力学入門

力学入門

http://kurasawa.c.ooco.jp

1994

4

1997

4

1999

4

2002

4

2008

4

目 次

1

1

1.1

. . . . 1

1.2

. . . . 1

1.3

. . . . 3

1.4

. . . . 5

1.5

. . . . 7

2

9 2.1

1

. . . . 9

2.2

2

. . . . 9

2.3

. . . . 10

2.4

. . . . 11

2.5

3

. . . . 14

3

16 3.1

. . . . 16

3.2

2

. . . . 18

4

21 4.1

. . . . 21

4.2

. . . . 22

4.3

. . . . 24

4.4

. . . . 27

4.5

. . . . 28

5

31 5.1

. . . . 31

5.2

. . . . 33

5.3

. . . . 35

5.4

. . . . 37

6

44 6.1

. . . . 44

6.2

. . . . 48

7

51

7.1 2

. . . . 51

7.2

. . . . 52

7.3

. . . . 53

7.4

. . . . 56

7.5 2

. . . . 58

7.6 2

. . . . 60

7.7

. . . . 62

8

65 8.1

. . . . 65

8.2

. . . . 66

8.3

. . . . 68

8.4

. . . . 69

8.5

. . . . 70

8.6

. . . . 72

9

78 9.1

. . . . 78

9.2

. . . . 78

9.3

. . . . 81

9.4

. . . . 84

9.5

. . . . 86

9.6

. . . . 88

9.7

. . . . 90

10

98 10.1

. . . . 98

10.2

. . . . 99

索引

102

参考書

•

(

)

•

–

(

)

• V.D.

(

)

•

(

)

•

(

)

•

(

)

•

(

)

•

:

(

)

1

物体に働く力

(force)

(motion)

(mechanics)

(大きさ)

,

,

,

,

(

)

,

,

,

(material point)

1.1

y

z

x軸 x

y z

ϕ θ O

P

るかにより記述される。このため

,

,

( system of coordinates )

,

O(原点)

x, y, z

P

3

x, y, z

t

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

x, y, z

r, θ, ϕ

3

これを極座標または球座標という。ここで,

r

OP

θ

OP

z

ϕ

OP

x-y

x

0 ≤ r < ∞ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ < 2π

x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ (1.1)

3

( degree of freedom )

3

2

(

x, y )

2

問

1.1 (1.1)

r, θ, ϕ

x, y, z

1.2

質点の位置

P

3

O

P

P

r

⃗ r

−→

OP

一般に,大きさと向きをもつ量をベクトル

(vector)

例えば, 速度は矢印の大きさが速さを表し, 向きが運動の方向を表すベクトルである。一方,質量や 時間のように,向きに関係しない大きさだけの量をスカラー

(scalar)

大きさが

1

(unit vector)

y, z

e x , e y , e z

x, y, z

P

r

r = x e x + y e y + z e z (1.2)

と表せる。このとき,

x, y, z

r

(component)

e _x , e _y , e _z

t

r(t) = x(t) e _x + y(t) e _y + z(t) e _z (1.3)

位置ベクトルは原点という特別な点から引いた矢印であるから, 原点をどこに取るかで変わる。

このようなベクトルを束縛ベクトルという。一方

,

質点が点

A

B

,

−→

AB

∆r

B

r _A , r _B

O ^′

A

B

r ^′ _A , r ^′ _B

∆r = r B − r A = r ^′ _B − r ^′ _A

であるから,変位ベクトルは原点の取り方に依存しない自由ベクトルである。

内積 任意のベクトル

A = A x e x + A y e y + A z e z

A = (A x , A y , A z )

A

| A |

| A | =

√

A ² _x + A ² _y + A ² _z

B = B _x e _x + B _y e _y + B _z e _z

A · B

A · B = A x B x + A y B y + A z B z

で定義する。内積は

2

B

θ

A · B = | A || B | cos θ

である。

A

B

θ = π/2

A · B = 0

, A · A

A ²

単位ベクトル

e _x , e _y , e _z

1

e x · e x = e y · e y = e z · e z = 1 , e x · e y = e y · e z = e z · e x = 0

( i, j

x, y, z

)

e _i · e _j = δ _ij , δ _ij =

{ 1 i = j

0 i ̸ = j

(1.4)

である。δ

_ij

1.3

質点がある直線上を運動する場合を考える。この直線を

x

t

x(t)

t

t + ∆t

x(t + ∆t) − x(t)

x(t + ∆t) − x(t)

