Vuong testとその正規線形モデルへの適用法

その他のタイトル Vuong Test and Its Application to Linear Regression Models

著者 松尾 精彦

雑誌名 關西大學經済論集

巻 54

号 1

ページ 39‑60

発行年 2004‑06‑15

URL http://hdl.handle.net/10112/12691

3 9  

論 文

Vuong t e s t

松 尾 ^精 彦

概 要

モデル選択のための検定 ( t e s t sf o r  model s e l e c t i o n ) として近年よく用いられるように なってきた， Vuong(1989) 検 定 の 理 論 と 応 用 に つ い て 考 察 す る . Vuong 検定は，

K u l l b a c k ‑L e i b l e r 情報量を基準として， 2 つの競合するモデルを選択するための検定であ る. Vuong 検定とよく似た考え方に, AIC ( A k a i k e  I n f o r m a t i o n  C r i t e r i o n ) を始めとする モデル選択基準や， Cox( 1 9 6 1 ) を起源とする Non‑nested 検定がある. AIC を始めとする モデル選択基準は予測に用いるモデルを選択するための指標であり， Non‑nested 検 定 は ， 2 つのモデルのうち，一方のモデルが真の分布を含むことを帰無仮説とし他方のモデ ルが真の分布を含むことを対立仮説とする検定である．一方， Vuong 検定は， 2 つのモ デルのうち， どちらのモデルがより真の分布に近い分布を含むかを検定するものである．

この どちらのモデルがより真のデータ生成過程に近い分布を有しているかを検定す る という発想が，従来の検定と一線を画すところである． この現実的な発想は，従来の 手法よりも粗い結論を導くが，その代わりに一般性を持つ議論を可能にしている． この論 文では，従来からの Non‑nested 検定やモデル選択基準との比較を通して Vuong 検定の 独自性を明らかにし，最も重要な応用例である正規線形回帰モデルヘの適用時における新 たな運用法を提案する．

キーワード：

T e s t s  f o r  Model s e l e c t i o n ;  K u l l b a c k ‑ L e i b l e r  I n f o r m a t i o n ;  N o n ‑ n e s t e d  T e s t .   経済学文献季報分類番号： 1 6 ‑ 1 0  

1  Introduction 

モデル選択基準とは別に，モデル選択検定という決定論的アプローチがある．モデル選択検定 のための枠組みとして，近年よく用いられるようになってきたのが Vuong 検定である．モデル 選択基準ではモデルを予測に用いる際の振る舞いの良さを基準にしているのに対し（例えば，松

( 2 0 0 3 ) を参照されたい）， Vuong 検 定 で は 真 の 分 布 と モ デ ル と の 距 離 を 韮 準 と し て い る 分 布 間の距離を K u l l b a c k ‑ L e i b l e r 情報量で測ることは AIC と同じだが， AIC がモデル内の推測され た分布と真の分布との距離を考えているのに対し， Vuong 検 定 で は モ デ ル 内 の 分 布 と 真 の 分 布

＊この研究は平成 1 4 年度関西大学研修員規定によって行った研究の一部であるなおこの成果の主要部分 は，後日英訳し，他雑誌に投稿する予定である．武蔵大学経済学部・太田浩司専任講師には，貴重な助 言を受けたことに，感謝の意を表する．

3 9  

との最短距離を扱っていることに注目されたい．また，

AIC

Vuong

いま

2つの競合するモデルを，回帰モデルヘの適用を許容するよう，説明変数（外生ある

Fe = 

0 ) ;  0  E 

< / > ) ;  

E

2

Fe

G

H 。 ： F 。ぅ

H1 

しかし，包含関係が無い場合

( N o n ‑n e s t e d  c a s e )

N o n ‑ n e s t e d

P e s a r a n and W e e k s ,  2 0 0 1

2

この場合，条件付対数尤度比を

2

2

C o x ( 1 9 6 1 )

このような状況下，

Vuong( 1 9 8 9 )

非常に大きな一般化は，真の条件付分布は

2

2つのモデルに包含関

4 0  

Vuong t e s t

4 1  

ものなのである．

わざわざこのような検定を導入しなくても，

AIC

g

AIC

AIC

1 9 7 6 )

Vuong

また，さらに， どちらのモデルがより真の分布に近いモデルを包含するか を知って何になる のかという問題提起もなされるだろうしかし，株式のリターンを分析する際や，各自治体の環 境政策を分析する際などには，このような情報も一定の価値を持ち得る．なぜならば，このよう

