多粒子有限状態の無限過去を持つ時間発展に対する情報系分解問題 (確率論シンポジウム)

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(1)76. ✂✁多粒子有限状態の無限過去を持つ時間発展 ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ ✟ ✠ ✆ ✡ ☛ ☞ ✌ ✍ ✎ ✏ ✑ ✒ ✓に対する情報系分解問題 ✔ ✕ ✖✂✗ ✘ ✙ ✚ ✛ ✜ ✢ ✣✥伊藤✤ ✦悠 (京都産業大学) ✧✥★✥✩✥✪✥✫✥✬ ✭✯世良✮✱✰透 (京都大学) ✧✥★✥✫✥✬ ✲✥矢野✳ ✴✥孝次✵ (京都大学) ✧✥★✥✫✥✬ 1. Introduction. ✵✯✶✸✷✥✹✥✺✥✻✥✼✾✽❀✿❂❁❄❃✾❅. 次の確率漸化式を考えよう:. for . (1.1) ✶の ✯ ✽ ❇ ❙ ❚ ❇❆ここで,観測過程 ❆✸❈ ❃✸❉✥❭✥❊❇❪▼❋✥❫P● ❴✸❵X ✸ ◗ ❘ ❇ ❯ ✯ ❱ ❇ ❲ ✥ ❳ ❨ ❏ ❍ ✥ ■ ▼ ❑ ✥ ▲ P ◆ ❖ ❍ は可測空間に値をとり,駆動ノイズ ❩❇❬ ◗ ❛✥s✯❜❇✉ ❝❂❞ ❡❇❙✇❢✈②① ❃q❚✇③✥■P✷ ❣❇❤▼✐✥❥❇❦▼❧ ✶ ✶ ◗✥♠P♥ ❞ ❘ ✽❀を意味する ♦q♣ ❝r❞ ;値❘ ❈▼✽tを簡単に ⑤❀⑥⑧⑦②❈❄⑨❶⑩✥❹q❷ ❞ ❙ ❦⑧❧ ④✾⑤❶❸ ◗ ■ ④✾からそれ自身への写像から成 ✶✸✷❄✹ ◗ ▲✥❻ と書く.より正確には, ❪ ❞✸るある可測空間 ❹q❞ ❑⑧▲❄◆✯❖ ❺上の確率測度 ⑧ ◗ ② ❼ ❽ ❾ ‐evolution ✶✸➃❄➄ が ✽❀を持ち過去 ✽t❿ ❢✾❽ ④✸➀ ❫✯❴⑧❵ ❈でに対して, ➅r➆❀➇✥➈ であるとは, ❙✇と独立である ➉q■ ➊ ❈✥❹✯❞ ❾が❆ ❙✸(1.1)✽❀➋➌を満たし,かつ,各時刻 ✸ ❾ ✥ ➁ ➂ が共通の分布 \ m a t h c a l { F } _ { k 1 } ^ { X , N } ❅ ➍②❽ \mathcal{F}_{k-1}^{X,N}:=\sigma (X_{j}, N_{j} :j\leq k-1) . (1.2) ⑧ ✶ ❄ ➔ ❄ → ✷❄✹ ❄ ➇ ➓ ❚ ✶r❙⑧➎ ➏ ❄ ❈ ❹ ❆このとき,組 ❏ ❈ ❄ ➐ ✥ ➑ ➒ q ♥ ❶ ⑤ q ⑦ ❢ ❘ ⑥ ■ はで添字付けられた ‐値Markov 過程であり,その推移確率 ■ ✵ ❈✥➣ ❁ ⑤✇⑦ ❞✥❆ ❙ ◗✸↔ ♦➙↕ ⑦P❢✥➛ X_{k}=N_{k}X_{k-1}. \mathbb{P}-a.s .. k\in \mathbb{Z}. V =\{X_{k}\}_{k\in Z} N=\{N_{k}\}_{k\in Z} 作用によって各時刻で発展する.また, N_{k}X_{k-1} はランダム写像 N_{k} の X_{k-1} における値 V fv f(v) \Sigma \mu \mu \{X, N\} \{X, N\} k. N_{k}. \mu. ことを言う.但し,. (X, N). \mathb {Z}. V\cross\Sigma. は次で与えられることに注意されたい:. \mathbb{P} ((X_{k}, N_{k})\in |\mathcal{F}_{k-1}^{X,N})=\mu\{\sigma: (\sigma x, \sigma)\in\cdot\}|_{x=X_{k-1} .. (1.3). ✽を ‐evolution ❙とするとき,観測情報系 ❙⑧➎ ➤ ▲❄➥❄➦q➧ \mathcal{F}_{k}^{X}=\sigma(X_{j} : ➜❄情報系分解問題とは, ➝q➞❏➟❄➠q➡❏➢ ❙ ■ r ❝ ❞ ◗▼に対して,次の分解を得ることである: ❼②❽ ❪ ✵✯✶✸➃✥➨✾✽❀➩ ❞❄❆ ❙ ❈❄❹✯❞ \mathcal{F}_{k}^{X}=\mathcal{G}_{k}V\mathcal{F}_{-\infty}^{X}V\mathcal{H}_{k} . for (1.4) ❚ ➺❇➃ . ‐集合体であり,第2成 ❇ ❈ ❹ ❆➃ ❇ここで,第1成分魚は駆動ノイズ ❆▼❈ ➫ ❸ ➃ ■▼➭❇➯➳➲❀➵P➸ \mathcal{F}_{k}^{N}=\sigma (N_{j}➃ :j\leq k) ✶▼の部分 ➻➽➼✥➾ ➫ ➊ ❸❈ ✯ ➉ ❇ ➇ ❂ ➈ ❀ ✽ ➶ ➫ ❸ ❾ ❽ ✸ ■ P ➚ ➪ ■ \ m a t h c a l { F } _ { \ i n f t y } ^ { X } \ma t h c a l { F } _ { \ i n f t y } ^ { X } , \mat h cal { F } _ { k } ^ { N } ( \ s u ps e t \mat h cal { G } _ { k } ) , Z}\mat❍ hcal{F}_{k}^{X} ❈➽❹➷❞ ✽ ❹➹あるような ❞ ❃➳❅➴:=➘ \bigcap_{k\in‐集合体である.また, ➻➽❙❶✈❂➼➽➾➎ ❩✥❬ ✽ ❡➽❢ ‐集合体 ➻❙✃➽➱⑧➼➽❐ ➾ ◗➬に対して, ❼➮❽ ❪ , を ✼ ✽❮を繰り返すと, ❒❰❚ÐÏ ❝ ❙ ❪ ➩ ⑤Ð⑦ ❞ ❽t❢Ñ❾ ❭ ❏ ◗ ❰ ❼ ❽ ❾ に対して, が得られる.したがっ ❀ ❚ ➊ ❙ ↕ ➘ ❪ 式(1.1) Ò✯Ó❄❾▼❸ ➀ ❆ ❾✸Ô✥Õ✯◗✸Ö✥× ⑦ ❞ ④✯Ø✯❽✇⑦ ➛ \{X, N\}. j\leq. \mu. k). \mathbb{P}-a.s. k\in \mathbb{Z}. \sigma. 分. は無限過去を表し,第3成分 \mathcal{H}_{k} は. \sigma. \mathcal{F}_{1}\vee \mathcal{F}_{2}V. \mathcal{H}_{k} が独立で. \sigma(\mathcal{F}_{1}\cup \mathcal{F}_{2}\cup\cdots). \mathcal{F}_{1}, \mathcal{F}_{2}. \sigma. と書き,作用 V をjoin と呼ぶ. j<k. X_{k}=N_{k}N_{k-1}\cdot. N_{j}X_{j-1}. て,以下が成り立つことが一般に期待されるかもしれない:. \mathcal{F}_{k}^{X}\subset\bigcap_{j<k}(\mathcal{F}_{k}^{N}\ve \mathcal{F} _{j}^{x?})=\mathcal{F}_{k}^{N}\ve (\bigcap_{j<k}\mathcal{F}_{j}^{X})=\mathcal{F} _{k}^{N}\ve \mathcal{F}_{-\infty}^{X} .. (1.5).

