高 等 学 校
年 度 平 成4
教 育 研 究 員 研 究 報 告 書
学
数
東 京 都 教 育 委 員 会
平 成4年 度教 育 研 究 員(数 学)名 簿
班
i
皿
1
研rhテ ー マ 学 校 名
幾 何学 的 な解 釈 を 通 して の 発 見学 習 の 指 導
一放物 線 を 例 に と って 一一
数 列 の 和 と数 学 的 帰 納 法 を 関連 付 け,自 ら類 推 し.帰 納 的 な考 え方 を 育 て る指導 法 の 研究
都 立 広 尾 高 等 学 校 都 立 深 川 高 等 学 校 都 立 武 蔵 高 等 学 校 都 立 狛 江 高 等 学 校
都 立 青 山 高 等 学 校 都 立 鳥 山 工 業 高 等 学 校 都 立 南 葛 飾 高 等 学 校 都 立東大 和 南 高 等 学 校
パ ソ コ ン を 活 用 し た 数 学C の 指 導
都 立 蒲 田 高 等 学 校 都 立 淵 江 高 等 学 校 都 立 城 東 高 等 学 校 都 立 砂 川 高 等 学 校 都 立 永 山 高 等 学 校
氏 名
長 津 美 明 若 井 文 隆 田 中 洋 大 石 隆
三 保 和 彦 福 井 宏 昌 佐 藤 則 夫 古 川 邦 夫
坂 本 良 一一
藤 田 泉
黒 崎 健 二
吉 田 順 一
小 林 雅 史
担当 教育庁指導部高等学校教育指導課指導主事 吉 野 恒 夫
主 題 身近 な 事 象 や 作 業 を通 して
数 学 的 な 見 方や 考 え 方 の よ さ を理 解 させ る指 導 法 の 工 夫
目 次
1幾 何 学 的 な解 釈 を通 して の 発 見 学 習 の指 導 一放 物線 を例 に と って
L且345678
は じ め に 研 究 の ね らい 研究内容 研究方法
使 用 テ キ ス ト 小 テ ス トの結 果 分析 研 究 の 成 果
ま とめ と今 後 の 課 題
22334778
皿 数 列 の和 と数 学的 帰 納 法 を 開連 付 け,
自 ら類 推 し,帰 納 的 な 考 え方 を 育 て る指 導 法 の研 究
上aa4丘
は じめ に 研 究 の ね らい 研究内容
分析 と考察
研 究 の成 果 と今 後 の 課 題
99045
1←‑←■■
皿 パ ソ コン を 活 用 した数 学Cの 指 導
12
は じめ に 研 究 ・実 践 例 A.相 関係 数 の 指導
B.極 座 標 と極 方 程 式 の 指 導
3.お わ り に
6660411122
一1一
1幾 何学 的な解 釈 を通 しての発 見学 習の指導
一 放 物 線 を 例 に と っ て 一
1.は じめ に
数 学 の 学 習 で 大 切 な こ と は,「 数 学 を 理 解 す る こ と 」で あ る。 しか し実 際 の 学 習 で は定 理 や 公 式 を 覚 え,そ れ らを 使 っ て 問 題 を 解 く こ と は で き る が 何 を や っ て い る の か よ く分 か ら な い こ と が あ る。 数 学 の 理 解 を 容 易 に す る た め に は,数 学 は 単 純 明 快 で あ り,数 学 は 有 機 体 で あ る と い う こ と を 知 る こ と が 必 要 で あ る。 ま た,身 近 な 事 象 と数 学 の 内 容 を 関 連 付 け,イ メ ー ジ しや す くす る こ と が 重 要 で あ る
。
以 上 の 観 点 に 立 っ てs本 研 究 で は 「幾 何 学 的 解 釈 を 通 して の 発 見学 習 の 指 導 」を テ ー マ に 取 り上 げ,放 物 線 と い う対 象 を 通 し て,初 等 幾 何 と2次 関 数,2次 関 数 の グ ラ フ の 平 行 移 動 と座 標 軸 の 平 行 移 動 に つ い て 指 導 法 の 改 善 を 図 っ た 。 幾 何 は い ろ い ろ な 数 学 の 概 念 を 視 覚 化 し て くれ る も の で あ り,人 間 の 直 観 に 基 づ い て い る。 本 研 究 で は,教 材 の 作 成 に 当 た っ て こ れ らの こ と を 踏 ま え,様 々 な工 夫 を 試 み た 。
2.研 究 の ね らい
今 回改 訂 され た学 習 指導 要 領 に よ れ ば,数 学1の2次 関数 の 指 導 に は い ろい ろ な工 夫 が望 まれ て い る。 現 行 の学 習 指導 要 領 と比 較 して,代 数 的 な計 算 が 簡 略 化 され,特 に2次 関 数 の グ ラフの平 行 移 動,す な わ ち,2次 関 数 を 標 準 形 に変 形 して,グ ラ フの 位 置 関 係 を 調 べ る こ と に工 夫 が 求 め られ て い る。 また変 化 す る もの の代 表 と して2次 関数 は数 学1で 取 り扱 わ れ るが,中 学 校 と の 関連 に も留意 す る こ とが望 まれ て い る。
これ らの 指 摘 を うけ,今 回 改 訂 され た数 学1の 目標 「中学 校 数 学 との 関連 を踏 ま え,生 徒 の 日常 生 活 に 関係 が深 ぐ,学 習 す る こ との 意 義 が 分 か りや す い もの を取 り上 げ る。 その 具 体 的 な事 象 の 考 察 を 通 して数 学 的 な見 方 や考 え 方 の よ さを 認 識 させ る。 」に 留意 して,幾 何 的
な考 え 方 を 重 視 し,次 の点 に ね らい を定 め て研 究 を す ♂め た。
{1}中 学 校 で学 ん だ放 物 線 が 日常 生 活 の 上 で どの よ うに 活 用 され て い るか,具 体 的 に例 示 し,
あ り,y=ax2と 本 質 的 な 違 い は な い こ と を 理 解 さ せ る。
3.研 究 内 容
2次 関 数 は 高 校 数 学(数 学1)で 扱 う関 数 の 基 本 的 な 対 象 で あ り,そ の 指 導 法 に は 十 分 な 配 慮 が 必 要 で あ る。 そ こ で,現 行 の 指 導 法 で は 生 徒 が 誤 解 し た り,計 算 で い き づ ま る と こ ろ を 問 題 点 と し て 指 摘 し,そ れ を 改 善 す る い くつ か の 工 夫 を 試 み た 。
(112次 関 数 の 導 入 に お い て,生 徒 の 日 常 生 活 との 関 連 が 希 薄 で あ る。y=ax2と い う対 象 を 考 え る 前 に 導 入 を 工 夫 す る。
(21y=ax2の グ ラ フ(放 物 線)を 学=習 す るの に,x=‑2,‑1,0,1,2… 等 の 離 散 的 な デ ー タ の 値 を 計 算 し,グ ラ フ の 概 形 を 理 解 さ せ よ う と し て い る 。 そ の 結 果,生 徒 の 中 に は グ ラ フ が 折 れ 線 に な っ て し ま う もの が い る。 放 物 線 と い う 曲 線 を も っ と 身 近 に 体 験
