Journal de Th´ eorie des Nombres de Bordeaux
19(2007), 337–355
A classification of the extensions of degree p
2over Q
pwhose normal closure is a p-extension
par
Luca CAPUTOR´esum´e. Soitk une extension finie de Qp et soit Ek l’ensemble des extensions de degr´ep2 surk dont la clˆoture normale est une p-extension. Pour chaque discriminant fix´e, nous calculons le nom- bre d’´el´ements deEQpqui ont un tel discriminant, et nous donnons les discriminants et les groupes de Galois (avec leur filtrations des groupes de ramification) de leurs clˆotures normales. Nous mon- trons aussi que l’on peut g´en´eraliser cette m´ethode pour obtenir une classification des extensions qui appartiennent `a Ek.
Abstract. Let k be a finite extension of Qp and Ek be the set of the extensions of degree p2 over k whose normal closure is a p-extension. For a fixed discriminant, we show how many exten- sions there are in EQp with such discriminant, and we give the discriminant and the Galois group (together with its filtration of the ramification groups) of their normal closure. We show how this method can be generalized to get a classification of the extensions inEk.
LucaCaputo
Universit`a di Pisa Universit´e de Bordeaux 1 Largo Bruno Pontecorvo, 5 351, cours de la Libration 56127 Pisa, Italy 33405 Talence cedex, France E-mail:[email protected]
Manuscrit re¸cu le 6 juin 2005.
