を実 行 す る と次 式 を うる,
」d'xduu・li(x,u)‑」d3xdu〔Scs)[u‑‑ui(ZL)]
(dxQu)(43x43u)
× δ(4)[ω 一%・(Ti))
̲・(TL)一 ∬ ・.
(2.4)
(2.5)
上 式 よ り,fd3xduu°Ii(x,u)な る 量 は,時 刻 がt=‑1cx。 に お い てi番 目 粒 子 の 位 置 がx (dxdu)
と(x+△x)と の 間 に あ り か つ そ の 四 元 速 度 がuと(u+du)と の 間 に あ る 場 合 に は1に な り,他 の 場 合 に は0に な る よ う な 量 で あ る こ と が わ か る 。 い ま,時 刻 孟;ビ1が に お い て, i番 目 粒 子 が(x,u)な る 位 置 と 四 元 速 度 を と っ た とす る 。 こ の 時 刻 よ り微 小 時 間C‑1δ ∬o 秒 後 の 時 刻C‑i(x°+Sx°)に は,'1番 目粒 子 の 位 置 と 四 元 速 度 は,fix° の 一 次 ま で の 正 確 さ
で,そ れ ぞ れ 次 式 で 与 え られ る 値 を と る, x'=x十u・‑1皿fix°,(2.6>
お よ び,
駕μ 一 π・+4nQ2
mcNu・ ∫ 砺[Yu;(r;)∂ 猛一 蜘 ∂島、]
s〔 ≠̀}
×1)R[x‑x;(τ 」)]uザ1fix°.(2.6)'
上 式(2,6)ノ 式 は 運 動 方 程 式(2.1)と(2.4)な る 関 係 式 を 使 っ て 導 か れ た 。 も し も,(2.6)式 と(2.6)'式 を(x,u)か ら(x',u)へ の 変 数 変 換 と 見 倣 し,(x, u)の 微 小 積 分 領 域 △xduに 対 応 す る(x',u)の 微 小 積 分 領 域 をdx'du'と 書 く な ら ば 次 式 が 成 り立 つ 筈 で あ る,
」d3xduu・li(x,u>」d3x'du'u・ ・ ム(x・+Sx°,x,u,).
(dxム の(4x'du')(2
.7)
も し,i番 目 粒 子 が 時 刻C‐lxoに お い て 微 小 領 域dx△uを 占 め る な ら ば,時 刻C 1(x。+8x°) に はi番 目 粒 子 は 必 ず 微 小 領 域dx'du'を 占 め る し,ま た,も しi番 目 粒 子 が 時 刻C‑'x。 に お い て 微 小 領 域dxdu以 外 の 領 域 を 占 め る な ら ば,時 刻C‑1(x°+fix°)に はi番 目 粒 子 は や は り微 小 領 域dx'du'以 外 の 領 域 を 占 め る か ら で あ る 。 一 方,附 録 で 証 明 さ れ て い る よ う に,
(x,u)とx',u)と の 関 係 が(2.6)式 と(2.6)'式 で 与 え ら れ る 場 合,微 小 量fix°
の 一 次 ま で の 量 を 考 え る 限 り任 意 の 関 数f(x,の に 対 し て,
」d3xduu°f(x',u'}=」d3x'du'u°'f(x',u'},(2.8)
(dxdu)(ax'du'}
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が 成 り立 つ 。 換 言 す る と,u。d3xduに な る 量 は(2 .6)式 と(2.6)'式 で 与 え ら れ る変 数 変 換 に 対 し て 不 変 な の で あ る 。(2.6式)と(2,6)'式 は 粒 子 の 世 界 線 に 沿 っ た 場 合 の (x,u)の 変 化 を 表 わ し て い る の で,u°d3xduな る量 は 粒 子 の 世 界 線 に 沿 っ て 不 変 で あ る と 言 え る 。(2.7)式 の 右 辺 の(x,Iu)に(2.6)式 と(2.6)'式 の 右 辺 を 代 入 し て, fix°に つ い て 一 次 ま で と る テ ー ラ ー 展 開 を 実 行 し て,そ の 結 果 に(2.8)式 を 適 用 す る と,次 式 を う る,
(dxdu}
+虹. me
∫ ぬ 伽 ・li(圃 一 」d3xdu{u・li(x,u)+u・
(dxム の
a
μ1̀(乙 じ,zの δ コ じo
ax
∂ult(x,u)属 π4幽 嘱 、‑uuci)∂(vx>]D・[一]δ 記・}.
(2.9)
た だ し ・ 上 式 に お い て,ノ 番 目 粒 了 の 時 空 座 標 お よ び 四 元 速 度(x、(z;) ,uゴ(τ,))の 固 有 時 間 T;に 対 す る依 存 性 は 煩 雑 さ を 避 け る 為 に 書 か な い で ,そ れ ら を 単 に(」ら,uノ)で 表 わ し て あ る 。 上 式(2.9)が,任 意 の 微 小 時 間fix° に 対 し て 成 り立 っ こ と か ら 次 式 を う る,"
〆 ∂レ(…)+4,rQ2
me〔alauu、(x,u)〕 鳥 ω・fdち
×[vu;∂(x)‑uu .∂(yxl]、DR(x‑x;)=0. (2.10)
上 式 で も そ う で あ る が 以 下 で も,種 々 の 表 式 に 時 空 座 標 と 四 元 速 度 が(x ,u)な る 形 で 現 わ れ る の で こ れ を ま と め てXと 記 す こ と に す る 。 ま た 空 間 座 標xと 四 元 速 度uと が(x ,u)な る 形 で 現 わ れ る こ と も 多 い の で こ れ ら を ま と め てZで 表 わ す こ と に す る 。dxdu又 はdxduも そ れ ぞ れdXとdZと 記 号 化 す る こ と に す る 。
任 意 の 粒 子 に 対 し て 次 の 関 係 が 成 り立 つ,
∫4X・ δ…(X'‑X;)一 ・,(ノ ー1,2,… …Nに 対 し て) (2.11)
た だ し,X、 は1番 目 粒 子 の 時 空 座 標 と 四 元 速 度 を ま と め た(卯 」,u;)を 表 わ し,∂(8)(XLX」) は δ〔4}(x'‑x;)と δ㈲(u‑u;)の 直 積 を 表 わ す 。(2 .11)式 を(2.10)式 のdzプ と 中 括 弧 〔 … … 〕 の 中 間 に 挿 入 し て,T;に 関 す る 積 分 とX'に 関 す る 積 分 の 順 序 を 交 換 し た もの を,定 義 式(2.3)を 使 っ て 表 現 す る と,
u・響+4嘉 雑)忍 陣 ∫ 岨(X')LAY{X,X')一 ・,
(2.12)
を う る 。 こ こ で,Lμ り(X,X')は 次 式 で 定 義 さ れ た 量 で あ る,
Lμ ソ(X,x')一 げ δ,x、 一 撹μ'δ 胡D。(x一 ゴ)
. (2.13)
上 記 の(2.12)式 は こ れ か ら の 考 察 に お い て 重 要 な 役 割 を は た す 最 も基 礎 的 な 方 程 式 で あ る 。 は じ め に,(2.12)式 のiと し て,1,2,… …Nを 代 入 し て,そ れ ら の 辺 々 の 和 を と る こ と に よ り,次 式 を う る,
u・ ∂呈・R・(X)+響 ∫ 脇 一 齪)u auuRz(X,X')̲・ ,
(2.14)
こ こ で,R、(X)お よ びR、(X,X')は そ れ ぞ れ 次 式 で 定 義 さ れ た 量 で あ る 。
NN R、(X)≡ Σ1、(X)=Σ
i=111
fd・i・ ・[x‑x、(・i)], (2.15)
お よ び,
NN
R,(X'X')… Σ Σ
i=1i=1 1i#1)
=Σ NY Σ
i=1j=1 (7$JI
1、(x)1;(xり
{fd・ ・δ・8・[X‑X、(・ ・)]}{fdち δ・8・[x‑x'(ち)]}.
