解答例２次数学セレクション

(1)

［98 大阪大］

(1) f(x)log (1ax)log2xloga

2 く。

 

  

 

 

  f ( ) log log log ( ) log

( )

( ) log ( )

x a a

a a

a a a a

a

a a

a x

x

x x

x

x x 1

1 2

2 1

1 2 1 a＞1, x 0 , f(x) 0

x 0 , f(x) f( )0 log (1 1 ) log20

また, g(x) log xloga x ( log )a log( a ) x

 2   

2 8 1

2

く。

   

       g (x) loga x( log )a a loga log log

a a

x _a a

a x

x

x x 1

2 4 ₁

1

2 4 ₁ 2

h x x a a

a

x _a

a x

x x

( )  log  log

     

1

2 4 ₁

1 2 4

1 1

く。

  

 

 

h x a a a

a

a a a

x x

x x ( ) log log

( )

( ) log ( 1

4 1

1

4 1 0 1

2

2 ＞ )

x 0 , h x( ) h( )0 1 2

1 1 1 0     a＞1 , loga＞0 g(x) 0

x 0 , g(x) g( )0 log2log(1 1 )0

以上 , log2 log log ( ) log log ( log )

2 1 2 2 8

2

 x _a _ax  x _ax _a

≦ ≦

(2) an n n

n n n _1 3 _{ } 

2

1 3 2

1

(

)

, logan nlog

(

13n

)

nlog2 1

ここ , (1) 式い a x n

3,  1 く ,

log2 1 log log

(

)

log log ( log ) 2 3 1 3 2

1 2 3

1

8 3 1

2

 _n   _n 

n n

≦ ≦

1

2 3 1 3 2 1 2 3

1 8 3 1

2 log ≦nlog

(

)

nlog ≦ log ( log )

n n

  

1 2 3

1 8 3

2 log ≦loga ≦ log ( log )

n

n 

n∞ す , さうち原理 logan  1log log 2 3 3 対数関数定義さた変域い連続 , lim

nan  3

［解説］

(1) 不等式誘導し用い an 極限求わけす , logan 考え ,

a x

n

(2)

［98 九州大］

(1) f(x1)f(x) , f(x) 周期1 周期関数あこ表す。そ 1例し , f(x)sin2x あ。

(2) F x( )exf(x) , F(x)exf(x)exf(x)ex



f(x)f(x)



条件(B) , F(x)≦0 , こ F x( ) 単調非増加。

, a＜b F a( ) F b( )

(3) 条件(A) , 正整数n 対し帰納的 , f(xn)f(x) 成立す。 , F x( n)ex n f(xn)e en xf(x)e F xn ( )

(4) (2) , 正整数n 対し , F x( ) F x( n) (3) 合わせ , F x e F x

n

( ) ( ) , (1en)F x( ) 0 , 任意 x い F x( )≦0 , すわち, e x

x

f( )≦0 , f(x)≦0 す , f( )c 0 c 存在す , f( )c 0 あ。

また, あ c f( )c 0 あ , F c( )0

(2) , F x( ) 単調非増加関数 , 0F c( ) F c( 1) (3) , F c( 1)e F c( )0

, c≦x≦c1 い , F x( )0 , すわちf(x)0 条件(A) , す x f(x)0

［解説］

昨第 2 問続い , 2 連続抽象関数い問題出ました。こタイプ問題 , 具体的イメージ必要す , そけ完全解ませ。特 , (4) 証明試行錯誤要求さます。 , 微分方程式高校課程く

(3)

［98 神戸大］

(1) H x( )



xf( ) ( )t g t dt

0 H( )0 0, G x t dt x

( )



g( )

0 G( )0 0 P x( )G b H x( ) ( )H b G x( ) ( ) ,

P( )0 G b H( ) ( )0 H b G( ) ( )0 G b( ) 0 H b( ) 0 0 P b( )G b H b( ) ( )H b G b( ) ( )0

P x( ) 0≦x≦b 連続, 0＜x＜b 微分可能 , 平均値定理適用す ,  

P ( )c 0, 0＜c＜b 実数c 存在す。

(2) P(x)G b H( ) (x)H b G x( ) ( )G b( ) (f x) (g x)H b( ) (g x) (1) , あ実数c P( )c 0 ,

G b( ) ( ) ( )f c g c H b( ) ( )g c 0

条件 g( )c ＞0 , G b( ) ( )f c H b( )0 さ G b( )＞0 ,

H b

G b c

( )

( ) f( ) 実数c 0＜c＜b 存在す。 (3) F x H x

G x ( ) ( )

( )

 く ,









      

F x H x G x H x G x G x

x x G x H x x G x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

f g g

  

 

g

f ( )

( ) ( )

( ) ( ) x

G x x

H x G x

(2) ,    





  

F b b

G b b

H b G b

b

G b b c

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) g

f g f f

ここ ,g( )b ＞0 , G b( )＞0 あ , また条件 , f(x) x＞0 い単調増加 , 0＜c＜b f( )b f( )c ＞0

以上 , F b( )＞0

b 正任意実数 , x＞0 F(x)＞0 , すわち関数 H x G x ( )