な分析では，利用可能な説明変数の数が莫大であるため探索的にモデルを構築することが困難で あることに加え，ある程度理論に基づくモデルが対立的に提案されているのが普通である例え ば株式リターン分析では， キャッシュフロて を基にするか 会計数値 を用いるかの問題があ る．どちらでモデル化しても説明力にはさほどの差は出ないし，そもそも説明力自体がかなり低 い．このような場合には，

AIC

Vuong

2

Vuong

この論文では，

Vuong

N o n ‑ n e s t e d

2

Vuong

第

3

Vuong

4

2

Vuong

5

N o n ‑ n e s t e d

Vuong

6

AIC

Vuong

2  BASIC FRAMEWORK 

この先の議論で前提とするのは，

Vuong( 1 9 8 9 )

4 1  

この節と次の節は，

Vuong ( 1 9 8 9 )の内容を要約したものであるなお， X'

X

Davidsonand MacKinnon  ( 1 9 9 3 )に倣い， (Y:Z)

( Y ' ,  Z ' ) '

Xt,t=l,2,・・・ 

m

Xt = ( Y t : Z t )

l

Zt

K

変数とする．各

xt

h 0 ( ・ ) ,Zt

h ' . i ( ・ ) , z  = z

h O ( ・ l z )

このとき，

2

Fe={ f ( y l z ;  0 ) ;  0 

G

{ g ( y l z ;  c p ) ;  < / >  

F e ,G

2

z

0 * ,  

Fe,G

pseudot r u e  v a l u e

(1)  。*

= argmaxE

lnf(YIZ;0 ) ] ,   < / > *   = argmaxE

lng(YIZ;< / > ) ]  

0E9 中E4>

と定義する．ここで，

Ei

X

h o ( ・ )

A1(8) 

^{E '} J c  [ 

lnf(YIZ;0 )   8888'] , 

B t ( l J ) ^三 E

olnf(YIZ; 0 )  olnf(YIZ; 0 )   80  8 0 ' l '   ( 2 )  

⁸

^ng(YIZ;c

</>'l,  ^{p )}  

B.(<I>) 三 E~[

^olng(YIZ; 

^olng(YIZ; 

'

l, 

olnf(YIZ; 0 )  olng(YIZ; 

知(8,</>) 三 E~[

^{f J 8   a c p ,   ]  ,  B 9 1 ( 8 ,  < / > )   = B 1 . ( 8 ,  < / > ) '}  

とおく．紅，かを，それぞれ，モデル

F o ,G

n 

( 3 )  

^{sup£~(0), where L t i ( 0 ) 三} Llnf(YtlZt;0)

0E0  t=l 

( 4 )  

sup L ! ( c / J ) ,   where  L~(cp

lng(YtlZ

c p )

中

E e l > t=l 

とするこのとき，適当な正則条件の下で，紅とかは，それぞれ

0 *

c p.   . .

N[o,A ⑱ )   ‑IB ⑱ )A

1 ] , ^N[O,A9(cp*

^{B 9 ( c p. . ) A}

] 1

4 2  

Vuong  t e s t

に従う．実際，飢とふしの同時分布もまた漸近正規であり，

( 5 )  

となる．

fa 

  ! : (

:J~N [ 

E c e .

叫か）＝（汀

^{( 0 . ) B}

^Af

^Af

^{( 0 . ,}

^A;

A; 

^{B , 1 ( 0 . ,  l p . ) A f}

^A;'

^B, 

A;'(</>.)) 

3  VUONG  TEST 

真の分布， h O ( y l z ) とモデル F e ,G 中との距離を K u l l b a c k ‑ L e i b l e r ' [ 青報量，

( 6 )   ^{I ( h 0 ( y l z ) ,  f ( y l z ;  0}

=  E~[lnh0(YIZ)] ‑ E~[lnf(YIZ;0*)]

I ( h 0 ( y l z ) ,  g ( y l z ;  

=  E~[lnh0(YIZ)] ‑ E~[lng(YIZ;

4 3  

で測定することにする．第 1 項は両モデルに共通だから， どちらのモデルがより真の分布に近 い分布を含むか という問題は，次のような仮説に言い換えられる．帰無仮説，

(7) 