{2.16)
(2.15)式 で 定 義 さ れ たR,(X)の 物 理 的 な 意 味 を 考 え よ う。(2,15)式 の 両 辺 にu° を か け Z≡(x,u}に つ い て 微 小 領 域 △Zに わ た っ て 積 分 す る と,
fdZu・R1(X)一 創 姻[x・‑Oxi(・L)]
(ムZ)(△Z)
× δ(3)[x‑xi(Zi)]δ(41[u‑uL(τ̀)],(2 .17)
=菖 儲[δ6)h‑[u‑ue(Z i)]]
x°(ri)=x°,
{2.17)'
を う る 。(2.17)式 に よ る と,r4Zπ ・R1(X)は 四 元 速 度 が 吐(u+du)の 間 の 値 で あ (
dZ)
り,か つ,世 界 線 がc‑toxな る 時 刻 に 超 平 面 要 素43xを 横 切 る よ う な 粒 子 の 個 数 を 与 え る こ と が わ か る(14)0こ の こ と と 同 じ 内 容 を(2.17)'式 に よ る と 次 の よ う に 言 う こ と が で き る 。
fdZu・R(x), (△Z)
は,C‑'x° な る 時 刻 に 空 間 座 標 がxと(x+△ κ)と の 間 に あ り,四 元 速 度 がuと(u+4u)
と の 間 の 値 を と る よ う な 粒 子 の 個 数 を 表 わ す 。 従 っ て,u。R、(X)が(x,u)空 間 に お け る ミ ク ロ ス コ ピ ッ ク な 一 体 分 布 関 数 を 表 わ す 。 以 下 で は,
乙
dZu°R(X), Z}
と い う 積 分 を 表 記 す る の は 煩 雑 な の で 誤 解 を ま ね く恐 れ が 無 い 限 り,こ れ をu°R1(X)4Zと 略 記 し,u°R,(X)は △Zを 占 め る 粒 子 数 を 表 わ す と い う表 現 を 使 用 す る こ と に す る 。 な お, u°R,(X)の 規 格 化 は 次 式 で 与 え ら れ る,
キ
(2.18)
/ dZu°R,(X)=N.
(2.16)式 で 定 義 さ れ たR,(X,X')に 対 し て,(2.17)'式 と 同 じ 様 な 計 算 を 実 行 す る と, Ouu。'R
2(X,X')ムZ△Z'は,c 正 ゴ な る 時 刻 に △Zを 占 め る 粒 子 数 とc‑1」co'な る 時 刻 に, dZ'を 占 め る 粒 子 数 と の 積 を 表 わ す こ と が わ か る 。 そ れ 故,00'uuR,(X ,X')は ミ ク ロ ス コ ピ
ッ ク な 二 体 分 布 関 数 で あ る 。 た だ し,ouuuR、(X,X')dZdZ'が 表 わ す 二 体 分 布 に は,C『1
xOな る 時 刻 に △Zを 占 め た 粒 子 と 同 一 な 粒 子 が 時 刻c噴 πo'にdZ'を 占 め る と い う 場 合(状 態)
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は 含 ま れ て い な い こ と に 注 意 す る 。R,(X,Xつ の こ の 様 な 性 質 は 定 義 式(2.16)の 総 和 に お い て 」=iの 場 合 が 除 か れ て い た こ と に 由 来 す る が,こ の 性 質 は,ま た,方 程 式(2 .14) の な か に 自 己 相 互 作 用 を 表 わ す 項 が は い ら な い こ と を 保 証 す る 。R、(X,X')の 規 格 化 定 数 は 次 式 で 与 え ら れ る,
ヰ モの
fdZfdZ'u°u°'R・(X,X')‑N(N‑1).(2.].9)
‑QQ‑oo
次 に,(2.12)式 の 両 辺 に1,(X')を か け,iキjな る 条 件 の も と でiと 」に つ い て1か らNま で の 和 を と る と,次 式 を う る,
u・ ∂要。R・(x,x)+4霧 ∫ 覗 一(X,X')uy
a,一 一 一一 一一...a
×
∂u・R・(X・X'X〃)+∂u・W'Z'3[X・(X'X")]=0・
(2.20)
た だ し,R,(X,X',X")とẀ2'3[X,(X',X")]は そ れ ぞ れ 次 式 で 定 義 さ れ た 量 で あ る,
R・(XX'X')≡N
i=1NNUui=1k=、/d・iU・g'[X‑X;(ち)]
(」キi),(kキ も凶
× ∫ 砺 δ …[X'‑X;(τ 、)]
fd・k…[X'Lx。(rx)]
,
(2.21)
Ẁ2'3[X,(X',X")]X fd・ 、δ…[x‑X;(・ 、)]
≡ 概 亭 ∫姻x‑Xi(τ̀)]}
伊 ∫δ・w一 蜘]}.
(2.22)
上 記 の(2.21)式 で 定 義 さ れ たR、(X,X',X')は,uO君o'駕o"R,(X,X;X")が ミ ク ロ ス コ ピ ッ ク な3体 分 布 関 数 で あ る よ う な 量 で あ る 。R、(X ,Xり と 同 様 にR、(X,X;Xり も, 3個 の 時 刻,c‑10x,c‑1」 σo'お よ びC̲lxo,.に そ れ ぞ れ,Z,Z'お よ びZ"を 占 め る 粒 子 の 番 号 が 全 部 互 い に 異 な っ て い る 分 布 を 表 わ す 。(2.22)式 で 定 義 さ れ たWcz} 3[X,(X二X")]の
意 味 を み る た め に,(2.22)式 の 右 辺 の 最 後 の2個 の 大 括 弧 の 部 分,
Ẁz'z[(X;X")]≡ ⇒
1∫dち δ …[X‑X;(・ 、)]∫dτ1δ ・8」[X"X;(・P]
,
(2.23)
を 考 え る 。 こ の 式 の 両 辺 に ♂uo"を か け,(2.4)式 を 使 っ てZ'とZ"に つ い て そ れ ぞ れ 微 小 領 域dZ'と ムZ"に わ た っ て 積 分 す る と,
」dZ'」dZ"u・u・ 頭(X;X")〕 一 導1∫dz[δ ・ ・)(x'一 筋)δ ㈲(u‑u」)]細 一 ♂ (QZ')(△Z")
× 」dZ"[δ …(Ilx‑x;)δ ㈲ 幽)]細 一 〇'x .
