対数関数とそのグラフ

対数関数とそのグラフ

１

名前 (       ）

例題

解

対数関数  y = log

x  のグラフ

例

対数関数 → (        )y = log_a x

(1) (2)

y = log₂ x

次の関数のグラフを書きなさい。

y = log¹₂ x

次の関数のグラフを書きなさい。

a > 1

o x o x

y y 0 < a < 1

3 x

1

a

1

1

a

o x

y

1

2

(1)

o x

y

1

1

3 1 3

(1)

(2)

 ⇔   (   )   

0 < p < q log

p log

q

２

名前 (       ）

対数関数の特徴

対数関数  y = log

x  の特徴

1. 2.

3.

定義域 → (     )   値域 → (    ) 正の数 実数  → (      ) 

a > 1

 ⇔   (   )   

0 < p < q log

p

log

q

 → (      ) 

0 < a < 1

>

例題

例

2

解

次の   つの数の大小を不等号を用いて表なさい。

2

2 log

3 3 log

2 2 log

3

log₇8 < log₇9

底 

7 > 1

すなわち

3 log

2 < 2 log

3

3 log

3 2 log

5

底 

2 > 1

= log

3

= log

9

3 log

2 = log

2

= log

8

3 log

3 = log

3

= log

27 2 log

5 = log

5

= log

25

log₂25 < log₂27

2 log

5 < 3 log

3

３ 対数関数を含む方程式，不等式 ①

例題

解

次の方程式，不等式を解きなさい。

(1) log₅ x = 2 (2) log¹₃ x ≧ 3

次の方程式，不等式を解きなさい。

(1) log₃x = 2 (2) log₃x ≦ 2

(1)

(2)

log₃x = 2 ^→ log₃x = log₃3² x = 9

log₃x ≦ 2 ^→ log₃x ≦ log₃3²

Step２.

対数関数を含む方程式，不等式の解き方

同じ (   ) の対数にする。底

(    ) に注目し，式をたてる。真数

※ 不等式の場合は， 底と (   ) の大小を比較 Step３.

1

例

Step１.

Step２.

Step１.

Step２.

= log₃9

Step１. 真数 (   ) >

0

真数は正より x > 0

Step３.

真数は正より x > 0 ^…① log x ≦ log 9

(1)

(2)

log₅x = 2 ^→ log₅x = log₅5² x = 25 log¹₃ x ≧ 3 ^→ log¹₃ x ≧ log¹₃ 1

3

3

1 < 1

Step１.

Step２.

Step１.

Step２.

= log₅25

真数は正より x > 0

Step３.

真数は正より x > 0 ^…①

log¹₃ x ≧ log¹₃ 1 27

４

対数関数を含む方程式，不等式 ②

例題２

解

次の不等式を解きなさい。

log₃(2 − x) ≧ log₃x

例題１

解

次の方程式を解きなさい。

log₂ x + log₂(x − 3) = 2

x = 4

① より

log₂ x + log₂(x − 3) = 2

→ log₂ x(x − 3) = log₂2²

真数は正より x > 0 ^かつ x − 3 > 0 x > 3 ^…①

log₂ x(x − 3) = log₂4 x(x − 3) = 4 x² − 3x − 4 = 0 (x + 1)(x − 4) = 0

→ 2− x ≧ x

真数は正より 2− x > 0 ^かつ x > 0 0 < x < 2 ^…①

底 

3 > 1

…②

①，② の共通範囲 0 < x ≦ 1 log₃(2 − x) ≧ log₃ x

x ≦ 1

Step１.

Step２.

Step３.

Step１.

Step３.

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

例題２

解

 のとき，関数   の 

最大値と最小値を求めなさい。

1

x

81 y = (log

x)

log

x

(    )log_a x

= t

t 2

※ ただし，   の範囲に注意

t

５ 対数を含む関数の最大値，最小値

 のとき，関数   の 

最大値と最小値を求めなさい。

1 ≦ x ≦ 8 y = (log₂ x)² − log₂ x⁴ − 1

① の範囲で   はy log₂ x = t 

与式からy = (log₂x)²−4 log₂x − 1

…①

とおくと1 ≦ x ≦ 8 

→ log₂1 ≦ log₂ x ≦ log₂8 

0 ≦ t ≦ 3 

→

y = t²−4t −1 y = (t −2)²−5

 で最大値 

t = 0 −1

 で最小値   をとる

t = 2 −5

t = 0 log →  ₂x = 0

また → x = 2⁰ = 1 y

2 3 x

−1 o

−4

−5

t

① の範囲で   はy log₃ x = t 

与式からy = (log₃x)²−2 log₃x

…①

とおくと1 ≦ x ≦ 81 

→ log₃1 ≦ log₃x ≦ log₃81 

0 ≦ t ≦ 4 

→

y = t²−2t y = (t −1)²−1

 で最大値 

t = 4 8

 で最小値   をとる

t = 1 −1

t = 4 log →  ₃x = 4

また

y 8

4 x

o 1

−1

→ x = 3⁴ = 81

例題１

解