( ) x＞0 単調増加あ。

［解説］

(4)

［99 名古屋大］点P ( ,t t )

3 _{, Q ( ,}_s _s3₎_, __PQR_

く。曲線yx

3

…… 原点対称 , t＞0 し一般性失わい。

, y 3x2 , P け接線 , y 3t2(x t) t3 3t x2 2t3………

, x3 3t x2 2t3, x3 3t x2 2t3 0 (xt) (2 x2t)0

x t, 2t , s 2t……… ここ , 直線PQ 傾 3

2

t , 直線RQ 傾用い 3 12

2 2

s  t 。

tan  

   

12 3 1 12 3

9 1 36 2 2

2 2

2 4 t t

t t

さ , 3 0 2

t u＞し, f(u) u u 

 3 1 4 2

く ,

    

 

 

f ( ) ( )

( )

( ) ( )

u u u u

u

u u 3 1 4 3 8

1 4

3 1 4 1 4 2

2 2

2 2 2

右表 , u＞0 0 3 4 ＜f(u)≦ すわち, 0 3

4 ＜tan≦

 

1 1 1 3 4

25 16 2

2

＜ ≦

cos    , 1625 1 2 ≦cos ＜ tan＞0  鋭角 , 4

5≦cos＜1

［解説］

平面上 2直線す角扱い方 , ベクトル内積利用 tan 加法定理利用いう2種類あます。本問 cos 求 , 前者計算しいました , 微分したこゴイ式出しまい沈没しました。そこ , そま計算御破算し作た上解す。

P R

Q O x y

u 0 … 1

2 … ∞ 

f (u) ＋ 0 － f(u) ₀ 3

(5)

［99 京都大］

＞0 , ＞0 ,       ＞0すわち   ＜ , Psinsin sin  sinsin sin(     )

sinsin sin(   )  1



 



2 cos(2 ) cos sin

ここ ,   0(0＜ 0＜ )  値固定す ,









P  1     

2 2

1

2 2

0 0 0 0 0 0

cos(   ) cos sin sin cos cos(   ) sin0＞0 , cos(2  0) 最小値 , P 最大値。

さ , 0＜  ＜  0 , 0＜2  0＜2  0 , 2  0  すわち

  1  

2( 0) い , cos(2  0) 最小値1 。

  0 固定した , P 最大値 P  1 

2sin0( cos0 1) あ。

次 , こ 0 値 0＜ 0＜範変化させ , P 最大値求。そこ , f(x)sin ( cosx x1 () 0＜x＜) く ,

    

f (x) cos ( cosx x 1) sin (x sinx) 2cos2xcosx1

( cos2 x1)( cosx1)

右増減表 , f(x) x 

3 最大値

 

f  3

3 4 3

 。

以上 , P    

 

         

3

1

2 3 3 3 3

, , 最大 , こ

最大値 , P  1

 

   2 3

1 2

3 4 3

3 8 3

f  あ。

［解説］

こ出会たう問題す。いわゆ予選・決勝戦いう方法解く , 予想通結論得ます。

O π π

0

0

x 0 … 

3 …  

(6)

［99 東北大］

(1) f(x) x2 1logx2   (x )2 x2logx 2

1 2

1

2 1 微分し ,

     

     

f (x) xlogx x x ( ) log

x x x x x x

2 2

2

2 1

2

1 2

2

1 1 2 1 xlogx2  1 xlogx x

2 2 1

    

    

f (x) logx x x log

x x x x

2

2 1

2

1 2 2

1 ₁

  

  

logx x log

x x

2 2

2 1 2

2

1 2 1  

 

  

 

f ( ) ( )

( )

x x

x

x x x x

x x

2 1

4 1 2 2 1

2 2

2 2   

 2 1 1

1 2 2 ( )( )

( )

x x

x x

     

f ( )1 log1 1 2log1 1 0

x＞0 f(x) 0 , f(x) 単調増加あ。

(2) f( )1 log12log1 1 1  0 (1) , 0＜x＜1 f(x)＜0 , x＞1 f(x)＞0

f( )1 log1 0 log10 , f(x) 0 , 等号成立 x1 あ。

(3) (2) , x2 1 x2 x 2 x2 x 2

1 2

1 2 1

 _log  _ ₍ _ ₎ _ _log

x p q

 ＞0 く ,

p q q

p q

p q 2 2

2

2 2 2

2 2

1 2

 _log  _{ }(  ) _ log

p q p q

p q p p

q

p q q 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

1

2 2

 _log  _ ₍ _ ₎ _ _log _  _log

 1     

2 2

2 2 2 2 2 2

(p q) p logp p logq p q logq

 1     

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 (p q) p logp p logq p q logq

 1   

2 2

2 2 2 2 2 (p q) p logp q logq

［解説］

(1)(2) 誘導乗 , (3) 不等式証明まムー進います。

x 0 … 1 …



f (x) － 0 ＋ 

f (x) ₀

x 0 … 1 … 

(7)