(2) 77. ❪ ⑨✄✂ ➘ ➫ ❸ ➃ ❹P❞ ❙✸➎ ❆ ⑦ ■ ❸ ❚✃➊ ❢ ➘ ❽✃しかしながら,分解 ④❂❆ ❽ ✶✆➘ ☎② ❾➳❚ ⑤ ➃✥➨ (1.4) ◗✥ ♠➽❙ ➛ ✁ \mathcal{H}_{k} ❾ があるとき,これは成り立たなにおいて非自明な第3成分 ❃ ✞ ✽ ✠ ✝ ✟ ❙ ❙ ❆ ✯ ❹ ❞ ➛い.この誤りは ◗ ✃ ❽ ❢ ◗ intersection と join を交換したことにある; Kolmogorov と Wiener によ ■ ➘ ✆ ✠ ☎ ✌ ❪ ✎ ✽ ✯ ✍ ❃ ❙ ❪ ❞✄✡☞☛ ❞ ✒✠✔ ❽ ❡❇❢ ✏✁✑ ❝❂✓ る有名な誤謬については [2, ✞✽ ◗▼✕✗➀P✖✾➛ ↕ ⑦✯■ ❢✥➛ [10, (1) of Remark 1.4] を見よ.また,関連する議論として Section 2.5] を参照されたい. ❃ ✙ ✚ ➃✜✥ ✛ ➓✥✼✯✶✁✢ ◗ ❞ ✘ ➨✾✽❀➅ ❢ ➘ ➛ ✷❄✹✠❄ ➒ ♥✯⑤✇⑦ ❪ ◗ ➯ ✤ ✣ Tsirelson [3] による強解を持たない確率微分方程式の例に動機付けられて,Yor [13] ■ は ✜ ✵ ✧ ✪ ★ ✩ ✆ ✶ ✬ ✄ ✽ ✠ ✭ ✮ ❙ ✠ ➘ ✯ P ➆ ✥✠ ✦ ❝ ❾ ➼ ✃ ❽ ❢ 状態空間が1次元トーラスの場合を研究した.すなわち, ◆P❖ ❙ ❣ ✫ ✁ ✆ V=T=\{z\in \mathbb{C} : |z|=1\} ✽ ✰ Ô✠✱ ❝✾❞✥❆ ❙ ❈ \Sigma=T ❙ ❽❀❢ ✬ ➼ ✶ ➃✥✳ ➨ ✲✁✴ ❈✥❹ と ❽❞ し, z\in T と写像を同一視することでとした場合の情報系分解問題であ ❦✸❧ ✥ ➥ ✯ ➦ ➧ ✄❙ ✷✁✸✳✹ ✩✁✸✠✻✠✼✳✽✁❂ ✾ ✽ ❬ ➛ ❪ ➃✥✳ ➨ ✲✁✴ ✁ ◗ ✿✠❀ ✶ ✠ ✵ ✶ ■ ❇ ➥ P ➦ ➧ ❤ ✆ ✺ る.Yor [13] は Fourier 級数とマルチンゲール収束定理を用いて,情報系分解問題に完全 ➘✸✤ ➨ ❁✾✽ ➣ ❁ ❢ ❡❄❢ Akahori-Uenishi❃ Hirayama‐Yano 及び [5] ■ はYor ✕❄ [13]✾ ✶ ■✜[ 1]✴ ❂❄ ✽ ❇ ★❍q ● ✶✙✬ ➼q◗⑧Ô✥Õ ✻ ❽t❢ Yano ✖ の↕ ❅✜な解答を与えた.また, ❆ ✤ ❆ ✙ ❝r❉❞ ❏✤❑ ✜ ◗ ✏ Ø ❤ ❉ ❋ ❈ ❊ 結果をコンパクト群の場合に一般化した.この話題に関する概説 Yano‐Yor [12] も参照されたい. ⑦✯ ❢✥➛ ✶ ✬ ✽✃✿❂❁❇❃❂❅ ✆ ❙ ❽ \Sigma= ✥✜✦ ◆P❖ ❾ ✡ ✶ ➪ ➻❇➼ ✶ ➼ 状態空間が有限集合の場合を考えよう. V=\{1,2, \# V\} とし, Map (V)✶✾■ は ❙⑧➎ V ✶ ✞ ✽ ▲ ➙ ❙ ● ❞ ✡ ④✾ ⑤t⑥⑧⑦②⑨❶⑩❄✵✾❷ ✞✽ ◆ ❦✸❧ ❀✥➾q④r⑤✇❸ ❽❀❢ ✤ からそれ自身への写像の全体から成る,写像の合成を積とした有限半群である.このとき, ❦✸❧ ➼❄❸ ➪ ▼ ❈❄❹✯❞ ❆ P✗✏✁◗ ❽✃❢ ❖✜ Yano [11] ■ は次を示した: 包含関係 w\mapsto zw. \mathcal{F}_{k}^{X}\subset \mathcal{F}_{k}^{N}V\mathcal{F}_{-\infty}^{X}. \mathbb{P}-a.s .. for. (1.6). k\in \mathbb{Z}. ✶ ❳ ✠ ➘ ❞➽❆ ❙ ❈➽❹P❞ ➍➮❽ ❙✠❚✠❯➽✠ ➃ ❱☞❲ ❾▼ ❸ ❚✃❈❄➊ ❹q➀P❞ ✠ ❢ ❙ ❘ ✶✎❹✯ ❾ が成り立つための必要十分条件はの台 S(\mu) が sync なることである.