させ る 方 法 を 工 夫 す る。
(3)y=ax2+bx+cの グ ラ フ は,y=ax2の グ ラ フ を 平 行 移 動 し て 得 ら れ る が,そ の 際y・=aX2+bx+cの 右 辺 を 変 形(平 方 完 成)す る必 要 が 生 じ る。 そ の 結 果,平 方 完 成 と い う計 算 に こ だ わ り,グ ラ フ の 平 行 移 動 と い う幾 何 学 的 な 性 質 の 理 解 に つ な が っ て い な い こ と が 多 い。 こ の 点 を 改 善 す る。
4.研 究 方 法
(11共 通 テ キ ス ト(4ペ ー ジ 参 照)を 使 用 し て,身 近 に あ る放 物 線(面)と 思 わ れ る もの を 考 え させ,そ の 性 質 を 中 学 校 で学 ん だ 初 等 幾 何 を 用 い て 明 らか に さ せ る。
(21曲 線 の 性 質 を 明 ら か に して い く過 程 で,簡 単 な 作 業 を 通 し て 放 物 線 を 描 か せ,描 か れ た 曲 線 を も と に,グ ラ フ の さ ま ざ ま な 幾 何 学 的 性 質 を 確 認 さ せ る。
(3)作 業 や 証 明 を 通 し て,放 物 線 と い う曲 線 に 対 し て ど の よ う な 感 想 を も っ た か ア ン ケ ー ト を と る。
{4}座 標 軸 を 導 入 し,曲 線 の 方 程 式 がy=aX2に な る こ と を 示 す 。
(5)点 の 座 標 に よ る表 し 方 は,座 標 軸 の 平 行 移 動 に よ り変 化 す る。 そ こ で,xy座 標 軸 を 平 行 移 動 し たXY座 標 軸 を 考 え,2つ の 座 標 軸 に お け る座 標 の 関 係 に つ い て 理 解 さ せ る 。 (6}応 用 と し て 放 物 線 の 平 行 移 動 を 考 え,xy座 標 に お け るy=ax2+bx+cは,座 標
軸 の 平 行 移 動 に よ りXY座 標 に 対 し て は,Y=aX2の 形 に 表 せ る こ と を 示 す 。 (7)従 来 の 平 方 完 成 に よ る 方 法 と の 比 較 検 討 を 行 う た めT指 導 後 共 通 テ ス トを 実 施 す る。
一3一
5.使 用 テ キ ス ト 放物線の幾伺学的性質
【殴 間1】 中 学 絞 で学 ん だ放 物 線 は 文 宇 通 りポ ー ル を 椴 げ 上 げ た と きの 軌 跡 と考 え る こ とが で き る が 、 こ れ と同 じ形 を した も の で 日:R見 られ る もの に どんt;も の が あ り ま す か.
【設 問II】 そ れ ら に 共 通 な 性 質 と して 、 どの よ う な も の が あ る と 思 い ます カ㌔
定 規 を 使 って 放 物 線 を 描 い て み よ う
【殴 問VI】AF=ALと な る よ う にLを π1上に と る Lを 通 り'に 平 行 な 直 縁TLを 引 く。
線 分TPを 引 い た と き TPFは 一 直 線 上 に あ り
PはTFの 中 点 で あ る。 ・・・… ③ そ の こ とを 次 の手 順 で示 せ.
△MPF琶 △SPF⇒PM=PS
△PMA響 △PSW⇒PA=PW・
△PAFa△PWT
⇒ 図V
m
【設 問VI】 の 図 よ り
△SFP$△STP SF=STと 鉱 り
SF=STと なゐ 胤Sを 描 い て い け̀̀放 物 線 とな る ⑤ 実 際 に、 描 い て み よ う.
【殴 悶 皿 】紙 の う え に 、1本 の 直 纏1と そ の纏 上 に な い1点Fを と る。(商 線 と点 は で き るだ け近 い 方 が よ い)次 に 三 角 定 規 を使 っ て 、 直 角 の 頂 点Pが 常 に 直 線1に 、 斜 辺 以 外 の辺 が 点F上 に 来 る よ う定 規 を お い てPを 端 点 とす る 半 画線 を 引 い て み よ う。Pの 位 置 を'上 で変 えttが ら 、 そ の 作業 を繰 り返 し て い くと ど うt;り ます かe さ らに 直線 と 点の 距 離 を 変 えて 同 じ作 業 を して み よ う。
⇒ 図1
.Q P
【殴 問1V】 図 の よ う に1上 に2点P、Qを とn.2直 線 の 交 点 を Rと す る 。 こ の と き
LQRF=LAPF・ ・●
を 示 せv⇒ 図n
段 問1VでQがPに 近 づ くと、 交 点RがSに 近 づ く とす れ ば
① の 性 質 が その ま ま保 たれ るか ら
LPSF=LAPF・ ●
⇒ 図 皿
折 り紙 で 放 物線 を 描 い て み よ う
【設 問W】 ④ の 性 質 を 使 っ て 実 際 に折 り紙(B4程 度 の 薄 紙 が よ い)で 放 物 線 を擶 い て み よ う。
⇒ 図VI (1)図 の よ うに 、 まず 直 線nと 点Fを 蟹 上 に 書 く。
nとFは で き るだ け近 い ほ うが よい 。
(2)FをPに 関 し て 折 り 曲 げTに 合 わ せ る と 折 り 目 の 線1r が で き る 。 同 様 に し て 、 点Fをn上 の 点T'、T"に 合 わ せ る と 、 折 り 目 の 線h'、'tが で き る 。
こ の作 業 を繰 り返 す と放 物 線 が で き る.
【設 閥H】 折 り紙 で作 っ た グ ラ フに 座 傑 軸 を導 入 して み よ う。
ま ず、
AW2=4AF・AZ
を示 せ 。 ⇒ 図VO
[ヒント ムSPWGO△PFAを 用 い よ。]
Sは 設 問 田 で求 め た 曲線 上 の 点 で あh.PSは その 曲 線 上 の 点Sに お け る接 線 で あ る こ とを 確 か め よ。
【綬 問V】 図 の よ う にSを 通 ってn:に 平 行 な直 線 を 引 く。
この と き LVSU=LPSF
を示 せ.⇒ 図N
従 っ て
Uの 方 か ら光 を あ て る とF忙 集 ま る こ とが 分 か る。
よ っ て 、AW2はAZに 比 例 して い る こ と が 分 か る。
ここ で 、 直 線AWをx軸 、 直 線AZをy軸 、Aを 原 点 とす る 座 標 平 面 を 導入 し、S(x,y}と す る。
AW=x,AZ=yだ か ら ⑥ よ りx輩=4AF・ ン 1=α とす る と ン‐axeと な るe 4AF
これ よ り、 放 物 線 の 形 はQの 値 す 蹴わ ちAFの 長 さ で決 ま る こ とが 分 か る。
こ の 点Fを 焦 点 と い う.