［99 東京工大］ A(ab) , p B 2p1(ap bp) 対し , b

a x く , x＞0 し , A ap(1x)p, B 2p1(ap a xp p)ap2p1(1xp)

す , A B a



x x



p p p p   ₍₁ ₎ ₂ 1₍₁ ₎

ここ , f(x) ( x) ( x ) p p p  ₁ ₂ 1 ₁

く ,





            

f (x) p(1 x)p 1 2p 1 pxp1 p (1 x)p 1 (2x)p 1 (i) p1＞0 (p＞1)



f (x)＞0 ⇔ (1 ) (2 )

1 1

_x p _x p

＞ ⇔ 1x＞2x ⇔ 0＜x＜1 

f (x)＜0 ⇔ (1 ) (2 )

1 1

_x p _x p

＜ ⇔ 1x＜2x ⇔ 1＜x f(x) 値増減右図う ,

f(x)≦0

, A≦B 等号 ab 成立 (ii) p 1 0 ( p1)

f(x)(1x)20(1x)0 , A B (iii) p1＜0 (0＜p＜1)



f (x)＞0 ⇔ (1 ) (2 )

1 1

_x p _x p

＞ ⇔ 1x＜2x ⇔ 1＜x 

f (x)＜0 ⇔ (1 ) (2 )

1 1

_x p _x p

＜ ⇔ 1x＞2x ⇔ 0＜x＜1 f(x) 値増減右図う ,

f(x) 0

, A B 等号 ab 成立 (i)(ii)(iii) ま ,

p＞1 a≠b A＜B, また0＜p＜1 a≠b A＞B, さこ場合以外 p1また a b AB

［解説］

A B a b い p次式 , し定数項 0 , a b 比考え

文字減しました。こ常套手段結論導けます。

x 0 … 1 … 

f (x) ＋ 0 － f(x) ₀

x 0 … 1 … 

(8)

［2000 神戸大］ (1) f( ) cos

sin

x x

x 



6 2 ,

     

 

  f ( ) sin ( sin ) cos ( cos )

( sin )

sin ( sin )

x x x x x

x

x x

6 2 2

6 2

2 6 6 2

2 2

(2) f(x)0 す , sinx   2

6 6 3

こ解 x  , ( ＜ ) く , f( )0 f(2 ) 1

6

  

, 増減表 , x  f(x) 最小値。

こ , sin  6

3 , cos   1sin    3 3 2

, 最小値 , f( ) cos

sin

 





 



  

6 2

3 3 6 2 6

2 2 (3) f(x)0 す , x   

2 3 2

, 。求面積 S す ,

S x

xdx tdt

 

   



cos





sin 6 2

1 6 2 2

3 2

1 1

 

sinx t く









   

1

2 6 2

1 2

6 2 6 2 1

1

log t log

 1    2log (5 2 6) log ( 3 2)

［解説］

数Ⅲ微積分典型題す。極値 x 値求まい , こ文字設定し, そ条件用い極値求問題す。

O 1 1

x 0 …  …  … 2



f (x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 1

6

(9)

［2000 筑波大］ x a≦a x , logx loga

a x

≦ , alogx≦ xloga , logx log

x

a a

≦ ………( )

ここ , f( ) log

x x

x

 く ,

   

f ( )

log

x x

1 1

2

 2 2

logx x x

す , ( ) 正実数x い , f(x)≦f(a) いうこ , こ条件満たすa 値 , 上表 ae

2

。

［解説］

毎う類題出頻出有名問題す。ポイント ( ) 形不等式変形すこす。過去記憶辿いく , 98 都立大・後期, 97 東北大あます。

x 0 … e2 … ∞



f (x) ＋ 0 －

f(x) ∞

2

(10)

10 ［2000 東京工大］断面直角角形 1 頂点 C 角柱底面上

, ADa, BEb し右図う設定す。 AC a2 1 , BC b2 1

AB (ab)2 1

0≦b≦a≦2 す , AC 最大辺 ,   B 90 。

平方定理適用し , a b a b 2 _{ }₁ 2 _{ }₁ ₍ _ ₎2 _₁ 2b2 2ab 1 0, a b

b   1

2

す , 0≦b≦b b  1

2 ≦2 , 2 4 1 0 2

b  b ≦ ,

2 2 2

 

≦b≦ こ , △ABC 面積 S す ,





S b a b b

b

1      

2 1 1

1

2 1 1 4 1

2 2 2

2

( ) ( ) 1  

2

1 4

5 4 2

2 b

b

ここ , f( )b b b  2  

2 1 4

5

4 く ,      f ( )b b

b b

b 2 1

2

4 1 2 3

4 3

さ , f( )b



b



b

  1 

2

1 4 2

変形す ,

  



f 2 2

2 2

1 2

1 4 2

  

  2 1 4

9 4



 



f 2 2 2

2 2 2

1 2 2

1 4 4

1 4

17 4 2

 _  _

    

