Econometrics I: Solutions of the homework #12

#12

LU ANG ^∗ July 7, 2020

Contents

1 Question 1 1

1.1 (1) . . . . 1

1.2 (2) . . . . 4

1.3 (3) . . . . 4

1.4 (4) . . . . 5

1.5 (5) . . . . 5

1 Question 1

1.1 (1)

In order to Obtain the variance matrix of y = (y

1

, y

2

, · · · , y

t

) we first rewrite y

_t

as:

∗

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y

t

= ρy

t−1

+

t

= ρ

²

y

t−2

+

_t

+ ρ

t−1

.. .

= ρ

^τ

y

t−τ

+

_t

+ ρ

t−1

+ · · · + ρ

^τ−1

t−τ+1

.. .

=

_t

+ ρ

t−1

+ ρ

²

t−2

+ · · ·

where ρ

^τ

y

t−τ

goes to 0 when |ρ| < 1 as τ goes to infinity Then we can obtain variance as:

V (y

_t

) = V (

_t

+ ρ

_t−1

+ ρ

²

_t−2

+ · · · )

= V (

t

) + ρ

²

V (

t−1

) + ρ

⁴

V (

t−2

) + · · ·

= σ

²

(1 + ρ

²

+ ρ

⁴

+ · · · )

= σ

²

1 − ρ

²

Next denote the covariance of y

t

and y

t−τ

as γ(τ ):

γ(τ ) = Cov(y

_t

, y

t−τ

)

= E(y

_t

y

t−τ

) = E (ρ

^τ

y

t−τ

+

_t

+ ρ

t−1

+ · · · + ρ

^τ−1

t−τ+1

)y

t−τ

= ρ

^τ

E(y

²_t−τ

) + E(u

_t

y

t−τ

) + ρE(u

t−1

y

t−τ

) + ρ

²

E(u

t−2

y

t−τ

) + · · · ρ

^τ−1

E(u

t−τ+1

y

t−τ

)

= ρ

^τ

E(y

²_t−τ

)

= ρ

^τ

γ(0) Notice V (y

t

) = γ(0)

Going back to the vector form

E(y) = E









 y

1

y

₂

.. . y

_T











=









 0 0 .. . 0











V (y) = E(yy

⁰

) = E(









 y

₁

y

₂

.. . y

_T











y

1

y

2

· · · y

T

)

=















γ(0) γ(1) · · · γ(T − 1)

γ(1) γ(0) γ(1) · · · γ(T − 2)

γ(1) γ(0) . .. .. . .. . .. . . .. . .. γ(1)

γ(T − 1) γ(T − 2) · · · γ(1) γ(0)















=















γ (0) ργ (0) · · · ρ

^T−1

γ(0)

ργ(0) γ(0) ργ(0) · · · ρ

^T−2

γ(0) ργ (0) γ(0) . .. .. . .. . .. . . .. . .. ργ(0) ρ

^T−1

γ(0) ρ

^T−2

· · · ργ(0) γ(0)















= γ(0)















1 ρ · · · ρ

^T−1

ρ 1 ρ · · · ρ

^T−2

ρ 1 . .. .. . .. . .. . . .. ... ρ ρ

^T−1

ρ

^T−2

· · · ρ 1















= σ

²

1 − ρ

²















1 ρ · · · ρ

^T−1

ρ 1 ρ · · · ρ

^T−2

ρ 1 . .. .. . .. . .. . . .. ... ρ ρ

^T−1

ρ

^T−2

· · · ρ 1















= Ω

1.2 (2)

Based on (1) we know that y ∼ N (0, Ω). Thus, the joint distribution of y = (y

₁

, y

₂

, · · · , y

_T

) whihch is also the likelihood function can be obtained as:

f(y) = (2π)

^{−T /2}

|Ω|

^−1/2

exp(− 1

2 y

⁰

Ω

⁻¹

y)

1.3 (3)

Unconditional Mean:

E(y

_t

) = E(

_t

+ ρ

t−1

+ ρ

²

t−2

+ · · · )

= E(

_t

) + ρE(

_t−1

) + ρ

²

E(

_t−2

) + · · ·

= 0 Unconditional Variance:

V (y

_t

) = V (

_t

+ ρ

t−1

+ ρ

²

t−2

+ · · · )

= V (

_t

) + ρ

²

V (

t−1

) + ρ

⁴

V (

t−2

) + · · ·

= σ

²

(1 + ρ

²

+ ρ

⁴

+ · · · )

