こ エ

L E V t ^‑C 工V 工T A A N D H E R M 工丁工A N C O N N E C T

I

^{O N S} O F A H E R M I T 工A N M E T R I C

K a z u o A Z U E A W A

エ^{. in tr od u ctio n . Let a be a tle m i ti a n m etric o n}

a

‑

c o mp l ^{e x m a n}i f ol d M with c o mp l^{e x str u ctu r e} J _, i .e . ,

g i s a R ie m a n ni a n m etric o n M s ati sf y iⁿg gく

^‑

^{J X} ,J Yl ^岩

gく^X ,Yl ^{f o r X} ,Y 仁 王く^Ml ^{. Let}

^{且 v}

n e ctl o n of

b e th e 1.e vi ^‑C i vita c o n ^‑

g , i . e _.こ^{the un} i q^{u e} c o n n e cti o n o n M s u ch

見v g ^三 0 _事

く^{1 .2}I

^見 v

xy ^一

見

v

yx ^三 E^X ,Yl ^{fo r X} ,Y 仁 王く 恥

L et

b

v

b ^e the He r m i亡1a n c o n n e c ti o n of g, i .e . , the u ^‑

n l^■q ^{u e} C O n n e Ctio n o n M s u ch th at

く^{1 .}

3

1 ^h

^v

g ^ニ 0 _,

u ^.

4

1 ^Z ,W 亡

王

^{1 ,0}く即 ^{今 hv}

zw E

王

^{1 ,0}く^M1 ,

h

v

z

‑w ^三 0 _,

2 A Z U K A W A

whe r e く^X ,Y い ^h

v

xy i s e xte nded to a C ^{‑b i l in e a r m a}p p i ⁿg

o n 王

Cく^M1² , 王^Cく 仰 ^望 王く叫^eC く^{cf . Wu}r

^4.

コ, G ol d b e rgt^ll l ^.

Let

見

R a nd h

R b e the c u r v a tu r e te n s o r s s ub o rd i n ate to

見v an d h

v

_, r e sp ^{e ct}iv el y ^. We e xte nd g ^an d h

R _to C ^‑

b i l in e a r m ap p iⁿg ^{s o n} 王

C

く^M1^{2 . G iv e n a h ol o n o r}p h i ^{c c o o r ‑}

d in ate sy ^{st e m} t^zal of M , w e de n ot e

a

^三三 al

a

^za _,

a

^{‑ ミニ}

a a

モ ^‑

^a

^l

^{a 言}

^{a , g a}石^{こ‑ gく}

^a

^{a ,}

^a

s^{l , くg}

言bl^こ‑ くg

aT lb

‑1

. T he n the

c o m p^{o n e nt s} h R

as^c

‑

d ^こ

ニ gく^hRく

^a

e ^,

a

^‑ dl

^a

^‑

b ^,

a

al ^{of hR a r e} g i^{v e n}

b y ^the fol lo wing f a mi l ia r fo r n ula ニ

く¹

ニ⁵l ^hR

as ^ca ^‑

^a

^c

^a

‑

d ^.g

abT ^一 三_e

,f g

‑

ef

く

a

c

.g

a

‑

el く

a

d ^.g

bf^l

く^{cf . Wu}t⁴コ, Kob ay ^{a s}h iE² , Pag^e 3 811 ^{. T h e fol lo w in}g ^{a r e}

w el l ^‑kn o w n こ

く^{K ‑N}l 望 ^g 坐

^砧

^{h le ria n th e n 見R こ hR fcf .}

Kobay^{a s}h i a nd No miz ut³ , Pag^{e s} 1

5

5 ^‑1 5

9

コ1 ^.

く^GI g i s K

芸

h le ria

.

n the c o nd itl o n く^{1 .2}I

生

盟

旦

9 i

ⁿi

L

生 ^h

^v

^{s atisf ie s}

als o く^{cf . Gol d b e r}gt^ll I ^.

Th 色 p^{u r}p ^{o s e o}f th is p^ap^{e r} is to c o mp ^{a r e tw o} holo m o r ^‑

p h i^{c s e ct}io n al c u r v atu r e s

事 C O r r e SP^{O n}d ing ^to

且R a nd h

R I

of sp^{a n}t^x ,Jx ト く^{x E T}

pく^MJ , p E MJ ^{a nd t o} p ^{r o v e t}h e fol ^‑ lo w ing ^{tw o} p ^{r o}p ^{o s}i ti o n s 三

PR O P O S I T IO lJ^l A.