∆t

である。∆t を無限小にしたときの平均速度を時刻

t

(velocity)

v(t)

v(t) = lim

∆

t → 0

x(t + ∆t) − x(t)

∆t = dx

dt = ˙ x (1.5)

である。ここで

˙

軌道

A r(t)

O

B r(t + ∆t)

∆r

次に, 3次元の場合を考える。時刻

t

r(t)

A ,

∆t

t +∆t

r(t + ∆t)

B

∆r = r(t + ∆t) − r(t)

v(t) = lim

∆

t → 0

∆r

∆t = lim

∆

t → 0

r(t + ∆t) − r(t)

∆t = dr

dt = ˙ r (1.6)

で速度

v

→ 0

A

∆r

A

(orbit)

v

∆r

あるから

v

(1.6)

dr dt = lim

∆

t → 0

( x(t + ∆t) − x(t)

∆t e x + y(t + ∆t) − y(t)

∆t e y + z(t + ∆t) − z(t)

∆t e z

)

= dx

dt e _x + dy

dt e _y + dz

dt e _z (1.7)

になる。v の

x, y, z

v x , v y , v z

v x = ˙ x , v y = ˙ y , v z = ˙ z (1.8)

v

A

B

∆s

∆t

∆t → 0

, ∆s

∆r

√

∆x ² + ∆y ² + ∆z ²

v(t) = lim

∆

t → 0

∆s

∆t = lim

∆

t → 0

√( ∆x

∆t ) 2

+ ( ∆x

∆t ) 2

+ ( ∆x

∆t ) 2

= √

˙

x ² + ˙ y ² + ˙ z ² = | v | (1.9)

,

v

位置の時間変化が速度であるが

,

,

( acceleration )

a

a(t) = dv dt = d ² r

dt ² = ¨ r (1.10)

である。

a = d dt

(

v _x (t) e _x + v _y (t) e _y + v _z (t) e _z )

= dv x

dt e _x + dv y

dt e _y + dv z

dt e _z

a

x, y, z

a _x , a _y , a _z

a x = ˙ v x = ¨ x , a y = ˙ v y = ¨ y , a z = ˙ v z = ¨ z (1.11)

2

θ y

x e r

e _θ

R

θ(t)

をとると, 質点の位置は

x(t) = R cos θ(t) , y(t) = R sin θ(t)

である。円運動であるから

R

t

, θ

t

d cos θ dt = dθ

dt d cos θ

dθ = − θ ˙ sin θ , d sin θ

dt = ˙ θ cos θ

,

v x = ˙ x = R d cos θ

dt = − R θ ˙ sin θ , v y = ˙ y = R d sin θ

dt = R θ ˙ cos θ (1.12)

a x = ˙ v x = − R

( θ ¨ sin θ + ˙ θ ² cos θ )

, a y = ˙ v y = R

( θ ¨ cos θ − θ ˙ ² sin θ )

(1.13)

r

e r ,

e θ

e r (t) = cos θ(t) e x + sin θ(t) e y , e θ (t) = − sin θ(t) e x + cos θ(t) e y (1.14)

e r , e θ

,

v = v x e x + v y e y = R θ ˙ ( − sin θ e x + cos θ e y ) = R θ ˙ e θ (1.15) a = a _x e _x + a _y e _y = R θ ¨ e _θ − R θ ˙ ² e _r (1.16)

2

θe ¨ θ

(円

)

,

v = R θ ˙

, − R θ ˙ ² e r

,

R θ ˙ ² = (R θ) ˙ ² R = v ²

R

とも書ける。これは等速円運動と同じ表現であるが,

v

等速円運動では速さ

R θ ˙ =

(angular velocity) ˙ θ

ω

θ ¨ = 0

v = Rω e θ , a = − Rω ² e r

になる。加速度は常に円の中心を向く。等速円運動をさせる力

F = ma

mRω ²

(centripental force)

問

1.2

(1.14)

e ˙ r = ˙ θ e θ , e ˙ θ = − θ ˙ e r

になることを示せ。

問

1.3

t

e(t)

t

1,

e · e = 1

t

e

de/dt

,

2

y O

x

mg S e r

e _θ

θ

ℓ

m

鉛直平面内で振動させる。質点には棒からの張力

S

mg

_θ

ℓ θ ¨

− mg sin θ

mℓ θ ¨ = − mg sin θ , ∴ θ ¨ = − g

ℓ sin θ (1.17)

