國 教育研究員研究報告書

高等学校

平 成13年 度

教 育 研 究 員 研 究 報 告 書

國

東 京 都 教 職 員 研 修 セ ン タ ー

主題 身 近 な事象 を数学 的 に考 察 し、数 学的 な見方や 考 え方 の よ さを感 得 させ る教 材や 指導 方法 の工夫

主題設 定の理 由

平 成11年3月 告 示 の 高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 で は 、 数 学 の 目標 と して 、 「数 学 に お け る基 本 的 な 概 念 や 原 理 ・法 則 の 理 解 を 深 め 、 事 象 を 数 学 的 に 考 察 し処 理 す る能 力 を 高 め 、 数 学 的 活 動 を 通 し て創 造 性 の 基 礎 を 培 う と と も に 、 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の よ さ を認 識 し、 そ れ ら を積 極 的 に 活 用 す る 態 度 を 育 て る。」 と い う こ

とが 示 さ れ て い る 。

本 研 究 で は 、 数 学 的 活 動 を 通 して 、 身 近 な 事 象 と の 関 連 を 図 っ た り、 観 察 や 操 作 な ど の 数 理 的 な 考 察 を す る な ど して 、 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の よ さ を 認 識 させ る 教 材 、 指 導 方 法 の 工 夫 に 焦 点 を 当 て 、 上 記 の 主 題 を設 定 し、 検 証 授 業 を 行 い 分 析 した 。

題 材 と して は 、 三 角 関 数 、 指 数 関 数 及 び 微 分 の 数 学llで 扱 う単 元 を 取 り上 げ 、 指 導 に お い て は 、 ワ ー ク シ ー トを 工 夫 し、 照 度 計 や 情 報 機 器 な ど を 活 用 し た 。

平成13年 度 教 育研 究員(数 学)名 簿

班 研 究 テ ー マ 学 校 名 氏 名

視覚的 な発見 を通 して三角関数 都立八王子北高等学校 吉 武 敦

1 の グラフの理解 を深 める指導 都立 山崎高等学校 川 端 由美子 都立福生高等学校 祢 津 朋 彦 身近な事例 を通 して指数 関数 の 都立 向丘高等学校 矢 野 忠 夫

H 考 え方を理解 させ る指導 都立蔵前工業高等学校 小 松 真 都立紅葉川 高等学校 山 岸 啓 一 図形的な立場 か ら微分概念 の理 都立富士高等学校 古 橋 竜 哉

皿 解 を深 める指導法の研 究 都立光丘高等学校 加 藤 竜 吾 都立多摩高等学校 大 森 忠 都 立小平西高等学校 杉 谷 英 樹

担 当 東京都 教職員研修セ ンター研究部技術教育課指導主事 高 橋 雅 信

1123456H1234567皿1234567

目 次

視覚 的な発 見を通 して三角 関数 のグラフの理解 を深 める指導 研 究 の ね らい

研 究 の 内 容 ・方 法 指 導 方 法 ・教 材 の 工 夫 学習指導計画

ア ン ケ ー ト結 果 と分 析 ま と め と今 後 の 課 題

身近 な事例 を通 して指数 関数 の考 え方 を理解 させ る指導 研 究 の ね ら い

教材 の工夫 指導計画 学習指導案

アンケー ト調査 ど結果 考察 と分析

ま と め と今 後 の 課 題

図形的な立場か ら微分概念の理解 を深 める指導法の研 究 研 究 の ね ら い

微分法の指導法の史的考察 接線に関す る高校生の意識

図形的な立場 を意識 した微 分概念の指導法 学習指導計画

検証授 業の結果及び考察並びに本研 究の知見 と指導への示唆 今後の課題

223478

9 9 10 10 14 14 15

17 17 18 19 21 23 24

1視 覚 的な発 見 を通 して三角 関数 の グラ フの理解 を深 め る指 導

概 要

数 学H「 三 角 関 数 の 合 成 」 の 指 導 に お い て 、 生 徒 に 情 報 機 器 を 活 用 させ 、 具 体 的 な 例 を 視 覚 的 に と ら え させ な が ら、 主 体 的 か つ 発 見 的 に 学 習 で き る 教 材 お よ び 指 導 法 の 研 究 を行

っ た 。 生 徒 は授 業 に お い て 、 グ ラ フ の 平 行 移 動 や 拡 大 縮 小 が 行 わ れ て い る こ と を 視 覚 的 に 琿 解 で き 、 そ の 過 程 で 習 得 した こ と を 重 視 しな が ら 、 三 角 関 数 の 合 成 お よ び 加 法 定 理 を 自

ら発 見 す る 喜 び を 感 じ る こ と が で き た 。 ま た 、 三 角 関 数 の 合 成 か ら加 法 定 理 を 導 い て お り、

従 来 と は 逆 の 指 導 方 法 とな っ て い る。

1研 究 の ね ら い

教 育 課 程 審 議 会 の 答 申 の 中 で 、算 数 ・数 学 科 の 改 善 の 基 本 方 針 の 一 つ に 、 「実 生 活 に お け る 様 々 な 事 象 と の 関 連 を 考 慮 しつ つ 、 ゆ と り を も っ て 自 ら課 題 を 見 つ け 、 主 体 的 に 問 題 を 解 決 す る 活 動 を通 し て 学 ぶ こ と の 楽 し さや 充 実 感 を 味 わ い な が ら学 習 をす す め る こ と が で き る よ

うに す る。」 とあ る。

本 研 究 は 、 数Hに お け る 「三 角 関 数 の 合 成 」を 取 り上 げ た 。 こ の 単 元 の 授 業 内 容 は 、 加 法 定 理 か ら式 の 合 成 へ と、 式 変 形 と問 題 演 習 に 終 始 し、 グ ラ フ との 関 係 は 薄 い の が 現 状 で あ る。

そ こ で 、 本 研 究 の ね ら い は 、 一 般 角 を 動 径 の 回 転 量 と と ら え て か ら、 三 角 関 数 が グ ラ フ と して の概 念 を もつ と き に 、 三 角 関 数 の 合 成 を 、 グ ラ フ を 利 用 した 視 覚 的 な 観 点 か ら理 解 で き る よ う に 指 導 方 法 を 工 夫 した 。

そ の た め に 、 生 徒 が 試 行 錯 誤 しな が ら も 主 体 的 な 学 習 活 動 を 行 え る コ ン ピ ュ ー タ を 利 用 し た 教 材 を作 成 し た。そ の 教 材 を 生 徒 が 驚 き を も っ て 体 験 、観 察 し、コ ン ピ ュ ー タ を 操 作 す る。

そ こ で 得 られ た 事 象 を 類 推 、 考 察 す る こ と に よ り、 生 徒 自 らが 、 式 の 合 成 方 法 を 発 見 し、 合 成 の 式 変 形 に 基 づ く加 法 定 理 を得 られ る よ うな 指 導 方 法 を 研 究 した 。