吐

堅

^{m a ni f ol d M .}

i

s

i ^{g be a He r miti a n m e tri c o n a} 塾

聖

^{X E}

王

く^Ml ,

望皇

垣

gく

^見

^Rく^X JJ XI^{J X} ,XI

^S

gく^hRく^X ,J XI^{J X} ,Xl ^.

P R O P O S I T t O N a .

m a ni f ol d

eq^uiv al e nt 二

く^K

ol g

三

強

L et g

b

e a HerTQ i^ti a n m e tric ¹ 0 n a

‑‑ ‑‑‑.‑ ‑ . . ..l‑.

M . T he n the

f

^ol lo wi

‑

ⁿ

g . ..l ‑‑‑ ‑ ‑‑

^l

R

左

h le ri a n .

c o nd i tio n s a r e

く^K_II ^見

^v

^{‑‑ hv .}

く^K₂1 ^{見R 三 h R.}

く^K

3l gく^見Rく^X ,J XI^{J X} ,Xl ^ニ gく^b良く^X ,J XI^{J X} ,Xl i

9

i

B

i i

X 亡

五

く叫 ^.

2 . M et ri c c o n n e ctio n s . G iv e n a c o n n e ctio n V o n a

d i f fe r e nti ab le m a ni f ^ol

d

^M , th e c u r v atu re te n s o r R s ub ^‑

o rd in at e t o

V

I ^s g i^{v e n} b y

く^{2 .} り ^Rく^X ,Yl^こ王 E^V

x ^,

V

y ト

V

f^X ,Yl ^{f o r}

.

X

,Y E

王

く^Ml ^.

工t f ol l o w s that

く^{2 .2}I ^Rく^X ,Yl ^{王 ‑ R}く^Y ,XI ^.

N o w s up p ^{o s e} M i s a c o t np l ^{e x m a n}i

f

^ol d with a tle r ni t ^‑ i 且n m etric g ^{a n} d

V

is a n e t ri c c o n n e ctio n _, i . e . ,

V

i s a c o n n e cti^{o n o}f M s u ch th at V g ^こ 0 , i . e . ,

く^{2 . 3}J ^{X .}gく^Y ,ZJ ^‑ gく

V

xy _,zl ⁺ gく^Y ,V xZl

f ^{o r} X _,Y _,Z 仁

王

く^Ml ^{. M ak i n}g ^{u s e o}f く^{2 .3}l , w e ob tai n

く^{2 .4}7 ^{gくRくZ ,WIY , Xl ‑ I gくRくZ ,WIX ,Yl}

f o r X ,Y ,Z ,W E

王

く^l巾^{. As sta}t^ed i n

与

^l , w e e xte nd g ^, V

4

A Z U K A W A

a nd A to C ^‑bil ln e a r m ap p i ⁿg ^{8 0 n}

王

^Cく叫^{2 . T he f ol l o w ‑}

i ng is sho w n b y ^{u s}ing th e p ^{r o}p ^{e r}tle 8 く^{2 .2}1 ^{a nd} く^{2 .}

4

1^三

L二二二二二二二二二二二二弧二三二 二二こ

2

.1 . L et X 亡王く叫

‑

^{二 二 こ二二二二二二二二二二二 a nd Z こ}

王 く^{X ‑ i J X}l 1^{2 亡}

王^{1 ,O}l 叫 ^. , T he n 三

. ‑‑‑ ‑

く¹I gく^Z ,盲I ^王 gく^X , XI I^{2 a nd} gく^Rく^Z ,言_I^Z ,盲_I ^王

ここ二ニ

ー ‑

^{二二二二二二ニ}

ー gく^Rく^X ,J XJ^{J X} ,Xl 1

4

.

く^{i i}l 望 聖 ^{p 亡 M ,} 望 望 巴 竺 ^X_p 事 ^{0 . T h e n} the holo ^‑

‑ ■t ■■t ‑ ■t l1 ‑

呼 号 些 ^{叫 r e} 坐

the fol lo wlng^三

sp ^an tx p

,J X p

I 生 起 聖 垣

g

pく^Rく^X ,J XI^{J X} ,XI Ig

pく^X ,XI^{2 言 ‑} g

pく^Rく^Z ,盲汚,zl lg

pく^Z ,f1^{2 .}

Let t ^zal ^{b e a holo m o r}p h i^{c c o o r}d ln a te sy ^{ste m O}f M .

we v a ry ^the ind ic e s A,B ,

. . . an d a

,b _, ^{. . .} iⁿ t^l ,

. . .

,n

,

‑

1 _, ^{. . .} _,訂卜く^{n 三言 d in}c ^Ml ^{an d} t^l ,

. . .

