飲料水の入った缶が斜めに立つ安定解析

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飲料水の入った缶が斜めに立つ安定解析

* 防衛大学校機械工学科

五十嵐保

† 防衛大学校機械工学科

中村元

清涼飲料水等の缶は適量の飲料水があれば傾き角46°～53°で斜めに立つ．缶底部の外周に深い絞りがあり, ２点支持となりバランスする. なお, 缶が満タンでも空でも缶は倒れる. 本報告では, この缶が斜めに立つ安定解析を行った. 缶の形状は複雑なので, 簡単な形状の有限長円筒にモデル化した. 缶の直径d, 高さhと重さmおよび缶の重心高さhGと傾斜角φを与えた. 缶が斜めに立つための条件式と飲料水の最小容積Vminおよび最大容積Vmaxを解析より求め, 上述の変数で記述した．各種缶の解析結果は実験値とよく一致した.

A Stable Analysis of a Standing Slanting Can Containing Drink

Tamotsu IGARASHI and Hajime NAKAMURA

Department of Mechanical Engineering, National Defense Academy (Received 30 November, 2004; in revised from 28 January, 2005)

A can of refreshing drink which contains a certain amount of drink stands at an inclined angle of 46° to 53° on a horizontal table, because the can has deep draw into a cylinder with bottom and thus has two supporting points. The can fell down on the floor when it is either filled up or empty. In this paper, a stable analysis was carried out on a can which contained the same amount of drink which stands slanting on a horizontal floor. The actual shape of the can is complex, so the can is modeled to a simple shape of a finite circular cylinder. The diameter d, height h and weight m of a can are given and the inclined angle φ and the height of the center of gravity of the can hG are also given. The conditional equation of the slanting standing of the can and the minimum and maximum amount of drink, Vmin and Vmax are obtained, these are described by the above variables. The results of the analysis for various can agree well with those of experimental values.

(KEY WORDS): Hydrostatics, Stability, Balancing, Can Drink, Center of Gravity,

1 まえがき 近年, テレビ1)_{で「秘密の缶ジュース」と題し} てジュース缶が傾いて立つことが紹介された．実際, 図1 に示すように缶はテーブル上に斜めに立 つ．清涼飲料水, ジュース, ビール等の缶は底部の外周部に絞りがあり２点支持となり, 適量の飲料水によって傾き角φ = 46°～53°でバランスする．なお，缶が満タンでも空でも斜めには立たない. これは図1 のように重心Gが支点の右側にあり缶 は倒れるからである. 缶の高さは標準サイズ缶の他にショート缶とロング缶がある. 標準缶とショート缶は斜めに立つが, 多くのロング缶は斜めに立たない. また, 缶材料にはスチールとアルミがある. 最近, 中・高校生の理科離れが進み理工系大学でも高校で物理を履修していない学生がかなりの *〒239-8686 横須賀市走水 1-10-20 †E-mail: [email protected] 〔原著論文〕

