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Kyoto University

自己相似・自己アフィン・マルチフラクタル

本 中 大 ・ 理 工 ・ 物 理 松 下 エ 貝

~1. はじめに

幸運にも飛行機の窓側の席に着けた時にぼんやり外を眺めていると，モクモクとした，

時には稲妻が走ったりする，雄壮な雲を見掛けることがある.積雲，積乱雲の類いなの だろうか.このような雲の表面を見ていると不思議な気持に襲われる.目をこらして見 ると，大きなモコモコの中に小さなモコモコが，またその中により小さなのが

といった具合で，モコモコの絶対的な大きさがてんで見定められない.雲の表面に基準 となるような特徴的な長さが見付からないので，そこまでの遠近の見当もつかない.意 外に動きがのろいので結構遠いのだなと思う程度である.

我々の身辺には雲，稲妻だけでなく，山並み，河川網，海岸線など，ラング、ムなパター ンが数多く見られる.しかも，意外に多くのものが上述の雲のように大小様々のスケー ルを持つ部分から構成されているように見える.マンデノレブロ

( B . B . M a n d e l b r o t

Y a l e  

( s c a 1 ei n v a r i a n c e )

3 0

a c t a l )

しかし科学の概念はいったんそれが受け入れられると一人歩きする傾向があるもので ある.このフラクタルの場合はどうであろうか.その動向を概観してみよう.

~2. 自己相似フラクタル

最も単純なスケール不変性は自己相似性

( s e l ι s i m

i t y )

( s e l ι s

H

a c t

ここでは幾何学的に厳密に自己相似な場合だけでなく，ランダ、ムなパターンに対して統 計的に自己相似な場合も自己相似フラクタルに含めよう.

厳密に規則的な場合の典型例が図1のコッホ曲線である.作り方は至って単純で，あ る線分(イニシエータ

( i n i t i

o r )

O

3

3

2

( g e n e r a t o r )

l

‑干

1 1 2 ‑ 8 5 5 1

1 ‑ 1 3

2 7

令

m

1 :m a t u s i t a @ p h y s . c h u

t

C

URL: h t t p : j  jwww.phys.chu

u

a c . j pj 1 a b s  

m a t u s i t a j )  

「第50回物性若手夏の学校 (2005年度)J

あるように，この曲線のどの一部を取り出して拡大しでも全体と変らないものが得られ ることは容易に想像がつく.即ち，コッホ曲線は自己相似である. 直観的にはコッホ

図

1 :コッホ曲線.典型的な規則的自己相似曲線.

/ 

ー

， 、一一一一・ーーー骨酔

図

2 :

曲線は大小様々な凹凸からできていて 全体の大きさ以外にこの曲線を特徴づける長さ (スケール)がないと言える.

今，プロッターの精度の限界などの現実的な理由でコッホ曲線を有限な鋳n段階で近似 せざると得ないとしよう.この時の最小単位である構成線分の長さを

α

R=3

αだが，構成線分の総数は N=4

‑887‑

ホ曲線の長さ

Nα)

N

R

N r v   RD

D 

ln4/ln3

2 6

R

( r v

RrvN ν(ν

1 / D )   ^{ー l} J

可B E‑

︐ ︐

et

︑

D

D

1

2

3

上の議論から察せられるように，一般のパターンに対するフラクタル次元は次のよう にして決定できる.先ず，ある与えられたパターンを大きさ

αの構成体からなるとみな

R

N

. α

R

D

コッホ曲線は規則的な自己相似パターンの例であるが，この凹凸をくずしてランダム にすると何となくリアス式海岸線によく似ていることに気付かれるであろう.海岸に沿っ てドライブする時，大きな湾の中に突き出した半島があり，それに小さな湾が付随して その中にまた小さな半島があり，・・・・・・という経験を持たれたことはないだろうか.実 際に多くの海岸線が自己相似フラクタルであることが知られている.これに関しては次 節でも議論しよう.最初に記した雲は多分，

3

あろう.

水面に浮んだ花粉からの微粒子などに見られるブラウン運動は現代の科学に絶大な役 割を果しているが，その軌跡が実は典型的なフラクタルなのである.ブラワン運動を理 想化して

1

R

E i n s t e i n

R

¹ /2 α

( 1 )

D=2

~3. 自己アフィン・フラクタル

3 . 1

厳密にいうと，コッホ曲線の大きさ

R

うである.ではどのような規則性に従うのだろうか.