こ の 活 動 を 通 して 、 生 徒 は様 々 な 合 成 の グ ラ フ を描 か せ 、 生 徒 が そ の 作 業 の 中 で 、 三 角 関 数 の 和 が 単 純 なsinカ ー ブ に な る の は 特 別 な 場 合 に 限 られ る こ と に 気 付 か せ る 。 ま た 、 グ ラ フ に は 周 期 や 振 幅 が あ る こ と を 実 感 させ 、 曲 線 の 美 し さ を 堪 能 で き る こ と も大 切 と 考 え た 。

2研 究 の 内 容 ・方 法

数 学ll「 三 角 関 数 」 の 学 習 の 中 で 、 視 覚 に 訴 え 、 生 徒 が 発 見 す る 喜 び を 実 感 で き る教 材 と して 「三 角 関 数 の 合 成 」 を 扱 う こ と と し 、 以 下 の 手 順 で 研 究 を 行 っ た 。

(1)数 学ll「 三 角 関 数 の 合 成 」 に 関 す る 現 行 の 教 科 書 に お け る 指 導 内 容 ・方 法 に 関 して 分 析 を 行 う。

(2)効 果 的 な コ ン ピ ュ ー タ ソ フ ト(Web上 で 公 開 され て い る ソ フ トウ ェ ア)の 選 択 とそ の ソ フ トの 使 い 方 を 習 得 し、 効 果 的 な 活 用 方 法 を 考 察 す る。

(3)指 導 計 画 、 学 習 指 導 案 、 ワ ー ク シ ー ト、 生 徒 向 け ア ン ケ ー トを作 成 す る。

(4)学 習 指 導 案 、 ワ ー ク シ ー トに 基 づ き研 究 授 業 を 行 う。

(5)研 究 授 業 後 に 学 習 内 容 の 理 解 度 に つ い て 調 査 し、 そ の 結 果 か ら考 察 ・評 価 を 行 う。

3指 導 方 法 ・教 材 の 工 夫

現 行 の 教 科 書 の 内 容 は 、1節.三 角 関 数(一 般 角 、 三 角 関 数 の性 質 、 グ ラ フ)2節.三 角 関 数 の 加 法 定 理 と な っ て い る 。 そ して 、 加 法 定 理 の 導 入 は 、2つ の 角 α、 β の 正 弦 、 余 弦 を利 用 し た 証 明 方 法 に よ る。(図1)ま た 、 式 の 合 成 で は 、加 法 定 理 を変 形 して 、 合 成 の 式 を 求 め る こ とが で き る と し、 そ の 証 明 に 点P(a,b)を と る 前 提 を 受 け入 れ させ て い る 。(図2)

(図1)(図2)

1節 に お い て 、 θを 変 数 と した 三 角 関 数 を 、 グ ラ フ を 中 心 に 学 習 す る。2節 に入 る と、 θが 図1、 図2の よ うに 指 定 され た 角 α、 β と して 扱 う。 こ こ で グ ラ フ 的 思 考 は な い 。1節 の 学 習 が 、 「グ ラ フ を か く」 に 終 始 して し ま い 、2節 に 続 か な い 。 こ の 授 業 の 流 れ に 、生 徒 は 、計 算 を 主 とす る 別 分 野 の 意 識 を 強 く も っ た り、 α、 β を用 い た 理 論 的 導 入 に 苦 手 意 識 を 募 らせ た りす る。

(1)指 導 方 法 の 工 夫y=asinθ+bcosθ の 形 状 を 考 え 、そ の 波 形 の原 型 はsinθ で あ り、

cosθ で あ る こ と を 知 る 。asinθ にbcosθ を 加 え た 場 合 、 原 型 のsinθ は どの よ う に 変 化 し て い る の か 。bcosθ にasinθ を加 え た 場 合 、原 型 のcosθ は ど の よ う に 変 化 して い る の か 。1節 で 既 習 の グ ラ フ の 移 動 を 用 い て グ ラ フ を 重 ね る こ と で 、 こ の 変 化 を 知 り、

変 化 した 式 を 探 求 す る 。 そ の 式 の 係 数 の そ れ ぞ れ の 関 係 を 発 見 す る こ と で 、 式 の 合 成 を 導 き 出 す 。 そ の 式 の 変 形 か ら加 法 定 理 を 求 め る。

(2)教 材 の 工 夫 上 の 指 導 方 法 を 行 う上 で 、 関 数 グ ラ フ ソ フ トGRAPESを 利 用 した 。

① 一 斉 提 示 教 室 に お い て モ ニ タ ー へ 、 ノー トパ ソ コ ン よ り提 示 す る 。 基 本 事 項 の 確 認 お よ び 、 定 義 説 明 に 利 用 した 。 説 明 を加 え な が ら の 提 示 の た め 、 残 像 な ど の 利 用 が 効 果 的 に な る よ うな 、 フ ァ イ ル を作 成 す る。

フ ァ イ ル 例1y=sinθ の グ ラ フ 婿

r憾 課 ・₁₎

てLノ

。 、〆(嘱̲

,̀:踵 紘 、:黄 詩

:1【懸 賦鰹糊 州

動 径 の 回 転 に 伴 い 、sinθ の 値 を 示 す 長 さの 推 移 を 示 す の に 、 残 像 な ど を使 用 す る。

フ ァ イ ル 例2aθ は 動 径 の 回 転 速 度 を 示 す 。

L

,螢

ノ/〆 弓

國 ム は.

7＼

)5 諺 ^v、

一 〔璽

?072

叢

aの 数 値 を か え 、 動 径 の 回 転 速 度 の 意 味 を 考 え させ る 。

② 個 別 操 作 パ ソ コ ン 室 に お い て 、教 師 提 示 モ ニ タ ー2人 に1台 、生 徒 用 パ ソ コ ン1人 に1 台 。 復 習 と操 作 の 慣 れ を か ね て 、教 室 提 示 フ ァ イ ル の パ ラ メー タ 、 ス ク リ プ ト(簡 単 な プ ロ グ ラ ム)を 実 際 に 操 作 す る こ と に よ り、ワ ー ク シ ー ト中 心 の 課 題 に 取 り組 む 準 備 を す る。

ワ ー ク シ ー ト例

asinθ とbeosθ の 和 を 考 え よ う

課 題Oy.̲asinθ+boosθ は 、 ど の よ うな グ ラ フ と な る だ ろ う か 。 (1)y=sinθ+oosθ の グ ラ フ を 描 い て み よ う 。

縄2{;::瓢 膿

。いてパラメー。。、、と。、、の瀦 えよ,.