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率を占めている. 著者の一人は, その対策として講義の中に身近で簡単な実験を取り入れて学生の興味と勉学意欲を引き出すよう努めてきた. 例えば, 衝突噴流による円盤の浮上を扱った「上壁のある円形衝突噴流により浮上する円盤に働く揚力」2-4)_{, 「静水に浮く角材の姿勢」}5)_{, さらには} 「水流に引き上げられる卵, ゴルフボールおよび球まわりの流れに関する研究」6)などは, その一例である. 上述の缶内の飲料水の適量は実験により簡単に求めることができる．しかし, この水の適量を解析から求めるのは容易でない．この問題は教材としても格好のテーマである. 数学や物理の素養, すなわち三角関数, 微分積分や重心, モーメント等の重要な項目に関する基礎学力が要求される．缶は三次元形状で斜めに立っているため,複雑な系を簡単化するモデル化と座標原点の取り方が鍵となる. 本報告では, 缶のモデル化を行いサイズと傾斜角および質量と重心位置を一般的記号で与えた. 缶が斜めに立つための条件と飲料水の最小および最大容積を解析から求めた．市販の各種缶に対する解析結果を実験値と比較し, 両者がよく一致することを確認した. 記号 a, b ：缶の直径方向断面の底面から喫水線ま での距離 d, do ：缶円筒部の内径と外径 d=do−2t G ：缶内の飲料水の重心 Gcan ：缶の重心，x-z 座標では (0, hG) G1, G2 ：領域Ⅰ, Ⅱの飲料水の重心 H, h ：缶の高さ, モデル化された缶の高さ hG ：モデル化された缶の底面の支点K, Nからの重心高さ m, M ：缶の質量，無次元質量₌_m_/_ρ_π₍_d_/₂₎3 Mx, My ： x軸, y軸に関する全モーメント ΔMx, ΔMy：x軸, y軸に関する微小モーメント t ：缶の円筒部の肉厚 V1, V2 ：缶内の飲料水の領域Ⅰ, Ⅱの容積 V ：缶内の飲料水の容積 = V1+V2 Vmin, Vmax: 水の最小容積および最大容積 X, Z ：重心のx, z座標 x, z ：水平方向および鉛直方向の座標 y ： x, z面と直角方向の座標 W ：飲料水（水）の入った缶の総質量 = m + ρV β ：無次元喫水距離 = b/(d/2) φ ：缶の傾斜角 θ ：缶底面の換算角度x=(d/2)cosθ θo ：喫水線 b の換算角度 b = (d/2)(1+cosθo) ρ ：飲料水（水）の密度添え字 can : 缶 K, L, M, N:缶底部の支点 2 缶のサイズと缶が斜めに立つ実験 2.1 缶の形状とサイズ 標準缶, ショート缶およびロング缶を図2 に示 す. 図3(a) に缶を直径方向にカットした断面図を示す. 缶は上部が絞られていて, 底部は絞りがあり上げ底となっている. 底部の支点となる位置をK, LおよびM, Nとする. 缶のサイズ, すなわち,缶円筒部の外径do (≒65.9 mm), 内径d, 肉厚t， 缶の高さHとする. アルミ缶の肉厚は0.12 mm,

図1 Standing slanting can containing drink

standard short long 図2 Can with various size

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スチール缶は0.11 mmである．缶が斜めに立つ場合の外側の支点 K (N) から上部までの距離をモデル化された缶の高さh, 缶を鉛直においた場合の支点K, Nからの重心高さをhGとする．まず, 用意した各種缶のサイズを測定した. 2.2 缶の質量と重心および傾斜角 空き缶の質量mは電磁式はかりで測定した. 標 準サイズのスチール缶（なっちゃんとウーロン茶）はアルミ缶より約1.8倍重たい. 重心高さhGは図 3(b) に示すように空の缶をスケヤ（Square, けがき工具の一種で職人はスコヤという）の上に横にして乗せてバランスした位置を重心Gcanとした. Gcanのx-z座標は(0, hG)である．傾斜缶の傾き角φ は手製の分度器と写真から測定した. 両者は0.5° 以内で一致した. 傾斜角φは46°から53°の範囲である. 缶の質量はメーカーにより10%弱の差異があるが, 重心位置の差異は少ない. 以上の計測結果を表1 に示す. 2.3 実験 清涼飲料水の代わりに水を用いて最小容積Vmin と最大容積Vmaxに対する缶の重さmを含んだ総質 量W = m + ρVも電磁式はかりで測定した. 最小 容積Vminを求める実験手順は次の通りである。① 適当な量の水を缶に入れて斜めに立たせる。②次に水を徐々に抜き, 缶が倒れるまで行う。③今度はストローを用いて水を数滴ずつ加えて缶が斜め

図3 An axial sectional view of a can and

a can poised on the square

(a) (b)