H 。 j : E1[lnf(YIZ; 0

=  E1[lng(YIZ;  c / J

にたいし，

( 8 )   Hf:  E~[lnf(YJZ; 0 * ) ]   >  E~[lng(YJZ; < / > * ) ) ,   あるいは，

( 9 )   H;:  E~[lnf(YIZ; 0 * ) ]   <  E

lng(YIZ; < I > 』 ］ ，

を対立仮説とする検定を行うもし仮に， H 。 ^{V が棄却され HY が採択される場合，}

I ( h 0 ( y l z ) ,  g ( y l z ;  

>  I ( h 0 ( y l z ) ,  f ( y l z ;  0

:  

という関係が成り立ち G 中は真の分布を含み得ないまた， H 。 ^{V の下では， ! ( ・ I ・ ;}

g ( ・ I ・ ;   < t >

ならば， 2 つのモデルはどちらも真の分布を含まないことに注意されたい．

検定統計量は，対数尤度比，

n

( 1 0 )  

^{=I:ln  f(YtlZ}

n )

t=1 

g ( Y t l Z

が用いられる．尤度関数の連続性やモーメントについての適当な条件下で，大数の法則より，

( 1 1 )   ‑ L 1  凡（肛￠,,.)→ E~[1n ^J(YIZ;0

n  g(YIZ;  q > , )   l  ^{a . s . ,}  

43 

f ( Y t l Z t ; 8

が成立することが今後用いられるまた，

l n

g ( Y t l Z t ;  

v a r

l n f(YIZ;8

( 1 2 )   ^[ g(YIZ

=  E ' 3 c   [ i n  f(YIZ; 0 . )   2  f(YIZ; 0 . )   2  g(YIZ

l  ‑

^{[ I ng(YIZ}

で表すことにする．従来の尤度理論と違い，モデルが真の分布を含んでいることを前提としない ことから，次の重み付きカイ自乗和分布を導入する必要が生じる．

D e f i n i t i o n   1 .  

Z 1 ,  Z 2 ,  ・  ・  ・ ,  Z=

r n )

m

2

M=(・,

Theorem  1 .  

{ i }   f  ( y l z ;  8

g ( y l z ;  < I >

2LR

Mp

q ( ・ ;  

i n  l a w ,  

W =   [  ‑B

( 0

‑ B t 9 ( 0 . ,

A;

B , t ( < / > . ,  0.)A

( 0 . ) B

A;'

の固有値からなるベクトルである．

( i i }   J ( y l z ;  8

g ( y j z ;  < I > * )

J(YIZ; 

n ‑ 1 / 2  L

n 1 / 2 E~[ ^{l n  g(YIZ;} 

^{N ( O ,}  

^{i n  l a w ,}  

が成り立つ．

この定理の大まかな証明をしよう.

p s e u d o  t r u e  v a l u e

T a y l o r

Lfi(8』 =L⑱（幻＋聾— 8*)'A厄）

^{( O n  ‑}

^{O p ( l ) .}  

n 

L

L ; ( < / > n )  

2  ( < P n‑< / > * ) ' A 9  

n

2

( 1 3 )  

n 

L

( 8 n ,

=L

‑ ( { } n  ‑( ) * ) ' A , ( 8 * ) ( 8 n  

n 

2 

＋ー

2  ( < P n

が道かれる

( i )

f ( y l z ;8

g ( y j z

L

( 8 * ,

=0

L

( O n ,

  : =

f :   J ;

  ^{: =}

^{1 )}

44 

V u o n g  t e s t

となる（尻か）の漸近分布は

( 5 )であることより ( i )

J(YIZ; 0 * )  

一方

( i i )

( 1 3 )

nEi[ln

v n

g(YIZ

( 1 4 )   n ‑ 1 1 2  L

n 1 1 2 E~[ln J(YIZ;B

g(YIZ

4 5  

=  n 1 ; 2  

^{￠ , * )}  ‑E~[ln J(YIZ; 0 * )  

1 ) . n  g(YIZ

  ] l

を得るが，右辺は，中心極限定理を適用することにより，

N ( O ,

この定理は，

Vuong( 1 9 8 9 )

( i )

( i i )

3 . 1   S t r i c t l y  Non‑nested Models 

D e f i n i t i o n  2 .   ( S t r ‑ ' i c t l y  N o n ‑ N e s t e d  M o d e l s ) :  2

F

G

F

。

^{中 =} 0 .  