)

θ=

㎝d ︑2︑

簗

58一===by亀

紛二(a )

嘔=θd

  響

48一=篇盟by︑

の=(a とるな重がの十ψ血﹃﹂

硫

㎞

針

柚F

で

弧潔ーを2

騨 蕊 曲

船︑ )

=d

θ研=禰 緊

θ1

===by"

ω劉 )

↑

︑

騨・

︑

望

勿=(a

1.1.幽 1↑⁝‑ー 一!触 ・ :血‑

﹁

ー︻

皿静 雛﹃

93⁝ー・し .︑ー詩︒洗

粁㈱ 麟 驚

II﹁ 幽}ーLiトー閉 一4 ‑動

}:﹂1‑b ー下 一r血

} 即一

ー下ー ア一ー監11 80円ード"一﹂

η ﹂!ー1ータ

﹂⊥ ーメ わ︼︼︑給茜茜 套を㎎ 佐佐陰1&砿誰讐一替朧諏

動+一θρ移・θθ(で︾凱ろ 一㎝ 一 20

⁝﹁ ・i﹂‑ーノ

r5"

ー ‑・ー⊥ーー

IB111↓ ーi

8111﹂ー﹁lIFI

脚

θ ー1蓼 ,17^砺﹁

{ 90

警

鯛q ② )‑ ア

懇

繋

舳燃

‑ ,

.皿

一 ﹁

﹁ ト

ーー1峯+ ︑

y=Csin(θ+d)は 【左 、右 】 に動 く。

よ って 、 同 じ方 向 に動 く組 み合 わ せは 、

{y"asinθ+bcosθ {y=a血 θ一b伽 θ (2)y=(x)sθ を 元 に し て 考 え よ う。

bを 大 き くす る と 、y=a(x)sθ+b血 θは 【左 、 右 】 y=aeosθ 一bsineは 【左 、 右 】 に 動 く 。 dを 大 き くす る と 、y=Ccos(θ 一d)は 【左 、 右 】

y=Ceos(θ+d)は 【左 、 右 】 に 動 く 。 よ っ て 、 同 じ方 向 に 動 く組 み 合 わ せ は 、

ヒ リ に り    ダ ご ポ ド   ドヒコ ロロ ケアサ コ コココ  ア ダ コ ロ ド ヂ  ゴ ダ ロドロノにノ ダ ア ド ロちボ ア む   ロし じアドタ ロ ロ  コ ロ ロ コ コ   じ ヒ ロヒ ヒ コ コ ヲ ロ   ロ

a.bとc.dに は、 どの よ うな 関 係が あ るのか 考 えよ う.

鴛y=a8i1θ 十boO8θ y=c血(θ 十d)

4.学 習 指 導 計 画

ア.三 角 関 数 の グ ラ フ 単 位 円 の 利 用 、 周 期 、 最 大 ・最 小 値(2時 間)

イ.三 角 関 数 の グ ラ フ の 平 行 移 動 周 期 の 変 化 、 最 大 ・最 小 値 の 変 化 、 〈2時 間) ウ.三 角 関 数 の 合 成 と 加 法 定 理(3時 間)① 三 角 関 数 の 和 の グ ラ フ

②asinθ ±bcosθ 、csin(θ ±d)と の 関 係

③acosθ ±bsinθ 、ccos(θ ±d)と の 関 係 工.合 成 ・加 法 定 理 の 応 用(2時 間)

(1)学 習 指 導 案 【指 導 計 画 ウ の 目 標 】

①y=asinθ とy=bcosθ の 和 はy=csin(θ+α)あ る い は 、y=ccos(θ+α)で 表 さ れ る こ と が 分 か る 。

② パ ラ メ ー タ と グ ラ フ の 連 動 か ら パ ラ メ ー タ 間 の 関 係 を 導 き 、 考 察 す る 。

確認導入展開

指 導 内 容

Y=asinθ+bcosθ の グ ラ フ が

csinθ 、CCOSθ を 原 形 と し て い る こ と を 確 認 す る 。

富asinθ+bcosθ

9^{=asinθ 一bCQSθ}

の2式 の パ ラ メ ー タb に よ る 動 き と

=csin(θ 一d)

c,^{=csin(θ 十d)}

の2式 の パ ラ メ ー タd の 連 動 関 係 を 探 る 。

※ 同 様 に して

=acosθ+bsinθ

c,^{=acosθ 一bsinθ}

=ccos(θ 一d)

9

に つ い て も 同 様 に 関 係 を 見 る 。

関 連 を 探 る 。

y=csin(θ 十d)を 動 か し 、

y=asinθ 十bcosθ グ ラ フ と 重 な るc、d を 見 つ け る 。

GRAPESの ツ ー ル 利 用

学 習 活 動

GRAPESに よ り 、y=asinθ+bcosθ の パ ラ メ ー タa、b を 変 化 さ せ 、y=csinθ の 平 行 移 動 と な る こ と を 確 か め る 。

GRAPSEに よ りa=1、b=0、c=1、d=0

y=asine+bcosθ 、y=asinθ 一bcosθbで 動

か す 。

y=csin(θ 一d)、y=csin(θ 十d)

搾 ふ 。 、

蕊盈 長諺総 珍幻

敵

遠='

"「 昏

蚤1・

著甲,・ ・「 蕉眺 縫

ウ1重1、. _垂

量"'…

dで 動 か す 。

{;::::欝 θ{;:1:::1詑lrθ {;ll:::溜 θ{欝:ll:罪

y==asinθ+bcosθ

{^{y=csin(θ 十d)}

課 題1、 課 題2、 課 題3、 課 題4

a、bの 入 力 dの 入 力

「 甲・曝 θ ・儒=9

へ 《

ぴ: ^{"'酬▽ … 拐翼}

,・榊8重・・5=

cの 入 力

1鯉

1,。 岬 噸

「

指 導 上 の 留 意 点 線 形 性 は 保 た れ な い こ と を 確 認 。

グ ラ フ を 用 い て 、y=asinθ に 、 y=・bcoseを 加 え る 、と い う 考 え か ら 、 原 型y=sineが ど の よ う に 変 化 し て い る か を 考 察 さ せ て い く 。

移 動 の 方 向 に 注 目 さ せ 、 同 じ 方 向 へ 移 動 す る 式 を 組 み 合 わ せ る 。

※y=acosθ にy=bsinθ を 加 え る 、 と い う 考 え か ら 、 原 型 y=cosθ が ど の よ う に 変 化 し て い る か を 考 察 さ せ て い く 。

‑b=b' 、d=‑d'で 同 値

bの 取 り扱 い の 楽 な 左 式 を ま ず 、 選 ぶ 。

③ 領 域 の ズ ー ム に よ りdの 値 を 確 認 させ る

必 要 に応 じ て 、 生 徒 の パ ソ コ ン 操 作 を補 助 す る

y=acosθ+bsinθ

y=ccos(θ 一d)課 題5、 課 題6、 課 題7、 課 題8

考 パ ラ メ ー タa、bとc、

}

ワ ー ク シ ー ト に よ り 、 ま ず 、 考 え る 。 a、bが 既 知 で あ る と きc、dが

察 dの 関係 を考 察 す る。 a、b、c、dの 相 互 関 係 に 気 づ き 、a、bか ら 、c、dを 課 題 の よ うに 得 られ た。 パ ラ メ

