龍谷大学>理工学部>数理情報学科>樋口>担当科目>2005年>応用ベクトル解析∇>11回め
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応用ベクトル解析∇
樋口さぶろお1 配布: 2005/07/05 Tue更新: Time-stamp: ”2005/07/05 Tue 12:54 hig”
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略解–
渦度1. [∇V] = ∂(xy+y)∂x − ∂(−xy+x)∂y =x+y.
2. 積分路 ∂D はC1 :r(t) = (t,0),(0≤t ≤1), C2 :r(t) = (1−t, t),(0≤t ≤1), C3 : r(t) = (0, t),(0≤t ≤1)に分けられる.
∫
∂D
V ·dr =
∫
C1
V ·dr+
∫
C2
V ·dr+
∫
C3
V ·dr
=
∫ 1
0
V(t,0)·(1,0) dt+
∫ 1
0
V(1−t, t)·(−1,1)qdt+
∫ 0
1
V(0, t)·(0,1) dt
=· · ·= 12 +13 + (−12) = 13.
(1) なお, C2 : r(t) = (t,1−t) (0 ≤ t ≤ 1) というパラメータ表示でももちろんよい.
この場合 ∫
C2V ·dr =∫0
1 V(t,1−t)·(1,−1) dt となる.
3. 問題で与えられたパラメータ表示をとる. 点 r(s, t)での渦度は s+t. ヤコビアン は J = 1.
∫
D
∇ ·V dS=
∫ 1
0
ds
∫ 1−s
0
dt(s+t) =· · ·= 13. (2) グリーンの定理から, これらの値は一致する.
11 quiz – 3
次元の回転1. V(r) = (xy,log(1 +x2), x+z) に対して,∇ ·V , ∇ ×V を求めよう.
2. r=|r| とする. ベクトル場V(r) = (e−r2, r2x, r3z)に対して,∇ ·V , ∇ ×V を求 めよう(答えにr が残っていてもよい).
今日の範囲に対応する教科書のお奨め問題
問題7.11(p.157), 章末問題 [7.1]–[7.7](p.166)
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