であるとき

s t r i c t l yn o n ‑ n e s t e d

Example  1 .   { C o x ,  1 9 6 1 ) :  

{  f ( y l 0 )  =  Y ― ' ( 2

i / 2e x p   {— ^{(In y 2 ; ,  0,)'}'0} 

^{0 ,}  

^{o o , y  >  0 .}  

g ( y l ￠ )  =￠‑1 e x p ( ‑ y / ￠ ) ,  ￠>  0 ,  y  >  0 .  

他にも，対数正規分布とワイブル分布，また，対数正規分布とガンマ分布についても議論がなさ れ て い る

Example 2 .   PR.OBIT  v s   LOGIT  m o d e l .  

(Pr(Y = 1 )   = 殴 ' z ) =    : 1

e

' z

Pr(Y = 1 )  

( ￠ ' z )   _= l+e

中 ' z .

以上のように，

s t r i c t l yn o n ‑ n e s t e d  c a s e

2

2

さて

s t r i c t l yn o n ‑ n e s t e d  c

e

2

f ( ・ I ・ ;0 * )  

g ( ・ I ・ ;  

Theorem1

( i i )

次の定理を得る．

4 5  

Theorem 2 .   { M o d e l  S e l e c t i o n  T e s t s  f o r  S t r i c t l y  N o n ‑ N e s t e d  M o d e l s ) :  

F

s t r i c t l yn o n ‑ n e s t e d

( i )   u n d e r   H6:  n ― 1 ; 2  L

n

N ( O ,  

i n  l a w  ,  ( i i )   u n d e r   H J :   ^{n ‑ 1 / 2  L}

^{( O n ,}

o oa . s .   ,  ( i i i )   u n d e r   H ;  :  n

1 1 2 L R n ( B

e f > n ) I 心 n → ー o oa . s  . .  

上の定理の

w;

Vuong ( 1 9 8 9 )が列挙している漸近同値なものの中で，例えば，

呪三~t.

[ 

:c~:i'::tff ‑ [~t. ^In~

 ] ! : !   '

を用いればよいだろう．

3 . 2   Overlapping Models 

D e f i n i t i o n  3 .   ( O v e r l a p p i n g  M o d e l s ) :   2

F

o v e r l a p p i n g

( i )   F i 。 n G c t >

0 ,

( i i )   F0 ¥  G

0 and G

¥Fo

0 .

であるときを言う．

Example 3 .  

f ( y l z ;  

=  ^{1  ( y  ‑ a  ‑u ' ( 3  ‑v}

麿 exp{— 2び2

^}, 

g ( y l z ;  

¹  ( y  ‑ a  ‑u ' ( 3  ‑v

麿

e x p

^}, 

ここで

U , V J ,   V 9は，それぞれ P ,q t ,  q g

( u : v 1

p

+qg次元確率変数ベクトルであるとする．ここで， ( u : v 1 : v 9 )はベクトルを縦に並べたも

の，つまり

( u ' , v 1

この場合は，

s t r i c t l yn o n ‑ n e s t e d  c a s e

2つのモデルに

Theorem 1 

{ i )

f ( ・ I ・ ;  

g ( ・ I ・ ;  

! ( ・ I ・ ;  

=  g ( ・ I ・ ;  

H c i

! ( ・ I ・ ;

g ( ・ I ・ ;  

s t r i c t l y  n o n ‑ n e s t e d

Theorem 1

{ i i )

ここで注目してほしいのは，どちらかのモデルが真の分布を含むという古典的な仮定を置く ならば，

! ( ・ I ・ ;

g ( ・ I ・ ;

h O ( ・ I ・ )

Ei[ l n  f(YIZ; 

= 

4 6  

V u o n g  t e s t

4 7   E~[lng(YIZ;

I ( h ( y l z ) ,f ( y l z ;  0

= I ( h ( y l z ) , g ( y l z ;  

= 

K u l l b a c k ‑ L e i b l e r

h ( y l z )= f ( y l z ;  

g ( y l z ;  

. f  ( ・ I ・ ;  

g ( ‑ I ・ ;  

E

nf(YIZ;0

=  E~[lng(YIZ;

が成立する．それ故

! ( ・ I ・ ;

g ( ・ I ・ ;  

0

# E 糾 lng(YIZ;

Theorem 1

( i i )