但し, ■ S(\mu) ❾が ❪ t ❙ ➘ ❙ ❞ ✥ ❞ ❆ ❄ ❈ q ❹ ❞ ❽ ❼➙❽ ➘ ❧ ❅✜❆ g(V) ❾⑧ Ô❄❨⑧➻✥✶r➼ ❙ ❆✜❵ ➩ sync であるとは,あるが一点集合となることである.し ■ ➃❄➨ g\in\bigcup_{n}S(\mu)^{n}❪ ◗⑧に対して,像 ✢ ❪ ➘ ➛ ➘ ✞ Ø ❫ ❉ Ø ❴ ❶ ⑤ ⑦ ➛ ✸ ◗ q ➀ ➛ ❄ Ô Õ ✗ ❪ ④✾ ❬✶✁❽ ❩✤ ❭ r ❾ ⑤ ■ かし残念ながら,分解 (1.4) については一般的な結果も反例も今のところ得られていない. ❛ ❽ ↕ ✶✁❜ ✫ ➺✥➃ ➻✥➼✥➾ ✽✁✍ ➀r♥ ❞❇❆ ❙ ◗ ❹✯❞ ❙❞❝✗✯ ⑦ ❞ ⑥その難しさは駆動ノイズ ‐集合体蛾を見つけることにあると思われる. ■✸➭✥➯✾➲✃➵q➸ \mathcal{F}_{k}^{N} の最大部分 ❡ ✭✠✮ ❈ ❢✆❣✜❤ ✶✥❴ ❛❇❜ ◗▼❥ ↔ ✐ ❝❂❞ m\in \mathbb{N} ◗▼ ❼②❽ ❪ \{\mathbb{X}, 本研究では,多粒子の時間発展に注目する. に対して, ❖ ■❹ ❞ ❙ ✷ ✹ ➇ N\} ➓ ❾が ‐particle ‐ ❈ V^{m} ❾ ❘ \mathbb{X}_{k}= evolution であるとは, が ‐値確率過程, ❍ ■ \mathbb{X}=\{\mat✠ hbb{X✯✯ }_{k}\}_➆ {k\in Z}, (X_{k}^{1} , X_{k}^{m})✽P❙ ❞ ✷❇✹❇➇❇➓ ❈❇❹ ❚ N=\{N_{k}\}_{k\in Z}❍ ✶ ➘ ❝ V ❘ ❾が ✹✥✺✥のランダム写像列,すなわち, に値をとる確率過程であり, ❧ ❦ \Sigma=Map(V) ◗▼ \{\mathbb{X}, N\} ■ は ✷✥ ✻✥❣❇✼ ❤▼✐❇❥❇❦✸✠ 確率漸化式 \mu. \sigma. m. X_{k}^{i}=N_{k}X_{k-1}^{i}. \mathbb{P}-a.s .. for. k\in \mathbb{Z}. and. i=1 ,. ,. m. \mu. (1.7). ➄ ✽t➅✾➆t➇✥➈ ❧ ❙❶➉✯➊ ❈✥❹q❞✥❆ ❙❄❙ ❝ ✽❀❿ ❢r❽ ④⑧➀ ❫q❴✸❵ k ❈ ➁❄➂ ✶✸➃❄ で N_{k} ■ は共通の分布 sq✉❇✶ ❢✜✥ ✜ ✶ ♠✸✿✾❁ を持ち過去 ❞ ❣✜❤✜✶ \mathcal{F}_{k-1}^{Xを✽ ,N} と独立であることとす ❞を満たし,かつ,各時刻 ❘ ◗ stationary ‐evolution のみ考える.粒子数る.簡単のために \mu. m. \mu. m=m_{\mu}:=\inf\{\# g(V) :g\in\bigcup_{n}S(\mu)^{n}\}. ✶✯❃✾❅ ✁ ➨ ✲✁✴ ◗✁✿✜❀ ➘✸✜ ➨ ✾ ❁ ✽ ➣ ❁ ❢✥➛ ◗ ♥ ❐ ❆ ❙ ❈ ➥✥➦✯➧ ➃✥✗ のように選ぶことで,情報系分解問題に完全な解答を与えたい: \mathcal❧ {F}_{k}^{X}=\mathcal{G}_{k}\vee \mathcal{F❧ }_{-\infty}^{X}V\mathcal{H} _{k}. \mathbb{P}-a.s .. for. k\in \mathbb{Z} .. (1.8). (1.9). ● ◗✸❘ ✽✯❙ ❞ ➠ ✞✽ ♣ ❬ ❝✾❞ ❆ ❆ ✶ ✐✞❪ ✶ ❢✠❘✥◗ ♦✜✶✗❪ ▼ ● ✔ ❃✯❚ Rees ➟✥ 分解を利用する.これは位相半群に値をとる ▼ ➬ ➳ ✈ ✽ ❆ ❢ ❝ ✇➮❽ ⑦ ① ■✁q✤r✳➘② ✷ この目的のために,代数的半群論より ➽ ☞ ✹ s ✶ ✶ ▲➹✶✎✾ ✔ ◗➽♠➽➛ ❪✎t ❡ ❪ ➘✎✉☞ ① ✽✓✕✳✖➳↕ ⑦ ➚➹➪ ■ [6] などを参照され確率変数の無限積の理論において基本的な役割を果たす.詳しくはたい. ❢✥ ➛.

