数学演習第二 第 5 回 「一次独立・一次従属，基底と次元」

数学演習第二 第 5 回 「一次独立・一次従属，基底と次元」

(2017.11.08 実施 )  

【要点】 数ベクトル空間 R

^m

の元 a

₁

, . . . , a

_k

に対して，

a

₁

, . . . , a

_k

が一次独立

⇔ c

₁

a

₁

+ · · · + c

_k

a

_k

= 0 となる c

₁

, . . . , c

_k

は c

₁

= · · · = c

_k

= 0 に限る．

⇔ 同次連立一次方程式 ( ∗ ) [a

₁

, . . . , a

_k

]



  c

₁

.. . c

k



  = 0 が自明な解のみを持つ．

教科書 定理8.8(i)

⇔ rank[a

1

, . . . , a

k

] = k

なお，一次従属の場合に非自明な一次関係式 c

₁

a

₁

+ · · · + c

_k

a

_k

= 0 を求めたければ，

[a

₁

, . . . , a

_k

] の簡約行列から ( ∗ ) の解 c

₁

, . . . , c

_k

を読み取ればよい．

1 ［数ベクトルの一次独立性と非自明な一次関係式］ 次のベクトルの組が一次独立かど うか判定せよ．一次従属である場合には，与えられたベクトルを左から順に a

₁

, a

₂

, . . . と したときの，これらの非自明な一次関係式を求めよ． （演習書 11.3.1(1)(3)(5) 他）

(1)



 − 1 8 2



 ,



 3

− 2

− 8



 ,



 − 6

− 7 17



 (2)



 2 3 5



 ,



 3 4 6



 ,



 − 1

− 1

− 1



 ,



 2 1 3





(3)



 



− 1 1 1

− 1



 

 ,



 

 3

− 1

− 1 3



 

 ,



 



− 2

− 3 3 2



 

 ,



 



− 2 1 1

− 2



 

 (4)



 



− 1 1 1 1



 

 ,



 

 1

− 1 1 1



 

 ,



 

 1 1

− 1 1



 

 ,



 

 1 1 1

− 1



 



2 ［数ベクトルの一次独立性］ 次のベクトルの組が一次従属となるような定数 k を求めよ．



 1 2 0



 ,



 3 7 k



 ,



 1 k 8





3 ［一次独立性］ ベクトル空間 V に属する 4 つのベクトル v

₁

, v

₂

, v

₃

, v

₄

が一次独立であ るとする．このとき，次のベクトルの組は一次独立かどうか判定せよ．一次従属の場合に は，非自明な一次関係式を求めよ． （ヒント： 1 の計算を参考にせよ． ）

(1) (a

1

= − v

1

+ 8v

2

+ 2v

3

, a

2

= 3v

1

− 2v

2

− 8v

3

, a

3

= − 6v

1

− 7v

2

+ 17v

3

) (2) (a

₁

= − v

₁

+ v

₂

+ v

₃

+ v

₄

, a

₂

= v

₁

− v

₂

+ v

₃

+ v

₄

,

a

₃

= v

₁

+ v

₂

− v

₃

+ v

₄

, a

₄

= v

₁

+ v

₂

+ v

₃

− v

₄

)

 

【要点】 ベクトル空間 V の元の組 (v

₁

, . . . , v

_n

) が次の 2 つの条件 (i) v

1

, . . . , v

n

は V を生成する．すなわち， V = ⟨ v

1

, . . . , v

n

⟩ ． (ii) v

₁

, . . . , v

_n

は一次独立である．

を共に満たすとき，(v

₁

, . . . , v

_n

) は V の基底であるという．基底の取り方は一意的ではな いが， （有限個の元から生成されている）ベクトル空間の基底を成す元の個数はただ一つに 定まる．この値をベクトル空間 V の次元という．

4 ［数ベクトル空間の基底と次元］ 次のベクトルの組のうち， R

³

の基底になっているも のをすべて答えよ．

E :







 1 0 2



 ,



 0 2 1







 F :







 0 1 1



 ,



 1 0 1



 ,



 1 1 0







 G :







 0 1

− 1



 ,



 − 1 0 1



 ,



 1

− 1 0







 H :







 2 1 1



 ,



 1 2 1



 ,



 1 1 2









5 ［部分空間の基底と次元］ 次の 3 つの R

³

の部分空間 W

1

, W

2

, W

3

の基底と次元を求めよ．

W

1

=

 





 x y z



 ∈ R

³

x + 2y + 3z = 0

 

 , W

2

=

 





 x y z



 ∈ R

³

x + 2y + 3z = 0 x − 4y + 3z = 0 x − 3y + 3z = 0

 

 , W

₃

=

 





 x y z



 ∈ R

³

3 つのベクトル



 1 0 x



 ,



 1 1 y



 ,



 1 5 z



 が一次従属

 



6 ^{［部分空間の基底］} R

⁴

の部分空間

W =

⟨ a

₁

=



 

 1

− 2 1 4



 

 , a

₂

=



 

 4

− 1 3 2



 

 , a

₃

=



 

 5 4 3

− 8



 

 , a

₄

=



 

 3 1 2 0



 



⟩

について，

(1) a

₁

, a

₂

, a

₃

, a

₄

の間に成り立つ非自明な一次関係式をひとつ求めよ．

(2) 次のうち，W の基底となっているものをすべて選べ．

E : (a

1

, a

2

, a

3

) ， F : (a

1

, a

2

, a

4

) ， G : (a

1

, a

3

, a

4

) ， H : (a

2

, a

3

, a

4

)

(3)



 

 b

₁

=



 

 4

− 1 3 3



 

 , b

₂

=



 

 2 3 1

− 4



 

 , b

₃

=



 

 9

− 4 7 10



 





 

 は W の基底であることを示せ．