. f( ・ I ・ ;  

= g ( ‑ I ・ ; <

Vuong

N o n ‑ n e s t e d

3.3  Nested Models 

D e f i n i t i o n  4 .   ( N e s t e d  M o d e l s ) :  

F

n e s ti n

叫

C F e ,  

Example  4 .   2

f ( y l z ;  0 )  =  ¹  (y‑a‑u'/3‑v',)2  ,  言 exp {— ^{2a2 }} 

g ( y l z ;   < / > )   =  ¹  ( y  ‑a  ‑u ' / 3 ) 2  

exp {— ^{2a2 }'} 

ここで

U, V

p , q

( u : v )= ( u ' , v ' ) '

p+q

o v e r l a p p i n gc a s e

この場合，モデルの包含関係より

Ei[ l n  . f  (YIZ; 

g  (Y  I 

< t >

H :

は必然的に除外されるまた，

E 糾 lnf(YIZ;0 * ) ]  = Ei[lng(YIZ; 

! ( ・ I ・ ;0

g ( ‑ I ・ ;  < I >

を意味するので，

Theorem 1

{ i )

! ( ・ I ・ ;0 * )  = g ( ‑ I ・ ;  < I > * )

これまで見てきたように，

Vuong

この

Young

N o n ‑ n e s t e d

以降の節では，これらのことについて議論してゆく．

4 7  

4  TWO  LINEAR REGRESSION MODELS 

この節では，

2

Vuong

h o ( y l z ) ,

N(a 。 ^+z

^{o ,}  

モデル

G

N(a+u'{3,

< I > =( a : [ 3

p s e u d ot r u e  v a l u e  < / > *   = ( a *  : [ 3 *

を計算しよう．の＊は，

Et[lng(YIZ; 0 ) ]  =  J  ^{l n g ( y l z ;}  

^{h 0 ( x ) d x}  

=  I  ^{h o ( z )}   I  _{—; ^{l n}

^{( y -~;, u ' / 3 ) ' }  h ( y l z ) d y d z   -~ln 2 , r}  

を最大にするものとして与えられので，

l 9 ( a , { 3 , C J 2 )   =~J ^{h ( z )  j(y‑a‑u ' f 3 )}

^{0 ( y l z ) d y d z+  2  l n C J 2}  

を最小化するものと言い換えられるこのとき，次の定理が成り立つ．

Theorem 3 .  

U

Z = z

< I >= 

( a : [ 3 : C J

p s e u d ot r u e  v a l u e  0 *   = ( a *

a *   ( 1 5 )   0 *  = I  f 3 *   .  ‑

2

*  

び

a

(E[Z]'‑E [ U ] ' I . : u i J , I . : u v ) (

江 砂 ぶ uz 心

び~+

(~(I.:zz, ― E z u , I . : u

, I . : u v ) C 。

であり，

1  1  ( 1 6 )  

l n a ;  

2  2 

［証明］まず，

a * ,/ 3 *

j(y-a —直）切0(ylz)dy

^{= E v 1 z  [ ( Y  ‑a  ‑u}

= E v 1 z  [ { ( Y  ‑a

z ' ( o )  + ( a

z ' ( o  ‑a  ‑u ' / 3 ) }  2 ]  

= E v 1 z  [  (Y ‑a  ‑z

0 ) 2  

+  2(Y ‑a 0  ‑z ℃  o ) ( a

z ' ( 0  ‑a  ‑u ' / 3 )   +(a 。 ^+z ℃ o  ‑a  ‑u ' / 3 ) 2 ]  

＝吋

+(a

^{z ' ( 0  ‑a  ‑u ' / 3 ) 2}  

4 8  

Vuong t e s t

4 9  

Z

E [

 { ( a ^。 + z   ‑ ^℃ ) o ( a +   ^{U ' / 3 ) } 2 ]  =} 

( c ,

(~) (E~Z] E~:;,]) ( ; : ) ‑2 ( a

^(~) (E~Z] E~::,]) ( ; )   +  (a,~') ( E ; U ]   E~::,]) ( ; )  

を得る．これを最小化する

a , / 3

(E~] E~::,]) (;)-(E[~] E~:;,]) ( ; : )  = O  

を満たすので，

( ; : )  =  (E~] E~:;,])-• (E~] E~:;,]) ( ; : )  

=(1 十~:t!~~~[U]