(3) 78 2. An illustration of Yor’s result. ✶ ❅✜❆ ✽✃s✯✉❇✁ ➘ ✢ ❈✁❑ ✂❂❽ ❃✾❅ ✶ ➂✄✂ ❆ ✶✁ ❈ ■ \mathb {C} の通常 ■ この節では Yor [13] の結果を簡単な例で説明しよう. T=\{z\in \mathbb{C}: |z|=1\} は ✶✁ ▲ ✜◗ ✾ ❪ ❇ ★ ● ❙t➘ ❞❇❆ ❙ ◗▼↔ ♦➙↕ ⑦✯❢✥➛ ✷✥✹ ▲❄❻ ✏ ❽ ✗ の積に関してコンパクト群となることに注意されたい.確率測度 ❤✞❈ ❊ ❀✽ ✿✾❁ ❞ ✽ を考える. \{X, N\} ✶✸♦✯♣ ❈ ❈✥ ❹ ❚ ✶ ➂☎✂ ✶✁を▲✯stationary であり, \mathb {C} の通常の積の意味で. \mu=\frac{1}{2}\delta_{1}+\frac{1}{2}\delta_{-1} \mu ‐evolution. X_{k}=N_{k}X_{k-1}. ❙ ❝✾❞ ❝ ➘✜✯ ✯ ➆ ❙ とする.すなわち,X と. \mathbb{P}-a.s .. for. (2.1). ❘ ✷✥✹✥➇✥➓ ■は \mathb {T}‐値確率過程. N. (2.2). k\in \mathbb{Z}. ✽✃❿ ❂ ❙ ➉✯➊ ❈✥❹ ❭✥❪ ④✸➀ ✶✸➃❇➄ ✽✃➅❂➆❀➇❇➈ ✰✸➃❇➄ ❈❇❹ ❢ ❽ ✥ ➁ ➂ N_{k} ■ は共通の分布 X_{k} ■ は同分布であを満たし, を持ち過去と独立であって,かつ \ m a t h c a l { F } _ { k 1 } ^ { X , N } ❫ ✝ ❚ ✆ z=e^{i\theta} ✽ ❙✇➃✥➨ ❝✾❞ ➍②❽ ❆ ❆✸❈ \mathb {T} ✶✸✜ ❞ ❙ ❝✾❞ ✥ \mu. るとする.ここで,. の各要素. , \theta\in[0,2\pi ) を z=h(z)s(z) と分解する.但し,. h(z)=\{◆②begin{a↕r ay}{l} 1 (0❞ \leq\theta<\pi), -1 (\pi\leq\theta<2\pi), \end{ar ay} s(z)=\{. ✶✾❙✸➎ Ò✯Ó✥❾ ❆このとき,以下が示される: ⑦. (0\leq\theta<\pi). z. ,. (\pi\leq\theta<2\pi). -z. (2.3) .. ✹ s ✶ ✁✞✝✟ ❪ ✽❀❿ ❝ ❹q❞ ✷✥✜ ❫ k\in \mathbb{Z} ◗✸❼②❽ ❪ ✷❇✹✤s ✶ ✶✸➺✥➃✜● ❺ ❈ Ô✡✠q◗ ■ (ii) ➃❄ 各➄ に対して,確率変数 U_{k}: = h(X_{k})\oval b ox{\tt\smal l REJECT} JT の部分群 H:=\{1, -1\} 上で一様に ✇ ❙ ✯ ➉ ➊ ✥ ❈ ✯ ❹ ❞ ❽ \mathcal{F}_{k}^{N}\ve \mathcal{F}_{-\infty}^{X} と独立である. 分布し, ✶ ✌ ✂❄◗❄♠❄➛ ✍ ❪ ✎✤❚q➘✁✉✤r ✈ ✽ ❆ ❢ ❝r❆ ❙ ◗⑧↔ ♦➙↕ ⑦q❢❄➛ Òq❺ Ô☛✠☛☞ ■ ➉q➊ ☞ ✍ ❺ ✶ ❃✯❚ (ii) ➃❇❈で一様性は独立性の証明において重要な役割を果たすことに注意されたい.以上上の ➨ ◗ ❢ ②❽ \xi=s(X_{k})\mathbb{P}-a.s . を満たす. (i) ある確率変数 \xi ❾が存在して. により,分解. \mathcal{F}_{k}^{X}=\mathcal{F}_{k}^{N}V\mathcal{F}_{-\infty}^{X}\vee \mathcal{H}_{k}. ➩ ⑤✇⑦ ❞ ➍②❽ ❾が得られる.但し,. \mathbb{P}-a.s .. for. k\in \mathbb{Z}. (2.4). (i) \mathcal{F}_{-\infty}^{X}=\sigma(\xi)\mathbb{P}-a.s. (ii) \mathcal{H}_{k}=\sigma(U_{k}) for. k\in \mathbb{Z}.. ➉✯➊❂❙❀➘ ❞ ❈✥ ❹ ❚ ➀ ✶ ‐集合体 ➻ ➼✥➾ \mathcal{F}_{k}^{N}, \mathcal{F}_{-\infty}^{X}, \mathcal{H}_{k} ■は独立となる. ✥ であり,3つの \sigma. 3. Infinite convolutions. ✶ ✾ ✔ ✽❮s ✉ ◗ ❑ ✂ ❝ ❞ ✏✶ ❈ ➫ ❈ ✑ ✽ ✾ ✔✽ ✓✖✕ ❞ ❢ ❘ ◗ ➚ ➪ convolution ▲積の理論を簡単に説明する. ✒ ❆この節では,第4節で主定理を述べるために,無限 ■.

(4) 79. ✂✁半群論 ☎✄ ✽を半群とする.すなわち, ● ❙ ❝❂❞ ❝ ➘✜✯ ✯ ➆ ▼ ②. 3.1. ❈ ➘ ➛✸➻✥➼ ❈✥❹ ❭✥❪ ❅ ✳➼ ❪ ✙➘ ▲✝✆☎✞ ❾ ✽✠②✟ ↕ ⑦ ❪ ➛ ❞ は空でない集合であって結合的な積演算が定義されている ■ ✸ ◆ ❙とする. ➺Ñ➃ ➻❄➼ ❙❶✈➙① ✶の空でない部 ❝ ❞ ✶⑧の部分集合 ◗⑧に対して, ❼➙❝ ❽ ❪ ❙✸➎ AB=\{st:s\in ◆ ✽❀➅ ❈ ➘ ➘➛ ➺ A, t\in B\} と書く. ➃分集合 ❀ ✽ ❿ ✽ ❀ ❙ ✸ ➱ ❐ ❾が ❙❀proper ❢ ✽❀❿ を❝ ideal ❢ ➛ を満たすとき, と呼ぶ. ideal を持たない ❅ ➱ ✶ ✸ ❙ ➎ ❙▼とき➻✥➎ ➼ simple❾が ❙という. ➛ ✈➮① ❢ ❈➽❹➹❞idempotent ❃ の idempotent ❾がを満たすときと呼び, ➘なら⑤ ❙ ■ [ex=xe ❀全体を ➾✡ ✽ E(S) ❙と書 ❾ が primitive であるとは, e\in E(S) =x\in E(S) ✃ ❚ ➊ ▼ ❙ ✽ ❅ ✽ ➅ ❙ ❹P❞➽❆ ➛ ➀ ➬ ❾ ❸ ➀ ❾ ▼ ④ ➀ ばが成り立つあることをいう. が simple かつ primitive idempotent を持つと x=e] ➎き completely simple ❙という. ➛ ♦②❅ ↕ ❾が completely simple ➘ならば ⑤ ✡ ✶の全ての ❀ ❪✥✶ idempotent ■は ❙ ✥ ❈ ✯ ❹ ✥ ❞ ❆ ◗✸↔ ⑦✯❢✥➛ primitive であることに注意されたい. ✏✽ ✎ ✽ ● ☛✂☞ ❄ ➟ ➠ ❈❄であると仮定する. ❹q❞ ✍❙ ❄✌ ✽ ❝r❞ e\in E(S) を固定定理3.1 (Rees 分解). ▼半群 ❙ ❾が completely simple ♠ ① ❆ ✶✾❙✸➎ Ò✯Ó❇❾⑧❸ ❚✃➊ ➀ : ❽し, とおく.