表1 Diameter, height, weight, center of gravity and the inclined angle of a can

Type trade name inner diameter d mm height H mm simulation height h mm center of gravity hG mm weight m g inclined angle φ° Tropicana 65.66 102.0 96.0 48.0 15.52 47 Short Kyohou-syu 65.66 93.2 87.0 42.5 14.68 47 Pocari Sweat 65.66 122.4 116.4 60.0 16.29 47 Cider 65.66 123.0 115.8 60.0 17.4 47 Super Gent 65.66 122.4 116.0 58.0 14.1 50 Gokunama 65. 7 122.3 116.5 58.0 16.16 50 Coca Cola 65.66 122.4 116.0 60.0 17.71 50 Calpis Water 65.66 122.3 116.4 60.0 15.86 53 Autumn Brew 65.66 122.3 116.5 57.0 15.12 53 Brau 65.66 122.3 116.4 60.0 15.88 53 Natchan 65.8 121.4 116.0 54.0 29.48 47 Standard Suntory Oolong 65.8 122.4 116.0 54.0 29.94 47 Kirin Ichiban 65.66 166 160 80.0 18.93 46 Coca Cola 65.66 166 160 80.0 19.73 47 Long hyoketsu 65.66 166 160 77.0 20.60 48 五十嵐保・中村元

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に立つまで繰り返す。最大容積Vmaxを求める場合は次の通りである。①適当な量の水を缶に入れて斜めに立たせる。②次に管内に水を徐々に加え, 缶が倒れるまで行う。③最後にストローを用いて缶内の水を数滴抜き取り, 缶が斜めに立つまで繰り返す。ショート缶および標準缶は傾き角φ ≧46° で斜めに立つ.傾き角φ が大きいほど水の容積Vmin は小さく，Vmaxは大きい. 傾斜角φ =48°のロング缶は斜めに立った. 傾き角φ が缶が斜めに立つ主支配因子である.各種缶に対する総質量Wminおよび Wmaxは3 章の解析結果と共に後述の表 2 に示す． 3 解析 3.1 モデル化 解析を容易にするため, 缶の形状を簡略化するモデル化を行う．前章の図3(a), (b) に示した缶の上部の絞り部とタブ(pull tab)は無視し, 底部の絞り部のコーナーKNより下の∇KLQと∇NMPの和と上げ底部分の円弧部PQに相当する体積が互いに打ち消し合うとし，底部の絞り部も無視する. 缶は円筒容器で近似する. 缶の内径d=d_o−2tを代表直径とし, 質量mおよび重心高さhGを与える．傾斜缶の水の最小容積(CaseⅠ)および最大容積 (CaseⅡ)を与える場合の水面HH'，座標系と記号を図4 , 5 に示す. 図 4 の最小容積の場合, 水面 HH'がコーナーKより下である. 解析を容易にするため, 缶は図4(b) に示すように鉛直に置く．座標軸 x，zの原点を缶底部の中心にとる. 喫水位置 a, b(a> b)とする．缶の傾き角 φ であるから水面 HH'と缶の側壁との交差角も φ である. ここで, x-y面を図 4 (c) に示すように半径 d/2 の円座標で 表示する. 図5(a) の最大容積の場合, 水面HH' がコーナーKより上である. 図 5 (b) のように缶 は鉛直に置き, 座標軸 x，zの原点を缶底部の中心 にとる. 喫水位置a, b(a > b)とする．水の容積を領 域Ⅰ,Ⅱに分ける. 領域Ⅰは円筒, 領域Ⅱは図 4 (b) でb = 0の場合に相当する. 解析では前者の結果が利用できる. 3.2 水の最小容積の解析 3.2.1 水の容積 図4(b), (c)に示した水の最小容積を解析する. このときa, b, d, φの間には次の関係がある． a b d )/ ( tanφ= − (1) 任意位置 x における水面の高さ z は次式で与え られる． )} 2 / ( )}{ ( / {a d b x d b z= − −− + )} 2 / ( { cotφ x−−d +b = (2) まず, 位置 xにおいて微小幅Δxで y方向にスラ イスする. y方向の幅はd[1−{x/(d/2)}2]0.5となるから, この微小部分の水の容積ΔVは次式で与え られる． x d x d b d x V= φ −− + − ∆ ∆ _cot _{ ₍ _/₂ _)} _[₁ _{ _/₍ _/₂_)}2_]0.5 ₍₃₎ (c) CaseⅠ (K) (N) (a) (b)

図4 Modeling, coordinate system and symbols

for the minimum volume of drink

図5 Modeling, coordinate system and symbols

for the maximum volume of drink

CaseⅡ

(K)

(N)

(5)

缶の中の水の容積Vは次式で与えられる． V d x d b d x d x b d{ ( /2 )} [1{ /( /2)} ] d cot /2 2 / 5 . 0 2