-E~:,

(E~] E~:;,]) ( ; : )  

= 

^(;:) 

旱 邸

z , ( 。 ) 

= 

( E [ Z ] ' ‑ E[U]'~

^{z , ) (}

と表されるこの式を利用すれば，

叶{

a ( ^。 + z ^℃ ) o

( a * +

^{t ]}  

=  E  [  {    ‑ Z ( E  [  Z ) ) ^℃  o  ‑   ‑ U ( E [ U ] )

^uz

= 

と表される．叶は，―

_d d  _が ‑ l ( a ,a 2 )   ^{=  0}

d  1 

ー ， ． ． ． ー

d a 2  l ( a ,  

2    {  2 a

+ E [ ( a

+ z ^℃ o ‑ a ‑ U

^{} = o}  

の解として与えられる（証明終わり）．

次に，

A 9 ,B9

l n g ( y i z ;  

=  ‑‑ 1 

( y  ‑

u ' / 3 ) 2   1 

‑ ‑l n  2 1 r  

2  2 a 2   2 

4 9  

だから，

8lng 

a 

81(3 

び2 

y‑ a  ‑u ' / 3   a 2   y  ‑ a  ‑u ' / 3  

(J2  u 

1  ( y  ‑ a  ‑u ' / 3 ) 2  

"""". 一—·

2 a 2   ^＋  2 ( a 乎

であるここで，

r

=  y  ‑ a  ‑u ' { 3

I-~

¹ 

r g  

（び）2

＼  が

Ing ‑‑u  ‑‑uu  1  1  ^I  ‑ r  g u 

び

2 ゜ ² 

²

〇 ¥

I  a ¥ 

r  g  2  1 

＼ 

. r  ,  . — g 

2  r  g '  

81炉:,)゜し:,

I 

^2u 

^{2 ( a}

^J

8lng  8lng 

I  0: 

゜~² 

a 

81(3181[3  e r  

2 

3 9 2  

︑ ； ー ︑

r  ^. _g  ²  

（び）2

u 

2  2 

r  _{g  ‑ u}  r    _.

_{. uu} 

(a叩 (a叩

‑ r g  

r  g u'+  r_~u' 2 ( a 2 ) 2   2 ( o ・ 2 ) 3 2 ( a 2 ) 2   2 ( <

2 ) 3

̲  r 9  

r ;   2 (

2 (

r g   r 3

  2 (

u +  

2 (

、

U

1 

4 (

g 

Theorem 4 .   U, Z

U

Z

B g ( < / J )

［証明］前定理で，

E[Y‑a , .  ‑U ' / 3 , . ]   =  0 ,   E[(Y ‑a , .  ‑U ' / 3 , .  

E[(Y‑a , .   ‑U ' / 3 , . ) U ]   =  0 

してそれ故

Y ‑a , .   ‑U ' / 3 , .  

Y‑a , .   ‑U ' / 3 , .  

N(O,

U

E[(Y ‑a , .   ‑U ' / 3

=0

(17)~E[(Y ^{‑ 年} ‑ U

U] =  E[(Y ‑a , .   ‑U ' / 3

E[U] = 

E[(Y ‑a , .   ‑U ' / 3 , . ) 4 ]   =  3 ( a : ) 2  

5 0  

V u o n g  t e s t

が導かれるこれらの値を用いて，各要素の期待値を計算することにより，

/  1  1 

‑ び ‑E[U]'0  ¥ 

゜

1  1 

( 1 8 )   ‑ A g ( < / > * ) =  B g ( < t > )  = 

2E[U]  ‑E[UU']  0 

び び2

5 1  

＼ 

゜ _{O '}   ¹ 

2 (

2 /  

であることが確かめられる（証明終わり）．

この定理の結果から直ちに，

U

p次元ベクトルとするとき，

( 1 9 )   2 {  L 9 ( ￠ n )  ‑L 9 ( c p * ) } : : : : : : : : :   X~+2

であることが示される．この性質をうまく活用できるのが，

N e s t e dC a s e

Example 4 

F i

( 2 0 )   2 {  L t ( 0 n )  ‑L t ( 0 * ) } : : : : : : : : :   x;+q+2 

が成り立つ．いま，

f ( y l z ;

g ( 引 z ;c p * )

L 1 ( 0 * )

L t ( 0 n )‑L9(

は，モデル間に包含関係があるため必ず非負になる．一般に， 2つのカイ自乗分布に従う確率変 数

X rv  x ; ,  y  ^rv

( p > 

=  I

X ‑ Y

p‑q

R a o ,1 9 7 3

( 2 1 )   L t ( B n )  ‑L g ( e f > n ) : : : : : : : : :   x~

であることが示される以上のように，

Vuong

N e s t e d c a s e

x2

この事実をうまく活用して，

O v e r l a p p i n gc a s e

l .  