(△Z")(2 .24)
を う る 。 上 式(2.24)の 右 辺 か ら,uO'uOW『)[(X'X'F)]は,c‑io'xな る 時 刻 にZ'=
(x',の を 占 め,か つ,c‑'x。"な る 時 刻 に はZ"=(x,11u)を 占 め る 粒 子 の 数 を 表 わ す こ と が わ か る 。 今 度 の 場 合 は,Z'とZ"を 占 め る 粒 子 は 同 一(番 号 が 同 じ)粒 子 で あ る こ と に 注 意 す る 。 換 言 す れ ば,xa「<コ σo"の 場 合 を 考 え る と,uo'o,uẀz'2[(X二X")]は 二 つ の 時 刻C‑1コ̀o' とc‑̀x°"と の 間 にZ'か らZ"に 遷 移 す る 粒 子 の 数 を 表 わ す の で あ る 。W『)[(X二X")]と い う よ う にX'とX"と を 小 括 弧 で く くった の は,X'とX"が 表 わ す 空 間 座 標 及 び 四 元 速 度 は 同 一 粒 子 に よ っ て 占 め られ る とい う こ と を 表 示 す る た め で あ る 。 今 後 も こ の よ う な 表 示 法 を 使 用 す る 。 W『)[X,(X'X')]に つ い て(2.24)式 と 同 様 な 計 算 を 行 う と00'ouuu"u」3(2)[X,(X'X")]
は 次 の(A)項 が 表 わ す 粒 子 数 と(B)項 が 表 わ す 粒 子 数 の 積 で あ る こ と が 確 か め ら れ る, (A)時 刻c‑̀x。7に お い てZ'を 占 め た 粒 子 が 時 刻c‑1⑳o"に はZ"に 遷 移 す る よ う な 粒 子 の 数, (B)(A)項 に 寄 与 し た 粒 子 以 外 の 粒 子 で,時 刻c‑10xに お い て 点Zを 占 め る 粒 子 の 数 。
直 接 計 算 す る こ と に よ り,次 の 関係 式 を導 く こ とが で き る,
」dZu°W2'[(x;X')]‑R1(x〃), (2.25)
∫d麗wrl[X,(X二X")]=R・(x,x)。(2・26)
V
R、(X)とR、(X,X')に 対 す る 方 程 式(2.14)と(2.20)を 導 い た 時 の 手 続 き を 延 長 す れ ばR、(X,X;X"),R、(X,X'X"X),… … 等 に 対 す る方 程 式 が え ら れ る 。 こ れ ら の 方 程 式 は 一 種 の 階 層 方 程 式 系 を 形 成 す る 。 我 々 は 後 で こ の 階 層 方 程 式 系 を 適 当 な 近 似 法 に 基 づ い て あ る 段 階 で 閉 じ さ せ な け れ ば な ら な い 。(2.20)式 か ら も わ か る よ う に,R2(.X,X')以
上 のR3(XX'X')… … 等 に 対 す る 方 程 式 に は 新 し い"遷 移"を 表 わ す 分 布 関 数
uO'uo'Wcz2)[(X',xつ],… … が 出 現 す る 。 従 っ て,こ れ ら の"遷 移"を 表 わ す 分 布 関 数u°
uo'Wczx)[(X,X')],00'uuuO"Ẁ2'3[X,(X'X")]… … ・に 対 す る 方 程 式 も求 め て お か な け れ ば な ら な い 。 こ の 節 の 残 り の 部 分 で,Wc2Z}[(X,X')ユ とWcz3)[X,(X',X")]に 対 す る 方 程 式 を 導 い て お く。
(2。10)式 にIt(X')を か け て,iに つ い て1か らNま で の 和 を と る こ と に よ り次 式 を う る, uu∂1μ 曜 ・[(x,x}]+4鋸 ∫ 耀L鰐(劉 π・∂ 象 曜 ・[(X,X'),X']一 ・・
(2.27)
こ こ で,ẀZ3)[(X,X'),X"]は(2.22)式 で 定 義 さ れ た 鰐)[X,(x,X")]と 同 質 の 分 布 を 表 わ す 量 で あ る,た だ,同 一・ 粒 子 の 遷 移 で も っ て 占 め ら れ る座 標 が 異 な る だ け で あ る 。
Ẁ2'3[X,(X',X")]に 対 す る 方 程 式 に は2種 類 あ る 。 一・ つ は 四 次 元 的 ラ グ ラ ン ジ ュ微 分 包μ∂/伽 μがXに 演 算 す る 場 合 の 方 程 式 で,他 の 一 つ は,四 次 元 的 ラ グ ラ ン ジ ュ 微 分 がX'ま た はX"に 演 算 す る場 合 の 方 程 式 で あ る 。 は じ め に,前 者 の 場 合 の 方 程 式 を 求 め る 。(2.10) 式 の 両 辺 にIk(x')Ik(X")を か け て,iキkな る 条 件 の も と でiとkの 各 々 に つ い て1か ら Nま で の 和 を と る と,
〆 ∂島μ 曜 ・[X,(X'X")]+4語 ∫ 躍 ㌍(XX"')uv∂a 'u、
X 叩[XX"'(X'X')]+W43)rv'(X',X;X")]ト
(02二28)
cos
を う る 。 た だ し,Wc2)[… …]お よ びw(s,4[・ …
NNN
Wc2)[x,X';(x',XF")]≡ Σ Σ Σ
i=1j=1k=1 (̀キ 」,k÷ ・i,s)
X
fd・ 、8・・[X"'一 瓦(ち)]
×{∫4τ 訓 鳳(ロ τκ)]
,
・ ・]の 定 義 は 次 の と お りで あ る ,
{∫酬x畑]}
∫酬 鳳(Zx)]}
岬[X,(X'X'剛 ≡ 薬 ∫dち δ…[X‑Xi(rL)
(f≠J)]}
×{fd・1δ ・・[X"一 一 一X;(・1)]
×{fd・Scat[X'‑X(・y)]
(2.29)
.(2.30)
後 者 の 場 合 の 方 程 式 は 次 の よ う に し て え ら れ る 。(2.10)式 中 の 変 数XとX'を そ れ ぞ れxと xに 変 え て お き,こ れ に1、(X")1κ(X)を か け て,iキkな る 条 件 の も と でiとkの 各 々 に つ
い て1か らNま で の 和 を と る と 次 式 を う る,
徊μ ∂象 剛 凡(X'X")]+響 ∫ 躍L卿(XX")u
∂au
×1η 「EZ4)[X,X"1(X',X")]十yy≪29)[(X,X川),(X' ,X")]=0,
(2.31}
こ こ で,Wc24[… …]は(2.29)式 で 定 義 さ れ た 量 で,W(2,2a)[… …]は 次 式 で 定 義 さ れ た 量
で あ る,
W2,z4)[(XX"'(X'X")]≡NN
i=1J=1∫dち δ ・・[脚 ち)]}
(」キi)
× ∫dτ,δ …[X‑X;(・ 、)]