図

3

1

1 / 2 ;

「第50回 物 性 若 手 夏 の 学 校 (2005年度)J

調するために

X H

0

T

N

‑ X H

L t  

図

3 :1

X H ( t ) (H 

1 / 2 )

1歩 1歩は一定の長さを持つので，

N

さ

N

T

N

^t

Z J t  

1

T

変位の大きさの目安として

X

J

^{X k ( t ) >} 

(く・・・〉はアンサンプル平均を意味する)を採用するとよく知られているように

X

T l / 2

X

N

X

N

均 = 1 / 2  

X H ( t )

1 / 2 )

N

X

T

前節の式

( 1 )

ν = 

3

( s e l f ‑ a

( s e l f ‑ a f f i u ef r a c

a l s )

1

D)

Z J _x

Z J t

3 . 2

図

3

Z

t

n u   o o  

口

δ

ともかく，図2のコッホ曲線の場合と違って， この図の初め(上)と後(下)の曲

ωし

図

4 :

( b )  

(c) 

x32 

ω

t 

図

5 :1

線は似ても似つかないので，ブラウン曲線はたしかに自己相似ではない.ところで，図

「第50因物性若手夏の学校 (2005年度)J

5 ( a )

4

1 / 3 2( = ( 1 / 2 ) 5 )

3 2

( b )

4

( a )

( b )

1

1 / 3 2

3 2

=  3 2 1 / 2

( c )

( a )

同じ曲線のように見える.これが異方的スケーリングの意味である.

これはしかし，次の点で非常に深刻な問題をはらむ.即ち，自己相似フラクタルの場 合にそのフラクタノレ次元を決定するために導入された前節の方法やボックス・カウンティ ング

( b o x ‑ c o u n t i n g )法などの簡便な方法が自己アフィン・フラクタルには使えない.も

3 . 3

例えば図

4

4

3 )

(自己アフィン性)が内在しているかも知れない.それをこの有限な曲線から抽き出すに はどうすればよいだろうか.フラクタル次元 D を諦め，素直にスケーリング指数的を 探ればよい.

今，簡単の為， 2次元空間に図 6のような曲線

ν =f(x)

6

， ， 

e e 

‑e 

‑

. e 

. .  . 

L z  

図

6 :固定した最小の長さ単位向で与えられた曲線上の 2

AB

場合には座標軸をどのように取ってもよいが，図

3

1

α 0 ( = 1 )

‑E A 

Q d  

口

δ

変えない.次に，図

6に示したように，この長さスケールを単位(物差し)にして曲線

2

A

B

N α 0 ( = N)

α 。 ( = 1 )

N

X

X2

Y2

( 2 )  

九

ω

山 初 N Z M N ヤ ム

Ml

一

N 1

一 N

X ²  y2 

( 3 )  

( X i

Y i )は曲線上の

R

( x _c

Y c )は曲線

唱

N

仇=主主抗

噌

N

X ^c  =

E 2 4 3

である.標準偏差 X，Y はこの部分曲線 ABの

Z

X

Y

N

X

Y

N

( 4 )  

( 4 )

ν ( x

図7は図3のブラウン曲線に上述の方法を適用した例である.ここではこれまでの U 軸が

X H

X

t

(

ν x  =  1 / 2

^Vt  = 

8

3

z

Z

9

2

( ν ' z ^rv  0 . 5 5

V x  

0 0 )

一般に，注目するパターンが構成あるいは形成される過程で異方性が顕著と考えられ る場合には，そのパターンは自己アフィンの可能性が高いとみてよい.この意味で地表 や固体の破断面など物体の表面は多くの場合，自己フィンであると思われる.

図

3

1 / 1

8

YrvN

X  rv  NVx ， 

「 第 5 0

( 2 0 0 5

) J

合には横軸はトリビアルで， 図

7 ， 9

ν=1

H=0.5  1 0 0 0 0  

5ωo  • :T  P 

‑ / 

P  ; 

〆

.ノ ‑t'

〆-~，，~

. ' " ノ ト ^J22aar

，/'  ，.，

IY' 

〆 ・

'.a.a‑

t>.  : XH 

AHU 

︽HM

︽HU

︐ 

z

••.

N. Fh   500 

1 0 0

5 0  

500 

1 0 0 0   5ωo 1 0 0 ∞ 

N 

sω00 

図

7 :図 3

2

N

T

_H

. 5 0

0 0 .  

図

8 :

1 0   5 

• :  X 

t>.:Z 

/ 

•

， 4 

.

F   

， .