このとき,以下が成り立つ ● ❈✥❹✯❞ ■は群である. (i) S. S. A,. S. S. B. IS\cup SI\subset I. I. S. I. e^{2}=e. e\in S. S. \langle.. S. S. S. S. L=Se, G=eSe,. R=eS. G. ▼❦ ❧ ■ ❀ ✠✉ ✑ ❈✥❹q❞ ✥➃ ➨ ❦✸❧ ❙ ⑥ ✶✠✑✝✒ \phi_{E(L)}, \phi_{E(R)} ✽❀✵✥✼ ❈✠✓☎✔✥❝✾❞ (3.1) \psi^{-1}(z)=:\phi(z)=:(\phi_{E(L)}(z), \phi_{G}(z), \phi_{E(R)}(z)) , z\in S . ❆Ñここで, ❆❏❈ ❈Ñ❹ ❞ ④r⑤ (X_{1g_{1}y_{1}})(X_{2g_{2}y_{2})=x_{1}(g_{1}y_{1}x_{292})y_{2}} であるから, ❙ ◗✸↔ ♦②↕ ⑦✯❢✥➛ ❪ ✥ ❈ ✯ ❹ ✥ ❞ ❆ ◗✸に対して, ❼②❽ \phi_{E(L)}(z_{1}z_{2})=\phi_{E(L)}(z_{1}), \phi_{E(R)}(z_{1}z_{2})=\phi_{E(R)}(z_{2}) であることに注意されたい. ✙✘✛ ❇ ❤ ❙ ❈②❊ ❅ ★ ❈ ❹ ❭❄❪ ❑ ✞ t➳✽ ➅ ➆ ● ▲ ❈❇❦➬❹ ❧ ❚ ▼半群● ◗に位相構造を入れよう. q ❅ r✖✕✘✗ ✽ ❈✥✔ ❹✯⑦ ❞ ❃➳❙✸❅ ➎ ❾✚が局所コンパクトであって可算基を持ち,積写像 ➼✧ ☎✑ ✜ ✧❂✽✃➅ ➘ ✡ ✧❂☎✁半群✥✽ ✤ という.もしも, ✜ ➛ ✆☎✞ Ø✯❽▼Ø ❾が LCCB❙❀➘❂▼半群でありが結合連続であるとき,LCCB (x, y)\mapsto xy ❾❪✥ ✶ ✶ ✆ ❚ ❅✠❆ ❪ ❞ ④▼かつ➀ の全ての元が逆元を持つならば,逆元を取る演算 ✑✝✜ ❀ ●②❙❀➘ ❞❾✣✢ ❆ ➀ ✠✶⑤ ✽✙✾②✢ ❙ ✠❪ ✦ ❪ ❞ Ø✞も連続となり,結果的 ❽ ⑤✇⑦ ➛ ⑦ ■ Ellis の定理として知られている). ◗に ✁■は位相群となる q✜r (これは ● ☛✂☞ ❄ ➟ ➠ ❈❄❹q❞ ✍❙ ✌ 定理3.2 (Rees‐Suschkewitsch 分解). LCCB ▼半群 ❾がcompletely simple であると仮 ✽定する.このとき,Rees ❇ ➃ ✯ ➨ ✶ ✆ ▲ ❂ ✶ ✸ ❙ ➎ ✰ ❝✾❞ ❆ 分解の積写像 : E(L)\cross G\cross E(R)\ni(x, g, y)\mapsto xgy\in S ■ は同 ▼ ❦ ❧ r✯❦✸❧ ❈✥❹✯❞ (ii) S=E(L)GE(R) .. ▲. (iii) 積写像 \psi : E(L)\cross G\cross E(R)\ni(x, g, y)\mapsto xgy\in S は全単射である. 分解写像 \phi とその射影. を次式で導入する:. \phi_{G},. RL=eSSe\subset eSe=G,. S. z_{1},. z_{2}\in S. S. S. x\mapsto x^{-1}. S. S. S. \psi. 相写像である.. 3.2. ✽ ✾✶ ❙✸➎. Convolution idempotents. ▼ ●. ✽ ✶ ✽ ❺ ✶✸✷✥✹ ▲✥❻ ✶ ❀✥➾ ❙ ❝❂❞ ❆ ✥ ➻ ✥ ➼ ➾ ▲ ◗✸❼②❽ ❪ ❾ (3.2) ( \mu\nu)(B)=\iint 1_{B}(xy)\mu(dx)\nu(dy) , B\in \mathcal{B}(S). を LCCB 半群, \mathcal{B}(S) を S の Borel 集合体, \mathcal{P}(S) を S 上の確率測度の全体とする.このとき, \mu, \nu C\mathcal{P}(S) に対して convolution 積 \mu\nu\in \mathcal{P}(S) が S.

(5) 80. ❃⑧❭Ñ✜ ❪ ✏✽ ✟➙↕ ⑦ ◗ によって定義され, ✂✁☎✄✝✆✟✞ ▼ ● ✕✂✗ ❾ ➣ ❁ ⑤❶⑦ ❞ (記号として ✓✝✔ ✓ ✓ \mathcal{P}(S) ◗ に半群構造が与えられる. ✠☛✡☛☞✍✌ ✎✑✏✂✒ ✄ ✘✂✙✗✚ ✡✜✛✝✢✝✣✂✤✜✥✝✦✂✕✝✧★✆✑✞✜✩✝✪✝✫✂✜ ✠☛✿✰✬ ❀✼❁ ✆✟✭☎✆ ✿✰❂ ✮✰✓ ✯☛✱✟✲✴✳✶✵✷✠☛☞☛✒✹✸☎✺ ✥☛✦✰✡✼✻☛✽✴✯☛✱✟✲☎✳✶✵✾✠☛✡☛☞☛✒ ✕ における Dirac mass 賜の✤ convolution ✘☎ ✎❄❃✰✠✗❅✹✖ および積を次で表す:. \mu*\nu ではなく \mu\nu を用いることにする).すると convolution 積写像 (\mu, \nu)\mapsto\mu\nu は弱収束の位相に関して結合連続である (しかし, S がコンパクトでない限り,位相は局所コンパクトではない). \mu\in \mathcal{P}(S). ✖. ✓✄✑✕✗✖. x\in S. ❆☛また, ❇ \mu\in \mathcal{P}(S) ✤✼の位相的台を ✥☛✦✰❈☛❉❊✎. x\mu. :=\delta_{x}\mu. ✠✼❅☛✖. and. \mu x. :=\mu\delta_{x} .. (3.3). S(\mu) で表す :. S(\mu)= { x\in S:\mu(U)>0 for all open neighborhood of x }.. (3.4). ❋✹定理3 ● 3 (Convolution idempotents). \mu\in \mathcal{P}(S) ✮が convolution idempotent, ✖❊すなわ ☞✹❍ ■ち, \mu^{2}=\mu ✎✟を満たすと仮定する.このとき,以下が成り立つ ❇ ✓ ✔ ❏ ✖✶✄▲❑✂▼✼✖ ✤☎✄✼◆ ❖✰P☛✮✼◗✶✺✟❘✼❙ : ✤❯の極小 ❚❲❱ ideal ✠❲であり,completely ✬❳✺ ✠❨である.