電子物性２ 講義資料(後半） .pdfへのリンク 講義資料

電子物性

＆

＇

講義資料 情報 電気 電子通信コ 2 期 (高橋)

内容

0章： 資料 容 ... 2

／章：自 電子気体 (教 書8章：金属 自 電子論) ... 3

§／＋／ 金属 電気伝 (教 書8章§１ §３) ... 3

演習問題 ... 7

§／＋０ 準 電子 分布 ... 10

§／＋１ ン 考慮 電子 分布 ... 13

§／＋２ 自 電子気体 準 数：状態密 計算 (教 書8章§４) ... 15

§／＋３ Fermi-Dirac分布 (教 書8章§５) ... 21

§／＋４ 状態数 電子数 区別 ... 23

演習問題 ... 26

０章： 帯構造( ン ) (教 書9章) ... 28

§０＋／ ン 形 ＆教 書9章§／＇ ... 28

§０＋０ ン 何 ... 29

§０＋１ ン帯: Extended/Reduced zone＆拡張/還元帯域＇(教 書9章§０ §3) ... 31

§０＋２ 結晶 電子状態＆／＇：周期的 ン 中 波動関数 特徴：Bloch関数 ... 32

§０＋３ 結晶 電子状態＆０＇：Kronig-Penney ＆ ＇ ... 35

§０＋４ ン 構造 物質 電気伝 関係 (教 書9章§４) ... 40

＆／＇金属＆ 体＇ ン 構造 ... 40

＆０＇誘電体＆絶縁体＇ ン 構造 ... 41

＆１＇半 体 ン 構造 ... 41

§０＋５ 半 体 電気伝 ： 孔 (教 書9章§３) ... 42

§０＋６ 固体中 電子 運動：有効質 (教 書9章§２) ... 44

演習問題 ... 46

１章：半 体 (教 書10章) ... 47

§１＋／ 真性半 体 ... 47

§１＋０ 純物半 体： ン n型半 体 p型半 体 ... 48

n型半 体 ... 48

p型半 体 ... 48

n型半 体 ン 構造 ... 49

真性半 体 純物半 体 電気伝 違い ... 49

演習問題 ... 51

参考文献 ... 52

索引 ... 53

0

章：こ

資料

内容

講義 前期 開講 電子物性 容 引 い 固体＆金属や半 体＇ 中

電子 挙動＆運動 電気伝 分布＇ 理解 目的 講義 初

子力学 基 学 ＆資料 電子物性 ＆ ＇ ＇

資料 教 書 流 従い第8章 第9章＆時間 許 ば第10章＇ 扱う 時

間的 約 あ 捨選択 行 必須 思わ 部分 教 書 記述

わ くい 考え 部分 補足資料 使 明 行う 主要 容 以 ２点

あ

＆／＇電気伝 (教 書8章)

＆０＇状態密 ＆教 書8章＇

＆１＇Fermi-Dirac＆ ＇分布関数 ＆教 書8章＇

＆２＇ ン 構造 ＆教 書9章＇ 特 要

中 特 要 項目 ２番目 ン 構造 あ 固体 電気的特性 物質

ン 構造 密接 関係 あ 固体中 電子 実用 様々 役割 果 ン 構

造 あ 電子物性 最大 目的 固体中 電子 ン 構造 呼ば 状態

持 理解 う点 あ 言う 出来

固体中 電子状態 真空中 異 原因 固体中 電子 結晶格子(格子点 存

ン) 作 周期的 ン ン 常 い 点 あ 真空中

電極等 用意 電子 静電気力 印加 出来 ＆ 電子物性／ 講義

初 出 電界中 電子 運動 思い出 ＇ 場 電場 空間的 滑

変化 あ 中 電子 運動 古 力学 記述 出来 対 結

晶格子 作 格子定数( < 1 ) 周期 変化 電場中 電子 運動 子力学

基 ュ ン 方程式 扱う必要 あ

学部電気電子系 学生 将来 う少 広い範 知識 要求 場面 出 く

考え 講義 学習 基礎 巻 参考文献 挙

章：自由電子気体

(

教科書

8

章：金属

自由電子論

)

§ － 金属 電気伝導 (教科書8章§ 、§ )

( 子力学 く)古 力学 扱う 真空中 e 電荷 持 電子 電場E 印加

電子 電場 対向 大 e|E| 力 等加速 運動 行う

加速 ：

0 eE

m 速 ：

0

( )

eE m

t



t

v

 速 い 増加

＆注意：教 書 10 章 扱う う 半 体 電気伝 (負電荷 )電子 ( 電荷 持 )

孔 扱う必要 あ ＇ 節 粒子 電荷 記号q 使う 電子 q = e あ

孔 q = e あ (教 書 記号 違う 注意 教 書 電子 電荷 q 書い い )