逆 にFに 光 源 を お くと反 射 してす べ てmに 平 行 な 光線 とな る。
!/
[図II} 一10123
x
R
/
P4
UIu t x
[図 皿]
此
S 慶
曾' ⇒
F 印 F
9■
A ｺaa A P
[図N] [図V]
一2‑1012 X=z‑1
間1公 式 ① が成 り立 つ こ と を整 散 の 座 標 で確 か め よ。
X
臥
間2κ 軸 を 正 の方 向 に 一1だ け 平 行 移 動(負 の 力 向 に1だ け 平 行 移 助)し て 得 ら れ る 座 憬軸 をX軸 とす る。 この と きκ 軸 とX 軸 の 整 数 の 間 の 対 応 を 書 き表 せ。 ま た同 じ点 に お け る両 軸 の 座 標 の 間 には どの よ うな 関 係 が あ るか0
一 般 にκ 軸 を 正 の 方 向 にpだ け 平 行移 動 して 得 られ る座 標 軸 をX 軸 と し同 じ点 の 両 軸 の 座 標 を それ ぞ れx、Xと す る とxとxの 問 に は
X=x‑P と い う関 係 が あ る。
012 PP+1 x
II! u 1 x
[図V1]
κノ
P'
F墜
︑.匪
κ・.﹃ミ, ,¶
て
T
1
[図W]
1
z 「 /51+.7
ρ' ゴ 層 r
P ' τ
「一...■ 「,,
貞風01 橘 暫 1
座 標 軸 の 平 行 移 動 と2次 関 融 の グ ラ フ
一p‑P41'P+Z Oi X=x‑p
X
問3κ 軸 を平 行 移 動(正 ま た は負 の 向 きに)し て得 られ る座 標 軸 を X軸 とす る。 同 じ点 の 両 軸 の 座 標 を それ ぞれx、Xと す る。
x、Xの 間 に次 の 関 係 が 成 り立 つ と きX軸 はx軸 を ど の よ う に平 行 移 動 して 得 られ るか 、 図 示 して答 え よ。
(11X=x+2 {3)x=X+2
(2)x,κ 一拒
f4)x‑x+ノ 万
[2]平 面 上 の座 標 軸 と そ の平 行 移 動 右 の 図 ≪x軸 を正 の 方 向 に2.
.v軸 を正 の 方 向 に1だ け そ れ ぞ れ 平 行 移 動 して 得 られ る座m
を それ ぞれX軸 、Y軸 と した も ので あ る。
吊y 島Y
一
1 0
0 1
卿x
[t]座 標 軸 の 平 行 移 動
下 の 図 はx軸 を 正 の 方 向 に1だ けr行 移 動 して 得 られ る 新 しい 座 標 軸 をX軸 と し、 κ 軸 とX軸 の 座 標 の 対 応 を 表 した も の で あ る 。
x軸y軸 で 定 め ら れ る 平 面 をxy座 標 平 面 、X軸Y軸 で 定 め られ る平 面 をXY座 標 平 面 と呼 ぶ こ と にす る。 こ の と き次 の 悶 いに 答 え よ。
一3‑2‑1D123456
UuUu日
x一4‑3‑2‑1012345
X
κ 軸 を 正 の 方 向 に1だ け平 行 移 助 した も の がX軸 で あ る か ら、 両 軸 の 同L'点 の座 標 はX軸 上 の 座 標 の 力 が κ 軸 上 の座 標 よ り も1だ け小 さ くな る.
⊥ の図 で はκ 軸 、X軸 の 両 軸 上の 整 数 の 間 の対 応 を表 して い る。
同 し点 に お け るx軸 上 及 びX軸 上 の 座 標 を それ ぞ れX.Xで 衷 す と X‑x‑1①
と な る.
問4xy座 標 平 面 の 次 の 各点 はXY座 標 平 面 の どの よ うな 座標 を も っ 点 に対 応 す る か。
(1) ca) (3)
xy座 標 準 面 (o,o)一
(1、a)・
(一1、
xY座 標 平 面
・( 噛)
s
訓 ←一 一一(,
})
問5こ れ ら の緒 果 か ら 座 標 平 而 上 点Pに 対 しxy座 標 平 而 で 、 P(x、y)XY座 標 平 而 で 、P(X、Y)と す る と き、 座 標(x、Y)(X、Y)の 間 に は どの よ う な閲 係 式 が 成 立 す る か 。
X=Y=
一5一
間6x、y軸 を 次 の 方 向 に 平 行 移 動 し てX、Y軸 を 得 る と き 、 座 標(x、S')(X、Y)の 問 の 凹 係 式 を 求 め よ 。
(Dx軸 の 正 の 方 向 に1、3,軸 の 正 の 方 向 に 一1 (2)x軸 の 正 の 方 向 に 一1、.v軸 の 正 の 力 向 に3 (・)x軸 の正 の方 向 に12y軸 の正 の 方 向 に 号 (a)x軸 の 負 の 方向 に2、y軸 の 正 の 方 向 に 一2
問7座 標(x、S')(.X、Y)の 間 に 次 の関 係 が あ る と きX、 ン 軸 を どの よ う に平 行移 動 す れ ば ♪(、Y軸 が 得 られ るカ㌔
{1){x=X‑一 一2 Y‑y+2(2){;二Y+1 一般 にκ、y軸 を そ れ ぞれ 正 の 方 向 にρ 、9だ け 平 行 移動 して X軸 、Y軸 を 得 ると きκy座 標 軍 面 上 の 点P(x .ン)とxY座 標 平 面 上 の 点PiX、Y)に 対 し て座 擦 の 問 に 次 の 閲 係 式 が成 り立 つ。
Lr 4Y
P(x.Y) P(x.r)
g 0 ●
0 A
一
X
x
さ て 、 ③ は 右 辺 を 展 開 し て 整 理 す る と .v=2x2‑sx‑f‑9...