" 

ノ

p ρ

‑ ‑ 企

，，‑ ^，，，~ ， 

c.'‑

，‑ l:;.4S. 

，d' 

e 

0 ̲ 5  

. . . :   N N   0 . 1 ト

0 . 0 5  

0 . 0 1  

0 . 1   0 . 5   5  1 0   5 0  

図

9 :

8

2

N

X

Z

. 5 5 ， ^{1 / x}  = 

0 0 .  

時，縦軸のノントリビアル指数

ν ( く 1 )

H u r s t

H

‑893‑

H u r s t

1

v y ヂ ¹

H a c k

^{V : x ;} チ均ヂ 1

H u r s t

3 . 4

ではなぜ地表の一部である海岸線が前節で議論したように自己相似なのだろうか.水 平方向には一般に異方性が考えられないからであるが，これにはもう少し解析的に議 論を進めることができる.図

9

ν z

1とスケールされる自己アフィンな非整数ブラ

c t i o n a lBrownian m o t i o n ;   f  Bm)

( t )

H 

ν zで近似できると仮

H 

1 / 2

3

.t=O

X H  

0

fBm

t

位が

X H

X H   +dXH

ω(ZHJ)dZH= 

^dXH  ( 5 )  

7r Dt2H) 

1/2  _~-.r ¥  4D

で与えられる.ここで

D

t

(XH

0 )

P r ( t )

t ‑ ^H

O

T

N

( T )

rT 

凡 ( T ) ^rv  J o   P r ( t ) d t   ^rv  T ^{1 ‑ H}  ( 6 )  

となる.これは

fBm

0

ここで再び地表に話を戻そう.図8のような地表の垂直断面プロフィールは近似的に

比 =

1

ν

く 1

D

D 

= 

1  =  2  ‑

=  2

( 7 )  

Om

8

9

( 7 )

[ ( 7 )

fBm

D _L

D '

D ' 三D

「第

5 0

( 2 0 0 5

) J

~4 マルチフラクタル

現実にはフラクタルを前節のように拡張しでもまだ捉え切れない興味深いパターンが 沢山ある.我々日本人にはお馴染みの墨流しのパターンは，変幻自在な線状部分だけ取 り出せばあるいは自己相似に見えるかもしれない.しかし，それに付随したあの微妙な 濃淡の変化を無視しては墨流しパターンの不思議な美しさを逃すことになろう.

図10(a)は遠方で放出されたブラウン運動粒子が原点近くにあるクラスター(最初は 原点上の1点)に付着凝集するという単純なルールで、成長させたパターンの1例である.

このようなモデルは DLA

( d i f f u s i o n ‑ l i m i t e d  a g g r e g a t i o n

2

3

7

2 . 5

樹枝状結晶成長，粘性の異なる 2流体界面の不安定性に起因するヴイスカス・フィンガ リング，石コウなどの溶解，はてはバクテリアのコロニー形成に到るまで，多くのラン ダム・パターン形成を説明する興味深いモデルである.

図10(a)にある DLAパターンが導体でできているとして，これを囲む充分遠方の電 極との間に電圧を印加した時にこの導体表面に誘起される電荷分布を模式的に描いたの が図 10(b)である.よく知られているように，外に伸び出した枝の先端部では誘起電荷 の密度は高く，奥まった枝の付け根あたりでは非常に低い.誘起電荷は DLAパターン 上に濃淡をもって分布している.

' E

︐ ︑ 一 色

J‑ h1 V‑ J‑

‑‑ i

・ w n e

E 1

ザ

・

. .  

羽} ι

山h

・・

‑ J . ι

ょ ・ だ

W

︑

J U

戸川︑よ九

J t n

へ

b v d

おさせ

g

'h U 

図

1 0 : ( a )

1 0

1

( b )  

これら墨流しの濃淡や導体表面上の誘起電荷のような物理量の分布パターンはどのよ うに定量的に特徴づけたらよいのだろうか.図 10(b)のパターンは単一のフラクタル次 元をもっ自己相似な DLAパターンの上に乗った濃淡の分布なのだから，それがフラク タル次元で表せるとしても 1個で済むわけがない.とてもこれまでのように単一のフラ

Fh d 

o d   o o  

クタル次元，あるいは有限個の指数で特徴づけ得るとは思えない.このような場合には いろんな値の指数を持ったパターンが無数に重なり合って lつのパターンができている.