増減表 9 4

17 4

≦f( )b ≦ , 1 2

9 4

1 2

17 4

≦S≦ , 3

4

17 4 ≦S≦

［解説］

b 2 2

2 , f( )b 値そまま計算すたいへそう工夫しました。しし, いま考え f( )b b

b   1

2 設定したほうたしませ。

A

C

B

a

b

D

E

b 2 2

2 

… 2 2 …

2 2 2 



f ( )b － 0 ＋

f( )b 17 4

9 4

(11)

電送数学舎 2001 −−

11 [名古屋大]

ORJ ORJ

[ = [

I とおくと

[ [ [ _ORJ = ′

I となりS≦[≦T において平均値の定

理を適用すると

_F

S T

I I

I

′ = −

− _S _F _T

＜

ここでH≦S＜Fより FORJF＞HORJH=Hなので

H F F

F _ORJ

= ＜ ′

I

よって

H S

T S

T

＜ −

−I

I

HS T S

T− ＜ −

I

I より

HS T S T−ORJORJ ＜ −

ORJ

［解説］

(12)

電送数学舎 2001 −−

12 [東京大]

W＞に対し3 4

(

W _W

)

より

(

W _W

)

W _W

W W W

D

₌ ₋ ₌ ₋ ₌ −

またEW W_[G[ W _W

[

ORJ[

]

W ORJW

₊ ₋ _⋅ _⋅ ₌ ₌

⋅

=

³

よって

ORJ

− = =

W W W W D W E W

F

ORJ ORJ

−

+ + − −

= −

⋅ −

− +

= ′

W

W W

W W W

W W W W

W W

F

ここで_I_W₌_WORJ_W₋_W₊ORJ_W₊_とおくと

W W W W W W W W W W

W ORJ ORJ

− +

= + − ⋅ + =

′

I

さらに _J_W₌_WORJ_W₋_W₊_とおくと

W W W W W W W

W ORJ ORJ

₌ ₊ _⋅ ₋ ₌

′

J

W＞のときJ′W＞より JW＞J= よってI′W＞となりIW＞I=

したがって F′W＜となるので FWはW＞においてつねに減少する。

［解説］

関数の増減についての基本問題です。新しい関数をどんどん設定し微分していけ

ばそのうち題意と同値な式にたどりつくというタイプです。

\

[

2 3

4

(13)

電送数学舎 2002

−−

13 [筑波大]

_D

[ [ [

ORJ

+ =

I より

ORJ

− − ₊

+ − + = +

+ ⋅ −

+ =

′

D D

[ [

[ D[ [ [

[ [ D [ [

[

I

ここで J[=+[−D[ORJ[とおくと

₊

+ = ′

D

[ [

[

[ J

I となり

(

)

=+ − ⋅ =

D DH H

HD D D

J

(

D

)

D D _HD＜

D DH H

H = + − ⋅ = −

J

[＞なので_[₊_[D+_＞_より

₍

_H_D

₎

_＞

I′ _I_′

(

_HD

)

＜

よって_HD_と_HD_の間に_I_′_F₌_となる_F_{が存在する。}

J′[=−DORJ[−D[⋅_[ =−D−DORJ[

= ′ [

J の解は

DD [₌−

ORJ より_[₌_HD−D

また OLP

=

+ → [

[ J [OLP→∞J[=−∞から

[

J の増減は右表のようになる。

よって J[=となる [はつしかなく言い換えると I′F=となるFは

ただつである。

すると I[の増減は右表のようになり I[は

F

[ = で最大値をとることになる。

［解説］

微分法の標準的な問題です。ただ OLP

=

+ → [

[ J はプロセス抜きで答えるしかない

でしょう。

[ … _H−DD … _∞

[

J′ _＋ ₋

[

J ₋_∞

[ … F …

[

I′ _＋ ₋

[

(14)

−−

14 [名古屋大] ORJ

(

)

ORJ ORJ

+ − − + =

+ − + =

[ [ [

I とおくと

＜

+ − = + + − + = ′

[ [ [

I

[

I は[＞において単調減少で OLP =

∞ → [

[ I より I[＞

よってORJ

(

)

+ +

[

[ ＞

J[=ORJ

(

+_[

)

[ =[ORJ

(

+_[

)

=[

{

ORJ[+−ORJ[

}

とおくとより

(

)

ORJ

(

)

ORJ

＞

+ − + =

− + + − + =

′

[ [ [

[ [ [ [

[

J

よって J[は[＞において単調増加である。

すると＜より J

(

)

＜J

(

)

となるので

(

)

(

)

ORJ

ORJ + ＜ +

したがって

(

)

(

)

+ ＜ +

［解説］

においてJ[を設定するところがポイントです。

(

)

[

[ ORJ

= +

J または

[

[ ORJ

= +

(15)

−−

15 [金沢大]