θ = θ(t)

( 39

)。一方, e _r

− mℓ θ ˙ ² = mg cos θ − S

S

S = mg cos θ + mℓ θ ˙ ² (1.18)

として求まる。微小振動の場合

cos θ = 1 − θ ² /2 + · · · ≈ 1 , ˙ θ ² ≈ 0

S ≈ mg

S ̸ = mg

運動方程式を直交座標

x, y

m¨ x = mg − S cos θ = mg − S x

ℓ , m¨ y = − S sin θ = − S y ℓ

になる。ただし

x ² + y ² = ℓ ² =

S

1.4

x

y

z P(x, y, z)

x ^′ e r

θ

e θ

ϕ θ

ϕ e _ϕ

e _r , e _θ , e _ϕ

r, θ, ϕ

方向の単位ベクトルと呼ぶ。e

_ϕ

xy

^′

e _x

e r = e x

sin θ + e z cos θ e θ = e x

cos θ − e z sin θ e _ϕ = e _y sin ϕ − e _x cos ϕ

である。これに

e x

= e x cos ϕ + e y sin ϕ

e r = e x sin θ cos ϕ + e y sin θ sin ϕ + e z cos θ

e _θ = e _x cos θ cos ϕ + e _y cos θ sin ϕ − e _z sin θ (1.19)

e ϕ = − e x sin ϕ + e y cos ϕ

逆に

e _x , e _y , e _z

e x = e r sin θ cos ϕ + e θ cos θ cos ϕ − e ϕ sin ϕ

e y = e r sin θ sin ϕ + e θ cos θ sin ϕ + e ϕ cos ϕ (1.20) e z = e r cos θ − e θ sin θ

になる。当然のことであるが

r = e _x r sin θ cos ϕ + e _y r sin θ sin ϕ + e _z r cos θ = re _r

質点の運動とともに

r, θ, ϕ

d

dt sin θ cos ϕ = d sin θ

dt cos ϕ + sin θ d cos ϕ dt

= dθ dt

d sin θ

dθ cos ϕ + sin θ dϕ dt

d cos ϕ

dϕ = ˙ θ cos θ cos ϕ − ϕ ˙ sin θ sin ϕ d

dt sin θ sin ϕ = ˙ θ cos θ sin ϕ + ˙ ϕ sin θ cos ϕ , d

dt cos θ = − θ ˙ sin θ

de r

dt =

( θ ˙ cos θ cos ϕ − ϕ ˙ sin θ sin ϕ )

e x +

( θ ˙ cos θ sin ϕ + ˙ ϕ sin θ cos ϕ )

e y − θ ˙ sin θ e z

= ˙ θ e _θ + ˙ ϕ sin θ e _ϕ (1.21)

同様にすると

de θ

dt =

( − θ ˙ sin θ cos ϕ − ϕ ˙ cos θ sin ϕ )

e x +

( − θ ˙ sin θ sin ϕ + ˙ ϕ cos θ cos ϕ )

e y − θ ˙ cos θ e z

= − θ ˙ e _r + ˙ ϕ cos θ e _ϕ (1.22)

de ϕ

dt = ˙ ϕ ( − cos ϕ e x − sin ϕ e y ) = − ϕ ˙ (sin θ e r + cos θ e θ ) (1.23)

r

r = r e _r

dr

dt = ˙ r e r + r e ˙ r = ˙ r e r + r θ ˙ e θ + r ϕ ˙ sin θ e ϕ

したがって,速度の

r, θ, ϕ

v r , v θ , v ϕ

v _r = ˙ r , v _θ = r θ , ˙ v _ϕ = r ϕ ˙ sin θ (1.24)

d ² r

dt ² = ¨ r e r + ˙ r e ˙ r + d r θ ˙

dt e θ + r θ ˙ e ˙ θ + d r ϕ ˙ sin θ

dt e ϕ + r ϕ ˙ sin θ e ˙ ϕ

= (

¨

r − r θ ˙ ² − r ϕ ˙ ² sin ² θ )

e r + (

˙

r θ ˙ + d r θ ˙

dt − r ϕ ˙ ² sin θ cos θ )

e θ

+ (

˙

r ϕ ˙ sin θ + r θ ˙ ϕ ˙ cos θ + d r ϕ ˙ sin θ dt

) e ϕ

= (

¨

r − r θ ˙ ² − r ϕ ˙ ² sin ² θ )