∫

− ++ − − φ = (4) ここで, 変数変換x=(d/2)cosθ を行う. ただし, θ はx軸から反時計方向の角度である. 積分範囲 の上限は x = d/2 のとき θ = 0, 下限は x = −d/2+b のとき θ = θo とする．θo は次式で与えられる. o cos ) 2 / ( 2 / + = θ −d b d (5) また, dx= −(d/2)sin θ dθより式(4)は次のように変形される． = φ

∫

θ − θ θ θ

θ(cos cos )sin d 2 cot ) 2 / ( 0 2 o 3 o d V 0 0 o 0 0 o 0 o 2 0 o 3 0 o o o o ] 3 sin ) 3 / 1 ( )[sin 2 / 1 ( ] 2 sin ) 2 / 1 ( [ cos d ) 3 cos (cos ) 2 / 1 ( d ) 2 cos 1 ( cos d 2 sin sin d sin 2 cos cot ) 2 / ( / θ θ θ θ θ θ θ − θ − θ − θ θ = θ θ − θ − θ θ − θ = θ θ θ − θ θ θ = φ

∫

　　　　　　　 d V V/(d/2)3cotφ =A θ − θ + θ θ − = 3 o o

ocos sin (1/3)sin (6)

3.2.2 水の重心 水の重心GW (XW, ZW)を求める．まずXWを求める. x方向の微小要素Δxの y軸に関する微小モーメン トΔMy は式(3)の右辺にρxをかける. x d x d b d x x M =ρ φ −− + − ∆ ∆ 2 0.5 y cot { ( /2 )} [1 { /( /2)} ] x d x d b d x x M cot { ( /2 )} [1 { /( /2)} ] d d 2 0.5 y=ρ φ −− + − y軸に作用する全モーメントMy は次式となる. x d x d b d x x M d b d { ( /2 )} [1 { /( /2)} ] d cot /2 2 / 5 . 0 2 y

∫

+ − + − − φ ρ = (7) 前節と同様に上式を整理し, 次式を得る． 0 o 0 2 o 4 y o o ] 3 sin ) 3 / 1 ( [sin cos ) 2 / 1 ( d sin ) cos (cos cos 2 cot ) 2 / ( / θ θ θ − θ θ = θ θ θ − θ θ = φ ρ

∫

　　　 d M 0 o ] 4 sin ) 4 / 1 ( )[ 4 / 1 ( θ− θθ − (8) B d M /ρ( /2)4cotφ= y } 4 sin ) 2 / 1 ( 2 sin ) 3 / 2 ( ){ 4 / 1 ( θo− θo− θo = (9) 重心の x座標 XW はモーメントMyとMy=ρVXWの関係があり，式(6), (9)を代入して求まる. A B d X ₌ θ − θ + θ θ − θ − θ − θ = o 3 o o o o o o w sin ) 3 / 1 ( sin cos } 4 sin ) 12 / 1 ( 2 sin ) 3 / 2 ( ){ 4 / 1 ( 2 / (10) 次にZWを求める．XWと同様に微小部分の x軸に 関する微小モーメント ΔMxは式( 3 ) の右辺に ) 2 / (z ρ をかけて, 次式で与えられる． x M ∆ x d x d b d x z φ −− + − ∆ ρ = ₍ _/₂₎_cot _{ ₍ _/₂ _)} _[₁_{ _/₍ _/₂₎2_]0.5 上式の zの項に式(2)を代入して次式を得る. x d x d b d x M (1/2)cot { ( /2 )} [1{ /( /2) ] d d 2 2 2 0.5 x=ρ φ −− + − 全モーメントMx は次式となる.

∫

− + + − − = φ ρ 2 / 2 / 5 . 0 2 2 2 x d ] )} 2 / ( / { 1 [ )} 2 / ( { ) 2 / 1 ( cot / d b d x d b d x d x M 　　 (11) 変数変換 x=(d/2) cos θ を行い上式を整理する.