F

中ぅ l

( y / z ) ,H1 :  Fe 3  h 0 ( y / z )

H

:F

中ぅ h

0 ( y / z ),  H1 : 

中ぅ h

/ z )  

N e s t e dc a s e

2 .  

f ( y l z ;0

g ( y l z ;   < I >

S t r i c t l yn o n ‑ n e s t e d  c a s e

もう一度検定を行う．

このようにすれば，重み付きカイニ乗和分布を導入する必要がなくなり，面倒な棄却限界値の計 算をしなくて済むのである．この手続きを適用する際，説明変数をも確率変数として扱い，その 分布が正規分布に従うとみなしてよいかを確認しなければならないが，この要請は，説明変数を 適当に変換すれば満たされる場合が多い．そもそも，説明変数が正規分布に従うとみなしてよい

5 1  

という状況は，回帰分析の信頼性が高くなるため，正規線形回帰モデルを当てはめる時点で要請 しても良いことなのである．それ故，ここで紹介した手続きは，正規線形回帰モデルでは至極妥 当なものといえる．

この節の最後に，

0 * )  = 

』が具体的に何を意味するのかを考察する

0 )  

を Example 4 で定義したものとする．すると， ( 1 5 ) 式より，

a f *  =  a 。+ (E[Z]'‑( E [ U ] ' ,  E [ V ] ' ) E

V ) ( U V ) 1 E ( U V ) Z ' ) ' 。

じ : )

^{V ) ( U V ) ' E c u v ) Z ' ふ}

と表される．ここで，

E c u v ) ( u v ) ' = ロ   (

とするさらに，

｛

図

^{u v}

^{U ' ― 嘉 v 勾 げ V U '}

: E v u v ;   り ＝ 畠 V ' ‑ : E v u , : E

V'

とおくとき，

︐ 

＼︶ 

びU

u u  

a

応 V)Z'=

旱）

( U V ) ' =  

¹ U

‑U 

a  ︐  ,vu 

u v   1 V E  

‑U  E

%

u

1 : : : . .  

▽ ／

l ̲ ー ＼

＝ 

ー

︑ ¥

＼ ̲̲ 

l /  

u u  

u u  

▽

a  、＼＼~

ー

, . . . . , : : , .

I : : , .  

S 

V , u  

u v  

こ

TV

u U

>

E  

, . . . . ,  

: : : .  

‑U  a 

と表される .Z を (U:V) に未知の説明変数を付け加えた形で， Z= (U:V:W) と表しても一 般性を失わない．この Z に対し，く

= ( ( 3 。 : , o : 6 。)とし， E u v W { , ‑ =  Euw1 ― I : u v , E

, r , E v w , とい

う記法を導入すると，

亨

V ) ( U V ) '

UV)Z'=(; 

という簡単な形で表現され，

O I q  

＼｀

＼ ̲ ー／

屈

＞ 匹

u v v u  

▽Y 

u v

%  

u ＞ ＞ ゃ u 

a 

( 2 2 )  

CY 

f *   /31*'= 

" " f t *  

a 。 +E[W げ o‑E [ U ] 富 贔 翫 W { r O 。‑ E [ V ] ' 鍔 図 翫 W ( ; O 。

^{U v W { r O 。}

,o+~

^VuW

⁶ 。

という表現を得る．これを，

( 2 3 )   (a•·) = (a 。+ E[V]'ro~E[U]'~

^{+  E[W]'0 。‑ E[U]'~}

^{w , O 。}

厖 / 3 o   + 

^{+  E}

^{w , O 。 )} 

と比較して， a f *=  a Y * ' / 3 1 *  = / 3 g *   ,  1 f *  = 0 が同時に満たされるのはどんな場合かを考えてゆ こう．具体的には，

( 2 4 )   , o  

E

w

⁼⁰

52 

ヽ．~、‘_ー／

5 6   2 2  

︵

︵  

Vuong  t e s t

( I :  

