前回までの訂正 †

(1)

2009年6月8日(2009年6月22日訂正) 山田光太郎

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微分幾何学 I 講義資料 6

お知らせ

• 先週は休講掲示が遅れ，ご迷惑をお掛けしました．申し訳ありません．

• 実は来週も休講です．次回は6月22日となります．

前回までの訂正

• 講義資料5，3ページ，下から4行目：L⁴4⇒L⁴

• ^講義資料5，4ページ，下から10行目：恒等写像id. . . にそうH³のベクトル場⇒^恒等写像id. . . にそった H³ のベクトル場

あるいは「沿う」と書いた方がいいかもしれません．“A vector ﬁeld along the mapf”のことです．

• ^講義資料5，4ページ，下から9行目：可群⇒^加群(moduleのことです)

• ^講義資料5，4ページ，一番下：dϕ(X)はdXϕではないか，というご指摘がありました．関数の微分としては，どちらの記号も使います．ここでは「ベクトル場」ではなく「関数の微分」という気持ちを少しだけ表に出すつもりでdϕ(X)と書きました．

• ^講義資料 5, 5ページ一番下：

νp:= df(X)×df(Y)

|df(X)| |df(Y)| ⇒ νp:= df(X)×df(Y)

|df(X)×df(Y)|

授業に関する御意見

• リーマン接続のところが全く分からずヤバイです．

山田のコメント：これは「リーマン幾何の概念との関係」を説明したまでで，まぁ，あまり気にしなくても大丈夫です．

• 授業についていけるようにがんばっていきます山田のコメント：はい

(2)

微分幾何学I講義資料6 2

質問と回答

質問：ガウス曲率とガウス・クロネッカー曲率は本質的には同じなのでしょうか．

お答え： R³ の曲面の場合は同じ．双曲空間や球面の曲面では定数だけの差があります（次回？）

質問：補題5.5の(D_XY)_p:= (d_XY) +hX, Yipのプラスはマイナスですか？

お答え：プラスです．dXY の TpH³ (位置ベクトル pの直交補空間) への“正射影” を与えるのですが，

hp, pi=−1 (1ではない)ので，このようになります．

質問： p.3にある図形はどういうソフトを使って可視化したのですか？

お答え： Mathematica (TM)

質問： Gauss mapを拡張して多様体からGrassmannian mfd. への写像が作れますが，Minkowski 空間上でもできると思われますがどうでしょうか．

お答え：できます．ただ，部分空間の符号が一定ではないので，状況は複雑です．

質問： Y = diag(−1,1,1,1) は

Y =







−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1





 のことですか？

お答え：そうです．

(3)

6 ガウス・ワインガルテン方程式

6.1 適合枠

定義6.1. 2次元多様体M から双曲空間H³ へのはめこみ（曲面）f:M →H³ が与えられているとき，M の領域U 上で定義された写像

Fe:U 3p7−→Fe(p) = (e0,e1,e2,e3)3SO+(3,1)

がf の適合枠adopted frameであるとは，f =e0,かつ各点p∈U において{e1,e2}^がf_∗TpM ⊂Tf(p)H³ の正規直交基底を与えていることである．このとき，定義よりe₃ はf の単位法線ベクトル場を与えている．

定義6.2. 向き付けられた多様体M のはめ込みf: M →H³に対してM の向きに同調した座標系(u, v)をとり，

ν := fu×fv

|f_u×f_v|

と定めたとき，ν をM の向きに同調する単位法線ベクトル場という．曲面f の適合枠Fe= (e₀,e₁,e₂,e₃) が向きに同調するとは，e3 が向きに同調する単位法線ベクトル場となることである．

6.2 基本形式の表現行列

曲面f:M →H³ の第一基本形式をds²，第二基本形式をII と書く．M の局所座標系 (u, v)を一つ固定して，ds²，II の表現行列をそれぞれ Ib, IIb と書く：

Ib=

µhfu, fui hfu, fvi hfv, fui hfv, fvi

¶

, IIb =−

µhfu, νui hfu, νvi hfv, νui hfv, νvi

¶ .

さらに，第三基本形式を

III(X, Y) :=hdXν, dYνi=hdν(X), dν(Y)i

で定め，その表現行列を

IIIc =

µhνu, νui hνu, νvi hνv, νui hνv, νvi

¶

と書いておく．

ここでf の適合枠Fe= (e0,e1,e2,e3)をとると，fu, fv はν に直交するH³の接ベクトルであるからe1

とe2 の線形結合で表される．同様に，νu,νv もν に直交するH³ の接ベクトルであるからe1 とe2 の線形結合で表される．いま

(fu, fv) = (e1,e2)T = (e1,e2)

µg¹_u g¹_v g²_u g²_v

¶ , (ν_u, ν_v) = (e₁,e₂)S = (e₁,e₂)

µh¹_u h¹_v h²_u h²_v

¶

2009年6月8日(2009年6月22日訂正)

(4)

とおく．ただし

g^j_u=ds²(ej, fu) =hej, fui, h^j_u=II(ej, fu) =− hej, νui, etc.

である．

補題6.3.

Ib=^tT T, IIb =^tST =^tT S, IIIc =^tSS.

とくにII の対称性より

h¹_ug_v¹+h²_ug_v²=h¹_vg_u¹+h²_vg_u² が成り立つ．

6.3 ガウス・ワインガルテンの方程式

命題6.4 (ガウス・ワインガルテンの方程式). 曲面f: M →H³に対して M の局所座標近傍(U;u, v)上で定義された適合枠Fe= (e0,e1,e2,e3)は，微分方程式

∂Fe

∂u =FeU ,e ∂Fe

∂v =FeVe を満たす．ただし

Ue=







0 g¹_u g²_u 0 g_u¹ 0 α h¹_u g_u² −α 0 h²_u 0 −h¹_u −h²_u 0





, Ve =







0 g¹_v g_v² 0 g¹_v 0 β h¹_v g²_v −β 0 h²_v 0 −h¹_v −h²_v 0







である．ここでα,β はg^j_u,g^j_v とその微分で表されるある関数で，

ω=α du+β dv はf による誘導接続の接続形式という．

問題

1 曲面f:M →H³に対して，M の局所座標系(u, v)が等温座標系であるとは，第一基本形式が ds²=e^2σ(du²+dv²) σ=σ(u, v)

と書けることである．このとき，

e₀=f, e₁=e⁻^σf_u, e₂=e⁻^σf_v, e₃=e⁻^2σ(f_u×f_v)

とおけば，Fe= (e0,e1,e2,e3)はf の適合枠を与える．このとき，接続形式 ω=α du+β dvをσによって表しなさい．