∫

θ θ θ θ θ θ θ − θ θ θ = θ θ θ − θ − = φ ρ o o o 0 2 o 0 2 o 2 0 2 2 o 2 4 x d sin cos cos 2 d sin cos d sin ) cos (cos cot ) 2 / ( / 　　 d M θ θ θ +

∫

θcos sin2 d 0 2 o 　　　　　　　 o o o 0 0 o 0 o 2 ] 4 sin ) 4 / 1 ( )[ 8 / 1 ( ] 3 sin ) 3 / 1 ( [sin cos ) 2 / 1 ( ] 2 sin 2 [ cos ) 4 / 1 ( θ θ θ θ − θ + θ − θ θ − θ − θ θ = 　　　　　　　　　　　　　　　 o o 2 4 x ) 2 cos 2 3 ){( 8 / 1 ( cot ) 2 / ( / θ θ + = = φ ρ 　　 C d M 　 } 2 sin ) 3 / 7 ( 4 sin ) 12 / 1 ( θo− θo − (12) 重心の z 座標ZW はモーメントMxとMx=ρVZWの関係があり，式(6), (12)を代入して求まる. } sin ) 3 / 1 ( sin cos { / }] 2 sin ) 3 / 7 ( 4 sin ) 12 / 1 ( ) 2 cos 2 3 ){( 8 / 1 [( cot 2 / o 3 o o o o o o o w θ − θ + θ θ − θ − θ − θ θ + φ = 　　　　　　　　　 d Z A C φ = cot 　　 (13) 3.2.3 系の重心と缶の平衡条件 空き缶の質量m (g), 重心Gcan (0, hG)とする. 五十嵐保・中村元

(6)

水の質量ρVは式(6), 重心GW(XW，ZW)の座標XW, ZW は式(10), (13)で与えられる. 系の重心G (XG，ZG) は次の関係にある. XG = XW(ρV)/(m+ρV) = XW/{(m/ρV) + 1} XG/(d/2) = {XW/(d/2)}/{(m/ρV) + 1} (14-1) ZG= {m hG + ZW(ρV)}/(m + ρV) = {(hG)(m/ρV) + ZW}/{(m/ρV) + 1} ZG/(d/2) = {2(hG/d)(m/ρV) + ZW/(d/2)}/{(m/ρV) + 1} (14-2) 次に, 水の入った缶が斜めに立つための平衡条件を求める. 水線面HH'の傾きは式(1)より φ である. 図6 に示すように∠KNG = φ'とすると, 直線GN の傾きは次式で与えられる. φ′ − = − −Z_G/(d/2 X_G) tan )} 2 / ( / 1 { tan ) 2 / ( / G G d X d Z = φ′ − φ ' > φ のとき系の重心Gは支点Nの右側になり缶は倒れる. )} 2 / ( / 1 { tan ) 2 / ( / G G d X d Z > φ − : (falling) (15) 缶が斜めに立たない場合, b=0, すなわちθo = π のとき上式が成り立つ．式(7)，(10)，(13)よりV = π (d/2)3_{cot φ, X} W/(d/2) = 0.25, ZW/(d/2) = (5/8)cot φ となる. これを式(14-1), (14-2), (13)および式(15) に代入, 整理する. φ − φ > φ

−tan } (3/4)tan (5/8)cot ) / ( 2 { h_G d M : (falling) (16) φ π ρ =_m/ (_d/2)3cot M (17) φ' = φ のとき, 系の重心G (X G を結ぶ鉛直線GNが水線面HH'と直交し, 重心Gは支点Nの鉛直線上にある. このとき, 缶は斜めに立ち水の最小容積を与える. またφ' < φ のとき, 重心Gは支点Nの左側である. 缶は２つの支点MNに 支えられ倒れない. 喫水位置はb= 0～d/2,すなわ ちθo = π ～ 0°の間にある. 結局, 次式が成り立つとき, 缶は斜めに立つ. ZG/(d/2) ≦ tan φ {1− XG/(d/2)} : (standing) (18) 3.2.4 図式解法 以上の解析より得られた関係式は, 水線面の位置 b に対応する変換変数 θo を含んだ複雑な関数である．直接水の最小容積Vminを求めることは難しい. そこで, あらかじめ θo を与える．容積Vを式(6)より, 系の重心G (XG, ZG)を式(14-1), (14-2)より求める. これが平衡条件式(18)を満たすかを判断すればよい. 次の図式解法が有効である. 与えられた缶に対し角度θo=90°～180°の範囲の適当な θoに対し, 得られたXG, ZGを関係を図7(a) ～ (d) のようにXG/(d/2) - ZG/(d/2)の座標にプロットする．