[\の大小関係で場合分けをして不等式[ORJ[−ORJ\≧[−\を証明する。

L ＜\＜[のとき

[ [ ORJ =

I とすると

[

= ′

I となるので平均値の定理より

ORJ ORJ

F \

[ \

[ ₌

−

[

F

\＜＜

＜

[

F＞より [ \ [

\

[ ORJ

ORJ _＞

−

− _[ _[ _\ _[ _\ − −ORJ ＞

ORJ

LL ＜[＜\のとき

Lと同様にして

ORJ ORJ

F [

\ [

\ ₌

−

\

F

[＜＜

＜

[

F＜より \ [ [

[

\ ORJ

ORJ _＜

−

− _[ _\ _[ _\ _[ − −ORJ ＜

ORJ

\ [ \ [

[ORJ −ORJ ＞ −

LLL＜[ =\のとき

ORJ

ORJ[− \= [−\= より [ORJ[−ORJ\=[−\

LLLLLLより [ORJ[−ORJ\≧[−\（等号は[ = \のとき成立）

≦L≦Qとしてから

(

)

[ _Q Q

[

[L ORJ L −ORJ ≧ L −

(

)

¦

(

)

¦

₌ − ₌ −

Q

L L Q

L

L L

Q [ Q

[ [

ORJ

ORJ ≧ ………＊

¦

₌ − ₌ ₌ − ₌

Q

L Q

L L Q

L

L [ _Q [ [ _Q

[

ORJ

ORJ ≧

条件より

=

¦

_L₌Q [L なので Q

Q Q

[ [

Q

L

L − − ⋅

¦

₌ _ORJ _ORJ

≧

Q [

[

Q

L

LORJ ORJ

≧

¦

₌

等号が成立するのは＊において[L = _Qのときすなわち

Q [

[ ="= Q = の場

合に限る。

［解説］

はを利用します。等号成立条件を参照すれば[ を[L\ を_Q と置き換えるの

はそんなに難しいことではありません。

(16)

−−

16 [名古屋大]

点5がのとき 67=であり\軸に関する対称性から点5が第象限に

あると考えても一般性を失わない。

さてW＞として 5_W ₋_W _とおくと ₇_W _G

となり

G W＞

− −W＞G＜W＜ −G

このとき直線 [ W

W

\

25 = − と直線O \=Gの交

点は

G [

W W =

−

W

GW [

−

=

よって

(

G

)

W

GW

6

−

となり

67

W GW W

− −

= である。

ここで

W GW W

W

− − =

I とおくと

W W

W W G

W

− −

+ − ⋅ − = ′

I

W W

G W W

− −

− − −

=

= ′ W

I とすると−W −W =G −W =Gより

−W =G

G

W= −

＜G＜なので右の増減表より

G

W= − のときIW =67は最大と

なりその最大値は

G G G G G

G G G

G − − = − − − = − −

−

［解説］

点5 の[座標を普通に設定しましたが微分の計算は繁雑ではありませんでした。最初は5を媒介変数表示した方がよいのかどうかと迷っていたのですが。

W … ₋_G … −G

W

I′ _＋ ₋

W

I

2 [

\

−

6 5

7

(17)

−−

17 [東北大]

[＞のとき I[=[+ORJ[_[+ =[+

{

ORJ[+−ORJ[

}

(

)

[ [ _[

[ [ [

[ [

[ ORJ ORJ

ORJ ORJ

− = + − −

+ +

+ − + =

′

I

＞

+ =

+ + + + − = + − + = ′′

[ [ [

[

[ [

[ [ [ [ [ [

I

これよりI′[は単調増加関数であり

(

ORJ

)

OLP

{

ORJ

(

)

}

OLP

OLP ′ = + − = + − = +∞

→ +∞

→ [ [ [ [ [

[

[ [

[ I

よって[＞のときI′[＜となるので I[は単調減少関数である。

= + + = +

(

+

)

=

+

→ +

→ [ [ [ [

[ [

[

ORJ OLP ORJ OLP OLP

I ∞

(

)

OLP ORJ

(

)

ORJ ORJ

OLP

OLP = + + = + + = =

+∞ → +∞

→ +∞

→ [ [ H [

[ [

[ I

(

)

(

)

ORJ ORJ

{

HORJ H HORJH

}

H

H H

H

H − = + + − = + + −

I

ここで J[=[ORJ[ [＞とおくと J′[=ORJ[+＞から

_H _J _H

J + ＞

すると

(

)

−＞

H

I より

(

)

＞

H

I ………①

また _I₋₌ORJ₋₌ORJ₋ORJ_H_＜_から_I_＜_………②

①②よりI

(

)

＞＞I

H

よってから＜[＜

H の範囲に I[=を満たす[が存在する。

［解説］

(18)

−−

18 [東京工大]