求 め る方 法 を 考 え る ^{一 タ は}、3つ の 数 値 と1つ の 角

c 濯

δ ^y i_,卜^E「'曜_{一・・ω ・} 度 か ら な る こ と か ら 、 円 と動 径

L

o ₄

δ

… 夏1i

,言

臨 鱒

し κ に 着 目 で き る か 。

霊

dを 三 角 比 の 表 を 用 い て 求 め 、

…iw騨

考 察 が 正 しい かGRAPSEに よ り、検 証 して み る ^GRAPESに よ り 確 認 す る 。

ま 練 習1.2.3,4. 次 の 式 をsinで 合 成 せ よ 。 ま たcosで も 合 成 せ よ 。 平 面 の 点 が 、(x座 標 、y座 標)、

と _{① 〜ξsinθ 一cosθ} ② 一15sinθ+8c。sθ (r、 θ)で 示 さ れ る こ と を ま

め ③3cosθ+4sinθ ④4c。sθ 一4sinθ と め る 。

(2)学 習 指 導 案 【指 導 計 画 工 の 目標 】

① 平 面 座 標 上 の 点 を(X,Y)、(r,

② 合 成 の 式 か ら加 法 定 理 を 導 き 出 す 。

θ)の 示 し方 が あ る こ と を知 り 、 定 着 を 図 る

導入展開まとめ

指 導 内 容 合成 の式の 定着確認

図 形 的 意 味 を 確 認 す る。

平 面 の 点 が 、(x座 標,y 座 標)の ほ か に 、(r,θ)

で 表 せ る こ と を 確 認 す る。

式 変 形 に よ り加 法 定 理 を 導 く

今 度 は 、 右 辺 か ら 左 辺 へ の 流 れ に な る

こ の 便 利 さ は 、 θ、dに 値 を 代 入 し た と き …

15。 、750の 三 角 関 数

d=θ 、2θ …2倍

角 ・ ・の 三 角 関 数 が 示 せ る 。;

GRAPESで そ れ ぞ れ の 値 を 確 認 す る。L香 提 示 とす

る

学 習 活 動

asinθ ±bcosθ=csin(θ ±d) acosθTbsinθ=ccos(θ ±d) 次 の 点 を も う1つ の 方 法 で 表 せ 。

①(6,2」3)②(二 、.、)③(,,一,)

④(10,120。)

⑤(9,‑135。)⑥(4,θ)但 し1多

次 の 式 をsin、cosで 合 成 せ よ 。 練 習1、2、3、4、

asinθ+bcosθ=csin(θ 十d),

両 辺 をcで 割 る2sinθ+立cosθ=sin(θ+d) cc

cosdsinθ 十sindcosθ=sin(θ 十d>

sinθcosd十cosθsind=sin(θ 十d)

同 様 に 、sin(θ ±d)=sinθcosd±cosθsind

cos(θ ±d)=cosθcosdTsinθsind

練 習 次 の θ に つ い て の 三 角 関 数 を 求 め よ 。

①sin150②cos75。 ④sin(‑75。)

⑤c・s2α ⑥sin2α ⑦tan2α

関数 電卓機 能の利 用

ll一

指 導 上 の 留 意 点

一疲

dは 数 値 だ け で な く 、 三 角 関 数 で 表 す 方 法 が あ る。

ab ‑=s㎞d‑=cosd

, ご{㌣

図形的 意味 を確 認す る

合成 と逆の 流れ であ る

.fir・‑E‑

≒O .258sin15。=

4

5.ア ン ケ ー ト結 果 と 分 析 数 学 が 好 きで す か

嫌い 籔

どち らで も

職

授 桑 は 興 味 を 持 て ま した か れぼのぼうがぶ

櫨 での履靴 蟻

ロ わ ら な い  

̲幽ii醸 画 耀 獣

44x

※最も印 象に残る画面

麟

315瓢

4

0完 寸

139瓢

一 、 鴻 駄 ・ ・

噸 一1燐 癖 轡

213瓢

薄轡 》》戦

1765

診 ◇ ＼ 六

12〔購

匠ゐ

、/＼

、.一 ノ 37瓢

※印象の強い画面の理 由

モΦ隆の響蹴

いたから 色が きれい

自 分 で い ろい ろな グ ラフ を 書醐 ナた

t(罵 色 力x8れ い

で 、重旗 、た 可9覧

の操作でい ういうなグ ラフが見え たから

18瓢

※確 認テストと正解率

醒y=asine+bCOBeをslnで 合 確 せ よ

■yニasinθ+bGoseをoosで 合 成 セ よ

ロcos(α+β)を 展 開 せ よ

ロ81n(α+β)を 綴 開 セ よ 口 径 標 平 面 上1こあ る 点 勲 通 リで 示tt

PCを 用 い た 授 業 は 、 ほ とん ど の 者 が 興 味 を も っ た と して い る 。 そ の 理 由 は 、

「操 作 が 楽 しい 」 が ど の 学 習 に も 多 い の は 、 全 員 が 初 め て 体 験 す るGRAPES

を 用 い た た め 、 興 味 ・関 心 が 高 ま っ た こ とが 要 因 で あ る 。 操 作 の ほ か に 考 え た り、

式 を 見 出 し た りす る こ と を

※ 興 味 をを 持 て た 理 由

騰

操 作 して 考 λ た ことか ら、式 をf乍れ た

6x

すし響

難か

※ 興 味 を 持 て な っか た 理 由 教科魯と逗う 特1こなし

ことをするの は抵抗がある

Is

コせロがにりな

§

《表題の※は 複数回答を示す》

訴覧

OOS10α120α 隔3a〔 隔 柵 弱500隔5ams700隔 ●aαIga【 嘱1000■

慶灘難 欝

+好 き どちらでもない 嫌い

挙 げ る 生 徒 が 、 どの 学 習 に も 同 じ よ うな 割 合 で い た 。 ま た 、 数 学 で 扱 う内 容 の 視 覚 化 が 理 論 構 成 の 手 助 け とな り、 座 標 点 を 、 動 径 と そ れ が 示 す 角 度 で 表 示 す る に 至 る ま で の 定 着 率 は 、 確 認 テ ス トが 示 す と お り非 常 に 高 か っ た 。 さ らに 、興 味 を も て な い 原 因 と して 、「目 的 が 分 か らず に 、 た だ 操 作 を して い る 」 が 、 数 学 が 嫌 い な 生 徒 に 多 い 。 これ は 、 集 中 力 を欠 い た り、

パ ソ コ ン 操 作 の 戸 惑 い を 理 解 の つ ま ず き と混 同 して し ま っ た 生 徒 で あ る と 考 え られ る 。 こ の 生 徒 た ち に は 、 教 室 で の 授 業 と コ ン ピ ュ ー タ を 活 用 した 授 業 を 混 在 させ 、 講 義 で 学 習 し た 内 容 を コ ン ピ ュー タ 操 作 で 確 認 させ る こ と が 効 果 的 で あ る と分 か っ た 。

"今 ま で 授 業 を 受 け て

、「生 き て い く うえ で 何 の 役 に た っ ん だ ろ う」 と思 っ て い た 授 業 の 内 容 が 楽 し く な っ て き た 。 グ ラ フ を 見 て い て 、 頭 が 混 乱 す る こ と も あ っ た けれ ど数 学 の 世 界 に 触 れ て 、 物 の 考 え 方(視 野)が 広 くな っ た 気 が す る 。 三 角 関 数 の グ ラ フ が あ ん な に も芸 術 的