= σ

²

1 − ρ

²

Conditional mean:

E(y

_t

|y

t−1

, · · · , y

₁

) = ρy

t−1

+ E(

_t

) = ρy

t−1

Conditional variance:

V (y

_t

|y

_t−1

, · · · , y

₁

) = V (

_t

) = σ

²

1.4 (4)

From (3) we can know that the unconditional distribution of y

_t

is given by:

f(y

_t

) = 1

p 2πσ

²

/(1 − ρ

²

) exp(− y

_t²

2σ

²

/(1 − ρ

²

) )

the conditional distribution of y

_t

is given by:

f (y

_t

|y

t−1

, · · · , y

₁

) = 1

√

2πσ

²

exp(− (y

_t

− ρy

t−1

)

²

2σ

²

)

The innovation form of the likelihood function can be written as:

f (y

_t

, y

t−1

, · · · , y

₁

) = f (y

_t

|y

t−1

, · · · , y

₁

)f(y

t−1

, y

t−2

, · · · , y

₁

)

= f (y

_t

|y

t−1

, · · · , y

₁

)f(y

t−1

|y

t−2

, · · · , y

₁

)f(y

t−2

, y

t−3

, · · · , y

₁

) .. .

= f (y

_t

|y

t−1

, · · · , y

₁

)f(y

t−1

|y

t−2

, · · · , y

₁

)f(y

t−2

, y

t−3

, · · · , y

₁

) · · · f (y

₂

|y

₁

)f(y

₁

)

= f (y

₁

)

T

Y

t=2

f (y

_t

|y

y−1

, · · · , y

₁

)

= 1

p 2πσ

²

/(1 − ρ

²

) exp(− y

₁²

2σ

²

/(1 − ρ

²

) ) ×

T

Y

t=2

√ 1

2πσ

²

exp(− (y

_t

− ρy

t−1

)

²

2σ

²

)

1.5 (5)

Set P

⁻¹

such that:

P

⁻¹

ΩP

⁰⁻¹

= I

T

i.e.

Ω = P P

⁰

We can construct P

⁻¹

as:

P

⁻¹

= 1 σ















p 1 − ρ

²

0 · · · · · · 0

−ρ 1 0 · · · 0

0 −ρ 1 . .. ...

.. . .. . . .. ... 0

0 · · · 0 −ρ 1















Thus:

P

⁻¹

y = 1 σ















p 1 − ρ

²

0 · · · · · · 0

−ρ 1 0 · · · 0

0 −ρ 1 . .. ...

.. . .. . . .. ... 0

0 · · · 0 −ρ 1























 y

₁

y

₂

.. . y

_T











= 1 σ











p 1 − ρ

²

y

₁

y

2

− ρy

1

.. . y

_T

− ρy

_T−1











Then:

y

⁰

Ω

⁻¹

y = y

⁰

P

⁰⁻¹

P

⁻¹

y

= 1 σ

²











p 1 − ρ

²

y

₁

y

₂

− ρy

₁

.. . y

_T

− ρy

_T−1











T











p 1 − ρ

²

y

₁

y

₂

− ρy

₁

.. . y

_T

− ρy

_T−1











= 1

σ

²

(1 − ρ

²

)y

₁²

+

T

X

t=2

(y

_t

− ρy

t−1

)

²

!

(1)

On the hand by using the matrix determinant property det(A

⁻¹

) = 1 det(A) and det(AB) = det(A)det(B) we can easily obtain:

|Ω| = 1

|Ω

⁻¹

| = 1

|P

⁰⁻¹

||P

⁻¹

| = σ

^2T

1 − ρ

²

(2)

Substitute expression (1) and (2) back into f (y) = (2π)

^{−T /2}

|Ω|

^−1/2

exp(−

¹₂

y

⁰

Ω

⁻¹

y) we can easily find that the likelihood function we obtained in question (2) and (4) are the same.

Finally we can calculate the inverse of P

⁻¹

to obtain:

P = σ

p 1 − ρ

²

















1 0 0 · · · 0

ρ p

1 − ρ

²

0 · · · 0

ρ

²

ρ p

1 − ρ

²

p

1 − ρ

²

0 .. .

.. . .. . . .. . .. 0

ρ

^T−1

ρ

^T−2

p

1 − ρ

²

· · · ρ p

1 − ρ

²

p 1 − ρ

²