IQ[はQ+次多項式であることを数学的帰納法を用いて示す。

L Q=のとき I[=[より成立する。

LL Q=Nのとき IN[がN+次多項式であるとする。

このとき _[

N

I はN−次多項式となり [I_N[はN+次多項式である。

すると [ N [ [ _N [

N I I

I + = + より IN+[はN+次多項式となる。

LLLよりIQ[はQ+次多項式である。

さて IQ[の[Q+の係数をDQとすると D =で IQ[の[Q−の係数は Q

D Q

Q + となるので IQ+[=IQ[+[IQ[から[Q+の係数を比べると Q

Q Q Q D

D + = +

Q≧で DQ =D⋅⋅⋅⋅⋅"Q−Q=Q−Q

=

Q をあてはめるとD ==となり成立する。

よってDQ =Q−Q

JQ[を[ [ [ [の係数および定数項がの次以上の多項式として

Q Q Q Q Q

Q

Q[=J [+S [ +T [ +U [ +V [+W

I

すると条件よりIQ+[=IQ[+[

{

JQ[+SQ[ +TQ[+UQ

}

_[ _[ _[ _S _[ _T _[ _U _[

Q Q

Q + + + +

=I J

ここで[ [ [ [_{の係数および定数項を比べると}

Q Q

Q S T

S + = + ……① TQ+ =TQ +UQ……②

Q Q U

U + = ……③ VQ+ =VQ……④WQ+ =WQ……⑤

また [=[

I より S =T = U =V =W =となり

③よりUQ =④⑤よりVQ =WQ =

②に代入して TQ+ =TQ +よりTQ =+Q−=Q−

さらに①に代入して SQ+ = SQ +Q−よりQ≧で

¦

₌− −

+ =

Q

N

Q N

S =Q−Q−

=

Q をあてはめると S =となり成立する。

よってIQ[=JQ[+SQ[ +TQ[ +UQ[+VQより IQ=VQ = Q

Q Q

Q

Q[=J[+S [ +T [+U

I より IQ=UQ =

Q Q

Q

Q[=J[+S [+T

I より IQ=TQ =Q−

Q Q

Q[=J[+S

I より IQ=SQ =Q−Q−

［解説］

(19)

−−

19 [神戸大]

条件より D[ _≧[ _D_＞ _[_＞_なので [

D

[ORJ ≧ORJ ORJD≧ORJ_[[………＊

ここで

[[ [ ORJ =

I とおくと

ORJ

[ [

[ = −

′

I

するとI[の増減は右表のようになり＊が任

意の正の実数[に対して成り立つ条件は

H H

D

ORJ ≧I = D HH

≧

［解説］

有名頻出問題がノーヒントで出ています。

[ … H …

[

I′ _＋ ₋

[

(20)

−−

20 [東京工大]

D [[ [ − =

I より

D [ D [ [ D [ [ [ − − ⋅ − − = ′ I D [ D [ [ − − =

これより I[の増減は右の表のようにな

る。なお =∞

+ →

OLP [

D

[ I OLP[→∞I[=∞であ

る。

[E D [ [ − − =

J より

D [ [ D [ E [ [ E D [ [ − − + − = + − − = ′ J

ここで_K_[₌₋_[ ₊_E_[₋_D_とおくと_D_＜_[ _で_K_[_の符号と_J_′_[_の符号

は一致し

{

}

{

}

E _[ _D _[ E

D [[ D

[ [

K − =− − −

− −

−

= I

L E≦ D

(

E≦ D

)

のとき

D＜[において I[−E≧なので K[≦すなわちJ′[≦となる。

よって J[は単調減少するので J[のグラフと相異なる点で交わる [ 軸

に平行な直線は存在しない。

LL E＞ D

(

E＞ D

)

のとき

より I[−E =は D＜[ で異なるつの実数解をもちこれを[ =α β

α＜β とおくと J[の増減は右表

のようになる。なお =∞

+ → OLP [ D [ J OLP = ∞ → [

[ J である。

すると J[は D＜[ で連続なのでこのグラフと相異なる点で交わる[軸に

平行な直線が存在する。

LLLより求める条件はE＞ Dである。

［解説］

で関数K[を設定しましたが振り返ってみると冗長でした。J′[のまま同

じように処理ができます。

[ D … D …

[

I′ ₋ _＋

[

I _× D

[ D … α … β …

[

J′ ₋ _＋ ₋

[

(21)

−−

21 [金沢大]

円22の中心間距離をGとすると＜U≦から

_U _U _U _U _U _U

G= − − + − − = − = − ………①

円が接するとき −U=U+U =+ Uより

₌ − + = U

この値は＜U≦を満たしている。

条件から中心間距離がG=UFRVθとなり①より

θ FRV

− U = U

FRV θ + = U

また線分34で領域'は二等分されるので

{

VLQ_θ ₊ _π ₋_θ

}

_×₌ VLQ_θ ₊_π₋_θ

= U U U

6 FRV VLQ θ θ π θ + − + = ………②

円22の位置関係によって場合分けをする。

L _＜_U_≦− _のとき

より円22は離れているかまたは接しているので

_U

U

6=π × = π

よってUの値が増加するとき6は単調に増加する。

LL − ＜U＜_のとき

円22は交わっておりより

FRV _＜ _＜ θ + −

すると FRVθ＜かつ＜FRVθ より

_＜_θ_＜π _{となる。逆に}_θ _が

_＜_θ_＜π _の範

囲で増加するとき FRVθは単調に減少しUは

− _＜_U_＜ _{において単調に増加す}

る。

さて②より

FRV VLQ FRV VLQ FRV FRV θ θ θ θ π θ θ θ + − + ⋅ − + − + − = ′ 6 FRV VLQ VLQ FRV FRV θ θ θ π θ θ θ + − + + + − =