で た く さん の 形 が あ っ た こ と を 知 っ て 、 正 直 驚 い た 。 曲 線 が き れ い で 面 白 か っ た 。"

授 業 後 の 生 徒 の 言 葉 で あ る 。 三 角 関 数 の 美 し さ 、 数 学 の 世 界 に も触 れ られ た よ うで あ る 。

6.ま と め と今 後 の 課 題

数 学ll「 三 角 関 数 の 合 成 」 の 学 習 は 、 使 用 す る 教 科 書 に よ っ て は 掲 載 され て お らず 、 扱 わ な い 学 校 も あ る 。 年 間 授 業 時 数 や 進 度 の 問 題 も あ る が 、 加 法 定 理 に な る と節 も 変 わ り、 グ ラ フ を 主 に し て 関 数 と して 学 ん で き た 学 習 が 、 数 値 計 算 に 取 っ て 代 る た め 、 生 徒 に と っ て 理 解 しづ ら く イ メ ー ジ が わ か な い 内 容 で あ る こ と も事 実 で あ る 。 本 研 究 で は 、加 法 定 理 を 利 用 し た 式 変 形 で 合 成 の 式 を 導 く の で は な く 、2次 関 数 か ら三 角 関 数 に 至 る 平 行 移 動 ・拡 大 縮 小 の 知 識 を拠 り所 に 、 情 報 機 器 を 効 果 的 に 活 用 し、 視 覚 的 に と ら え 考 察 す る こ とで 、 合 成 の 式 を 導 き 出 す 活 動 を 主 とす る 指 導 内 容 ・方 法 ・教 材 の 工 夫 を 行 っ た 。

ま た 、 研 究 の 中 で 、 関 数 グ ラ フ ソ フ ト 『GRAPES』 を 使 用 した 。sin、cos、tanの グ ラ フ の 確 認 や 平 行 移 動 、 縦 横 方 向 へ の 拡 大 縮 小 の 授 業 か ら本 ソ フ トを 使 用 し、 生 徒 が パ ソ コ ン 操 作 に 慣 れ 親 しむ よ う注 意 した。 さ ら に 、 残 像 利 用 に よ る 拡 大 縮 小 を 連 続 的 に 行 う作 業 を させ た り、ス ク リプ トを 利 用 した"パ ラ パ ラ"(単 位 円 上 の 点 を 連 続 的 に 動 か して サ イ ン カ ー ブ を 描 く)を 一 斉 提 示 した りす る こ と に よ り、 き れ い な 色 と動 く画 面 に 生 徒 の 口か ら感 嘆 の 声 が 聞 か れ 、 興 味 関 心 を 引 き 出 す こ と に 成 功 した 。 研 究 授 業 で は 、 生 徒 は パ ソ コ ン 操 作 に 慣 れ て い た た め 、 主 体 的 に 問 題 解 決 す る 活 動 を 通 して 学 ぶ こ と の 楽 し さ や 充 実 感 を 味 わ い な が ら学 習 を 進 め る こ と が で き 、 試 行 錯 誤 しな が ら も 法 則 を 見 出 し、 充 実 感 を も ち な が ら、 内 容 の 確 実 な 定 着 が 得 られ た と思 わ れ る 。

今 後 の 課 題 と して は 、

① 生 徒 は デ ィ ス プ レ イ を 注 視 し、 個 人 作 業 と一 斉 授 業 と が 分 け づ らい 。 パ ソ コ ン 教 室 の ホ ワ イ トボ ー ドは 、 見 に くい との 生 徒 の 声 も あ る 。 パ ソ コ ン室 の シ ス テ ム 、 環 境 や パ ソ コ ン の 配 置 の 工 夫 、習 熟 度 別 の 展 開 で の 実 施 や テ ィ ー ム テ ィ ー チ ン グ が 必 要 で あ る。

② パ ソ コ ン 室 で 生 徒 を 主 体 的 に 学 習 させ る た め に は 、 ワ ー ク シ ー トの 工 夫 が 必 要 不 可 欠 で あ る 。 穴 埋 め 重 視 に な る と 、 生 徒 が パ ソ コ ン 操 作 に の み 終 始 し、 自 ら が 主 体 的 に 考 察 す る 意 欲 を 導 き 出 せ な い で 終 わ っ て しま う。 生 徒 の 実 態 を把 握 し 、 自 由 度 の あ る ワ ー ク シ ー トの 作 成 が 必 要 で あ る。

③ 今 回 の 研 究 か ら、 関 数 グ ラ フ ソ フ ト 『GRAPES』 は 非 常 に 有 用 な デ ィ バ イ ス で あ る こ とが わ か っ た の で 、 数1の2次 関 数 は も と よ り、 数Bの 複 素 数 平 面 、 数 皿 の 分 数 関 数 、 無 理 関 数 、 微 分 、 積 分 、 数Cの2次 曲 線 な ど 、 生 徒 が 視 覚 的 に と ら え な が ら、

主 体 的 に 学 習 で き る 教 材 の 作 成 や 、 指 導 方 法 の 研 究 に 携 わ っ て い き た い 。

〈参 考 文 献 ・引 用 〉

・ 友 田勝 久 著 関 数 グ ラ フ ソ フ トGRAPESパ ー フ ェ ク トガ イ ド 文 英 堂

・htt'〃www .osaka・koiku.ac.'!〜tomodak/raes1

・ 指 導 資 料 高 校 数 学H(東 京 書 籍 ・啓 林 館 ・第 一 学 習 社 ・実 教 出版 等)

・ 東 京 都 教 育 庁 指 導 部 新 学 習 指 導 要 領 に 関 す る 資 料(平 成12年3月)

皿 身近 な事例 を通 して指数 関数 の考 え方 を理解 させ る指 導

概 要

数 学Hの 指 数 関 数 ・対 数 関 数 に お け る 「指 数 関 数 とそ の グ ラ フ 」 の 指 導 に お い て 、 生 徒 が 今 ま で 学 ん で き た 指 数 の 内 容 を利 用 し、 身 の 回 りに 存 在 す る 身 近 な 題 材 と して 内 緒 話 の 事 例 を 活 用 す る こ と に よ っ て 、 指 数 的 に数 が 増 え た と き に 、 膨 大 な 数 に な る こ と を 認 識 さ せ た 。 ま た 、 生 徒 は 照 度 計 を 活 用 した 実 験 を 通 して 指 数 関数 を 作 り、 そ の特 徴や 性 質 を発 見 させ る 指 導 を 行 っ た 。 そ の 結 果 、 生 徒 は 実 験 か ら 関 数 の 変 化 を 視 覚 的 に と ら え る こ と が で き た 。 さ ら に 生 徒 の 理 解 度 に応 じ た ワ ー ク シ ー トの 作 成 と指 導 の 工 夫 を 図 っ た 。

