生物統計学演習

生物統計学演習

担当　茅野 光範 　

　　　　　　帯広畜産大学!

　　　　　　グローバルアグロメディシン研究センター! 　　　　　　研究室: 総合研究棟Ⅰ号館 N2302-6!

　　　　　　E-mail: [email protected]

1

2

講義の予定　全 4 回

1回目　ガイダンス＆エクセルに慣れる

　　　　 （ヒストグラムを描く、平均や分散を求める）

2回目　散布図と相関係数、回帰直線 3回目 確率分布と信頼区間、t-検定

4回目 いろいろな検定：　カイ二乗検定と分散分析

2

先週の内容：

ガイダンス＆エクセルに慣れる

3!

ヒストグラム、棒グラフを描く、平均や分散を求める

年ごとの乳量（kg/日・頭）

個体 ９０年(1) ９５年(2) ００年(2) 1 31.1 20.7 32.6 2 23.1 36.5 41.4 3 20.7 33.5 36.3 4 25.2 31.7 41.9 5 25.0 32.4 32.1 6 16.1 35.8 26.4 7 25.8 34.7 40.3 8 32.5 32.0 34.3 9 27.2 25.6 34.0 10 27.9 41.4 34.6

*ﾃﾞｰﾀは仮のものです

0 1 2 3 4 5

20 25 30 35 45 次の級

頻度

乳量

90年

15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

1 2 3

乳量

今日学ぶこと：　例

• 

[

]

[

]

4!

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2 4 6 8 10

英語の点数 　(y)

数学の点数　(x)

(3, 8)

(9, 5)

数学の点数 (x)

英語の点数 (y)

「初歩からの統計学」P.12のデータ

r=0.38

y=0.4x + 3.4

数学の点数と英語の点数の散布図

今日の内容

散布図と相関係数 　　散布図を描く

　　相関係数を求める

　　（

Pearson

Spearman

回帰直線

　　回帰直線を求める、解釈する

5

散布図と相関係数 散布図を描く

相関係数を求める

6

今日前半で使うデータ：

数学と英語のデータ

　学生10人の数学と英語の成績

学生No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学 (x) 5 3 6 10 4 7 7 3 9 6 英語 (y) 7 8 4 8 3 6 10 2 5 5

7!

) , , 2 , 1 (

) , (

) ,

(, ),

, ( ), ,

( _{1 1 2 2}

n i

y x or

y x y

x y

x

i i

n n

!

!

=

1人目のデータ

「初歩からの統計学」【例1.4.1】

=5

=7

=3

=8

=6

=4

散布図を描く

8!

２変数の関係の強さは？　→　相関係数 　　　　　　関係式は？　　　→　回帰分析

1. データを選択する

2. 「挿入」タブから 　　「散布図」を選ぶ

復習：　相関係数の定義

Pearson

y x

xy

s s r = s :

相関係数

) (

) 1 (

, ) 1 (

) (

) )(

1 (

1

2 1

2 1

の標準偏差 と

は と

の共分散 と

y x

s s

y n y

s x

n x s

y x

y y

x n x

s

y x

n i

i y

n i

i x

n i

i i

xy

∑

∑

∑

=

=

=

−

=

−

=

−

−

=

− 1 ≤ r ≤ 1

9!

標準偏差（SD; Standard Devia;on)

相関の強さを表す値

　　　　　　相関係数 共分散

の平均 の平均

の積の平均 と

の共分散 と

偏差との積の平均 偏差と

y x

y x

y x

y n x

y x

y x y

x y

n x

y y

x x

y y

x x

y y

x n x

s

y x

y x

y y

x n x

s

n i

i i

n n

n n

xy

n i

i i

xy

×

−

⇒

•

−

=

•

− +

+ +

=

−

− +

+

−

− +

−

−

=

⇒

−

−

=

∑

∑

=

=

1

2 2 1

1

2 2

1 1

1

1

) 1 (

)}

)(

( )

)(

( ) )(

1{(

) (

) )(

1 (

!

!

10!

y x

xy

s s r = s

−1≤ r ≤1 重要！

共分散の符号と散布図のパターン

正の相関の場合：

共分散が正

-6 -4 -2 0 2 4

-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5

交差積が正

交差積が正

交差積が負 交差積が負

-6 -4 -2 0 2 4

-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5

負の相関の場合：

共分散が負 ^{交差積が負}

交差積が負 交差積が正

交差積が正

X X

y y

∑

−

−

=

n i

i i

xy x x y y

s n

1

) )(

1 (

交差積

x

y

x y

参考

復習：　散布図と相関係数の対応

12!