図7 Correlation between the reduced angle θo of the water line at the minimum weight of the standing slanting can containing drink and the center of gravity of the can;

ZG/(d/2) = tan φ {1− XG/(d/2)}

(a)

(c) (d)

(b)

図6 Correlation between the center of gravity

and its equilibrium state of the can

Z ) と支点N (d/2, 0)

G,

(7)

このプロット点が図中の直線の下側であれば式 (18)を満足する．図 7 (a)は傾き角 φ = 47°，48°のシ ョート缶とロング缶の場合で，求める換算角度θo はショート缶のθo=98°に対し, ロング缶はθo=168° と大きい． 図 7 (b)はφ = 47°の標準サイズの場合 でアルミ缶のθo=120° に対し，スチール缶は θo=136°と大きい．図 7 (c)，(d)はφ = 50，53°の標準缶の場合で，傾き角φが大きいと換算角度θoは小さくなる．換算角度θoが確定すれば，式(6)より水の最小容積 Vmin

が求まり，水を含んだ缶の最

小重さ

Wmin

が次式で与えられる．

Wmin = m + ρVmin (19) 3.3 水の最大容積の解析 3.3.1 水の容積と重心 図5 に示した水の最大容積を解析する. この系 を次の３つ, ①空き缶, ②底から高さ b の円筒 形の領域Ⅰの水, ③蹄形の領域Ⅱの水に分割する．領域Ⅱは前節の最小容積で扱った蹄形の角度 θo= π の結果が利用できる. このとき, a, b, d, φ の間には次の関係がある． φ = φ = −b d/tan dcot a (20) ① 空き缶の質量 m (g), 重心の座標Gcan (0, hG) は既知である. ② 領域Ⅰの水の容積 V1 (ml), 重心G1(X1, Z1)は次式で与えられる. b d V 2 1 = π( /2) , X1 = 0, Z1 = b/2 (21) ③ 領域Ⅱの水の容積 V2 (ml)は前節の水の容積V の式(7)に角度 θo = π を代入して求められる． φ π = ( /2)3cot 2 d V (22) 水の全容積V(= V1 +V2)は次式で与えられる． } cot ) 2 / ( / { ) 2 / ( 3 ₊ _φ π = d b d V ) cot ( ) 2 / ( 3β+ φ π = d (23) 領域Ⅱの水の重心G2 (x2, z2)は, 前節の式(11), (15)の重心GW(XW，ZW)に角度 θo = π を代入して得られる. X2/(d/2) = 1/4, Z2/(d/2) = (5/8) cot φ + b/(d/2) (24) 3.3.2 系の重心 次に, 系の重心G ( XG, ZG )を求める．x方向に 関し, 空き缶および領域Ⅰの水の重心は x軸上に あるから両者のモーメントはゼロである．重心の x座標XGは次式で与えられる． XG (m/ρ + V) = X2V2 (ρ = 1) (25) 上式のV2およびV, X2に式(22), (23), (24)を代入し, XGが求まる． φ π = φ + β π + ρ ( /2) ( cot )} ( /4)( /2) cot / { 3 4 G m d d X ) cot ( ) 2 / ( / cot ) 2 / )( 4 / ( ) 2 / ( / ₂ 3 G φ + β π + ρ φ π = d m d d X ) tan 1 ( 4 / 1 ) 2 / ( / G d = M+ +β φ X (26) 次に重心の z座標ZGを求める． ZG(m/ρ + V) = hG(m/ρ) + Z1V1 + (b + Z2)V2 (27) 上式のV, V1, Z1およびV2, Z2に式(23), (21)および式(22), (24)を代入し, ZGが求まる． φ π φ + + π + ρ = φ + β π + ρ cot ) 2 / ( } cot ) 2 / )( 8 / 5 ( { ) 2 / ( ) 2 / ( ) / ( ) cot ( ) 2 / ( / { 3 2 G 2 G d d b b d b m h d m Z 　　　　　　　ここで, M,βを用いて上式を簡略化する. ) 2 / ( / G d Z φ β + + φ + β + φ β + = tan 1 cot ) 8 / 5 ( tan ) 2 / 1 ( ) / ( 2 2 G M M d h (28) 3.3.3 平衡条件と水の最大容積 図5 に示したように系の重心Gと支点Nを結ぶ 直線GNが水線面HH'と直交しなければならない． 1 )} 2 / ( / { cotφ −Z_G d −X_G =− Z_G/(d/2)={1−X_G/(d/2)}tan φ (29) 上式に式(26), (28) で与えられるXG, ZGを代入し, 整理する． φ φ β + + − = φ β + + φ + β + φ β + tan )} tan 1 )( 4 / 1 ( 1 { ) tan 1 ( } cot ) 8 / 5 ( tan ) 2 / 1 ( ) / ( 2 { 2 G M M M d h 　　 φ β + + = φ + φ β + β + φ tan 4 / 3 cot ) 8 / 5 ( cot ) 2 / 1 ( cot ) / ( 2 2 2 G M M d h 　　 } 1 cot ) / ( 2 { 2 ) cot (tan 2 2₋ _φ₋ _φ _β₊ _φ₋ β M hGd 0 2 / 3 cot ) 4 / 5 ( 2_φ₋ ₌ + 　　 (30) 上式は無次元喫水線 β = b/(d/2) に対する２次方程式で，解(β > 0)の存在条件は次式である. φ − + φ − φ