したがって, ✬ ✓ ✆ ❇ ✮✹❩☛✞ (i) :=S(\mu) ✡ は simple ✓ ❬❪▼❫✆ ✓ L=Ke, G=eKe, ✄❴とすると,Rees ✖ ✄ ❵❪分解❛ S(\mu)= を固定し, e\in E(K) ✎❭ ✼ ✮ ✶ ❜ ❡ ❝ ❞ E(L)GE(R) が得られる. ✯❯✱❤✲★✳✐✵❥✠❯✬ ✓ ✯❯✱❤✲★✳✐✵❦❢ ✮✜が誘導する ❧♥♠♥✖ ✓ Haar ♦♥確率測度を ♣❯q♥r★✎ ✄sと表す. ❅♥✖ (ii) ❢群 ✡❣ はコンパクトである.コンパクト群 ❀ ✓ ✕ q✝r☛❵✹❛ (iii) convolution ✘✰ 積による測度分解 \cdot. S. K. R=eK. G. G. \omega_{G}. (3.5). \mu=\mu_{E(L)}\omega_{G}\mu_{E(R)}. ✮✗が得られる.ここで, ❜t❝❡❞ ✓ ✔☛✔ ✠ \mu_{E(L)}=\mu 0\phi_{E(L)}^{-1}, \mu_{E(R)}=\mu\ci✓ rc\phi_{E(R)}^{-1} ✠☛である.言い換えると ✬ ✓ ✉❊✒✗✈☎✇ ✓ ✄ , ①も ✆し ✮が ‐値確率変数であり ②♥♦✝♣♥③♥④✂✠♥✬✍✺ , ✤✜の分布が ❵✝⑤❣✮ ✠✝であるならば,3つの確率変数 ✬ ☞★❝❤⑥ ✓ ❙❣✤✜♦♥♣✝③♥④ \phi_{E(L)}(Z) , ✼ ✡ ✰ ⑦ ☛ ❘ ☛ ✠ ☎ ✬ ✺ ⑧ ✤ ☛ ❵ ✰ ⑤ ✡ ✠☛である. ✬ \phi_{G}(Z), \phi_{E(R)}(Z) は独立であり, \phi_{G}(Z) の分布は ✓ ❺☛✤ ✼ ▼ ⑨ ✡ ✮ ☛ ✯ ✟ ✱ ☎ ✲ ✶ ✳ ⑩ ✵ ✰ ❢ ⑧ ✤ ☛ ❶ ✪ ✰ ❷ ✤ ☎ ✕ ✟ ❸ ✹ ✭ ☛ ✤ ❹ 定理3.3は, がコンパクト群の場合,1940年の Kawada‐Itô [7] にさかのぼる.その ❻後,1962年に ❀ ❩☛✞ ❀ ❩✝✞⑧⑦✂❘☛✕ ✮✂がコ✯ ❷✂✕ Pym [9] ✕ によって,1963年に ❷✰✕ Heble‐Rosenblatt [4] ✕によって独立に, ❇ ❷❊✕ Mukherjea‐Tserpes [8] ✕に ✱❄❀ンパクト半群の場合に一般化された.一般の場合は1971年に ✲✴✳❼✵✷❽⑧❢❾✤✼❶❿❇ ✪❊✕✼➀❿➁✹➂t❸▲❞ ➀✹➁❾✤✼❶❿✪❊✡ ❩☛✞✼➃✰➄☎❸❡❞ よって証明された. S. Z. Z. \mu. \omega_{G}. S. S. 3.3. Infinite convolutions. ✎を LCCB ❽✼半群とし, ❢✶✄☛✆ \mu\in \mathcal{P}(S) ✎✗を固定する. ❬☛▼⑧✖ ✓ ❋✹定理3.4. ● ✓ ✄▲❑✰▼⑧✖ ✓ \{\mu^{n}\} ✤✼の部分列極限の全 ❊ ✘ ⑧ ✤ ➅ ✮ ✹ ✠ ✬ ➆✹❵✹➅✹❚❊✸☛✤⑧➇ convolution 積の列が tight であると仮定する. \{\mu^{n}\} ➈体を✎ ✄とおく.このとき,以下が成り立つ: ✿ ✌ ✔ ✤☎✄✗◆ ❖✰P☛✮⑧◗➉✺✟❘⑧❙ ✤☎ ✄✼◆✼✬ ✓ convolution idempotent ✕✼に収束する. ✢☛✣☛✖ ✓ (i) Cesà ➊ 和 \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mu^{k} ✡ はのときある ✿ ✌ ✡✰はコンパクト可換群である. ✯✹✱✟✲✍✳t✵✷➋✼✈☛❢✰✠☛✬ ✓ ✤✹の単位元を ➌✗✥☛➍✴✎ ✄とおく. (ii) S. \mathcal{K}. ro. \mathcal{K}. \nu. narrow\infty. \mathcal{K}. \eta.

(6) 81 81. ✄. ❵✹✁❛ ❁. ✤. (iii) S(\nu) と S(\eta) の Rees 分解及び. \nu. ✄と ✤の convolution ✘✰ ✕ ❀ ✓ q☛r☛❵☛❛ 積による測度分解 \eta. (3.6). S(\nu)=E(L)GE(R) , \nu=\eta_{E(L)}\omega_{G}\eta_{E(R)} S(\eta)=E(L)HE(R) , \eta=\eta_{E(L)}\omega_{H}\eta_{E(R)}. ✮✗が得られる.ここで, ❜t✓ ❝❡❞ ✓ ✔✝✔ ✠ e\in E(S(\eta)), L=S(\nu)e,✓ R=eS(\nu), ✠✝である.さらに, ✬ ❸✹❝✑✕ ✡は ✤✄の正規部分群である. ✂✆☎✹➆☛❵☛❢✰✠☛✬ ✓ ✬ ある写像 ✙✼✚ g(\cdot) : ✮✄が存在し, ✝✆✞t✆. G=eS(\nu)e, H=eS(\eta)e. G. H. (iv). (3.7). \mathcal{K}arrow G. (3.8). g(\cdot):\mathcal{K}\ni\lambda\mapsto 9(\lambda)H\in G/H. ✡✗は位相同型かつ群同型であり,各 ✥✹✠ ✦ ✟✄✰ ✡ ✭✼❙☛❢✠✟✄✰ ✡ ✠☛✬☎✺ ☛. \lambda\in \mathcal{K}. ✕✄に対して, ☞✶✆✟✞. (3.9). S(\lambda)=E(L)g(\lambda)HE(R) , \lambda=\eta_{E(L)}g(\lambda)\omega_{H}\eta_{E (R)}. ✮✼が得られる ❜t❝❡❞ ✔✓ (\lambda=\eta ✠✹でない限り, ☞☛✒✹❇ ✸☎✺ S(\lambda) ✡は ✤✼の部分半群ではな ➆✹❵✰❽⑧❢✰✠✹✡☛☞☎✌\langle , (3.9) ✡は Rees ❵✹分解❛ ✠✂ ⑧ ① ☛ ☞ ✒ ✟ ✄ ✄ ✕ ✁ ✌ ✍ ✶ ❡ ❸ ❞ ✒ でもないことに注意されたい). ✮✄が有限半群の場合,定理3.4は以下を導く. ✰ ✎ ✸☛❽✼❢✰✤✼❶☛✪ ▼✼⑨ ✡✼❖✰P✰✎❄♠➉✌ ❋✹定理3.5. ● ❊ ✎ ✸☛❽⑧❢✶✄▲❑✰▼✴✆ \mu\in \mathcal{P}(S) ✄▲とする. ✖ ✓ \mathcal{K}, ☞✒ ✟✑ ✡✹▼✼⑨ ✤✔✓t✺☛✄▲✖ などは定理3.4の通りとす ✓る.