W '

UvwJ8o=  0 

E [ U ] ' ( I : u t ,  I : u w ,  

E 応 W { ,

E

V ( JI : v u  wJ  8 。

5 3  

+ (E[V]'‑E [ U ] ' I :  

v 1 ) 1 0=  0  を同時に満たす条件を探すことになる．任意の

。にたいして ( 2 4 ) が成り立つには，

( 2 7 )   1o =  0 and  I : v u W ( ;  = 0 

でなければならない．その理由は， W そしてもちろん 6 。は実際には明示されない仮想的なもので あり， 1 。が仮想的な量により決まるとは考えられない．それゆえ， 10= 

V u ' 1 i り I ;   V u W ( ;= 0  

は正則行列であるので，江勤 W(; =  Q であることが要請される のである．

( 2 7 ) が成立するならば， ( 2 5 ) ,( 2 6 ) は，共に，

( 2 8 )   E

W '

W { r=  Q 

ならば成立する．逆行列の公式， (I+AB)

1= 

B を使えば，

腐贔＝（江

U '

v u , ) ― 1

‑1 

＝｛江

U ' ( I‑E

U V '

=  { 1   ^{+ E}

( I

v

u,E

l

v,E

}E

となることから，

勾 贔 翫

W { r

= E

W '

E

uv,E

VW'

+ E u i J ,  ( I  ‑EuiJ,Euv,Ev

Evu,1

iEuv,Ev ↓ ,Evu,E

Euw'

—区切i;,

^{( I  ‑E u i ; ,  Euv, E} 読 ,Evu,E

, ) ‑ 1

uv,Ev

^u,E

uv,E

r,Evw,

= EuiJ,Euw, 

E

( I‑E

v,E 砂 ,Evu,E

1Euv,E 読 ,Evuw&

が成立するこのことより， ( 2 8 ) は ，

( 2 9 )   Eu; 

( I‑E

1,Euv1E

v u , )

= 0  

となる．これより， Euv,= 0 か，あるいは，区 V u W [ J=  Q のどちらかが満たされればよいことが 分かる以上の議論をまとめると次のようになる．

Corollary 1 .   任意の 8 。に対して， a f *   =  O ' . g * ,   f 3 t *   =  / 3 9 *   ,  1  f *   =  0 となるための必要十分条 件は， 1 0=  0 ,  EvuW& = 0 である．

さて江乃 W f . J =  Q は，実際上どのような意味を持つのだろうか．式の持つ意味は， U の影 響を取り除けば，

と

は無相関であるということだつまり，

は，真の分布に含まれ

5 3  

る可能性のある潜在的な説明変数とは，

U

このような条件が満たされそうにない状況では，

f ( y ¥ z ;

g ( y ¥ z ;  

Theorem 1

( i i )

Vuong

f( y ¥ z ;  

=  g ( y ¥ z ;  

Vuong ( 1 9 8 9 )で

は，重み付きカイ自乗和分布を導入しなければならない．しかしながら，この節で述べたように，

極めて特殊な場面を除いては，

f ( y ¥ z ; O

g ( y ¥ z ;  

Theorem1

( i )

5  NON‑NESTED HYPOTHESES 

この節では，

Vuong

N o n ‑ n e s t e d

Vuong

N o n ‑ n e s t e d

P e s a r a nand Weeks  ( 2 0 0 1 )を甚にしている．この問題の起源は， Cox ( 1 9 6 1 )にさかのぼ

2

N o n ‑ n e s t e d

Vuong

F i

G

n o n ‑ n e s t e d

( 3 0 )   H

^{h 0 ( y ¥ z )   E  F e ,   H1 :  h 0 ( y l z )   E  G}

そして，

( 3 1 )   R 。 : h 0 ( y l z )   E  G

h 0 ( y l z )   E  F i 。

の

2

N e s t e d

Non‑Nested

4

これ以降正規線形回帰モデルを例として議論をするため，次のような行列記号を導入する．

' Y 1  ¥  (z~\

^{( v ;  ¥  ( w ;}  

Y=I: l,Z=I:  l,1U=I:  l,V=I: l,W= 

Y n /   ¥  Z~) ¥  U~j ¥  v ; : J   . ¥ 

Z ,  1 I . J ,  V, W

N o n ‑ n e s t e d

Vuong

Vuong

5 4