=_(tan _cot ₎2 ₃_/₂ ₍₅_/₄₎_cot2

E 0 } 1 cot ) / ( 2 { 2 _G φ− ≥ − M h d 　　 (31) 五十嵐保・中村元

(8)

逆に式(31)が成立たない E < 0 の場合は缶は倒 れる. 式(31)が成立てば, β は次式となる. 2 / 1 ) cot (tanφ− φ +E = β (32) 結局, 水の最大容積 Vmax は式(23)に上式を代入して求められる． ( /2)3(tan 1/2) max d E V =π φ+ (33) 水を含んだ缶の最大総質量Wmax = (m + ρVmax)は次式で与えられる. ( /2)3cot ( 1 tan ) max=ρπ d φ M+ +β φ W (34) 3.4 解析結果と実験との比較 3.4.1 ショート缶と標準缶 ショート缶と標準缶は傾き角 φ が46°以上, 重心高さhG/dが低く , 缶の無次元質量M = m/ρπ (d/2)3cot φも小さい. すべての缶は斜めに立つ条件式(18), (31)を満たしている. 水を含んだ缶の最小総質量および最大総質量の解析結果Wmin =

m + ρVminおよびWmax= m + ρVmax と実験結果を表

2 に示す. 3.4.2 ロング缶 第１章で、多くのロング缶が斜めに立たないと述べた．実際にロング缶が斜めに立つ条件式(18) を満たしているかを確認する. 解析から傾き角 φ = 46°のキリン一番搾りと φ = 47°のコカコーラは条件式(18)を満足せず，式(31)の E < 0 となり缶は斜めに立たない．傾き角がφ = 48°と大きい氷結は条件式(18)と式(31)のE≥0を満たし斜めに立つ. 実際, 前述の実験とも一致している. この結果は表2 に示した. 3.4.3 解析結果と実験値との比較 上述の解析結果と実験値との比較を図8 に示 す．複雑な缶の形状を円筒に単純化したが，解析結果と実験値との誤差は±10％以内である．実際の実験おいて，床面の平滑度や実験者の手先の器用さ等により実験値に10%程度の差異が現れる．本解析結果は実験値をよく予測している． 4 結論 清涼飲料水等の缶は適量の飲料水が入っていれば斜めに立つ. この缶の安定解析を行った．得られた主要結果は次の通りである． 10 102 102 10 2 4 6 8 2 4 2 4 6 2 4

[Wmin]cal , [Wmax]cal （ g ）

[W min ]exp , [ Wmax ]exp （ g ） Max Min Pocari Sweat Cider Super Gent Gokunama Coca Cola Calpis Water Autumn Brew Brau Natchan Suntry Oolong Tropicana Kyohou-syu Hyouketsu

図8 Comparison of the minimum and maximum

weight of the standing slanting can containing drink obtained by a stable analysis with experiments.