このとき,以下が成り立つ ✔ ✤✴✄✼◆ ✎✏を有限半群と仮定し, ❖✰P☛✮✼◗t✺✑❘✼❙ : ✓ ✝✁✶ ✞ ✆ \mu^{p}\eta=\eta ✭✼かつ❙ \mu^{i}\eta\neq\eta, , . . . , p-1. (i) ✬ ある p\in \mathbb{N} ✮✄ が存在し, S. S. S. \nu,. \eta. i=1. (ii). \nu=\frac{1}{p}\sum_{i=0}^{p-1}\mu^{i}\eta.. (ifi) \mathcal{K}=\{\eta, \mu\eta, \mu^{p-1}\eta\}.. ✬ ✓. ✮✔✝✕✞❼✆. ✭❭❙. (iv) ある g_{0}\in G が存在し, g(\mu^{i}\eta)=g_{0}^{i}, i=0,1,. p-1 かつ g_{0}^{p}=e .. G/H=\{H_{90}H, g_{0}^{p-1}H\},. \mu^{i}\eta=\eta_{E(L)}g_{0}^{i}\omega_{H}\eta_{E(R)} for 4. i=0,. p-1 .. ❇ ✮☛❩☛✞ ✆したがって, (3.10). Resolution problem for multiparticle finite‐state evolution. ✎✖✎✰✸✘✹✗ ✪❼✄☛✆ ✎ ✭✴❝❄❺⑧❞✚✙✜✛✣❊ ✢ ✓ ✤❿✙⑧✚❊✤⑧➇ ➈ ✄▲✖ ✓ ✓ ✎✗❬✹▼✼✖ ✤☛❉☛✡ ✄✟☞ ✄と A\in \mathcal{P}(V^{m}) ✕✘に対して, ❼ ☞ ✆ ✞ \{\mathbb{X}, N\} ✮が (\Lambda, \mu) ‐evolution ✠❿であるとは, ✬ ✓ ✄❄✡ ✔ \{\mathbb{X}, N\} ✓ ✮が ✬✴✓✹✺✔ ☛ ✠で \mathbb{X}_{k}= (X_{k}^{1} , X_{k}^{m}) ✮✼が分布 ❵✹⑤ ✎✥を持つこととする. ✤✹❙ ■ ✄✹✄▲✖ ‐particle ‐evolution ✠✹ であり,各 ✘ ✮ ✁ ✝ ❿ ✞ ✖ ✄ ✔ ✤ ✣ ✦ ✣ ✧ ❿ ★ ✣ ❵ ✣ ✩ ❊ ✪ ✡ ✮ ❊ ✖ ☞✹❍ \mu A=\mu ‐evolution が存在することの必要十分条件は, が ‐invariant, すなわち, (A, \mu)✓❪✔ ❇ ❪ ❆ ❇ ✠❪であることに注意されたい.また,確率1で ✬ ✄ ✕✘✌✫✍ ❸ ❞ ✒ ♦❪♣ ✠ \{X^{1}, , X^{m}\} ✮が distinct ☞❳ ❝ ⑥ (A, \mu) ‐ ならば, ✬ ✓ ✄✟✭ ✒ ✬ evolution ✡ は non‐degenerate ✠☛ であるという. V=\{1,2, \# V\} を有限集合とし, \Sigma を V からそれ自身への写像の全体とする. \mathcal{P}(\Sigma) を固定する. \mu の台は S(\mu)=\{f\in\Sigma:\mu\{f\}>0\} となる. m\in \mathbb{N}. m. \mu. A. k. A. \mu. \mu\in.

(7) 82. ✂✁補題4.1.. ✓. ✔. ✖ ✤☎✄✼◆ ❖✰P✝✮⑧◗✶✺✑❘⑧❙ とする.このとき,以下が成り立つ: \mu\in \mathcal{P}(\Sigma), A\in \mathcal{P}(V^{m}) ✄❡. ✆ (A, \mu) ‐evolution \{\mathbb{X}, N\} ✮が non‐degenerate ☞☎ ❝✟⑥ (i) ①✂ もしならば, m\leq m_{\mu}:=\min\{\# g(V) :9\in\bigcup_{n=1}^{\infty}S(\mu)^{n}\}. (4.1). ✠✝ ✬✴✺ ✭✼❙ ♦☛♣ ✠☎✄✁✍❊✤ k\in \mathbb{Z} ✕✄ t ☞ ✆✑✞ \{X_{k}^{1}, , X_{k}^{m}\} ✡は市stinct ✠☛である. ✬ ✓ であり,かつ,確率1で任意のに対して ✮ ✝ ✞❯✖ ✓ ❇✝✆ ✓✝✤ ✔ ✦ ✧ ★❯❵ ✓ ✩ ✪❣✡ A ✮が \mu‐invariant (ii) Non‐degenerate (A, \mu) ‐evolutionが存在するための必要十分条件は, ✭✗ ❙ S(A)\subset V_{\cross}^{m}:= { (v^{1} , v^{m}) :distinct} ☞なることである. ✄✟✠☛✬ かつ ❖✂ P✓ A\in \mathcal{P}(V_{\cross}^{m_{\mu}}) ✕ に対する ☞✝✖ ✓ (A, \mu) ‐evolution✓ ✤✝のみを考える.このとき ✂ ✞ ✠✎ ✍ ✟ ✇ ✓✓ ✔ ✤✍✄✗◆ A ✡は \mu‐invariant 以下, ✠☛ ✬ ✎ S=\Sigma ✄ ✕ に対して用いると以下を得る. ☞➉✆❄✞✼✏✰✒ ✄❡❖✰P✰✎✟❜ である.Theorem 3.5を ✡✂命題4.2. ✁ ✓ ➆☛❵✁☛ ✬ ある部分集合 ✗ ✪ W\subset E(R)V_{\cross}^{m_{\mu}} ✄✮が存在し, ✝✁✞✶✆. A=\int_{W}(\nu x)A_{W} (. ■ ✮✼ ◗✶✺✟❘ ✔☛✔ ✭✼❙ W ✤☛ ✁✄ ✰ ✍ ✤ distinct ☞な要素 ✧✂☞ が成り立ち,かつ, の任意の ✥✎を持つ.ここで, ✤✹❙ ✆ ❇ ❸✹❝✟✕ ✠ A_{W}=\eta_{E(R)}A ✄☛ とした.さらに, ❵☛ ⑤ Aw を持つ ✏✎ ☛✤ ❙ W‐値確率変数とし, ②☛♦☛♣☛③☛④✶✄☛✆ \{Y, N\} ✄と分布 \mathbb{X}_{k}=Y_{k}\mathbb{Z}_{W}. ✄❡とすると, ✖ ✓ ✄ ✮✼ ❜✶❝❡❞ ✆ ❇ ☛ ✮ ❩☛✞ が得られ,したがって, ✮✼ ❜✶❝❡❞ ✓ が得られる.. \sigma(\mathbb{X}_{k})=\sigma(Y_{k}, \mathbb{Z}_{W}). ✍. (4.2). ✄☞. ☛✌. for. (4.3). k\in \mathbb{Z}. for k\in \mathbb{Z},. k\in \mathbb{Z},. \mathbb{P}-a.s .. (4.4). \mathbb{P}-a.s .. (4.5). ✔✖. ❇✂✆. ✰➌☛✤ ✕ \phi=(\phi_{E(L)}, \phi_{G}, \phi_{E(R)}) ✎を簡単のために. \phi(f)=(\phi_{E(L)}(f), \phi_{G}(f), \phi_{E(R)}(f))=:(f^{E(L)}, f^{G}, f^{E(R)}). ✄✘と書く.