e r + (

r θ ¨ + 2 ˙ r θ ˙ − r ϕ ˙ ² sin θ cos θ )

e θ

+ (

r ϕ ¨ sin θ + 2 ˙ r ϕ ˙ sin θ + 2r θ ˙ ϕ ˙ cos θ )

e _ϕ

これから加速度の

r, θ, ϕ

a _r , a _θ , a _ϕ

a _r = ¨ r − r θ ˙ ² − r ϕ ˙ ² sin ² θ

a θ = r θ ¨ + 2 ˙ r θ ˙ − r ϕ ˙ ² sin θ cos θ (1.25) a ϕ = r ϕ ¨ sin θ + 2 ˙ r ϕ ˙ sin θ + 2r θ ˙ ϕ ˙ cos θ = 1

r sin θ d dt

(

r ² ϕ ˙ sin ² θ )

になる。

ある方向の単位ベクトルを

e

v _e , a _e

v _e = e · v , a _e = e · a = e · dv

dt

dv e

dt = d

dt e · v = de

dt · v + e · dv dt = de

dt · v + a e

であるから,

e

a e = dv e /dt

x, y, z

x

x

a e ̸ = dv e /dt

( e · dv/dt )

( dv e /dt )

運動が

xy

θ =

= π/2

θ ˙ = ¨ θ = 0

v _r = ˙ r , v _ϕ = r ϕ , ˙ a _r = ¨ r − r ϕ ˙ ² , a _ϕ = r ϕ ¨ + 2 ˙ r ϕ ˙ = 1

r d dt

( r ² ϕ ˙

)

(1.26)

v θ = a θ = 0

=

= R

(1.15), (1.16)

1.5

速度

v

(速さ)

v(t)

v

e _v (t)

v = v e _v

a = d(ve v ) dt = dv

dt e v + v de v

dt

と表せる。e

_x , e y , e z

e v

de v /dt

0

C

B

A ρ

軌道

e v (t)

e v (t + ∆t)

e _n (t)

e v (t) e v (t + ∆t)

∆e v

∆θ

∆θ de _v /dt

t

経過後の

t + ∆t

A, B

∆e v = e v (t + ∆t) − e v (t)

e v (t + ∆t)

e v (t)

∆θ

_v

1,

∆θ

⻑さで近似できるから

| ∆e v | = ∆θ

A

B

C

AC

BC

, AB

C,

ρ(t) = AC

∠ ACB = ∆θ

AB

∆s

∆s = ρ∆θ

| ∆e _v | = ∆θ = ∆s

ρ

である。∆t

→ 0

∆s/∆t → v

de v

dt

= lim

∆

t → 0

∆e v

∆t = 1

ρ lim

∆

t → 0

∆s

∆t = v ρ

∆e _v

∆t → 0

e _v (t)

−→

AC

e _n (t)

de v

dt = v

ρ e n , ∴ a = dv

dt e v + v ²

ρ e n (1.27)

になる。速さの変化

dv/dt

(

)

(法線方向)

v

ρ

以下のようにしてもよい。テイラー級数

(10.2)

r(t + ∆t) = r(t) + dr

dt ∆t + 1 2

d ² r

dt ² (∆t) ² + · · · = r(t) + ve _v ∆t + 1 2

d ve _v

dt (∆t) ² + · · ·

= r(t) + ve _v ∆t + 1 2

(

˙

ve _v + v de v

dt )

(∆t) ² + · · ·

de _v dt = τ e _n

とおく。e

_v

e _v · e _v = 1

d

dt (e _v · e _v ) = 2e _v · de v

dt = 2τe _v · e _n = 0

になるから

e n

e v

r(t + ∆t) = r(t) + ve v ∆t + 1 2 (

˙

ve v + vτ e n

)

(∆t) ² + · · ·

= r(t) + (

v∆t + v ˙ 2 (∆t) ²

)

e v + vτ

2 (∆t) ² e n + · · ·

になる。∆tが小さいとき,軌道は

r(t)

2

e v

e n

e v

X

e n

Y

X = v∆t + v ˙

2 (∆t) ² , Y = vτ 2 (∆t) ²

である。

t

, X

(

)

v(t),

v ˙

, Y

(

)

0,

vτ

∆t

1

∆t ≈ X/v

Y

Y = τ

2v X ²

ρ

X = 0, Y = ρ

Y = ρ − √

ρ ² − X ² = ρ − ρ (

1 − 1 2

X ² ρ ² + · · ·

)