(2.32) (2.29)式 と(2.30)式 で 定 義 さ れ たẀ2'4[… …]とW34[・ … ・ ・]お よ び(2.32)式 で 定 義 さ れ たWlz,z4)[… …]は こ れ ら 以 前 に 定 義 さ れ た 諸 量 と の 間 に 次 の よ う な 諸 関 係 を も つ こ と が 直 接 の 計 算 に よ っ て 示 さ れ る,
∫dZ㌔ 酬Ẁ2'4[X,X"(X'X"')]eR、(X,X'X'),(2.33)
」'dZ≫,uo,,,X42・[XX"'(X'X")]一(N‑2)剛 瓦(X'X"}]
,(2.34)
」dZ"'u・ … 剛&(X',X';X'")]‑Ẁz3・[X,(X'X")],(2.35)
」dZ"'u・,,,Wc24・ ・[(XX"),(X'X)]‑Ẁ23・[X,(xx)]・(2.36) fd・1δ …[X'‑X(・i]
×{∫4τ1δ 聖 一x;(T;)]}
以 上,ミ ク ロ ス コ ピ ッ ク な 量,R、(X),R、(X,X'),Wr2;z[(X,X')]お よ びẀZ'3[X,(x, X")]が 満 足 す べ き 方 程 式 を 導 い た 。R,(X,X')以 後 の 方 程 式 を み る と 内 容 的 に も構 造 的 に
も可 成 り複 雑 に な っ て い る が,こ れ ら の 方 程 式 に は 発 散 し て 方 程 式 自 体 を 無 意 味 に し て し ま う 自 己 相 互 作 用 項 は 含 ま れ て い な い こ と に 注 意 す る 。
第3節 マ ク ロス コ ピ ッ ク分 布 関数 お よ び そ れ らが 満 足 す る方 程 式
前 節 で 考 察 し た 分 布 関 数,u°R1(X),u°u°R2(X,X'),… …,Ouu。'Wc22)[(X,X')],…
等 は ミ ク ロ ス コ ピ ッ ク 分 布 関 数 で,変 数 に 対 す る そ れ ら の 依 存 性 は 極 め て ラ ン ダ ム で あ る 。 本 節 で は こ れ ら の ラ ン ダ ム な 分 布 関 数 と,荷 電 粒 子 系 を 現 実 的 に 扱 う 時 に 有 用 な 分 布 関 数 い わ ゆ る マ ク ロ ス コ ピ ッ ク 分 布 関 数 と の 関 係 を 明 らか に し て,な め ら か な 分 布 関 数 が 満 足 す べ き方 程 式 を 導 く。 更 に,荷 電 粒 子 系 の 初 期 条 件 と し て,粒 子 間 の3体 以 上 の 相 関 は 無 視 で き る も の と 仮 定 し て,前 節 で 導 い た 方 程 式 系 の ヒェ ラ ルキ ー(hierarchy)を 閉 じ させ る こ と を 試 み る 。 本 節 及 び 本 節 以 後 で 扱 う荷 電 粒 了 系 の 粒 子 数1Vは1に 較 べ て 極 め て 大 き い と す る 。
ま ず,ミ ク ロ ス コ ピ ッ ク な 量,た と え ばR、(X)を 考 え よ う。R、(X)が 満 足 す べ き方 程 式 は 前 節 に お け る(2.14)式 と そ れ 以 後 の 一 連 の 方 程 式 で あ る 。R1(X)を 完 全 に 決 定 す る に
は こ れ ら の 方 程 式 だ け で は 十 分 で は な く,R、(X)の 初 期 条 件 が 必 要 で あ る 。 一 般 的 に,任 意 の 時 刻Tiに お け る粒 子 の 時 空 座 標 お よ び 四 元 速 度Xi(τ 、)は そ の 時 刻 τ、 に 依 存 す る こ と は 無 論
で あ る が,そ の 初 期 値Xi。 に も依 存 す る 。 こ の 事 情 を 次 の 形 で 表 記 す る,
Xi(Tg)=Xi(rigXi。). (3.1)
ミ ク ロ ス コ ヒ。ッ ク な 量R、(X)も,そ の 定 義 式(2.15)を 上 記 の(3.1)式 を 使 っ て 書 く と,
R・(X)一 毒 ∫ 砿 δ・・[x一 聴,XdO)],(3・2)
と な り,N個 の 粒 子 の 初 期 値(X1。,X,。,… …XN。)に 依 存 す る 。 他 の ミ ク ロ ス コ ピ ッ ク な 量 R,(X,X'),鰐)[(X,X')]等 に つ い て も 同 様 で あ っ て,こ れ ら の 量 を 決 定 す る た め に は, N個 の 各 粒 子 が そ の 初 期 時 刻Zg。 に お い て そ の 時 空 座 標 お よ び 四 元 速 度 と し てxε ・=(xi・,uiO) な る 値 を と る,す な わ ち,
X̀o(τ̀o)==X̀o,(i=1,2,3,… 。・・ハ1), (3.3)
と い う初 期 条 件 が 与 え られ な け れ ば な ら な い 。 し か し,Nが 小 さ い 特 殊 な 場 合 を 除 け ば,N個 の 全 て の 粒 子 に 関 す る初 期 条 件(3.3)を 与 え る こ と は 事 実 上 不 可 能 で あ る 。 換 言 す れ ば,
ミ ク ロ ス コ ピ ッ ク な 量,R、(X),R,(X,X'),Ẁ2'2[(X,X')]]… … を 厳 密 に 決 定 す る こ と は 不 可 能 な の で あ る 。
N>>1な る 粒 子 系 に 対 し て,初 期 状 態 を 確 率 論 的 に 規 定 す る こ と は 可 能 で あ ろ う(150)た と え ば,(3.3)式 で 表 わ さ れ る 初 期 状 態 が 起 る 確 率 は ω(X、 。,x2。,… …XN。)で あ る と い う よ う に で あ る 。 我 々 は こ の よ う に 確 率 論 的 に 初 期 状 態 が 規 定 さ れ る 粒 子 系 を 考 察 す る こ と に す る 。 我 々 の 粒 子 系 の 物 理 的 状 況 は ミ ク ロ ス コ ピ ッ ク 分 布 関 数 に 重 み ω(X1。,X,。,… …X。 。) を か け てX、 。,X,。e… …X、 。 に つ い て 平 均 し た 分 布 関 数 で 記 述 さ れ る 。
一 体 分 布 関 数 を 考 え よ う 。 平 均 さ れ た 分 布 関 数 を ブ ラ ケ ッ ト 〈 … … 〉 で 示 す と,
108
〈u°R,(X)〉 ≡ 」dXlodXZo… …dXNou°{N,翻
× ω(X,。,X,。,… …X,。),
・ Σ 噂F
=
∫4×1・fd・ 、π・δ …[X‑Xi(η,X、 。)]ζ1(Xi。).(3.4) こ こ で,ζ1(XiO)は,
ζ・(Xi・)≡fdX,・dX2・ …4X卜 ・dX、.、 …XNoCv(X1。,X,。 …X。 。),