ここでIθ=FRVθ − +FRVθ+VLQθ +π−θVLQθとおくと

(22)

−−

θ θ π θ θ θ

θ θ θ

θ FRV FRV FRV FRV VLQ VLQ VLQ

= + − − + + −

I

= FRVθ +FRVθ −θ− −FRVθ +π −θVLQθ = −VLQθ− +π −θVLQθ

=VLQθ− VLQθ +π −θ

そこで \= VLQθ と\=π −θ のグラフを

＜θ＜π におい

て書くと右図のようになる。

よって − VLQθ +π −θ＞から Iθ＞となる。する

と 6′＞からθ の増加に伴って6 は単調に増加する。すな

わちUの値が増加するとき6は単調に増加する。

LLL

=

U のとき

円22は重なるので 6 =π

( )

=π

LLLLLLより6は連続的に変化するので最大となるのはU=のときである。

［解説］

円2は[軸\軸に接し円2は直線[= \=に接する同じ半径の円です。

半径をまで増加させたときの円の位置関係を考えますが得られた結論は予想と

は反したものでした。

2

\

θ π

π

(23)

−−

22 [大阪大]

＜θ＜π から直線O [VLQθ +\FRVθ =の上向き

の法線ベクトルの成分をVLQθ FRVθとすることがで

きるのでこれより O の右向きの方向ベクトルの成分

はFRVθ −VLQθとなる。

さて半径5のつの円& &の中心をそれぞれ3

4とおき 3を通り[軸に平行な直線と 4を通り\軸

に平行な直線との交点を + とおくと 34=5

θ

=

∠43+ となる。

すると点3の座標は35 5VLQθ +5となり直線Oとの距離が5なので

5 5

= +

− +

+

θ θ

θ

_FRV VLQ

FRV VLQ

VLQ

5 5VLQθ +FRVθ +VLQθFRVθ−= より

FRV VLQ FRV

VLQ + + − =

θ θ θ

θ

5

同様にして図のように点3′ 4′ +′を設定すると 3′U UVLQθ +Uとなり

{

U U U

}

_U

= +

− +

+ −

θ θ

θ

_FRV VLQ

FRV VLQ

VLQ

U

U + + + =

− VLQθ FRVθ VLQθFRVθ より

FRV VLQ FRV

VLQ + + + =

θ θ θ

θ

U

以上より _VLQVLQ _FRVFRV _VLQVLQ _FRVFRV

+ +

+

− +

+ =

θ θ θ

θ

θ θ θ

θ

5U

W=VLQθ +FRVθとおくとW =+VLQθFRVθよりVLQθFRVθ =W −

またW= VLQ

(

θ +π

)

となり

＜θ＜π から＜W≦ である。

ここで ₅U =IWとおくとより

W W W

WW W W

+ − = +

− + =

I

すると＜W≦ で

＞

W W

+ + = ′

I より IWは単調増加し

I I

I ＜ W ≦

よってI= I =−+ より＜ ≦−+

5U である。

［解説］

はいろいろな解法が考えられます。最初に考えたのは直線Oの[切片と\切片

の間の距離を 5 とθ で表すものでした。しかし計算が複雑になりすぎ次に考えた

のが上に記した解法です。

3

4 +

2

3′

4′

+′

[ \

(24)

−−

23 [広島大]

_I_[₌_[₋_[₊_より

₌ ₋ ₌ ₊ ₋

′ [ [ [ [

I

よって極大値

(

[ =−

)

極小値

−

(

)

=

[ となる。

公式FRVθ =FRVθ −FRVθに

π

θ = を代入すると

FRV FRV

FRV π ₌ π ₋ π

FRV FRV

π ₋ π ₊ ₌

よって [ =FRVπ は方程式I[=の解である。

N=FRVπ＞FRVπ =よりN は方程式I[=の最大の

解である。

ここでI

( )

=− ＜なので右図より

＞

N となる。

J[=FRV[−[ とおくと J′[=−VLQ[−≦ から

[

J は単調に減少する。

ここで＜π＜またより

FRV π＞なので

(

π

)

=FRVπ −π＞−π＞−×=＞

J

( )

π ₌FRVπ₋π ₌ ₋π＜ ₋_×₌ −＜

J

よって J[=すなわちFRV[ =[の解はただつ存在しそれを[ =αとする

とき π＜α＜πとなる。

［解説］

倍角の公式と次方程式を対応させて三角関数の値を絞り込む有名な問題です。

ただ誘導が親切なので過去問の経験がなくても不安は感じないでしょう。

[ \

2 N

−

(25)

−−

24 [東北大]

FRV_FRV + − = [ D [ [

I に対して

FRV VLQ FRV FRV VLQ + − − − + − = ′ [ D [ D [ [ D [ [ I

{

}

FRV FRV FRV FRV VLQ + − + + − = [ D [ D [ D [ [ FRV FRV FRV VLQ + + + − = [ D D [ [ D [

ここで _J[₌DFRV[₊FRV[₊D_とおくと_I_[_が_≦_[_≦_π_{で減少関数と} なる条件は＜[＜πにおいてJ[≧と同値である。

さらにW=FRV[ KW=J[とおくと＜[＜πから−＜W＜のもとで

(

W _D

)