= X ² 2ρ + · · ·

ρ = v/τ

ρ

de v

dt = τ e n = v ρ e n

になり

(1.27)

2

2.1

1

すべての物体は

,

,

(

)

物体がその速度を保持し続けようとする性質を慣性

(inertia)

1

0

r

O x

y

r ^′

O ^′ x ^′

y ^′

r 0

ここで注意すべきことは

,

(

)

2

S (O-xyz)

S ^′ (O ^′ -x ^′ y ^′ z ^′ )

S

r, S ^′

r ^′

O ^′

r ₀

r = r ₀ + r ^′

^′

v ^′ = dr ^′ /dt

v = dr/dt

v ^′ = v − v 0 , v 0 = dr 0

dt (2.1)

の関係にある。ただし

, v 0

S

S ^′

S

1

v

, v 0

v ^′

, S ^′

1

,

1

(inertial system)

,

1

(2.1)

^′

S

^′

慣性系は無数にある。

問

2.1 (2.1)

^′

a ^′

S

a

v 0

2.2

2

慣性系から見た場合, 質点は力を受けるとその方向に加速度を生じ, 加速度の大きさは力の大 きさに比例し,質点の質量に逆比例する。

質量

m

F

a

2

ma = F (2.2)

というベクトルの式で表せる。これをニュートンの運動方程式

(Newton’s equation of motion)

,

m

,

,

m

(inertial mass)

一般に,

F

r,

r ˙

t

F = F (r, r, t) ˙

¨ r

m¨ r = F (r, r, t) ˙ (2.3)

と書ける。F が分かっている場合,この方程式を満たす

r(t)

(

r(t) )

( differential equation )

我々の日常的スケールのすべての自然現象は, 原理的には簡単な数学的構造の運動方程式

(2.3)

(2.3)

r(t)

,

,

(2.3)

,

次元 力学に現れる物理量は⻑さ

(L),

(M),

(T)

,

(dimension)

[速度]=[LT ^{− 1} ]

[

] = [

]

[

] = [LT ^{− 2} ] [

] = [

][

] = [M LT ^{− 2} ]

である。⻑さをメートル

(m),

(kg),

(s)

MKS

m/s ² ,

kg · m/s ²

· m/s ²

N (ニュートン)

物理の数式や方程式の両辺は同じ次元でなければならない。また, 異なる次元の物理量の和はあ りえない。この性質を利用して, 物理量の間の関係を推定したり, 解の妥当性を検討できる。これ を次元解析

(dimensional analysis)

,

ℓ

m

T

g

,

ℓ, m, g

, C

T = C ℓ ^a m ^b g ^c

[T] = [L ^a M ^b (LT ^{− 2} ) ^c ] = [L ^a+c M ^b T ^{− 2c} ]

これから

a + c = 0, b = 0, − 2c = 1

a = 1/2, b = 0, c = − 1/2,

C √

ℓ/g

C

なお, sin

x, e ^x

x

問

2.2

m, v, r

m ^a v ^b r ^c

a, b, c

2.3

質点が一定の力

F

,

m d ² x

dt ² = F (2.4)

である。なお,時間に依存する量

A(t)

A

t

微分方程式を解く

F = mf

,

v = ˙ x

dv

dt = f (2.5)

である。この場合

f

t

dx

dt = v =

∫

f dt = f t + C 1 (2.6)

になる。ここで

C 1

t

C 2

x = 1

2 f t ² + C 1 t + C 2 (2.7)

を得る。

(2.4)

t

2

2

1

一般に,微分方程式に含まれる最高次の微分が

n

n

a d ² x

dt ² + b dx

dt + cx = 0

2

2

(2.4)

(2.7)

2

t

2

n

n

初期条件

運動を決定するには

,

,

( initial condition )

(causality)

初期条件として,

t = 0

x(t = 0) = 0 , v(t = 0) = 0 (2.8)

である。

(2.6), (2.7)

t = 0

C 1 = 0, C 2 = 0

, (2.8)

(2.4)

x = 1 2 f t ²

になる。この解のように任意定数を含まない微分方程式の解を特解

(

)

2.4

運動方程式を現実の問題に適用すると

,

,

x

mf (x)

d ² x

dt ² = f (x(t)) (2.9)

である。

オイラー法

(2.9)

dx

dt = v(t) , dv

dt = f (x(t)) (2.10)