と な る 。 ④ の 形 で 与 え ら れ た2次 関 数 は ③ の 形 に 変 形 し て 、 そ の グ ラ フ を 甫 く こ と が で き る 。 ③ の グ ラ フ は .yゴ2κ2の グ ラ フ をT' 行 移 動 し て 揖 ら れ た の だ か ら 、 ④ の グ ラ フ と.v‑2x2の グ ラ フ は 1司じ 形 で あ り そ の 位 置 が 異 な る だ け で あ るe
昌}般にa≠0の とき
一 悪一亘建動
したものである。(証明略)
【例 題12次 関 数y=2xz‑8x十5の グ ラ フ を か け 。
〔解 〕
X=x‑P Y=y‑4
」ノ==2xz‑8♪ ご+5 Y=2Xx
X=x‑p
①②
Y=y‑4
0
① の グ ラ フ はy=2xzの グ ラ フ を 平 行 移 動 し た も の で あ る か ら xlr1.ン 軸 を そ れ ぞ れ 正 の 力 向 にp、q平 行 移 動 し てx軸 、1T軸 を 作 る と き ① はXY座 標rF'一面 で ② と か く こ と が で き る 。 ③ は 座 標 の 問 の 関 係 式 で あ る 。
③ を ② へ 代 入 し て
ン ーq=2cピ ー ρ)2=2x2‑4Fx+2ρ2' 'y‑2x2 ‑4px十2p2十q....
[3コ ン=axe十bx十Cの グ ラ フ
=axzの グ ラ フの 平 行 移 動 右 の図 は2次 関bc .v=axeの
グラ フ をX軸 の 正 の方 向 に2, y軸 の正 の方 向 に1f'け 平 行 移 動 し た グ ラ フを 示 して い る。
この グ ラ フの 方 程 式 が どの よ うに な る か を翼 べ よ う。
い ま 図 の よ う にX軸 、Y軸 を と る0 こ の と きXγ 座 標 平 面 で は グ ラ フ の 方 程 式 は
Y=9¥'E...0 と 鉱 る 。
X
と こ ろ で 、xz座 標 平 面 、XY座 標平 面 の 間 に は 、 す で に み た よ う に次 の 閲係 が成 り立 つ
X‑x‑2 {Y=y‑1②
② を ① へ 代 入す る と .v‑‑1=2tx‑2)窩
・'一.v=2(x‑212+1...
こ の こ とか らa'=2x2の グ ラ フをX軸 の 正 の 方 向 に2.ン 軸 の 正 の 方 向 に1だ け 平 行 移 動 して 得 られ る グ ラ フの 方 程 式 はxy座 標 平 面 で は③ の 形 で与 え ら れ る こ と が分 か る。
問8.v°2(x‑2}2+1で 与 え られ る 放 物 線 の 軸 の 力 程 式 と頂 点 の座 標 を求 め よ 。
① と④ の 右 辺 は 同 じ式 で あ るか ら係 数 を 比 較 して 一4P=‑8
2px+q=5・ れ より{∴2 ゆ えに
す な わ ち と な る。
X=x‑2 Y=.y‑(‑3)=ン+3
y‑(‑3)‑2(x‑‑2)Z
,'..v=2{κ 一2}2‑3 D
こ れ よ り① の グ ラ ヲ は 頂 点 が(1ρ 、9)=(2,‑3)で 軸 がx=2 で 下 に 凸 の 放 物 線 で 吹 の 図 の よ う に な る 。
[別 解]
,v°2x2‑8x十5
=2(x2‑4x)十5
=2{(κ2‑4x十4)‑41→‑5
=2{{」 コじ一2)2‑4}十5
=2(x‑2}x‑3
ゆ え に求 め る グ ラ フ は ッ=2κ2 .のグ ラ フ をx軸 の 正 の 方 向 に2, ッ 軸 の 負 の 方 向 に3だ け平 行 穆 動 し た もの で あ る。
悶10次 の2改 関 数 の グ ラ フを か け (1)y‑xz十6x十7
t3)y=‑xz十2x十1 1
鄭
しノ㍑⊥2
薫=ンツ
︺)り凸4{{
間9y‑2x2の グ ラ フを κ 軸 の 負 の 方 向2ン 軸 の 負 の力 向 に1 だ け 平 行移 動 し て得 られ る グ ラ フ をか け。 ま た そ の グ ラ フ の 方 樫 式 を 求 め よ。
6.小 テ ス トの 結 果 分 析
4校 の 正 答 率 は 以 下 の 通 り で あ る。
問 題{D 問 題(21 問 題(3) 問 題{4}
A校 399'0 30% 340 12%
B校 93qa 90% 82% 84%
C校 5390 5790 27qo 27qp
D校 .. 48% 35go 30%
参 考(小 テ ス ト)… …20分 次 の2次 関 数 の 頂 点 の 座 標 を 求 め
さ ら に,そ の グ ラ フ を 書 け 。 (1、y==2x2十1
(2)y==‑x2十6x‑9 (31y=2x2十5x十1Q {4}y‑‑x・‑32x+54
問 題 の 解 き方 を 分 折 す る と,各 校 に お い て 次 の よ う な 傾 向 が 見 ら れ た。
(傾 向1)… …(1)(2)の よ う な 比 較 的 計 算 が 簡 単 な 問 題 は,平 方 完 成 を 用 い る 方 法 と座 標 軸 の 平 行 移 動 に よ る 方 法 と で 正 答 牽 に 大 差 は な か っ た 。
(傾 向2)… …(3)(4)の よ う な,平 方 完 成 が 難 し い 問 題 で は,明 ら か に 座 標 軸 の 平 行 移 動 に よ る 方 法 の 方 が 正 答 率 が 高 く,答 案 の 計 算 間 違 い が 少 なか っ た 。
(傾 向3)… … 平 方 完 成 に よ る 方 法 は,と か く計 算 間 違 い の 多 い 点 が 難 点 で あ り,
Y=a(x‑p)2+qと 変 形 し た あ と,こ れ がy=ax2の グ ラ フ を 平 行 移 動 し た も の で あ る こ とを 幾 何 的 に 把 握 し て い る生 徒 は 非 常 に 少 な か っ た 。 (傾 向4)… … 座 標 軸 の 平 行 移 動 を 用 い る 方 法 で は,座 標 変 換X=x‑P,Y=y‑qと
y=ax2の グ ラ フ の 平 行 移 動 と の 関 係 を 理 解 し て い る 者 が 少 な か っ た 。
Z研 究 の成 果
放 物 線 を 身 近 な も の と し て と ら え る こ と が 出 来 た か と い う点 に つ い て,生 徒 か ら寄 せ られ た 感 想 の 中 か ら主 な もの を 取 り上 げ て み る。
(1)放 物 線 を 書 く こ と は 困 難 だ と思 っ て い た が,簡 単 な 作 業 で 書 け る こ と に お ど ろ い た。
(21直 角 に 直 線 を 書 く こ と に よ っ て,曲 線 が 書 け る こ と が 不 思 議 だ と 思 っ た 。 ま た,光 の 屈 折 な ど に つ い て も 知 る こ と が 出 来 た 。