(3.5)
で 定 義 さ れ,初 期 時 刻 に お い て,i番 目 粒 子 が そ の 時 空 座 標 お よ び 四 元 速 度 と し て ̀‑L。な る値 を と る 確 率 を 表 わ す 。 以 降,N個 の 粒 子 は 全 て 同 等 で あ っ て,粒 子 の 番 号 の 違 い に よ っ て 初 期 条 件 が 異 な る と い う よ う な こ と は な い と し よ う 。 こ の よ う な 場 合 に は,(3.5)式 の ζ、(Xi。) は 全 て の 番 号iに つ い て 同 じ 関 数 に な っ て,(3.4)式 は 次 の よ う に 書 け る ,
〈u°R,(X)〉=Nu°F(X),(3.6)
た だ し,F(X)は 次 式 で 定 義 さ れ,マ ク ロ ス コ ピ ッ ク な 一 体 分 布 関 数 を 表 わ す ,
F(X)≡fdX・ ・∫4笥 δ…[X‑X、(・ 、,X1。)]郵(X、 。).(3 .7>
な お,F(X)の 規 格 化 は 次 の よ う に な る,
I dZF(X)=1(3 .8)
‑OQ
次 に 二 体 の 分 布 関 数,00'uuR,(X,X')の 平 均 化 を 考 え る 。(3 .4)式 を 導 い た の と 同 様 の 手 続 き で 次 式 を う る,
〈00'uuR2(X,X')〉 ≡fdX・ ・dXZa…d風 認 ω(X1。,X2。,… 商 。)
× 匿 熟{∫ 酬x一 瓦(τ̀ ,Xごo)]}1dz,acs)臨(ち ・濁)]1 ,
=Σ
NNΣ
i=1j=1
(ゴキL)
珂 帽 邸 ∫酬 脚 η・XLo)]}
X」dz;acs・ 臨(τ ∫,Xゴo)]}ω ・(XiO・x;o・(3 ・9)
こ こ で,ω2(X̀o,X;o)は,
ω ・(Xi・,x;fl)≡fdX,・ …dX卜 、 ・dXi+‑i,o…dX1‑,,。dX;.、,。 …dX。 。
× ω(X,。 …X,。),(3.10)
で 定 義 さ れ,初 期 状 態 に お い て,i番 目 粒 子 とj番 目 粒 子 が 時 空 座 標 お よ び 四 元 速 度 と し て そ
れ ぞ れXi。 とX;。 を と り,他 の 粒 子 は 任 意 の 状 態 で あ る よ う な 確 率 を 表 わ す 。 こ の ω、(xL。,
X;。)が,一 粒 子 分 布 確 率 ζ、(Xi。)と 二 粒 子 間 の 相 関 を 表 わ す 確 率 ζ,(Xi。,X、 。)と で もっ て,次
式 の よ う に 与 え ら れ る と 仮 定 し よ う 。
ω,(Xi。,X、 。)=ζ1(Xi。)ζ 、(X、 。)+ζ,(Xi⑪,X、 。).(3.11)
こ の(3.11)式 を(3.9)式 に 代 入 し て,ζ,(Xi。,X;。)の 関 数 形 が 粒 子 の 番 号 の 違 い に よ っ て 異 な る こ と は な い こ と に 注 意 し てiと1に 関 す る 総 和 を 計 算 す る こ と に よ り,
〈uuR,(X,X')〉‑N(N‑1)00'uu[F(X)F(X')+G(X,X')],
を う る 。 こ こ で,G(X,X')は,
G(X,X'}=JdXlodX2a r
(3.12)
∫dη δ ・・[X‑X,(rl,X,・)]
× ∫ 砺 δ ・・[X'一 一XZ(r2,XZO)]Y2̀YIU,砺),
(3.13) で 定 義 され,2粒 子 聞 の 相 関 を表 わ す 。
3体 分 布 関数,4体 分 布 関 数,な ど多 体 分 布 関 数 を平 均 化 す る場 合 に は 初 期 状 態 に 関 す る 多 粒 子 分 布 確 率 が 必 要 に な る。 我 々 は,初 期 状 態 に お け る粒 子 の3体 以 上 の 相 関 は 完 全 に無 視 す る
こ とに して,多 粒 子 分 布 確 率 は1体 分 布 確 率 ζ、(X)と2体 相 関 確 率 ζ,(X,X')で もって い わ ゆ る ク ラス タ ー展 開 形 式 で 与 え られ る と仮 定 す る 。 例 え ば,3粒 了 分 布 確 率 ω,(X、。,X、。, Xk。)は,
ω ・(X・ ・,X;。,X、 。)一 ζ、(Xi。)ζ1(X。)ζ 、(瓦 。)+ζ1(Xi。)ζ,(X;。,X、 。)
+ζ 、(X;。)ζ1(Xy。,Xk。)+ζ 、(Xk。)ζ,(X̀。,X;。),
(3.14) の 如 く に 与 え ら れ る と す る 。
い よ い よ,マ ク ロ ス コ ピ ッ ク分 布 関 数F(X)及 びG(X,X')が 満 足 す べ き 方 程 式 を 導 こ う。
F(X)に 対 す る方 程 式 は 前 節 の(2.14)式 を 平 均 化 す る こ と に よ っ て え ら れ る 。 我 々 の 平 均 演 算 は 粒 子 系 の 初 期 状 態 に 関 す る 操 作 で あ る 。 し た が っ て,方 程 式 の 中 の 時 空 座 標 お よ び 四 元 速 度 に 関 す る 微 分 演 算 ま た は 積 分 演 算 と 我 々 の 平 均 操 作 と は 交 換 す る 。(2,14)式 の 両 辺 に
ω(X1。,X、 。,・ ・ … ・,X。 。)か け て,X、 。,X、 。,… …,X,。 で 積 分 す る,そ の 結 果 を(3,6) 式 と(3,12)式 を 使 っ て 整 理 す る と,
〆 鰯 季)+響(N‑・)∫ 躍L砂(XX")uY
×aa u。[F(X)F(X')+G(X,X')]一 ・s(3.15)
を う る 。 上 式(3.15)を 得 る 場 合 と 同 様 の 平 均 操 作 を(2.22)式 に ほ ど こ し て,(3.6),
(3.12)及 び(3.14)式 を 使 っ て 整 理 す る と,
110
u・a7 x。[F(x)F(X')+G(x,x)]+4嘉 ∫ 覗 砂(X,x〃)鉱 ・∂ 亀 μ
{(N‑2)[F(X)F(畑X")+F(X)G(珊+F(X')G隅
十F(X')G(X,X')]十F(X)S(X',Xり 十 丁[X,(X',Xり1=0,
(3.16) を う る 。 こ こ で,S(X',X")お よ びT[X,(X',X"〉]は 次 の 様 に 定 義 さ れ た 量 で あ る,
s(X'X")≡fdX,・ ∫4τ1δ ・8・[X‑X1(τ1,X・ ・〉]
×fd・1δ ・8・[X"‑X1(・{,X1・)] ζ1(X1。),
(3.17)
お よ び,
T[X,(X',X〃)]≡ldX,・dX・ ・
×fd・ ・δ …[X'‑Xz(・ ・,X・ ・月
× ζ、(X1。,X、 。).