,nl , r e sp ^{e c}tl v el y ^. def in e the c o mp^{o n e n} ts 各

A B^, r

豊

^{c ,}

吃

^{, a nd RA B C , a S}

fol lc w s こ

く^{2 .}

5

I

l g

A B ^ニ

芝 gく

a

A ^,

a

BJ ,

三_A ^r

芸

^c

^a

^Aミニ

^{V a}

B

a

C^,

三_A ^R

i

^{c ,}

^a

^{A三‑ Rく}

^a

^{c ,}

^a

^Dl

^a

^{B ,}

RA B C D ^三

三 gく^Rく

^a

_c ,

a

Dl

^a

_B ,

a

AI ^.

S i _{n c e} g ,

V

an d R a r e e xte nd ed to C ^{‑b i l in e a r T R A}P ^‑ We

p iⁿg ^{s ,} i t fol lo w s that

く^{2 .}

⁶

I_l g主義

三 g

A B ^,

r

i

^c‑

^{苧 r} 豊

^{c ,}

R

i

^{c‑5 ‑}

3

^{R c, ,}

Ri

‑

B

‑

d5 ^{王 R}A B C D ^,

wh e r e

‑

a ^壬 a . S in c e g is tle r ni ti an _, w e ha v e that

く^{2 .}

7

I

l g

ab

三

0

,

く^{2 .}

7

1

2 くg

as^{l is a po sitiv e d ef i ni te tle rn itia n m at ri x .}

F r o m く^{2 .l}l , it fol lo w s tha t

く^{2 .}

8

1 ^R

i

^{c , ‑}

^a

^{c .r}

吉

^{B ‑}

^a

^{D .r}

芸

^{B . 三, r}

芸

^{B r}

き

^{, 一 三, r}

芸

^{B r}

芸

^{, .}

T he p ^{r o} p^{e rt}y く^{2 .2}1 ^{し i s w ri} t te n a s fol lo w s 三

く^{2 .}

9

1₁

i

^{R c D ‑ ‑ R}

i

^{D C ,}

o r eq^uiv ale ntl y

く^{2 .}

9

1₂ ^R_{A B C D} ^{岩 I R}_{A B D C} ^.

T he p^{r o}p ^{e r亡}y く^{2 .}

4

1 ^{m e a n s} 亡ba亡

く^{2 .1}

0

I ^R_{A B C D} ^{ニ ー R}_{B A C D} ^.

s in c e

見

v

^{a n}d h

v

^{a r e} b oth m e tri c c o n n e ctio n s , al l

6 A Z U K A W A

the p ^{r o}p ^{e rt}i e s l isted in th is s e ctio n h ol d f o r the s e .

ヱ^{. Cu r v a tu r e te n s o r s ubo rd in at e to th e L e v i ‑C ivita}

c o n n e cti o n s . L et く^M ,gl ^{be a tle rn itia n t n a nl f ol d . 工n}

th is s e ctio n w e sh al l c o mp^{u te} the c o mp o n e n ts

見

RA B C D ^{e x}

‑

p l i^citl y ^. T h e L e v i ^‑C i^vita c o n n e ctio n

且

v

^of the m etric

g i s g i^{v e n} b y ^the eq^{u at}io n

2 gく

^見 v

xy ,z1 ^{王 X .}gく^Y ,Z1 ^{+ Y .}gく^X ,Z ト ^{Z .} gく^X,Y1 ⁺ く

3

^. り

gくt^{X ,Y}l ,ZI ^‑ gくr^Y ,Zコ^,Xl ⁺ gくr^{Z ,X}コ^,Yl

f o r X ,Y ,Z 仁

美

く^Ml ^{. We c o n si d e r th e f u n ctio n s}

く^{3 .2}, ^r

A B C

.

. ‑

gく^見v

a

B

a

C ^,

a

A, ^‑ 三_,

^見

^r

芸

^{c g, A .}

W e n ote that

く^{3 .3}I ^r

互

‑

B

‑

c

‑

‑ r

A B C

.

U sing く

3

. り , w e ob tain the fol l o wing ^三

L 珊 A 3 .1 . T he fol lo w ing 虫 主星^ニ

くⁱl ^r

A B C

芸 r

A C B ^, r

abc

王 0 .