(3)グ ラ フ は難 し くや や こ し い と 思 っ て い た が,簡 単 に 書 け た り,折 り紙 を 折 る こ と で 形 が 浮 き 上 が っ て くる の で,2次 関 数 が 身 近 に 感 じ られ た 。
ア ン ケ ー ト調 査 の 結 果,7割 以 上 の 生 徒 が,証 明 を 難 しい と 感 じ た 様 で あ る。
̲7̲
そ の 最 大 の 理 由 は,短 時 間 で 解 決 を 求 め た こ と に あ る と思 わ れ る。 証 明 に 使 っ た 幾 何 的 性 質 は,合 同 条 件,円 に 内 接 す る 四 角 形 に つ い て の 性 質,接 線 条 件 で あ り,全 て 中 学 校 で 学 ん だ 基 本 的 性 質 の み で あ る。 基 本 的 性 質 を 明 示 して お い て 証 明 に 向 か え ば 十 分 理 解 が 得 ら れ る と思 わ れ る。 次 に 今 回 の 研 究 の 主 な 成 果 は 次 の と お り で あ る。
f1)数 学Aに 初 等 幾 何 が 導 入 さ れ た 際,そ れ と の 橋 渡 し,更 に は2次 関 数 と の 有 機 的 な 結 び つ き と し て,こ の 教 材 を 活 用 で き る こ と。
X21従 来 の 平 方 完 成 に よ る 方 法 を 用 い る と,そ の 計 算 そ の もの に と ら わ れ,
y=a(x‑P)z+qの グ ラ フ がy=ax2の グ ラ フを 平 行 移 動 し た もの で あ る こ と が あ ま り理 解 さ れ な い 難 点 が あ る が,座 標 軸 の 平 行 移 動 を 用 い る と,平 行 移 動 の 認 識 が は っ き り す る。
(3}平 方 完 成 に よ る 方 法 よ り 計 算 が 比 較 的 簡 単 に 済 み,特 に 係 数 が 複 雑 な 分 数 の 場 合 に は 有 効 で あ る。
〔4)こ の 方 法 は,2次 関 数 の グ ラ フ に 限 ら ず,分 数 関 数,無 理 関 数 を は じ めrい ろ い ろ な グ ラ フ を 書 く こ と に 応 用 で き る。
8.ま とめ と今 後 の 課 題
具 体 的 な例 か ら発 生 し発 展 した幾 何 学 的 な考 え を 歴 史 の 流 れの 中 で見 て い くこ と は,幾 何 学 が文 化 の 発 展 に どれ ほ どの 貢 献 を して きた か を か い ま み る こと に な る。 本 研 究 で は,こ の ような幾 何 学 の歴 史 的 経 過 を重 視 し,折 り紙 等 の作 業 や 体 験 を通 して数 学 的 な 見 方 や 考 え方を 育 て る指導 の方 法 を工 夫 して きた。 今 回 の 指 導 を通 して,2次 関 数 に つ い て の理 解 が 深 ま り,
2次 関 数 を よ り身近 な対 象 と して と らえ る こ とが で き た と考 え て い る。 ま た,座 標 軸 の平 行 移動 を 用 い て よ り簡 潔 に表 現 す る方 法 は,2次 関 数 だ け で な く,他 の 分 野 に も応 用 す る こ と が 可 能 で あ ると思 わ れ る。
今 後,座 標 変 換 の 指導 に 十 分 時 間 を か け る と と もに,幾 何 学 的 立 場 か ら 曲線 を考 察 し,定 規 折 り紙,刺 し ゅ う等 を 用 い た作 業 を通 して,数 学 を よ り身 近 な もの,よ り楽 しい もの と
して受 入 れ られ るよ うな授 業 を 創 造 して い くこ とが 課 題 で あ る。
H数 列 の 和 と数 学 的 帰 納 法 を関 連 付 け,自 ら類 推 し, 帰 納 的 な考 え 方 を育 て る指 導 法 の研 究
1.は じめ に
特 殊 な 事 実 か ら一 般 的 な 結 論 ・法 則 を 導 き だ す 発 見 的 な 方 法,す な わ ち 帰 納 的 推 論 は,人 文 ・社 会 ・自 然 を 問 わ ず,あ ら ゆ る科 学 に お い て 用 い られ る 極 め て 有 効 な 方 法 で あ り,科 学 の 発 展 に 欠 か せ な い もの で あ る。
数 学 に お い て も,帰 納 的 推 論 を 使 っ て 一 般 的 な 法 則 を 推 測 し,推 測 し た 法 則 を 厳 密 に 証 明 す る こ と を 行 な う。 こ の 際 に 用 い られ る 証 明 方 法 が 数 学 的 帰 納 法 で あ る。
高 等 学 校 に お け る数 学 的 帰 納 法 の 学 習 で は,と も す れ ば 帰 納 的 な 推 論 が 軽 視 さ れ,形 式 的
・技 巧 酌 な 証 明 の 書 き か た が 中 心 に な っ て お り
,数 学 的 帰 納 法 の 必 要 性 や 有 用 性 を 理 解 で き な い 。 そ こ で,本 研 究 で は,帰 納 的 推 論 を 重 視 し,自 ら類 推 して 帰 納 的 に考 え る 力 を 育 て る 指 導 法 を テ ー マ に 取 り上 げ,研 究 を 進 め る こ と に し た 。
z.研 究 の ね ら い
現 行 の 多 くの 教 科 書 に お い て,数 学 的 帰 納 法 は,数 列 の 章 の 最 後 に 置 か れ て お り,そ の 導 入 に 用 い ら れ る問 題 は,既 に 導 か れ た 「数 列 の 第n項 ま で の 和 」の 証 明 問 題 が 主 に な っ て い る 。 そ の た め,生 徒 は な ぜ も う一 度 同 じ 問 題 の 証 明 を す るの か,と い っ た疑 問 を もち,数 列 へ の 興 味 を 失 い,「 数 学 を 学 習 し て い こ う と す る 意 欲 と主 体 的 に 活 用 し よ う と す る態 度 」を 養 う こ と が 難 し い。
そ こ で,生 徒 に 興 味,関 心 を 持 た せ,帰 納 的 推 論 の 有 用 性 を 理 解 さ せ る た め に,具 体 的 な 計 算 を さ せ る 中 で,試 行 錯 誤 を 繰 り返 し な が ら等 式 を 推 測 さ せ,そ れ を 数 学 的 帰 納 法 で 証 明 す る と い う授 業 を 試 み た 。 そ の た め 数 列 の 単 元 の 並 ぺ 方 を 変 え,数 列 の 和 の 公 式 の 指 導 時 に, 数 学 的 帰 納 法 を 導 入 す る こ と に し た 。
具 体 的 な手 順 は 次 の と お り で あ る。
(11実 際 に 計 算 を し て 直 感 的 に 結 果 を 推 測 さ せ る 。
(21結 果 は 推 測 で あ り,無 限 の 値 に 対 して 成 り立 っ て い る こ と を 確 か め るの は,不 可 能 で あ る こ と を 確 認 さ せ る。