あるいは指数が空間内やパターン上で揺いでいると見ればよいだろう.従って，この場 合には指数の分布をも指定しなければならない.このようにして特徴づけられる何らか の物理量の分布パターンをマルチフラクタル

(m

t i

a c t a l s )

4 . 1

α

ある非負の物理量(導体表面の誘起電荷，乱流中のエネルギー散逸率や渦度，または 不均一物体中の応力など通常のものだけでなく，墨流しのように単なるパターンの濃淡 でもよし、)が空間に分布している場合を考えよう.この分布は墨流しゃ乱流のように考 える空間全体に拡がっていてもいいし，導体表面の誘起電荷のように空間中のある領域 に限られていてもよい.さらに，この限られた領域そのものが図

1 0 ( a )

よし¥

d次元空間中の位置

T

ψ ( r )

ε

d

' l

= ε d )

ψ

( ε )

jψ( r ) d r  

九 ( ε ) = J ; 4 (乞九 ( ε )= 1 )   ( 8 )  

ん

^{ψ ( r ) d r}

と定義しよう.この確率測度九

( e )

ε → ^{0に対して一般に}

九 ( ε ) r v ε α ( 9 )  

αは特異性 ( s i n g u l a r i t y )

L i p s c h i t z ‑ H o l d e r

この指数

α

11

2

σの分布を考えるとよい.導体表面上の電場を En ( η

δ ゆ

4 π σ =  En  =  -:~ ( 1 0 )   an 

と表される.模の開き角を図のように

γ=2π ‑s

式マ匂 =0

r

7r  7r 

ゆ =Ar λ s i n ) . . ( ) ， 

( 1 1 )   s 

γ

と求まる.これを使うと，模の表面上で先端から

S

p ( s )

入

s 

一 一

T ︐φ

一

一

氏

︐

E J

QU 

σ 

伎

EEJQU P 

( 1 2 )  

「第

5 0

( 2 0 0 5

となる.従って，模形導体の表面(I次元)で考えてその先端での誘起電荷の確率測度

P ( ε )

P( ε)= ム 州 ^{d s r v ε}

^{( 1 3 )}  

で与えられる.即ち，模の先端でのこの分布の特異性指数

α

γ=2π ‑s

使って

π π  

=入=一=一一一 s 

‑γ  ( 1 4 )  

γ

12

;γ=0

π/2

2 π

α =1 / 2

2 / 3

1

γ=π

そこでは

α=1

P( ε )

ε → 0

ε

される確率測度を調和測度

( h ほ mo

cme

u r e )

図

1 1 :2

γ=2π ‑ s .

α=÷  α=3  α

α=1 

• ^{β=2π  γ=0}  「 2 5 ^{β=π  γ=π  • • β}

^{O  2 π . . . .}  

図

1 2 :

α

4 . 2   f ( α )スペクトル

振り返って図

1 0 ( a )

2

DLA

‑897‑

たように，このクラスターが導体でできているとして，その表面上での誘起電荷分布を 考えてみる.外に突き出したような枝の先端部は模で近似するとその角

γ

( 1 4 )

α

γ

( s

α

1 0 ( b )

α

DLA

そこでこれを一般化して，ある領域(サポート上)に分布する任意の物理量の確率測 度を考える.このサポートそのものが図

1 0 ( a )

Do

Do =  1

2

3

このサポート上で指数 αがa.'rv 0.' 

+ム

f ( α ' )

ム N

ε → O

d . N 

ム α F ρ ( α ' ) e ‑ f ( α ' )   ( 1 5 )  

と表されると仮定するわけである.

[ 1

( 1 )

R

ε

ε

⁰

Rrv ε ‑ 1

f ( α )

α

α

f ( α )

f ( α )

Do ( 1 6 )  

を満たし，注目している物理量の分布の大局的な性質を特徴づける量である.以上によ り，ある物理量の確率測度の

f ( α )

図

1 1

f ( α )

( 1 4 )

α=π js

α

1

f=O

γ=β=π

α =

12

この

α

f=l

f ( α )

スペクトノレは

一 ︐

π 一 一

一

π

‑ n L  

π 一

一 一

1

一 一 一 一 α α  

n U

噌

i r t

﹄︿

t

B I t t

一 一

rJ  ( 1 7 )  

の2点で表される.