く^{i i}l ^{r ‑}

ab c

三 く

a

b ^. g

c

‑

a +

a

c

.g

b

言

I 1² , r

ab

さ

ニ ー r

b a

‑

c

く^a_b ^.g

a

石

‑ a

a

. gb

石

1 J^{2 .}

く^{i i i}l g

al l a ,b

, c .

i s K

芸

h le r ia n 室

望

蛙

空

也 韮 ^r _a

_b

_c^{‑ ‑ 0 ■■f■‑o r}1 111 ■ll lll lll ltll lb

塑 堅^{. S in c e} t

^a

_A ^,

^a

_b^{ュ ‑}

⁰

^{, fr o m く3 .1J a nd く}

³

^{. 21}

w e ha v e

く^{3 .}

4

I

r

A B C

芝 く

a

B ^.g

C A +

a

c ^.g

B A

‑

a

A

.g

B CI I^{2 .}

T he a s s e rtio n s くⁱJ ^{a nd} く^{i i}J ^{f ol l o w it n n ed i}a tel y

f

r o m th e f o r m ul a く

3

.

4

I ^{. T he a s s e r} ti o n く^{i i i}l ^{fol lo w s f 七o m} p^{a rt}

く^{1 1}I ^.

W e sha

l l

sho w th e f ol l o wing ^三

P R O P O S 工T I O N 3 .2 .

見 R

A B C D

‑

‑

盟

くり

^丸

^R

ab cd

三 0

,

吐 血

望

生 ih

f

^{CO n p 叫e nt}

H

^畠 fol lc w s 三

く²I ^且R

ab ca ^‑

^a

^{c .}

^r

^aba

一 三_e

,

f

^g

‑

ef

く^r

f

b

云 ^re^‑ac

‑

r

faTd ^X

r

^‑

eb cl ,

く³1

^見

^R

as^cd^‑

‑ やc

a

s ^{.g a}

‑

d

.+ a

a

a註^一苧^{c石I ノ2 ‑}

^.

三_e

,f g

‑

ef

x

‑‑‑‑

^二

ー

^ニ

.. . .‑.

^二

.‑. ..

^.

.‑.‑‑... ‑

^L く

r

^‑

e a c

rf

^b

^d

‑ r

f

c石^{r e}d昌 ^一

^r f

^aa ^{r e}b言I ^.

虫 地 盤

旦三豊 些

嘩 吐 出

丑星旦

二重 迦 蝕

望

監

1atlo n s

く

3

.5I

く^{2 .6}1

4 ^, く^{2 .9}1

2 ^, く^{2 . 1 0}1

_盟

蛙

見R

A B C D ⁺ 見R

A C D B ⁺

見

R

A D B C

三

0

^.

EB99 E ^{. F r o m th e p r op e r ty く}

¹

^{.21 , i t f ol l o w s tha t}

く

3

.

6

J

^且

^Rく^{X ,Y}I^{Z +}

^見

^Rf^Y,ZI^{X + 見R}I^Z ,XI^{Y 買 0 .}

8

A Z U E A W A

S o the r el atl o n く

3

^.51 ^{hol ds . Usln}g

.

く

3

^.2J , w e c an r e ^‑ w rite th e f o r m ul a く^{2 .}

8

1 ^{a s fol lo w s 三}

見R A B C D

こ

a

c

.r

A D B

‑

a

D

.r

A C B

‑ 三_p

,Q ^g

PQ

rQ^{D B} く

a

c ^.g

A P

r

A C P1 ⁺ 三_p

,Q ^g

PQ

r

Q^{C B} く

^a

D ^.

し

gA P

‑ r

A D P1 ,

wh e r e くg

PQ1^三三 くg pQ1

‑1

. No ting ^th at g

ab

三 0 an d u siⁿg

L e t n m

3

.1 , くⁱl ^{a n d} く^{i i}J , w e ob tain the d e si

r

^{ed f o r m ula s} くり, く²1 ^{a nd} く

3

I ^{. T he} p^{r o o}f l s c o mp l^{e te}d .

旦^. 叫 中

_一

^o

_‑

^{f P r opo si ti o n s A an d B . L et くM ,gl b e}

a tle r mitia n m an i f ^ol d . T h e p ^{r o}p ^{e r t}le s stated in b oth P r o ^‑

p ^{o s}itio n s a r e l_{o c a}l

I S O i t i s S u f f icie nt to p ^{r o v e t}h e a 8 ^‑ s e

i

tio n s in a n a rb itr a ri l y f i^{x e}d

, holo m o TP h i^c d o o rd i n ate n ei gh ^{bo u rho o}d . L et t^zal b ^e a h.l^{o m o r}p h i ^{c c o o r}d i n ate sy^{ste m o}f M . G iv e n a c o n sta n t c o mp l^{e x v e ct o r v 芸} く^{v a}l

a nd an inde x b _, w e s et

a

v ニ^言

E

a v

a

a

a ^, g

vTb ^{三三 g}く

a

v ^,

a

T 1b ^, gb 守

三^三 gく

^a

b ^,

a

vJ ^{an d} g

vv ^ニ

こ gく

a

v ^,

a

vJ , fo r br e vity ^.