-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5

-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 -3 -2 -1 0 1 2

-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 -6 -4 -2 0 2 4

-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5

正

-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5

-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5

-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 -6 -4 -2 0 2 4

-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5

負

r ≒ 0.3 r ≒ 0.6

r ≒ 0.9

r ≒ -0.3 r ≒ -0.6

r ≒ -0.9

相関係数などを求める

データの例：　オス牛の体重と胸囲

牛 体重 (kg) 胸囲 (cm) 1 494.99 183.34 2 491.70 177.40 3 513.73 182.07 4 460.25 176.99 5 465.70 173.06 6 504.75 179.07 7 503.02 185.02 8 458.49 172.56 9 468.56 176.82 10 517.20 182.69 11 509.43 186.12 12 459.85 172.77 13 506.63 184.04 14 484.68 185.64 15 459.32 183.70 16 550.00 165.00

*データは人工的に生成した

データの参考資料：

「Biosta's'cs for Animal Science」 C a B Int, 2009, Sec. 9.1.1 ^14!

160.00 165.00 170.00 175.00 180.00 185.00 190.00

440.00 460.00 480.00 500.00 520.00 540.00 560.00

体重 (kg)

胸囲 (cm)

相関係数の弱点：　外れ値に弱い

全てのデータで計算した 相関係数

r = 0.05

外れ値を除いて計算した 相関係数

r = 0.67 !

↑

こちらの方がデータ全体の 傾向を適切に表している

160.00 165.00 170.00 175.00 180.00 185.00 190.00

440.00 460.00 480.00 500.00 520.00 540.00 560.00

体重 (kg)

胸囲 (cm)

15!

外れ値の影響を除く：

Spearman （スピアマン）の順位相関係数

Spearman相関係数 or 順位相関係数

Q R

RQ

s s r s

Spearman 相関係数 : =

) (

12 ) 1

1 (

) (

) )(

1 (

2 1

2 1

の標準偏差 と

は と

の共分散 と

Q R

s s

R n n R

s s

y x

Q Q

R n R

s

Q R

n i

i Q

R

n i

i i

RQ

= −

−

=

=

−

−

=

∑

∑

=

=

− 1 ≤ r ≤ 1

16!

R_i, Q_i は、

x_i, y_iの順位

データ(x, y)を順位(R, Q)に置き換えて計算した相関係数

17!

Excel で Spearman 相関係数を計算する

課題 1

(1) 右のデータのそれぞれの変数 　　（体重、胸囲）について、平均値、

　　分散、標準偏差を求める (2) 散布図を描く

(3) Pearson相関係数を求める

(4) Spearson相関係数を求める

(5)右のデータから16番目のデータを 　　除き、(1), (2), (3), (4)を行う　　

＊いずれも

　　関数や分析ツールを使ってよい

牛 体重 (kg) 胸囲 (cm) 1 494.99 183.34 2 491.70 177.40 3 513.73 182.07 4 460.25 176.99 5 465.70 173.06 6 504.75 179.07 7 503.02 185.02 8 458.49 172.56 9 468.56 176.82 10 517.20 182.69 11 509.43 186.12 12 459.85 172.77 13 506.63 184.04 14 484.68 185.64 15 459.32 183.70 16 550.00 165.00

オス牛の体重と胸囲

*データは人工的に生成した

データの参考資料：

「Biosta's'cs for Animal Science」 C a B Int, 2009, Sec. 9.1.1 ^18!

回帰直線

　　回帰直線を求める、解釈する

重回帰分析を行う、解釈する

19

復習：一番いい回帰直線はどれか？

20!

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2 4 6 8 10

英語の点数 　(y)

数学の点数　(x)

数学の点数 (x)

英語の点数 (y)

復習：回帰直線の求め方 （最小二乗法）

データの”中心”を通るようにする、つまり、

　　の長さ（誤差d）の合計が最小になるようにaとbを決める

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2 4 6 8 10

英語の点数 　(y)

数学の点数　(x)

数学の点数 (x)

英語の点数 (y)

y=ax + b

未知量 切片

と 傾き 回帰直線

: ) (

) (

: y b a

b ax

y = +

21!

復習：最小二乗法による回帰直線

) (

ˆ ˆ , ˆ

ˆ ˆ

2

2

x s x

y s y

x a y

b

s a s

b x

a y

x xy

x xy

−

=

−

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

← = +

=

を通る 点

で，

傾きが ) ,

(

ˆ y x

a

22!

Excel で回帰直線を求める方法

1.  定義（最小二乗法の結果）にしたがって求める 　　⇒　手間がかかる。確認用

2.  分析ツール（Data Analysis）の回帰分析（Regression） を使う

　　⇒　回帰の結果を詳しく見たい時に使う

3.  「近似曲線の追加」で「線形近似を選ぶ」

　　⇒　直線の表示、回帰式を求める、R²値を求める 　　　　　だけなら、これで十分

23!