1研 究 の ね ら い

私 た ち の 身 の ま わ りに は 、 バ ク テ リア の 増 殖 、 放 射 性 元 素 の 崩 壊 、 地 震 の エ ネ ル ギ ー 、12 平 均 律 音 階 、 オ ウ ム 貝 等 の 成 長 、 人 口増 加 、 複 利 計 算 な ど 、 指 数 関 数 で 表 さ れ る 自然 現 象 、 社 会 現 象 は 多 い 。 東 京 都 立 高 校 学 校 教 育 課 程 編 成 基 準 ・資 料(平 成13年3月)は 、 数 学Hの

目標 と 関 連 し て 「・… 具 体 的 な 事 象 の 考 察 を 通 し て 数 学 的 に 処 理 す る能 力 を 伸 ば し、 そ れ ら を 活 用 す る 態 度 を 育 て る 。」 と述 べ て い る 。 これ は 、 具 体 的 な 事 例 を 取 り入 れ て 学 習 指 導 を 進 め る こ と の 重 要 性 を 指 摘 した も の で あ る 。 さ ら に 、 身 近 な 事 例 の 考 察 を 通 して 学 習 を進 め る こ と は 、 数 式 等 の 形 式 的 な 処 理 ・操 作 が 中 心 と な る 高 等 学 校 数 学 の 学 習 に お い て 、 生 徒 の 学 習 に 対 す る 興 味 ・関 心 を 喚 起 し、 学 習 内 容 の 理 解 を 深 め る こ と に 役 立 つ と 考 え られ る 。 本 研 究 で は 、そ の 立 場 か ら指 数 関 数 の 学 習 指 導 を検 討 す る。 様 々 な 事 例 の 検 討 の 中 か ら 、 内 緒 話 の 伝 わ り方 と 光 の 性 質 を 「指 数 関 数 とそ の グ ラ フ 」 の 学 習 で の 導 入 課 題 と して 取 り あ げ る こ と に した 。 こ の 題 材 の 教 材 化 を 行 う こ と が 本 研 究 の ね ら い で あ る。

2教 材 の 工 夫

生 徒 の 興 味 ・関 心 は 、 題 材 が 有 す る身 近 さ の 程 度 と密 接 に 関 わ っ て い る。 ま た 、 学 習 内 容 の 理 解 を 深 め て い く た め に は 、 作 業 用 の ワー ク シ ー トの 工 夫 も 欠 か せ な い 。 本 研 究 で は こ の

2点 か ら教 材 化 の 検 討 を 行 っ た 。

具 体 的 な 事 例 を 考 察 す る 場 合 、 変 数 の 定 義 域 が 制 限 され る こ と は 避 け られ な い 。 学 習 指 導 の 立 場 か ら は 、 定 義 域 は 広 い 方 が 望 ま しい 。 しか し、 これ に こ だ わ りす ぎ る と 、 題 材 の 身 近 さが 損 な わ れ て しま う。 した が っ て 本 研 究 で は 、 得 られ た 指 数 関 数 に つ い て は 、 そ の 事 例 固 有 の 制 限 と は 関係 な く 、 実 数 全 体 で 定 義 され る 関 数 と して 考 察 す る こ と に した 。

内 緒 話 の 例 で は 、 底 が1よ り大 き い 指 数 関 数 の 変 化 の 速 さ に 具 体 的 な イ メ ー ジ が も て る よ う に 配 慮 し た 。 内 緒 話 の 伝 え 方 に 工 夫 を 加 え る こ とで 、 内 緒 話 を 知 る 人 の 総 数 が 指 数 関 数 と な る よ うに し た う え で 、 そ の 総 数 が ク ラ ス ・学 校 の 生 徒 数 か ら地 球 の 全 人 口 に 達 す る ま で の 時 間 を 予 想 す る とい う活 動 を 取 り入 れ た 。 ま た 、 光 の 性 質 の 例 で は 、 物 質 を透 過 す る 光 の 明 る さの 変 化 の 測 定 実 験 を 通 して 数 学 的 な 活 動 を 体 験 す る こ と 、 そ して 、 こ の 活 動 を 通 して1

よ り大 き い 底 の 指 数 関 数 が もっ グ ラ フ の 特 徴 と、 底 の 違 い に よ る 変 化 の 速 さ の 相 違 を 体 験

よ り大 き い 底 の 指 数 関 数 が もつ グ ラ フ の 特 徴 と 、 底 の 違 い に よ る変 化 の 速 さ の 相 違 を 体 験 で き る よ うに 配 慮 し た 。

実 験 は 、 透 明 な3.5イ ン チ フ ロ ソ ピ ー デ ィ ス ク ケ ー ス を 重 ね た も の を海 水 に 見 立 て て 行 っ た 。 教 卓 上 で の 模 擬 実 験 で 進 め た が 、 実 験 へ の 生 徒 の 関 わ り方 に は 配 慮 した 。 実 験 の 精 度 に も よ る が 、 ケ ー ス1枚 ご とに 、 光 の 明 る さ は0.87倍 程 度 に な る。 測 定 値 で は 指 数 関 数 に は な ら な い の で 、 デ ー タ 処 理 の 仕 方 に は 工 夫 を加 え た 。 実 験 の デ ー タ 範 囲 で 作 成 し た グ ラ フ は 、 底 の 大 き さ か ら直 線 と ほ とん ど 区 別 が つ か な い の で 、 定 義 域 を広 げ た グ ラ フ を 生 徒 に 提 示 した 。

3指 導 計 画

第1時 限 導 入 、 倍 々 と広 が る 内 緒 話(検 証 授 業) 第2時 限 指 数 関 数 の グ ラ フ と性 質(検 証 授 業) 第3時 限 累 乗 根 の 大 小 比 較

第4時 限 指数方程式 第5時 限 指数不等式

4,学 習 指 導 案

指 導 案1指 導 目標:具 体 的 な 事 例 を 通 し て 、xとyと の 数 量 関 係 を 調 べ る こ と に よ り底aの 値 を 求 め 、 指 数 関 数Y=axの グ ラ フ を 描 か せ そ の 形 を 理 解 さ せ る。(ワ ー ク シ ー ト1を 使 用)

時 間 指 導 内 容 学 習 活 動 指導 上の留 意点

導入 前 時 ま で の 復 習 指 数 が0や 負 の 整 数 、 そ して 有 理 数 に ま で 拡 張 負の整 数の 場合 に分数 に 5分 して も指 数 法 則 が成 り立 つ こ と を確 認 す る。 な る こ と を確 認 させ る。

指 数 関 数y=a麗 を 定 a≠1の も と で 定 義 さ れ 、xとyの 関 係 が 指 数 a=1場 合 は 定 数 関数 義 す る。 の 形 で表 され て い る こ と を 理 解 す る。 ま たaを y=1で あ るの で 指 数 関