PRO O F O F P R O P O S I T I ON A . Using ^the fo r m ula s く31 ^{i n}

Pr op^{o s}itio n

3

^.2 _, く^{i i}l ^{i n L e t n n a 3 .1 a nd} く^{1 .5}1 , v e ob ^‑ tain the fol l o wing ^こ

gく^丸Rく

a

v

,

a

vl

a

v

,

a

v1 ^‑

a

v

a

v

.g

v

守

一 三_a

.b

‑

_g石a

三_a

,b

‑

_g^{U d}

年^.gb

^苛

^{I x}

く

a

v

.g

a

寄

, .

与

^{三a ,b g石a く}

^a

^{b .gv}

^守

^一

^a

^{v .gb苛I く}

^a

^{a .gv}

⁶

^‑

^a

^{v .g a}

^苛

^{I ,}

gく^hRく^a

v

,

a

v,^a

v

,

a

v, ^‑

a

v

a

v

.g

v

守

一 三_a

,b g

Tba

有

^言

諒

^x

く

a

v

.g

a

苛

1 ^.

Fr o m the s e r elatio n s w e h a v e

gく^見Rく

a

v

,

a

vl

a

v

,

a

v ト gく^hRく

a

v

,

a

vl

a

v

,

a

vl ^三 く

4

. り

妄

^言a ,b g

b

a

号^土a ,b g

u u

く

a

b ^.g

v

守

一

a

v

.g

b

苛

1 く

a

a

.g

v

守

一

a

v

.g

a

苛

I ^{喜 0 .}

Ref e r ring ^{to Le T n n a} 2 .1

, くⁱl , w e ha v e p ^{r o v e}d P r op^{o s}iti o n A.

P R O O F O F P R O P O S t T t O N B . T h e i mp l i^{c a t}io n s く^K

II ^ヰ く^K₂l ^{an d} く^K

2I ^卓 く^K

3J ^{a r e trivi al . We shal l sho w th e}

imp l i ^{c at}i o n s く^K

ol ^ヰ く^K

II ^{an d} く^K

3

l ^ヰ く^R

oI ^. く^K

oI ^専 くり ^{三 Sup po s e g i s K}

^a

^{h l e ri an . T he n , b y}

L e ‑ a

3

^.1 _, i t fol lo w s that 見

喜

r ^{c ‑}

^見

^r冨^{c ‑ 見}

喜

^{r c ‑ o f o r}

al l a

, b , c . T h is m e a n s that th e c o n n e ctio n

見v s ati s ^‑

f i e s th e c o nd iti o n く^{1 .}

4

1 ^. B y ^th e u ni q u e n e s s of h

v , it f ol l o w s th at

丸

v

^{王 hv} .

く^K

3J ^卓 く^K

o

I ^{三 Su}p p^{o s e t}h e c o nd i ti o n く^K

31 ^{hol ds .}

T h e n , r ef e r ri ng ^{to t}he r elatio n く

4

. り , w e ba ヮ e the f o ト l o wi ng ^三

く

4

.2I

^a

b

.g_v

6

三

a

v

.g

b

苛

f o r al l v e cto r v a nd al l b . F o r e v e ry inde x j , w e c o n si de r the v e cto r v

j ^三

言 く

6

i

a1 ^{. S ub} s tituting ^{v こ V}

j ^tO く

4

. 21 , w e ha v e th e r ela ti o n

く

4

. 31

a

b ^.g

j了

こ

a

j ^.gb r

Ne xt , s ubstituting ^{v こ V . + v} k ^{O r V . +} iv

k ^tO く^{4 .2}1

コ コ

a nd u sing ^the p^{r o}p ^{e rt}y く^{4 .3}J , w e ha v e the r el ati o n s

1 0 A Z U m W A

a

b ^. g

k亨^十

^a

^{b .gjk 三}

^a

^{k .gb}言⁺

^a

j ^.gb

‑

k ^,

a

b ^. g kラ

ー

a

b ^.g

j妄 ^三

^a

^{k .gb}ラ ^ー

^a

j ^.gb

‑

k^.

so it f ol lo w s that

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M ap p iⁿg ^s , M a r c el D ek ke r _, Ne w Y or k ^, 1

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Ind i a n a Uni v . M ach . I . , 2

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