(3)自 然 数nに つ い て の 命 題 が,あ る値 で 成 り 立 っ て い るの を 利 用 し て,次 の 値 の と き1ζも
一9一
成 り立 つ こ とを 示 す 。 す な わ ち,数 学 的 帰 納 法 の 「n=kの と き成 り立 つ な ら ば nニk+1の と き に も成 り立 つ 」を 具 体 的 な 数 値 で 証 明 し,数 学 的 帰 納 法 の し くみ を 理 解 さ せ る 。
(4)数 学 的 帰 納 法 が 形 式 的 に で き る よ う に す る。
(5)と か く公 式 の 習 得 が 重 ん じ ら れ る 数 列 の 和 の 指 導 時 に,視 覚 に 訴 え る教 具(模 型)を 用 い て 知 識 の 定 着 を 図 る 。
3.研 究 内容 (1)指 導 計 画
現 行 教 科 書 の数 列 に お け る 「数 学 的 帰 納 法 」の 配 置 を調 べ て み る と,次 の3種 類 が あ る。
① 等 差 数 列 → 等比 数 列 → い ろい ろ な数 列 → 漸 化 式 → 数 学 的 帰 納 法(6社)
② 等 差 数 列 → 等 比 数 列→ い ろい ろな 数 列→ 数 学 的 帰 納 法 → 漸 化式(3社)
③ 等 差 数 列 → 等 比数 列→ 数学 的 帰 納 法 → 漸 化 式(1社)
① お よ び② にお いて の 「数学 的 帰 納 法 」の 例 題 は,k2やk3の 和 や 部 分 分 数 に 分解 して 求 め た 分 数 の 和 を取 り扱 っ てい る。 従 っ て この 場 合 に は 「数学 的 帰 納 法 」が 等 式 の 証 明 方法 の 一つ と して,と らえ られ て し まいや す い。
一 番 多 い6社 の 配 列 を 次 の よ うに変 え て指 導 した
。 A社 の 「基礎 解 析 」の例
第3章 数 列16時 間配 当
① 数 列 と その 項
② 等 差 数 列
③ 等 比 数 列
④ い ろ い ろ な 数列 の 和
⑤ 数 列 の 一般 項 の 求 め 方
⑥ 数 学 的 帰 納 法
1時 間 3時 間 3時 間 3時 間 3時 間 3時 間
今 回 の 指 導 計 画
第3章 数 列15時 間 配 当
① 数 列 と その 項1時 間
② 等 差 数 列3時 間
③ 等 比 数 列3時 間
④ 数 学 的 帰 納 法3時 間
⑤ い ろ い ろな数 列 の 和2時 間
⑥ 数 列 の 一 般 項 の求 め 方3時 間
等差 数 列,等 比 数 列 の 指 導 の後 で,数 学 的 帰 納 法 の 指導 を す る。 まず,等 差 数 列 や等 比 数
を 導 入 し,証 明 す る。
こ れ に よ っ て,高 校 数 学 で は あ ま り経 験 す る こ と の な い,「 具 体 的 な い く つ か の 数 値 か ら 一 般 的 な 法 則 を 考 え る 」 と い う数 学 の 発 展 に 欠 か せ な い 帰 納 的 推 論 を 体 験 させ
,同 時 に 数 学 的 帰 納 法 の 必 然 性,重 要 性 を 理 解 させ る
ま た,こ の 配 列 に よ って 多 くの 教 科 書 が 採 用 し て い る 恒 等 式(k十1)3‑k3=3k2十3k十1
を 用 い た 自 然 数 の2乗 の 和 を,数 学 的 帰 納 法 と 同 時 に 指 導 で き る の で,指 導 時 間 の 短 縮 に も な る。
(21学 習 指 導 案 「数 学 的 帰 納 法 」(3時 間)
1時 限 目 の 目標:既 習 の 等 差 数 列 や 等 比 翻 列 で な い 数 列 の 例 と し て,自 然 数 の3乗 の 第 n項 ま で の 和 を 生 徒 自 身 に 推 測 させ る。 そ の 推 測 し た 式 は 厳 密 に 真 と は い え な い し,無 限 の 値 に 対 し て 証 明 で き れ ば よ い が,そ れ が で き な い こ と を 理 解 さ せ る 。 そ こ で 数 値 で は な く,文 字(k)と(k十1)
を 用 い る こ と に よ っ て,無 限 回 の 証 明 を した こ と に な る 「 し く み 」を 理 解 さ せ る 。
2時 限 目 の 目標:自 然 数 の2乗 の 和 を 推 測 さ せ,「 数 学 的 帰 納 法 」の 証 明 方 法 と し て の 手 順 を 復 習 し,定 着 を は か る 。
3時 限 目 の 目 標:練 習 問 題 を させ る。 「数 学 的 帰 納 法 」の 証 明 方 法 は 等 式 の 証 明 ば か り で は な く,自 然 数 の 不 等 式 の 証 明 に も 使 わ れ る こ と を 示 す 。
こ の3時 間 の 授 業 の 中 で,式 の 意 味 の 理 解 を 助 け,導 き 出 し た 式 の 定 着 を 図 る た め に,そ れ ぞ れ 視 覚 的 な 模 型 を 準 備 し た 。1時 限 目 の 「 自 然 数 の3乗 の 和 」 に つ い て は,n=5ま で の 工 作 用 紙 に よ る 平 面 模 型 に よ っ て,自 然 数 の3乗 の 和 が 平 方 数 に な る こ と を 視 覚 的 に 示 し た 。2時 限 目の 「 自然 数 の2乗 の 和 」 に つ い て は,n;5ま で の 立 体 模 型 を6個 作 製 し,6 個 を 組 み 合 わ せ る と,直 方 体 に な る こ と を 示 し た 。 こ れ に よ っ て,分 母 の6の 意 味 を つ か ま せ た 。 練 習 問 題 の 「奇 数 の 和 」 はn=5ま で の 平 面 模 型 に よ っ て,奇 数 の 和 が 平 方 数 に な る こ と を 示 し た 。3時 限 目 の 練 習 問 題 もn=5の 立 体 模 型 を3個 作 製 し て,3個 を 組 み 合 わ せ る と,直 方 体 に な る こ と を 示 し た 。
一11一
学習 指導 案!1時 限)
学 習内容お よ 学習 活動 い ろ い ろ な 数 列 の 第n項 ま で め 和
[聞]Sn=13+23+3」+43+…+n3=匡 亟 コを 求 め て み よ う {自 然 数 の3乗 の 和)
実 際 に 計 算 し て 子 想 して み る
St=13 SZ=]3+23 S3‑P+23+33 5,,=13+2'+3'+4」
1=IZ
=9= .32
=3b=6'
=100=102 Ss=P+23+33+r3+C3=225=152
o
S、=P+23+33+93+・ 一+n3置(
Snの3乗 を と っ て み る と 51=1
52=1+2 S3=1+2+3 54=1+2+3+4
=1
‑3 ニ6
=10
S5=1+2+3+4+5=15
1,3>6,10,15… の 規 則 性 は?