「底 」 と い う こ と を 示 す 。 数 に な ら な い こ とに 注 意 す る 。

(例1)の 内 緒 話 に っ い 内 緒 話 の 話 の 伝 わ り方 を理 解 す る。 内 容 を理 解 して い る か。

展 ^{て 提 示 す る。}

時 間 か ら話 を 知 る 人 数 時 間x×10(分)と 人 数y(人)と の 対 応 表 を 作 成 計 算 ミス を せ ず に 正 確 に

を 求 め る 。 す る 。 数 値 を 求 め る こ とが で き

る か 。

具 体 的 な 人数 に対 す る ク ラ ス 全 員 、T高 校 全 校 生 徒 に 伝 わ る 時 間 を 対 対応 表の 関係 を正確 に理 伝 わ る時 間 を 求 め る 。 応 表 を用 い て 求 め る。 解 し て い る か 。

さ ら に 、 多 人 数 に 対 す 対応 表 の様 子 か ら多 人数 に対 す る具体 的 な時 間 開 る 伝 わ る 時 間 を 予 想 さ を 予 想 す る。

せ る 。

対 応 表 よ りxとyの 関 指 数 関 数y=バ の 関係 に な っ て い る こ と を 理 yの 値 が2倍 ず つ 増 え て 係 式 を 求 め る 。 解 し 、 底 の 値 が2で あ る こ と を 発 見 す る 。 い る こ とで 指 数 関 数 の式

が 導 き 出せ る か。

予 想 が 正 し か っ た か ど 短 い 時 間 で 瞬 く 間 に話 が 伝 わ る こ とを 発 見 す る。 指 数 関 数 の 具 体 的 な イ メ

う か を 確 認 す る 。 一 ジ が 身 に つ い た か。

展 y;2xの グ ラ フ を 作 y=2罵 のxとyの 対 応 表 を 作 成 す る 。 負 の 指 数 の 計 算 は 正 確 に

成 す る 。 で き る か 。

対 応 表 か ら 点(x,y)を 座 標 平 面 上 に プ ロ ッ ト な め ら か な 曲線 で 点 を っ し グ ラ フ を 作 成 す る。 な ぐ こ とを 強 調 す る。

開

・一〔÷ 〕xの グラフ

〔{ナ2‑・ であ る・ とに注意 ・て グ ラフを 指数 関数 の具体的 な性 質

40分 を 作 成 す る 。 作 成 す る 。 に つ い て は 触 れ な い 。

結 論 指 数 関 数 の グ ラ フ の 形 指 数 関 数 の グ ラ フ の様 子 か ら、xが 増 加 す る と 5分 を 確 認 す る 。 yは 急 激 に増 加 す る こ とを 確 認 す る 。

指 導 案ll 指 導 目標:光 の 性 質 を 利 用 した 実 験 を 通 して 指 数 関 数 の 特 徴 ・性 質 を理 解 す る。

(ワ ー ク シ ー ト2を 使 用)

時間 指 導 内 容 学 習 活 動 指導上 の留意点

導 入 前 時 ま で の 復 習 y=2麗 の グ ラ フ の 形 、 特 徴 に つ い て 発 問 等 に よ グ ラ フ の イ メ ー ジ が っ か

5分 _{り確 認 す る 。} め て い る か確 認 させ る。

指 数 関 数 の 事 例 に っ い 指 数 関 数 が 身 近 な と こ ろ で 様 々 に 利 用 され て い 具 体 的 な 事 例 を 示 す こ と て 提 示 す る。 る こ と を 発 見 す る 。 で グ ラ フ の 形 、 特 徴 と関

(例2)の 光 の 性 質 に つ 光 の 性 質 ・ 連 付 け させ る。

い て 提 示 す る 。 光 は水 深 が1m浅 く(深 く)な る ご とに 一 定 数 倍 明 る く(暗 く)な る

展

実 験 の 説 明 を行 う。 実 験 の 内容 を 正 確 に理 解 す る。

明 る さの 測 定 水 深0〜10mで の 明 る さ を照 度 計 で 測 定 し、 測 代 表 生 徒 に 測 定 させ 、 全 定 値 を ワ ー ク シ ー トに 記 入 す る 。 員 が ビ デ オ 映 像 に よ り測

定値 を確 認 させ る。

yの 値 とyの 比 を 計 算 水 深5m(x=0)で の 明 る さ(y=1)を 基 準 と 電 卓 を 用 い て 各 自計 算 さ す る 。 し た 明 る さ(yの 値)を 求 め る 。 さ ら に 明 る さ せ る 。

開 (yの 値)の 比 率 を 求 め る 。

計 算 に よ っ て 得 られ た 対 応 表 か ら 点(x,y)を 座 標 平 面 上 に プ ロ ッ ト ほ ぼ 直 線 に な っ て しま う 明 る さ の 比 率 を 底 とす し グ ラ フ を 作 成 す る。 こ と を 確 認 さ せ る 。

る 指 数 関 数 の グ ラ フ を 作 成 す る 。

測 定 値 の範 囲 を広 げ た 作 成 した グ ラ フが 曲 線 の 一 部 で あ る こ と を 理 解 40分 グ ラ フ を 提 示 す る 。 ^{す る 。}

結 論 指 数 関 数 の グ ラ フ の 性 作 成 した グ ラ フ よ り指 数 関 数 の性 質 に つ い て ま

5分 質 ^{と め る 。}

o

けP1

ワ ー ク シ ー ト1 指数 関数 とそ のグ ラフ

身 の 回 りに は 指 数 関 数 で 表 され る 現 象 が い ろ い ろ あ りま す 。 今 日は 指 数 関 数 の 特 徴 とそ の グ ラ フ に つ い て 勉 強 して い き ま し ょ う。

指数 関数 … 譲 ヒ 当 る氏 騨 とす るとき ・y=a'で 表 され るnex・

(例1) 内緒 話 は お そ ろ しい(?)

都 立T高 校2年5組 のAさ ん は 、 お も し ろ い 話 を も っ て 朝8時30分 に 登 校 しま した 。 Aさ ん は そ の 話 を 、 ク ラ ス のBさ ん だ け に 「内 緒 だ よ]と 言 っ て 伝 え ま した 。 そ れ に 、1 0分 か か っ た と しま す 。 つ ま りAさ ん が 学 校 に 着 い て か ら10分 後 、 す な わ ち8時40分 に この 話 を 知 る 生 徒 は 、Aさ ん とBさ ん の2人 だ け と い うわ け で す 。

と こ ろ がBさ ん は ク ラ ス のCさ ん 、Dさ ん に 話 を し て し ま い ま した 。 同 様 にCさ ん は 、 Eさ ん 、Fさ ん に 、Dさ ん はGさ ん 、Hさ ん に 話 を し ま した 。

こ の 後 も2人 ず つ に 内 緒 話 が 伝 わ り続 け る とす れ ば 、ど の よ うな 結 果 に な るで し ょ うか 。 話 を 伝 え る の に か か る時 間 を10分 と し て 考 え て み ま し ょ う。