∫ 酬x‑X1(τ1,Xlo)]}
fd・1δ ・8・[X"‑Xz(・'X2,・ ・)]
(3.18)
(3,16)式 か ら(3.15)式 にF(X')を か け た もの を 減 じ る こ と に よ り,次 式 を う る, u・ ∂1。G(x,x}+4嘉 ∫ 覗 一(X,X")uy∂1。‑F(X)F{X')F(X")
一F(X')G(X
,X")十(N‑2)[F(X}G(X',X")十F(X")G(X,X')]
十 、F(X)S(x,.X")十T(」(,(X'.X")]=0.(3.19)
(3.19)式 の 大 括 弧{}の 中 に お い て,初 め の 二 つ の 項 は(1V‑2)が 附 い た 第3項 に 較 べ て 無 視 し て い い で あ ろ う,し か し第4項 は 第2項 よ り も必 ず し も小 さ い と は 言 え な い の で あ る 。s(X',X')は,そ の 定 義 式(3.17)か ら わ か る よ う に,1つ の 粒 子 がL'(X'に 対 応 す る 空 間 と 四 元 速 度)か ら7 に"遷 移"す る 平 均 的 な 分 布 を 表 わ す 。(3.19)式 の 中 で は,こ の 粒 子 が 点X"に お い て 点Xに 存 在 す る 他 の 粒 子 と 相 互 作 用 す る よ う に な っ て い る 。S
(X',X")を 評 価 す る た め の 一 つ の 近 似 と し て,上 述 し た 一 つ の 粒 了 がZ'か らZ"に 遷 移 す る 間 は 力 を う け な い と 考 え る,つ ま りZ'か らZ"ま で は そ の 粒 子 は 直 線 的 に 運 動 す る も の と仮 定 す る 。 こ の よ う に 考 え る とS(X',X")は 計 算 で き て,
s(X'X")‑F(X')δ …(lu‑u)fd・ δ・4・[x"+ru(・ 一 ・ 剛 ・(3.2・)
と な る 。 こ こ で,rは 考 え て い る 粒 子 が 点X'に 位 置 す る 時 の 粒 子 の 固 有 時 間 を 表 わ す 。 こ の 近 似 の も と で,(3.19)式 の 大 括 弧 内 の 第4項 は 次 の よ う に な る,
F(X)S(XX')‑F(X)F(X')δ …(u‑u')fd・ δ …[Ilx‑rx‑u(・r一 τ1・・')].
(3.21)
こ れ は δ関 数 を 含 ん で い る の で,(3.19)式 の 大 括 弧 内 の 第2項 に 較 べ て も必 ず し も無 視 で
き な い 。(3.21)式 を 導 い た 時 と 同 様 の 考 え 方 で(3.19)式 の 大 括 弧 内 の 最 後 の 項 を 評 価 す る と,
T[X,(x〜 瑚 一G(X,X')δ …[π ・一 π']fd・ δ…[・ ・∀ コ'(・ 一 ・ 剛,
(3.22) を う る 。 粒 子 系 の2体 相 関 が 極 め て 弱 い な ら ば,(3.22)式 の 右 辺 の 絶 対 値 は(3.21)式 の 右 辺 に 比 較 し て 小 さい で あ ろ うが,我 々 は2体 相 関 を 無 視 し て い る わ け で は な い の で,(3.
22)式 を 無 視 し な い で 残 し て お く.以 上 の 議 論 を 考 慮 す る と,(3.19)式 は 近 似 的 に 次 の よ に 表 わ せ る,
u∂ 島。G(X,X')+」 響 ∫ 覗 ・・(&xり 帰N[F(x)G(X'X)
+F(X")G(X,X')]+F(X)S{X',X")+T[X,(X',X")]=0.
(3.23)
上 式(3.23)を 導 く時,(N‑2)をNに 書 き か え た,今 後 も 小 さ な 自然Sに 対 し て(N
‑s)は 単 にNと お く近 似 を 採 用 す る 。G(X,X')に 対 す る 方 程 式(3.23)の 中 にS(X;X") とT[X,(X',X")]が 現 わ れ る の で,次 に こ れ ら に 対 す る 方 程 式 を 求 め な け れ ば な ら な い 。
S(X,X')に 対 す る方 程 式 は(2.27)式 に 平 均 操 作 を ほ ど こ す こ と に よ り え られ る:
u・￡。S(X,X')+響 ∫ 覗 一(X,X')uY∂1。S(罰 珊
十T[(X,X'),X"]=0.(3.24)
T[X,(X',X")]に 対 す る 方 程 式 は,Wca3)[X,(X',X)]に 関 す る 方 程 式 が(2.28)式 と (2.31)式 の 二 個 存 在 す る こ と に 対 応 し て,2種 類 あ る 。(2.28)式 に 平 均 操 作 を ほ ど こ し て,(3.24)式 を 使 っ て 簡 約 し た も の を 書 く と 次 の よ う に な る,
情 丁[鷹 瑚+紹 一(X,X")u ∂ 島。[N{F(x)
×T[(X',X"),X"]十F(X"')T[X,(X',X")]十F(X)S[(X',X"X"')
+T[X,(躍 剛1‑・ ・
(3.25)
こ こ で,S[X',X';X"')]お よ びT[X,(X',X"Xり]は そ れ ぞ れ 次 の よ う に 定 義 さ れ た 量 で あ る,
S[(X',X;Xり]≡fdX・ ・ffdr,S・8・[X'‑X1(・ 、,翻
× ∫ 粥 ・ ・[X…X・(・1,X,・)]fd・1δ ・8・[X"X(・ 轟 〉]ζ ・(X,・),
(3,26)
お よ び,
112
(3.27)
(2.31)式 に 平 均 操 作 を ほ ど こ して,(3.24)式 を 使 っ て 簡 約 し た もの を 書 く と 次 の よ う に な る,
u・ ∂皇・T[(X,X'),X']+4嘉 ∫dX・L‑(XX')駕 。 謝Nsfix ,x)
×G(X';X")十F(X川)T[(X,X'),X"]十8(X ,X')S(X';Xり