2,3,4,5… と 増 え て い る )a
これ は既 習 の 初 項a=1,d=1の 等 差 数 列 の和 に な っ て い る
2
こ れ を 、
文 字 を 用 い て そ れ が で き な い だ ろ う か(無 限 回 や っ た こ と にす る) k番 目 ま で 成 り立 つ とす る と
1・+2・+33+…+k・={k(k2+1)}2ま で は 正 し い k+1番 目(次 の 数)の と き を考 え る と
よ っ て 、S。‑1・+2・+3・+…+・ ・={n(菱+1)}2と 予 想 さ れ る こ の 予 想 が 正 し い か ど うかn=6の と き を確 認 す る(n=5ま で を 利 用)
33333+s3^(5xs}+s1・
ニ6イ(勢 量+6}
=6Zx49 4
=6zx/̀z
(6x72警 躍 翫 縫 ㌘ 辺に
n=7,$,9,… と 無 限 に 証 明 し な け れ ば な ら な い が 無 理 で あ る
=(4c+1}Zx4
̲(k+D2(k+2)z 4 こ れ は 右 辺 にn=k+1を 代 入 し た も の よ っ て 、k+1番 目 の と き も 成 り 立 つ
一]が 示されたことによって
■ →2kに 順 に数 値 を代入す る ことで
2→3無 限 回証明 したことにな る
3→4
一 」c+(k+1)・=lk{k+1)}+(k+1)・
a
k2+4k+4
5↓
4
生 の反応 お よ 留意点
・等 差 で も 等 比 で も な い の で公 式 は 使 え な い
・順 に計 算 し予 想 さ せ る
・あ る数 の2乗 に な るの は 早 く気 が つ い た
・2,3,4,5… と 増 え て い る と い う答 も あ っ た
・3乗 を と っ た と き の 数 値 に な っ て い る
・あ くま で予 想 で あ る こ と を 強 調
・両 辺 に6を 代 入 す る の で は な く 5ま で を利 用 し た式 変 形
・同 じ計 算 を無 限 に続 け な け れ ば 、 証 明 に な らな い
・文 字kを 使 っ てそ れ を 試 み る
・kま で の 等 式 を利 用 した 式 変 形
・次 の 数 の と き が 示 さ れ た
・n=1の 重 要 性 に 気 付 か せ る
3乗 の 和(n=51
ユ3233'43 53
凡r人「{
冒1
(2時 限)
学 習内容お よび学習活動
[問]Sn!Z+22+32+92+…+n2=[亟 コ を 求 め て み よ う {自 然 数 の2乗 の 和1
実 際 に 計 算 し て 予 想 し て み る S,W12=1
S2=la+22=・5 S,=12+22+32==14 S4=1Z+22+3z+42=30 Ss=1Z+22+32+4a+5255
'1 ,5,14,30,55・ ・の 規 則 性 は?
■
Sn=12+2Z+3z+4z+…+nz=
前 間 の よ う に2乗 を と っ た 場 合 の 数 値 と 比 較 し て み る と s, S2 S3 Sd s5 璽ら● Un
1z+22+32+ 1 5 14 30 55 ,■ ● 1+2+3+ 1 3 6 10 15 o■o
1z+2z+32+・ 1
1 5 3
i4 s
30 10
55 15 i+z+3+
同上 33 53 73 93 旦 3
●●● 2n+1
3 よ っ て 12十22十32十 …2n十1
1十2十3十 …3
2n十112+22+32
‑← …=
12+22+32+…=
x(1+2+3+…+n)3 2n+IXn(n+1)
la+22+32+ 嘲=6"曜'①
① を 数 学 的 帰 納 法 で 証 明 す る {1)n=1の と き
ix2x3
① の 左 辺 =IZ=1,① の 右 辺==ユ 6
・.・左 辺=右 辺,① はnニ1の と き 成 り 立 つ {H}n=kの と き ① が 成 り立 つ と す る と
+kZ‑k(k+1)(Zk+1)6
32 n(n+1}(2n+1}
!2十2'十32十 ・
n罵k+1の と き
① の 左 辺 二12+22+3'+…+k2+(k+1)2 k(k+1){2k+1)+{k+1)Z
=(k+1){k(2k6+1)+k+}6
6 (k+1)(k+2)(2k+3}
s
① の 右 辺=(k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1}
fi
̲(k+1)(k+2)(2k+3)
6
∴ 左 辺=右 辺,① はn=k+1の と き も 成 り 立 つ (置)(H)よ り ① は す べ て の 自 然 数nで 成 り立 っ [練 習]1+3+5+・
で 証 明 せ よ
・+(2n‑1}ニ を 予 想 し、 そ の 結 果 を 数 学 的 帰 納 法
生徒 の反応お よび留意点
・差 を と っ て 、その差 が平方数 にな っ て い と い う意 見 も あ っ た が 、 式 に す る こ と が で き な か っ た。
・こ の 規 則 性 は な か な か で て こ な い
・左 の表 をプ リン トで 用 意 し数 値 を 入 れ させ る
・い き な り、 分 数 に し て は あ る が 、 試 行 錯 誤 の 結 果 で あ る こ と を 脱 明
・出 発 点 で あ るn=1を 強 調
2乗 の 和{n=5)
↓
/≠/〆 二〆/////ノ ニ,/ 6//.///f/ノ//〆 今!≠/ノ ノ
/!!ノ!ノ!ノ ノ/ノ/
5
〆!/ //T7 〆/〆 〆
{
11
・nニ5の と き の 立 体 模 型 を6個 見 せ て 、 組 み 合 わ せ る 直 方 体 に な る こ と を 示 す
・す ぐに 予 想 で き た
一13一
(3時 限)
学 習 内容お よ び学習 活動
[練 習]1・2+2・3+3・4+…+n(n+1}=を 予 想 し、 そ の 結 果 を 数 学 的 帰 納 法 で 証 明 せ よ
S1か らS5ま で を 計 算 し表 に し 、 自 然 数 の 和 と比 較 し て み る と S1 SZ S3 S4 Ss ■o● S.