表2 Minimum and maximum wight of the standing

slanting can containing drink obtained by a stable analysis and experiments.

minimum weight (g)

maximum weight (g)

type trade name

[Wmin]cal[Wmin]exp [Wmax]cal [Wmax]exp Tropicana 45.37 47.4 198.0 200.1 short Kyohou-syu 35.8 39.41 201.9 201.7 Pocari Sweat 68.48 70.9 186.6 189.9 Cider 73.4 75.9 185.8 188.0 Super Gent 41.91 47.8 232.6 214.0 Gokunama 45.9 48.0 233.5 222.7 Coca Cola 52.59 54.36 232.0 227.0 Calpis Water 39.4 42.5 273.2 257.6 Autumn Brew 36.84 39.9 274.2 262.6 Brau 37.51 41.4 273.2 268.0 Natchan 103.2 110.2 190.2 183.9 standard SuntoryOolong 106.0 110.5 189.9 184.7 Kirin Ichiban × × × × Coca Cola × × × × long Hyoketsu 118.1 118.25 174.1 175.5 飲料水の入った缶が斜めに立つ安定解析

(9)

(1) 缶は底部外周の絞り部が支点となる. 缶の形状は有限長円筒にモデル化でき，缶の直径 d と質量 m および缶の重心高さ hG と傾斜角 φ を与える. (2) 喫水線が底部のコーナー K 以下で缶が斜めに立つ条件は次式で与えられる． φ − φ ≤ φ

−tan } (3/4)tan (5/8)cot ) / ( 2 { hG d M ただし，M=m/ρπ(d/2)3cotφ (3) 水を含んだ缶の最小総質量 Wmin = (m+ρVmin) は，式(14-1), (14-2)で与えられる系の重心G(XG, ZG) が次式を満足するときである． )} 2 / ( / 1 { tan ) 2 / ( /d X d ZG = φ − G なお，式(14-1), (14-2)に含まれる水の重心 GW (XW, ZW) は式(10), (13)で与えられる．式(10), (13)は底部の喫水線の換算角度 θoの関数である．この角度 θo を図式解法により確定すれば，式(6)よりVmin が求まる． (4) 喫水線が底部のコーナー K を越えて缶が斜めに立つ条件は次式で与えられる． 0 } 1 cot ) / ( 2 { 2 cot ) 4 / 5 ( 2 / 3 ) cot (tan 2 2 ≥ − φ − φ − + φ − φ = d h M E G 　　　 (5) 水を含んだ缶の最大総質量 Wmax は次式で与えられる. ) tan 1 ( cot ) 2 / ( 3 max=ρπ d φ M+ +β φ W ただし, _β₌_(tan_φ₋_cot_φ₎₊_E1/2 (6) 各種缶が斜めに立つ最小および最大総質量の解析結果は実験値と誤差±10％以内で一致した. 終りに, 本実験にご協力いただいた本学学生の高橋潤君に謝意を表します. 引用文献 1) 日本テレビ, 1999年8月17日, 19:00, 「伊東家の食卓」で放映. 2) 五十嵐保・大倉達也, 上壁のある円形衝突噴流により浮上する円盤に働く揚力（第1報, 臨界流量）, 日本機械学会論文集, 66-642, B (2000), 368-373. 3) 五十嵐保・大倉達也, 上壁のある円形衝突噴流により浮上する円盤に働く揚力（第2報, 圧力分布と揚力）, 日本機械学会論文集, 66 -648, B (2000), 2042-2048. 4) 五十嵐保・大倉達也, 上壁のある円形衝突噴流により浮上する円盤に働く揚力(第3報, 小円盤の場合), 日本機械学会論文集, 67-657, B (2001), 1162-1169. 5) 五十嵐保, 静水に浮く角材の姿勢, 日本流体力学会誌, ながれ, 19-4 (2000), 253-262. 6) 五十嵐保, 水流に引き上げられる卵, ゴルフボールおよび球まわりの流れに関する研究 (第１報, 臨界流量), 日本流体力学会誌, ながれ, 20-5 (2001), 406-414. 五十嵐保・中村元