T[X,(X',X;X")]≡fdX,・ ∫ 鵡 ∫dτ1δ ・8・[X‑X、(・ 、 ,X,。)]
× 」dr28E8・[X‑XZ(・ ・,X・ ・)]∫dτ18・ ・[X"一 一X,(・1 ,X,。)]
×fd・1δ ・・隠(・;剛}益(Xlo ・Xzo)
た だ し,T[(X,X'),
T[(X,X'),
十 丁[(x,x),(X';X'")]=
(X"Xり]は 次 式 で 定 義 さ れ た 量 で あ る,
(X;x )」
0,{3.28)
ζ2(Xlo,X20).(3.29)
上 式(3.29)で 定 義 さ れ たT[(…),(…)1は,2個 の 粒 子 の 各 々 が"遷 移"す る 時 の そ の 2個 の 粒 子 の 問 の 相 関 を 表 わ し て い る 。
(3.25)式 と(3.28)式 を み る と,こ れ ら は あ ら た な 分 布 関 数,S(X'X"Xlll,T
[(X,X'),(X"Xり]等 を 含 ん で い る 。 こ れ らの あ ら た な 分 布 関 数 に 対 す る 方 程 式 を 作 る な ら ば,さ ら に 一 層 複 雑 な 内 容 の 分 布 関 数 を 含 む こ と に な る で あ ろ う 。 考 察 中 の 粒 子 系 に 関 し て は 粒 子 間 の3体 以 上 の 相 関 は 完 全 に 無 視 さ れ た に も か か わ ら ず,粒 子 の"遷 移"過 程 を 含 む マ ク ロ ス コ ピ ッ ク 分 布 関 数,S(X,X'},T[X,(X',X')],… … に 対 す る 方 程 式 系 は 複 雑 な 限 り の な い 階 層 形(hierarchy)を 形 成 し て し ま う の で あ る 。 こ れ は,自 己 相 互 作 用 項 を 含 ま な い 様 に す る と い う意 味 で の 厳 密 性 を 我 々 の 定 式 化 に 要 請 し た た め の 一 つ の 代 償 と考 え ら れ る 。 し か し,あ る 段 階 で こ の ヒ エ ラ ル キ ー が 合 理 的 に 切 ら れ,方 程 式 系 が 閉 じ な け れ ば,我 々 の 定 式 化 は 現 実 的 な 意 味 を も た な い で あ ろ う。
我 々 の 方 程 式 系 を 閉 じ さ せ る一 つ の 近 似 法 と し て,(3.25)式 と(3.28)式 の 相 互 作 用 を 表 わ す 部 分 に お い て1Vが 附 い て い る 項 は 残 し てNが 附 い て い な い 項 は 無 視 す る と い う方 式 が 考 え ら れ る 。 こ の 方 式 に 従 う と,(3.25)式 と(3.28)式 は そ れ ぞ れ 次 の よ う に 近 似 さ れ
る,
u・∂暮・T[x,(X'X")]+響 ∫ 覗 一(XX"')u
∂亀。
×F(X)T[(X',X"),X"']十F(X"り7[X,(X',X")]=0,
(3.30j お よ び,
∫ 職 轟{fdr,∂(8)[X‑X,(zl・X,o)]/
×fd・i∂ ・8・[X'‑X、(・1,X1・)]fd・,ζ ・・[X・ 一 臨X⑳)]
∫ 粥8・[X"'‑Xz(・1,X,。)]
情 丁[(X,X'),X']+4鋸N∫ 覗 一(XX"')uY∂ 象
×S(X,X')G(X'X")+F(X"')T[(X,X')X']卜 ・ ・
(3.31}
こ の よ う に し て,マ ク ロ ス コ ピ ッ ク な 未 知 量,F(X),G(X,X'),s(X,X')及 びT[X, (、X',X")]に 対 し て,方 程 式(3.15>,(3.23),(3.24),(3.30)及 び(3.31)か ら な る 閉 じ た 方 程 式 を う る こ と が で き た 。 だ が,こ こ で 一 つ の 問 題 が あ る 。(3.28)式 か ら(3.31) 式 を 導 出 す る 時 の 近 似 は,NS(X,X')G(X';X'り とS(X,X')S(X"Xり を 比 較 し て,後
者s(X,X')S(X"x'り を 無 視 す る 近 似 に 相 当 す る 。 こ れ は 共 通 項 を 消 去 す る とNG(X"X"') に 較 べ てS(X"X"')を 無 視 す る 近 似 で あ る 。 と こ ろ が,我 々 はG(X,X')に 対 す る 方 程 式
(3.23)を(3.19)式 か ら導 出 す る 時 に は,NG(X,X')と 共 にs(X,X')を 残 し て あ る 。 こ れ は 近 似 の 不 一 致 で は な い か と い う 問 題 で あ る 。
こ の 問 題 を 検 討 す る 為 に,G(X,X')とS(X,X')お よ びT[x,(X',X")]と の 間 の 大 小 関 係 を 調 べ,方 程 式 の 間 の 相 互 関 係 を 考 え る こ と に す る 。T[X,(X',X")]はG(X,X')を 決 め る 方 程 式(3.23)の 相 互 作 用 を 表 わ す 部 分 に 次 の よ う な 形 で 現 わ れ て い る,
∫ 覗 岬(X,X")u・ ∂1。F(x)s(X'X")+T[X,(X'X")]
,
(3.32)
上 記 の 形 式 の 中 のF(X)S(X',X")とT[X,(X'X")]と の 大 小 関 係 を(3.21)式 と(3.
22)式 を 使 っ て 評 価 す る と,
lT[X,(X',X"川
IG(X,X')1F(X)S(X',X") F{X)F(X'),
(3.33)
を う る 。 ま た,s(X,X戸)を 決 め る 方 程 式(3.24)の 相 互 作 用 を 表 わ す 部 分 にT[(X,X'), X"]が 次 の よ う な 形 で 現 わ れ て い る}
∫ 蹉 ㌍(XX")%象s(X,X')F(X')+T[(窟)X"]} .