回帰直線を求める 方法 1 （確認用）

回帰直線を求める 方法 2 ：　分析ツールを使う

「分析ツール」（

Data Analysis

「回帰分析」（

Regression

25!

「回帰分析」の結果の解釈

26!

P-値が0.05以下の変数がYに「有意に」効いている

YとXの相関係数

重回帰分析：複数の X で Y を説明する

例

体重y (kg) 胸囲 X₁ 高さ X₂

Y =　a + b X₁ + c X₂ + e

体重がXの足し算で説明できるとする 複数のXでYを説明する、

影響の強い変数Xを見つける

データから、係数a,b,cを推定する

係数の値が大きいものは、Yへの影響が強い これをやるために、まず、

・・・

（推定した）回帰式：　Y = a + b X₁ + c X_{2 27!}

重回帰分析をエクセルで行う

回帰直線（単回帰分析）と同様！

つまり、「分析ツール」（Data Analysis）の

　　　　　「回帰分析」（Regression）を使えば良い 　　　　　（ただし、Xの選択範囲を複数列にする）

回帰の当てはまりの良さは、

重相関係数R（実際のyと予測したyの相関係数）や その２乗のR^２値（決定係数）をみればわかる

＊但し、変数が増えるほどR²値は大きくなる傾向がある 　⇒少ない変数で当てはまりを良くするのがいい。

　⇒補正R²値やAIC（赤池情報量基準）の値が小さいほどいい

　AIC = -2×”当てはまりの良さ（最大対数尤度）” + 2×変数の数

28!

補足

参考：　重回帰分析の推定

29!

参考資料：「Biosta's'cs for Animal Science」 C a B Int, 2009, pp163-164

参考：　重回帰分析の応用

多項式回帰分析も、重回帰分析と同様に行える 　回帰直線ではなく、回帰曲線（多項式）を求める 　　

　　X²、X³のデータ列を作って、重回帰分析を行えば良い 例：　Y =　a + b X + c X² + d X³ + e

データファイル：　ファイルサーバーの「生物統計学演習2_data_配布用.xlsx」の「人工データ3」

課題 2

(1)  右のデータにおいて、体重(y)に 対する胸囲(x)の回帰直線を求め、

散布図上に表示する

(2) 右のデータから16番目のデータ 　　を除き、(1) を行う　　

＊いずれも

　　関数や分析ツールを使ってよい

牛 体重 (kg) 胸囲 (cm) 1 494.99 183.34 2 491.70 177.40 3 513.73 182.07 4 460.25 176.99 5 465.70 173.06 6 504.75 179.07 7 503.02 185.02 8 458.49 172.56 9 468.56 176.82 10 517.20 182.69 11 509.43 186.12 12 459.85 172.77 13 506.63 184.04 14 484.68 185.64 15 459.32 183.70 16 550.00 174.00

オス牛の体重と胸囲

*データは人工的に生成した ^31!

データファイル：　ファイルサーバーの

「生物統計学演習2_data_配布用.xlsx」の「人工データ1」

課題 3

(1)  右のデータのそれぞれの変数に ついて、平均値、分散、標準偏差 を求める

(2)  変数(y, x1, x2）の全ての組み合わ せについて、相関係数を求める

　　　(Pearson相関係数のみ）

(3) 回帰式を求める

(4) 有意でない変数があれば 　　それを除き(3)を行う

　（有意な変数だけが残るまで行う）

＊いずれも

　　関数や分析ツールを使ってよい

牛 体重 (kg) 胸囲 (cm) 高さ (cm)

　 y x1 x2

1 494.99 183.34 123.65 2 491.70 177.40 125.85 3 513.73 182.07 126.19 4 460.25 176.99 119.82 5 465.70 173.06 119.59 6 504.75 179.07 124.61 7 503.02 185.02 126.46 8 458.49 172.56 122.38 9 468.56 176.82 119.37 10 517.20 182.69 126.62 11 509.43 186.12 124.53 12 459.85 172.77 124.01 13 506.63 184.04 125.05 14 484.68 185.64 121.31 15 459.32 183.70 118.89 16 488.03 180.54 122.50 17 452.64 174.72 123.70 18 456.06 171.56 123.94 19 518.48 184.82 131.16 20 502.99 182.95 124.39 21 498.35 181.29 126.11 22 490.48 177.91 126.01 23 479.85 178.69 122.78 24 496.11 179.63 126.04 25 477.08 179.47 124.15 26 519.65 178.23 127.33 27 496.91 178.10 126.39 28 491.82 178.12 125.20 29 526.13 186.28 129.15 30 466.89 178.35 122.49

オス牛の体重と胸囲、高さ

データファイル：　ファイルサーバーの

「生物統計学演習2_data_配布用.xlsx」の「人工データ2」