金属中 法則 思い出 I = V/R あ 電流密 j 電場E 使 j =

E = E/ 表記 出来 ＆  () 電率(抵抗率) 呼ば 長 l 断面積S

金属 場 R = l/S 関係 あ 電磁気学 教 書p194 法則 参照) 電流密

j j = qnv あ qnv = E vE あ 意味 法則 電子

速 v 電場 E 比例 一定 大 あ 示 い (真空中 違 )電場 印

加 電子 速 無限 増加 い 実 金属中 電子 単 電場 力

等加速 運動 い い いう 示 い

電場 印加 い い場 電子 い い 速 ン 向 運動 い

＆ 速 速 程 教 書§５ 扱う＇ 電子速 均

＆ 電流 流 い＇ 様子 実空間 示 う

電場 印加 場 電子 力qE 電場 逆向 加速 速

速 程 ＆向 ン ＇ ＋ 電場 速 ＆電場 逆向 ＇

あ 全電子 均 第 1 項 均 電場 速 均 電場 逆

vk1

vk4 vk3

vk2

vk6 vk5

vk7

電場 い場

E

電場 印加

E

向 電子全体 均 電場 逆向 進 電流 流

等加速 運動 電子 速 増加 実 電子 純物

ン等 衝突 頻繁 運動 失う 衝突直 電子 ン 方向

動 始 再 電場 加速 電場 逆向 速 分 持 う 電場

加速 散乱 運動 散逸 繰 返 均 電子 電場 逆向 あ

速 ＆ 速 v_D 呼 ＇ 運動 純物 ン等 散乱頻 電気伝 率 決

要因 散乱頻 高い＆頻繁 衝突 起 ＇場 電気伝 率 ＆電気

抵抗率 昇 ＇

注意：電子＆あ い 孔＇ 衝突 相手

電場 加速 電子 何 害物 衝突 運動 失う 衝突 相手

何 あ 要

＆／＇結晶 形 い 規則的 並 い 原子＆ ン＇ 衝突 考え 必要 い ＆電気

抵抗 無関係 あ 結晶格子 形作 い ン ン 構造 形 関係

電気抵抗 原因 い ＇

＆０＇ 温 結晶 陥 ＆原子 来あ 格子点 置 置 い 結晶格

子 向 あ 面 境 い ＇ 純物 ン ＆異 種類 元素 純物 混

い ＇ 衝突 電気抵抗 原因 純物 多い ＆結晶 質 悪

く＇結晶 陥 多い結晶 電子 散乱頻 高く 電気伝 率 く 逆 純物

陥 無い理想的 結晶 T 0K 電気抵抗 示 い ＆現実 純物

結晶 陥

純物 ン

T 0K 室温付近

注意： 温 電気抵抗 消失 現象 超伝 知 い

多 く 金 属 現 象 起 実験 的 確 認 い

現象 扱 い 全く別 起 現象 あ

＆１＇室温付近 温 昇 結晶 形 い 原子＆ ン＇ 熱振動 格子点

周 振 動 ＆ 格 子振 動 呼 ば

＇ ＆ ／ ＇ 述 う 格 子 点

規 則 的 並 い 原 子 衝 突

電 気 抵 抗 寄 い 熱 振 動

格 子 点 規 則

原子 電子 衝突 電気抵抗 原

因 室 温 (a)

純物 ン 結晶 陥 衝突 ＆ 温

寄 あ ＇ (b) 格子振動

衝 突( 温 寄

) 両 者 電 気 抵 抗 原 因

純物 少 い 単結晶 近い高品

質 結晶 (a) 寄 相対的

(b)格 子 振 動 ＆ 熱 振

動＇ 電気抵抗 主因

固 体 中 電 気 伝 定 的

扱 う 向 ン 電 気 伝

寄 い 速 忘

電 場 印 加 電 場

逆向 電子 獲得 速 v(t)

時間変化 考え

電子 電場 加速 速

時間 比例 増加 ば

く経過 衝突 起 速 失

う 衝 突 間 隔 毎 回 同 く

t1, t2, t3, ン 変化

衝突間隔 均値 2_s 置く ＆_s

緩和時間 呼ば ＇

電子 速 均値＆ 速

vD＇

t v

衝突 い場 速

qE m

t



v(t)

t1 t2 t3 t4 t5

衝突間隔 ン 変化

均化 考え

v

2s

t 2s

2s 2s 2s

vD

1 m

1 m

vD1

vD

体積中 あ 電子 1 間 単 断面 通過

1

2

2

qE s

D _m s

qE

m





  



v

(1-1)

表 出来

電子密 n個/m

3

1 間 単 断面(1m

2

) 通過 電子 個数

n  1m  1m  vD = n vD 電流密 j 定義

2

s D

q n

E

m





j = qnv

(1-2)

j E 比例 い

一方 初 述 う 法則 電気伝 率 使

E



j =

(1-3)

式(1-2) 式(1-3) 比 電気伝 率

2

s

q n

m





=

(1-4)