したがって,分解は ✗✶✌ ✆ ❇ ☛✮ ❩☛✞ ❵✹❛✂✡. ☎☞. ✕ ✶✆✟✞ \nu x ✄と \nu x' ✡は互いに素な台 ✰✒☛✕ ❊☞☛❉ , 〆に対して ✎ ✄☛ ✆ \mathbb{Z}_{w} を✎ を ‐evolution とし, \{Y, N\} (\nu e, \mu) ✔ ✓ ✓ ⑦✰❘☛✠☛✬ ✄❡✖ ✤✴✄✼◆ \mathbb{Z}_{w} ✡✼ は独立であるとする.このとき, x. \mathcal{F}_{k}^{X}=\mathcal{F}_{k}^{Y}V\sigma(\mathbb{Z}_{W}) for. ✎ 幾つか記号を準備する.分解写像 ❙✰✭☛✏✒✰ ✑ ✎✔✓✂✕☛✖ ✓ ❵✹❛✰✙✼✚. dx ). f=f^{E(L)}f^{G}f^{E(R)}. ✄と表される. ❅✶❸▲❞ ✓. C:=\{e, g_{0}, . . . , 9_{0}^{p-1}\}. (4.6). (4.7). ✿ ✌ ✓ ✆ ❇ ✮☛❩☛✞ ✄とおく. ✶ ☞ ✆✑✞ gH=g^{C}H を満たす ✎✟❏ ❇ ✖ g^{C}\in ➀ ✁ ✰ ✍ ☛ ❈ ✄ ✕ ✁ ✝ ✞ ☛ ✖ に対して, が一意的に存在する.したがって, g\in G ✕✔ C ✮✼ ✄✙と書くと,分解 ✶ ✗ ✌✹✄ ❵✹❛ g=g^{C}g^{H} ✮⑧が得られる.以上の記号と仮定の下,主定理を述 ❜✶❝▲❞ ✓ ❖✛✚☛✜ ✤ ✏✒✑☎✄▲❑✰▼☛✤☛P ✢✹▼✼⑨✴✔ ✎ ✣ g^{H}=(g^{C})^{-1}g ✓ ✤べる..

(8) 83. ❋☛定理4.3. ● ❖✰ P☛✤✼❵☛❛✰✮✼◗✶✺✟❘✼❙ 以下の分解が成り立つ: \mathcal{F}_{k}^{X}=\mathcal{G}_{k}\vee \mathcal{F}_{-\infty}^{X}\vee \mathcal{H}_{k} for. ✔☛ここで, ✔ ✠ (i). (ii). (iii) (iv). ✍. ✍. k\in \mathbb{Z},. \mathbb{P}-a.s .. ✭✼かつ, ❙ \mathcal{G}_{k}\subset \mathcal{F}_{k}^{N}\mathbb{P}-a.s. ; ✔ ☛ ✔ ②☛♦☛♣☛③✹④✂✠☛✬✴✺ ➇✰✞☛✤ ✠ Y_{c} ✡は ‐値確率変数であり,全ての \mathcal{F}_{-\infty}^{X}=\sigma(Y_{c}, \mathbb{Z}_{w})\mathbb{P}-a.s . ここで, ❇ ♦☛♣ ✠ Y_{k}^{C}=g_{0}^{k}Y_{c} を満たす; ✎✟❏ ✖ ✞て,確率1で ❙ Y_{k}^{H} ✡✼は分布 ❵☛⑤ ✎✏を持つ ✤☛❙ ; かつ, \mathcal{H}_{k}:=\sigma(Y_{k}^{H}) , ✭✼ ❙✰✤ ‐集合体 ✗☛✪ ➈ \mathcal{F}_{k}^{N}, \mathcal{F}_{-\infty}^{X}, \mathcal{H}_{k} ✡⑧は独立である. ⑦✂❘☛✠✹✬ ✓ 3つの. (4.8). \mathcal{G}_{k}:=\sigma(Y_{j}^{E(L)}, Y_{j}^{G}(Y_{j-1}^{G})^{-1} : j\leq k) ,. C. ✍. k\in \mathbb{Z}. ✕✄に対し ✶ ☞ ✆. \omega_{H}. \sigma. ✍. ✂✁参考文献 ☎✄✂✆ [1] J. Akahori, C. Uenishi, and K. Yano. Stochastic equations on compact groups in discrete negative time. Probab. Theory Related Fields, 140(3 ‐ 4):569-593 , 2008. [2] L. Chaumont and M. Yor. Exercises in probability. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2012. A guided tour from measure theory to random processes, via conditioning.. [3] B. S. Cirel’son. An example of a stochastic differential equation that has no strong solution. Teor. Verojatnost. i Primenen., 20(2):427-430 , 1975. [4] M. Heble and M. Rosenblatt. Idempotent measures on a compact topological semi‐ group. Proc. Amer. Math. Soc., 14:177−184, 1963.. [5] T. Hirayama and K. Yano. Extremal solutions for stochastic equations indexed by negative integers and taking values in compact groups. Stochastic Process. Appl.,. 120(8):1404-1423 , 2010. [6] G. Högnäs and A. Mukherjea. Probability measures on semigroups. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2011. Convolution products, random walks, and random matrices.. [7] Y. Kawada and K. Itô. On the probability distribution on a compact group. I. Proc. Phys.‐Math. Soc. Japan (3), 22:977−998, 1940. [8] A. Mukherjea and N. A. Tserpes. Idempotent measures on locally compact semi‐ groups. Proc. Amer. Math. Soc., 29:143−150, 1971..

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