_D D D

D W DW W

K ₌ ₊ ₊ ₌ ₊ ₋₊

＜D＜から−＜−

D となるので −＜W＜においてKW≧となる条件は

− = D− ≧

K D≧

よって＜D＜より ≦D＜である。

L ≦D＜のとき

より I[は≦[≦πで減少関数なので最大値はIである。

LL ＜D＜のとき

− = D− ＜

K K=D+＞より −＜W＜においてKW=となる W

がただつ存在しこれをW=αとおく。すると −≦W＜α においてKW＜

≦ ＜W

α においてKW＞となる。

さらにα =FRVβとおくと β＜[≦πにおいて

[ ＜

J ≦[＜βにおいてJ[＞となる。

よってI[の増減は右表のようになり

＞ − + − = − − + − = − D D D D D π I I

以上より≦[≦πにおけるI[の最大値はIである。

［解説］

一見平易に見えますが関数の増減に関する興味深い問題です。置き換えを行っ

て思考の対象を絞りグラフをイメージしながら解きました。

[ … β _… _π

[

I′ ₋ _＋

[

(26)

−−

25 [京都大]

& \=FRV[……①

[ [ \ & + −

= ……②の共有点の条件は

FRV [ [ [ + − =

ここで

FRV [ [ [ [ + − − =

I とおくと

＞ π π π π π N N N N N + = + − − = I ＜ π π π π + + − = + + + − − − = + N N N N I

これよりI[=はNπ＜[＜N+πに少なくともつの実数解をもつ。す

なわち&と&はこの区間に少なくともつの共有点をもつ。

この共有点をα FRVαとすると①②より

FRV α α α + − = ………③

さて点α FRVαにおける&の接線は①より\′=−VLQ[なので

VLQ

FRVα =− α −α

− [

\ ………④

=

[ のとき \=αVLQα+FRVα………⑤

ここでNπ＜α＜N+πにおいてVLQα＞より③から

(

)

VLQ α α α α α + = + − − = α α + =

⑤から

+ ₊− = ₊+ = + ⋅ = α α α α α α α

\ となり接線④は点を通る。

点から&に引いた接線は接点をW FRVWとすると

VLQ FRVW W [ W

\− =− − Nπ＜W＜N+π

を通ることより−FRVW=WVLQW WVLQW+FRVW−= ここで JW=WVLQW+FRVW−とおくと

W W W W W W

W VLQ FRV VLQ FRV

= + − = ′

J

右表より JW=となる W

は Nπ＜W＜N+π にただ

つだけ存在し言い換えると

点を通る接線の&上の

接点は個だけしか存在しない。すなわち&と&の共有点の個数は多くとも

つでありと合わせるとただつとなる。

［解説］

はの後半で示した&と&の共有点における&の接線は必ず点を通

るということを用いています。ややくどく記述しましたが。

W Nπ …

(

N+

)

π … N+π

W

J′ _＋ ₋

W

(27)

−−

26 [東京大]

_I_[₌_[

{

₊_H−[−

}

_に対して

{

}

₌ ₊ − − ₊ _⋅ ₋ − −

′ [ H [ [ H [

I

(

)

₊ ₋ − −

= [ H [

[

I′′

(

)

− −

−

− ₊ ₋ ₋ −

= H [ [ H [

₌_[₋_H−[−

よって [＞におけるI′[の増減は右表のよう

になり OLP ′ =

∞

→ [

[ I から

≦I′ [ ＜である。

より I′[≧なので

＞

[ でI[は単調に増加する。

すると

＞

[ から[ =I[＞I

( )

=+H＞となり帰納的に [Q＞

である。

さて [Q ≠のときFQをと[Qの間の数として平均値の定理より

Q Q

Q _F

[ [

I I

I

′ = − −

I[Q−I=I′FQ[Q −

そこで [Q+ =I[Q=Iから

− = − = ′ −

+ Q Q Q

Q [ F [

[ I I I

＞

Q

[ よりFQ＞となるのでより I′FQ ＜であり

− −

+ Q

Q [

[ ＜

=

Q

[ のときは[Q+ =I=なのでこのときも含めて

− −

+ Q

Q [

[ ≦

よって [Q − ≦ [ −

( )

Q

これよりQ→∞のとき

( )

Q→より [Q − →となり

OLP = ∞

→ Q

Q [

［解説］

漸化式で表された数列の極限を求めるときに平均値の定理を利用する典型的な問

題です。

[ … …

[

I′′ ₋ _＋

[

解答例 ２次数学セレクション

(

)

(

)

(

)

(

)

［解 説］





［解 説］

















［解 説］

 

［解 説］













 

 

 

［解 説］

［解 説］









［解 説］









［解 説］

［解 説］









  





 



［解 説］

［解 説］

(

)

(

)

[

]

³

［解 説］

(

)

(

)

(

)

(

)

［解 説］

(

)

(

)

(

)

解答例２次数学セレクション

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

₍

₎

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］