1・Z+2.3+3.4+… Z 8 20 40 70 ■■曹
1+2+3+… 1 3 6 10 15 ,.o
1.2+2.3+3.4+・ ・一 z
i S 3
zo s
ao YO
70
‑
1+Z+3+一 15
同 上 6
3 8
‑
3 10
3 12
‑
3 19
3
曹」. 2n+4
3
1.2十2.3十3.4十 …2n十4 よ っ て
1・2十2・3一 ト3・4十 ・・。==
=
1十2十3十 …3 2n+4
3 2n+4 32 n(n+1)(n+Z)0
3'
① を 数 学 的 帰 納 法 で 証 明 す る(略)
[練 習]a>0で 、nが2以 上 の 自然 数 の と き 、 不 等 式
〔1+a}罰>1+na が 成 り立 つ こ と を証 明 せ よ0
x(1十2十3十 … 十n)
n(n+1)x
生徒 の 反応 お よ び留 意 点
・nニ5の と き の 立 体 模 型 を3個 組 み 合 わ せ る と 、 直 方 体 に な る
4.分 析 と考 察
研 究 授 業 で は,等 差 数 列,等 比 数 列 は そ の ま ま 教 科 書 ど お り に 進 め,等 比 数 列 の す ぐ後 に 指 導 案 の 内 容 で 授 業 を 行 っ た 。1時 限 目 の3乗 の 和 は 何 と か 気 が 付 い て くれ た が,2時 限 目 の2乗 の 和 は,意 見 は 出 る の だ が,そ れ を 式 で 表 わ す こ とが で き ず,時 間 だ け が た っ て し ま っ た 。 ヒ ン トと し て 学 習 指 導 案 の 中 に あ る よ う な 表 の プ リ ノ トを 配 布 し た 。
2乗 の 和 を 推 測 す る の は,や は り難 し い よ うで あ る。
教 科 書 ど お り に 数 列 の 最 後 に 数 学 的 帰 納 法 を 指 導 した ク ラ ス と,本 研 究 の 指 導 に よ る ク ラ ス の 両 方 に,中 間 考 査 に お い て 下 記 の よ う な 同 一 の 問 題 を 出 題 し,定 着 の 様 子 を み た 。
問 次 の 数 列 の 和 が す で に 予 想 さ れ て い る も の と して,予 想 が 正 し い こ と を 数 学 的 帰 納 法 で 証 明 せ よ
そ の 結 果,配 列 が 教 科 書 通 り の ク ラ ス と 本 研 究 の 指 導 ク ラ ス と で は,後 者 の ク ラ ス の 方 が 正 解 率 が 高 か っ た 。 教 科 書 通 り の ク ラ ス は,数 学 的 帰 納 法 を 中 間 考 査 の 直 前 に 学 習 し,研 究 授 業 の ク ラ ス で は,数 学 的 帰 納 法 を 中 間 考 査 の か な り 前 に 学 習 し て い る と い う こ と を 考 え て
も,数 学 的 帰 納 法 の 定 着 率 が 艮 か っ た と い え る 。
指 導 案 の2時 限 目 の 〔練 習 問 題 〕(奇 数 の 和)を 帰 納 法 の 指 導 の 後,Σ 計 算 の 指 導 の 際 に 解 い た 。 中 間 考 査 後 に 研 究 授 業 実 施 ク ラ ス に お い て,Σ 計 算 と 数 学 的 帰 納 法 に つ い て の ア ン ケ ー トを と っ た 。 そ の 結 果,数 学 的 帰 納 法 の 方 が Σ 計 算 よ り も,解 答 が 分 か り や す い と 答 え た 生 徒 が2倍 以 上 い た 。
5.研 究 の 成 果 と 今 後 の 課 題
成 果 と して 以 下 の よ う な こ とが あ げ られ る。
(1)「 帰 納 的 な 考 え 方 を 育 て る こ と 」に つ い て は,有 限 な値 に 対 し て は,計 算 で 確 か め ら れ る が,無 限 の 値 に 対 して は 計 算 で 確 か め る こ と は 不 可 能 で あ り,証 明 し な け れ ば な ら な い と い う 意 識 が 生 ま れ た 。 導 入 部 分 に お い て,生 徒 は い つ に な く反 応 が 良 か っ た 。 受 け 身 で は な く 自 ら考 え な が ら学 習 す る の で 興 味 を も っ た も の と 思 わ れ る。
(21「 視 覚 的 に 訴 え る 教 具 の 利 用 」に つ い て は,生 徒 は 大 変 興 味 を 持 った よ うで あ る 。 面 白 か っ た と い う生 徒 が 多 か っ た 。 中 間 考 査 の 結 果 を み る と公 式 の 定 着 率 が 例 年 に 比 べ て 高 か
っ た 。 こ れ は,視 覚 的 な教 具 を 生 徒 に 提 示 し た た め と 思 わ れ る。
(3)「 主 体 的 に 意 欲 を も つ て 学 ぶ 態 度 を 養 う こ と 」に つ い て は,授 業 に 対 し て 意 欲 的 に 取 り 組 ん で い た 生 徒 が 普 段 よ り 多 か っ た 。 全 体 に"考 え て い る"と い う雰 囲 気 が あ っ た 。 普 段 発 言 し な い よ う な 生 徒 も積 極 的 に 発 言 し て い た 。 こ れ は,導 入 部 分 がn=5ま で の 計 算 な の で 誰 で も計 算 で き る し,自 分 で 推 測 す る 面 白 さ の た め だ と 思 わ れ る 。 自分 か ら公 式 を 導
け た,発 見 で き た と い う達 成 感 や 満 足 感 も味 わ っ た よ うで あ る。
(4)「 数 学 的 帰 納 法 の 定 着 」に つ い て は,進 度 の 関 係 で 研 究 授 業 が1校 で し か で き な か っ た の で,あ ま り比 較 対 象 で き な い が,中 間 考 査 で は 例 年 に 比 べ て よ く で き て い た 。 前 述 の ア ン ケ ー トの 中 で も,3分 の1近 くの 生 徒 が 「数 学 を 学 ん で い る 」 と 感 じて お り,強 く興 味 を 持 っ た こ と が わ か る。
今 後 の 課 題 と し て は,2時 限 目 の 「 自 然 数 の2乗 の 和 」の 指 導 時 に,ヒ ン トと し て 表 を 与 え た が,帰 納 的 な 考 え 方 の も つ 発 見 的 要 素 を 認 識 さ せ る に は,自 ら発 見 す るの が,一 番 望 ま し い 形 で あ る 。 こ れ か ら も 発 見 し や す い 問 題 ・指 導 法 の 工 夫 を 考 え て い きた い 。
一15一