問1.次 の()の 中 に 適 す る 数 字 を 入 れ な さい 。

A

10分20分30分

rB竃:鷲 事

宝

l

40分

話 を知 る人数(1)人(2)人()人()人()人

間2.Aさ ん が 話 を して か らの 時 間x×10(分)と 、 そ の 時 間 ま で に 話 を知 る 人 数yと の 関 係 を表 に ま と め な さい 。

「

x×10(分) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ^,7P

y(人 〉 1 2 ^「.P

問3,次 の 場 合 に つ い て 、 話 が 伝 わ る の は 何 分 後 か 。(上 の 表 を 見 て 考 え よ う。)

(1)こ の ク ラ ス 全 員(40人)に 伝 わ る。 分 後

(2)T高 校 全 校 生 徒(720人)に 伝 わ る。 分後

問4.次 の 場 合 に つ い て 、 話 が 伝 わ る の は 何 分 後 か?予 想 して み よ う。

(1)江 戸 川 区 民(約62万 人)に 伝 わ る 。

ア150分(2時 間 半)イ210分(3時 間 半)ウ330分(5時 間 半) (2)東 駅 都 民(約1206万 人)に 伝 わ る 。

ア240分(4時 間)イ480分(8時 間)ウ720分(半 日)く らい (3)日 本 国 民(約1億2700万 人)に 伝 わ る 。

ア270分(4時 間 半)イ720分(半 日)ウ1日 く らい

2年 組 番氏名

間5.問2の 表 よ り、xとyの 関 係 を 式 に表 し な さい 。

問6.2'の 値 は 下 表 の よ うに な っ て い ま す 。 問4の 予 想 は 正 しか っ た で し ょ うか 。

x 2翼 x 2■ x 2̀ x 2冨 X 2写

1 2 8 256 15 32,768 22 4,194,304 29 536,870,912

2 4 9 512 16 65,536 23 ^8,388,608

・ 30 1,073,741,824

3 8 10 1,024 17 131,072 24 16,777,216 31 2,147,483,648

4 16 11 2,048 18 262,144 25 33,554,432 32 4,294,967,296

5 32 12 4,096 19 524,288 26 67,108,864 33 8,589,934,592

6 64 13 8,192 20 1,048,576 27 134,217,728 34 17,179,869,184

7 128 14 16,384 21 2,097,152 28 268,435,456 35 34,359,738,368

間7.指 数 関 数y=2'に つ い て 下 の 表 を 完 成 さ せ な さい 。

x ^{r● ■} 一4 一3 一2 一1 0 1 2 3 4 ^「r「

y=2星 ^ro「

2一2 1

2‑l lI 17

2 4 8 16 ^「,,

間8.問7の 表 を 用 い て 、 指 数 関 数y;2̀の グ ラ フ を 配 布 され た 用 紙 に 書 き な さ い。

問9・ 〔訂 一2‑・ ・注意 ・て…=〔 訂 のグ ・・を書 ・な …

1,δ

ワー クシ ー ト2指 数 関 数 と そ の グ ラ フ

指 数 は 私 た ち の 日 常 の 生 活 に 身 近 に 存 在 し、 い ろ い ろ な と こ ろ で 役 に 立 っ て い ま す 。 例 え ば 、 生 物 で 学 習 し た ウ ニ や か え る の 細 胞 分 裂 は 指 数 関 数 で 表 され ま す 。 ま た 複 利 計 算 や オ ウ ム 貝 の 成 長 、音 階 の 作 られ 方 な ど 指 数 関 数 で 表 す こ との で き る も の が ご く身 近 に あ りま す 。

そ こで 次 の よ うな 例 を 考 え て み ま し ょ う。

(例2) 自然 界 に 目 を 向 け て み よ う!

海 の 中 に は 、 地 上 とは 別 世 界 の 静 か な 美 しい 世 界 が 広 が っ て い ま す 。

若 者 に 人 気 の あ る ダ イ ビ ン グ。 ラ イ セ ン ス を と る た め に 初 心 者 の ダ イ バ ー は 、 水 深5m程 度 の と こ ろ で 講 習 を 行 う そ うで す 。 そ こ か ら上 を 見 る と 、 太 陽 が 海 面 の 向 こ うに 見 え 、 下 を 見 る

と 、 深 く 暗 く な っ て い ま す 。 つ ま り光 は 、 深 く な れ ば な る ほ ど 弱 く な り ま す 。 光 の性 質 光 は 水 深 が1m浅 く な る ご とに 一 定 倍 数 明 る く な る 。

〃 潔 く な る 〃 爾 くな る。

この 光 の 性 質 を利 用 して 、 光 の 明 る さ は 深 さ に よ っ て 実 際 に ど の よ うに 変 化 す る か 調 べ て み ま し ょ う。 今 、 海 の 水 を フ ロ ッ ピー デ ィ ス ク に 見 立 て 、 次 の よ うな 実 験 を行 っ て み ま し ょ う。

段♂驚騒 宏罪丁鰐 罧 ㌶'灘痛躍諮 斑 麗 螢7飛郷誌 『、

1灘 鷹 禦 霧 灘 磯 あで・単位はix・… ク・・)i

l② 水深5m(FD5枚 分)で の 明る さを基 準(深 さx=O,明 る さy=1)と した1 し

̲.̲L三 渥 膨2丑 姪.L2理 薦2毘 麟 奮 巴 鶯 二̲̲̲̲̲̲.̲̲̲) ア 〉 測 定 表

↑ oth

↑

1m

↑

2m

↑ 3m

↑

4m

↓ 5m

↓ 6m

↓ 7m

↓ 8m

↓ 9m 10m

イ)yの 値 を そ れ ぞ れ 求 め よ 。

(電 卓 を 用 い て 小 数 第3位 を 四 捨 五 入 し小 数 第2位 ま で 求 め る 。)

問1.ア)の 表 のyの(上 の 値)÷(下 の 値)を 計 算 す る こ と に よ り、yの 比 を 求 め よ 。

2年 組 番 氏名

問2.問1で 求 め たyの 比 の 平 均 を 求 め よ。

(電 卓 を用 い て 小 数 第3位 を 四 捨 五 入 し小 数 第2位 ま で 求 め る。)答

問3.x(水 深5mを 基 準 と した と き の 深 さ)とy(明 る さ)とyの 比 の3つ の 関 係 は 、 どの よ う に な っ て い る か を 式 に 表 しな さ い 。

間4.ア)の 表 で 求 め たx,yの 値 を 用 い て 問3の 指 数 関 数 の グ ラ フ の概 形 を 書 き な さ い 。 yA

3

2

1

一5‑4‑3‑2‑1 0、234き

問5.指 数 関 数 の グ ラ フ の 特 徴 を ま と め ま しょ う。 ロ の 中 に 適 す る 数 字 、 文 字 、 語 句 等 を 入 れ な さ い 。

指 数 関 数y;バ(a>1)の グ ラ フ は 、 次 の よ う な性 質 を 持 って い る。

・点(・ 口 ・・ ・・… を 通 ・・

y>0の 範 囲 に あ る。

… 口 軸・漸近線 ・す ・・

・・… 増加す … は[=コ す・・

旨