4 . 3

Dq

では単純な模ではなくて，図

1 0 ( a )

DLA

1 0 ( b ) )

f ( α )

( 9 )

α

α

( 1 5 )

f ( α )

「第50回 物 性 若 手 夏 の 学 校 (2005年度)J

まず，

( 8 )

( e )

( q‑1 )

N ( e )  

Z q ( ε)= 乞[九 ε) ( ] q ( 1 8 )   i = l  

を定義する.ここで

N ( ε )

O

この測度のサポートをカバーするのに必要な)セルの総数であることに注意しよう.こ の

Z q ( C )

→

q 

Zq(ε)~ ♂ (C → 0) ( 1 9 )  

とスケールされると仮定しよう.それが本当かどうかは

( 1 8 )

ε

Z q ( ε )

可

=(q‑1)Dq  ( 2 0 )  

( q‑1 )

( 8 )

( 1 8 )

Z q = l

1

( 1 8 )

Z q

( 1 9 )

( 2 0 )

Dn= 

_l~limlnZq(ε)

q‑q‑1 口 O l n ε   ( 2 1 )  

Dq

( g e n e r a l i z e d

e n s i o n )

q=O

Z q = O =  N( ε )

l n N ( ε )   Do 

‑ l i . n ! . ー ァ 一 一

E→

u 

( 2 2 )  

となり，これはサポートのフラクタル次元に他ならない.また ，q 

=  1

( 2 1 )

( 1 8 )

( 2 1 )

=  1 

d

d

N ( e )  

乞 九( ε )l n l ミ ( ε ) D ₁  =  l i . n ! .

、

ε→u 

l n  ε  ( 2 3 )  

n f o r m a t i o nd i m e n s i o n )

D ₂ 

( c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n )

1 0 ( a )

( ε ) =  N( ε ) ‑ 1

Z q ( ε ) =  N( ε ) 1 ‑ q  

( 2 1 )

Dq

qに依らず

Dq=Do 

Dq

Dq

D q l ( q く q ' )

‑ 899

一

( 2 4 )  

( 2 5 )  

であることが証明できる.等号は

( 2 4 )

D q

π

s n

D q

f (α )

α

f

D q

( 1 8 )

q

Z q

q 

( 1 8 )

Dq

q

Dq

4 . 4   f ( α )

D q

同じ物理量の分布を

f ( α )

Dq

( 9 )

( 1 8 )

( 1 5 )

α

Z q ( ε )

Z q ( c )   =  J

^{F ρ ( α' ) e c l‑}

^{α ' )} ( 2 6 )  

. ε

0

q a '‑f (α ' )

d

そこで

d~' ^{{ q a '  ‑f ( a ' ) }   =  0 ，}  ; : 1 2   ^{{ q a '}

^{α ' ) } >  0} 

を満たす

d

α ( q )

1 ' α( ( q ) )  

q ，  f " ( α( q ) )   <  0  ( 2 7 )  

f ( α )

α ( q )

( 2 6 )

Z q (

e q α ( q ) ‑ f ( ^α ( q ) )  

と近似でき，

( 1 9 )

( 2 0 )

有 三

(q‑1)Dq= α α ( q )‑f ( α ( q ) )   ( 2 8 )  

( 2 7 )

α ( q )

( 2 8 )

f ( α ( q ) )

Dq (

T q )

d T n   d  、

α(q)= 」 = ー{

_{d q ¥ .} ( _¥ q‑1 ₄  

) D q }   ， 

( 2 9 )   f ( q )   =  q

( q )  ‑ T q  =  q

( q ) 一 (q‑1)Dq

と表される.即ち ，

D q

( 2 9 )

qを媒介変数にして f ( α )

( 2 7 )

( 2 9 )

f ( α )

q=O

Do

「第50回物性若手夏の学校 (2005年度)J

こと

( ( 1 6 )

α ( q =  1 )   =  f  ( q   =  1 )   = 

₁

( 2 9 )

T q 

( q  ‑

q

f ( α )

s

T q

sF

α

E

f 

S ) .

図10に示したような 2次元 DLAクラスター(図 10(a))上の誘起電荷分布(図 10(b)) についての

Dq

Dq

8 

. 

Q 

4  . 

. 

‑5 

5  1 0  

q 

図

1 3 :2次元 DLAクラスターの誘起電荷分布(成長確率の分布に等価)についての一

Dq

とか，

f (

( 2

7

α

1 / 2

9

( 1 2 )

2 . 0  

. 

D o  

・ー・・

. 

・

0 1

D

2  4 

. 

6  α 

.  .  .  . 

lD

~ ^E 

8  1 0  

図

1 4 :図 1 3

f ( α )

図13，14は 2次元 DLAクラスターの成長確率の分布に関する

Dq

f (

Dq

f ( α )

‑901 ー