(3,34)
こ の 式 の 中 のS(X,X')F(x')とT[(X,X'),X"]の 大 小 関 係 を(3.21)式 と(3.22) 式 を 使 っ て 評 価 す る と,
iT[(X,X'),X"]1 lG(X,X")1
S(X,X')F(X") F(X}F(X"}' (3.35)
と な る 。(3.33)式 と(3.35)式 よ り,粒 子 間 の2体 相 関 が 弱 い 場 合 は,G(X,X')を 決 定 す る 方 程 式 とs(X,X')を 決 定 す る 方 程 式 の 両 方 程 式 に お い てT[X,(X',X")]の 寄 与 は 小 さ い こ と が わ か る 。 し た が っ て,粒 子 系 の2体 相 関 が 弱 い 場 合,G(X,X')とS(X,X'}
を 決 め る た め に はT[X,(X',X")]を 正 確 に 求 め る 必 要 は な く,近 似 的 に 求 め れ ば 十 分 で あ
る と 考 え ら れ る 。T[X,(X',X")]を 決 め る た め の 方 程 式 と し て は,厳 密 な(3.25)式 ま
た は(3.28)式 を 使 う必 要 は な く,そ れ ら の 方 程 式 の 相 互 作 用 を 表 わ す 部 分 の 支 配 的 な 項 だ
け を 考 慮 し た(3.30)式 ま た は(3.31)式 を 使 用 す れ ば 十 分 で あ る 。 要 約 す る と,T[X,
(X',X"〉]は 上 述 の 各 方 程 式 に お い て,G(X,X')あ る い はF(X)8(X',X")に 対 す る 補 正
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項 の 役 割 を し て い る 量 で あ る,(3.30)式 ま た は(3.31)式 は そ の 補 正 項 を 計 算 す る た め の 方 程 式 で あ る の で,そ の 近 似 度(逆 に 言 う と 精 密 度)は(3.23)式 ま た は(3.24)式 の 近 似 度 と 同 じ で あ る 必 要 は な い の で あ る 。
第4節 閉 じた近似方程式系
荷 電 粒 子 系 を分 析 す る た め に我 々 が 知 らな け れ ば な ら な い 量 は ま ず 一 体 分 布 関 数 で あ る 。 荷 電 粒 子 系 の 内 的 構 造 を知 る た め に は二 体 分 布 関 数 に 関 す る知 見 が 必 要 で あ る。 一体 分 布 関 数 は 我 々 の 場 合u°F(X)で 与 え られ,F(X)が 満 足 す べ き方 程 式 は 前 節 の(3.15)式 で あ る:
バ ∂a x"̀F(X)+讐 磐 ∫ 覗 一 齪)u。 ∂au"[F(x)珊
十G(X,X")]eO. (4.1)
こ こ で,(3.15)式 に お け る(N‑1)な る フ ァ ク タ ー はNに お きか え ら れ て い る 。 二 体 分 布 関 数 は 次 の よ う に 表 わ さ れ る,
〈 〃NLI
i=1毒 ∫ 砺 δ・・[X‑XL]∫ 砺 δ・・[X'一 瑚 〉
‑u°u°N〔NF(X)F(X')+NG(X ,X')+S(X,X')〕 .(4.2)
G(X,X')お よ びS(X,X')が 満 足 す べ き方 程 式 は そ れ ぞ れ(3.23)式 お よ び(3,24) 式 で あ る が,こ れ ら の 方 程 式 に はT[X,(X',X")]が そ れ ぞ れ(3.32)お よ び(3.34) な る 形 で 含 ま れ て い る 。 し か し,粒 子 間 の2体 相 関 が 弱 い 場 合CIG(X,X')1<<F(X)F
(X)が 成 立 す る 場 合]に は,(3.23)式 お よ び(3.24)式 に お け るT[X,(X'X")]の
寄 与 は 小 さ い こ と を 前 節 の 最 後 の と こ ろ で み た 。 前 節 の 最 後 の 箇 所 に お け る 考 え 方 を 拡 張 し て, T[X,(X',X")]を そ の 近 似 的 表 式(3.22)の 右 辺 で も っ て 近 似 し よ う 。 そ う す る と,(3.
23)式 お よ び(3.24)式 は そ れ ぞ れ 次 の 如 く に な る,
ガ ∂ax"̀G(珊+4鴛IN∂ 象[F(X)G齪)
+隅G齪)]+4嘉 ∂aF(x)S(X'X")
+G(X,X')δ 醐(u"‑u')」d・ δ ・・[11x‑x‑iu(τ 一 ・1瑚 o,
(4.3)
お よ び,
u∂ 錐8(X,X')+4慕N∫ 蹉 ㌍(X,X")uL∂a
uu
+G(X,X")δ ・・(u‑u')」d・ δ 薗[x‑x‑u(・ 一 ・ 剛
S(X,X')F(X')
=0 . (4.4)
以 上 の 如 く,我 々 は,3体 以 上 の 相 関 が 無 視 で き2体 の 相 関 も弱 い 荷 電 粒 子 系 を 記 述 す る 基 礎 方 程 式 系,(4.1),(4.3)お よ び(4.4)を 得 た 。 以 下 で,我 々 が 得 た 方 程 式 系 の 特 色 を 述 べ,他 の 理 論 と の 比 較 を 論 じ よ う 。
(1)(4.1),(4.3)お よ び(4.4)か らなる方 程 式 系 は 完 全 に 相 対 論 的 に 共 変 形 式 に
な っ て い る 。F(X),G(X,Xり,S(X,X')全 て 共 変 的 に 定 義 さ れ て い る 。 例 え ばF(X) は(3.7)式 で 定 義 さ れ て い る が,こ れ は 初 期 状 態 の 分 布 確 率 ζ1(Xi。)が 共 変 的 に 与 え ら れ れ ば 共 変 的 な 量 で あ る 。
(II)自 己 相 互 作 用 項 は 我 々 の 方 程 式 系 に は 含 ま れ て い な い 。(4.1),(4.3)お よ び (4.4)式 に お い て,相 互 作 用 す る2点 はXとX"で 表 わ さ れ て い る 。 こ れ ら の 方 程 式 に は, こ の2点 が 同 一・ 粒 子 に よ っ て 占 め られ て い る こ と を 表 示 す る形 式,例 え ばS(X,X")と か88)
(x‑‑x)な ど は 現 わ れ て い な い,と い う こ と が 上 記 の こ と を 保 証 し て い る 。
(IID上 記 の(II)と い う利 点 の 代 りに,我 々 の 定 式 化 に お い て は,他 の 定 式 化,た と え ば Klimontovichpis)に よ る 定 式 化,よ り も 扱 う べ き 方 程 式 が1個 〔(4.4)式 〕 だ け 多 く な る 。
(IV)(4.3)式 の 相 互 作 用 を 表 わ す 部 分 に お い てF(X)S(X',X")が 重 要 に な る 場 合 が あ る 。 こ れ は,す で に,Hakimが 彼 の 文 献(1のに お い て 指 摘 し て い る こ と で あ る 。Hakimは S(X,X')を(3.20)式 で 近 似 す る こ と に よ り,以 前 にKlimontovichが 文 献(11)で導 出 し た
4ま で 正 しい 相 対 論 的 ラ ン ダ ウ 方 程 式 と 同 じ方 程 式 を 導 い て い る
。 最 後 に,我 々 は,直 接S(X, X')を 近 似 す る の で は な く,(4.4)式 を 近 似 的 に 解 い て,そ れ を(4.3)式 に 代 入 す る 方 法 に よ り,F(X)に 対 す る よ り正 確 な 輸 送 方 程 式 を 求 め る こ と を 将 来 の 課 題 と し て 考 え て い
る 。
附 録
こ こ で,我 々 は,空 間 座 標xと 四 元 速 度u=(uO,u)を 表 現 す る 位 相 空 間 を 考 え,各 粒 子 が 本 文 の(2.1)式 に し た が っ て 運 動 す る 時,Od3xduが 粒 子 の 世 界 線 に 沿 っ て 不 変 で あ る
こ と を 証 明 す る 。 こ こ で,d3xduは 粒 子 に よ っ て 占 れ ら れ る 位 相 空 間 の 微 小 体 積 要 素 で あ る 。 い ま,i番 目 粒 子 が 時 刻C‑1コ じ0に お い て43xdu内 の 一 点(x,u)を 占 め て い る と す る 。 i番 目 粒 了 はc‑1(xO+fix°)な る 時 刻 に は,本 文 の(2.6)式 と(2.6)'式 の と こ ろ で 述 べ た よ う に,
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