表 ＆電気伝 率 い い 呼 方 あ 伝 率 電率 伝 電気伝

同  指 抵抗率 伝 率 逆数 あ  = 1/＇ 式(1-4) 電気伝 率

＆／＇電子密 n 比例

＆０＇緩和時間_s 比例

従

いう関係 立

式(1-1) 速 電場 比例 い 比例係数 移動 (mobility)  呼

s D

q

E

E

m



_





v

q

s

m







(1-5)

移動 素子 作 半 体材料 質 評価 指標 ば ば使わ

＆移動 大 い材料 結晶 陥 純物 少 く高品質＇

頻繁 電子 衝突

緩和時間_s 短い

電気伝 率 い＆抵抗率 大 い＇

演習問題

＆／＇銀＆Ag＇ 室温 電気抵抗率  = 1.59 cm あ 電気伝 率 求

＆解＇

5 7

6

1

1

6.29 10

6.29 10

1.59 10

cm

S/cm =

S/m



 

_

_











単 S( ン ) = 1/ あ SI単 系 m 基 電気抵抗等 cm

頻繁 使用 注意

＆０＇銀 結晶 電子密 n = 5.8610

22

cm3 あ 緩和時間



s 求 但 電子 質

真空中 値 同

＆解＇ 式(3-4)

2 s

q n

m





=

2 s

m

q n





=

電子密 n = 5.8610

22

cm3 = 5.861022106 m3 = 5.861028 m3

伝 率  = 6.2910

7_1 m1





7 1 1 31

14

2 2

19 28 3

6.29 10

9.11 10

3.81 10

1.602 10

5.86 10

m

kg

C

m

s

m

q n





     



 

















=



s 単 s＆ ＇ あ 確

＆１＇銀 移動  求

＆解＇式(3-5)

19 14

3 31

1.602 10

3.81 10

6.70 10

9.11 10

C

s

kg

s

q

m





   

















Cs/kg

単 い ：

1C 電荷 1V 電 差 運 要 1J あ

2

2

1

kg m J

V _s V

C=







従

2 ₂

2

1

kg m

C s s m

kg



_s

  

V kg V s あ

 = 6.70103 m2/(Vs) = 6.70103104 m2/(Vs) = 6.7010cm2/(Vs)

移動 対 cm

2

/(Vs) 単 慣用的 く使わ

＆２＇長 1cm 銀 柱 あ 両端 ／V 印加 速 求

＆解＇ 柱 電場 E = 1 V/cm = 100 V/m

式(3-1) (3-5)

 

 

2 4 2

67

cm / V s

1

V/cm =

67 10

m / V s

100

V/m =

0.67

m/s

D





E



 





 

＆３＇ 速 vs 速

銀 速 計算 前問 求 速 比較

＆解＇ 速 v_F §／＋４ 演習問題 Na 場 い 計算 銀 場 い

同 う 計算 v_F = 1.410

6 m/s

速 0.67 m/s あ 速 方 違い 速い 電場 印加

速 ン 向 動い い 電子 速 少 電場 方向 分 あ

わ 電流 流

＆４＇ 均自 行程 (mean free path) l

電子 衝突 衝突 間 走行 距 均値

一 一 電子 速

F



D F





_



v

v

v

衝突 均時間間隔 2_s = 7.610

14 s 従

l = vF  2s = 1.4106 m/s 7.61014 s =1.1107 m  100 nm

銀 結晶 格子定数 0.4 nm程 あ

均自 行程 >> 格子定数

銀 ン 0.4 nm間隔 並 い 均自 行程 250倍長く 結晶格子 規

則的 並 い 銀 ン 散乱体 い い＆電気抵抗 原因 い い＇

示

＆５＇電気伝 率 温 変化

(1-4) 

vk1

vk4 vk3

vk2

vk6 vk5

vk7

電場 い場

速 程 超高

速 ン 飛 回

い

E

電場 印加

電 場 方 向 微

分 ＆ 赤 矢 印 ＇ 加わ

vk1

vk4 vk3

vk2

vk6 vk5

vk7

速 F



D





v

v

vD << vF

F



v

均

D



v

均 残 ： 電 場

電子密 n 温 い＆元素 種類 ＇ 緩和時間_s 温 変化 

温 依存 決

高温域 電子 格子振動 衝突 _s 決

高温振動大衝突頻 昇_s 増大 ( )

温域 電子 純物 結晶 陥 衝突 _s 決 温 い一定値

＆試料 純 結晶 質 単結晶 多結晶 違い 出 ＇

T



高温域

温域

T



§ － ネ 準位 電子 分布

古 粒子  Maxwell-Boltzmann＆ ン＇分布

子力学的粒子＆電子 陽子 中性子＇  Fermi-Dirac＆ ＇分布

＆厳密 子力学的粒子 2系統あ 扱うFermi-Dirac分布 従う粒子

ン 呼ば 自転 角運動 ħ/2 あ 粒子 あ ン い 述

＇

Fermi-Dirac分布 従う粒子＆ 粒子 呼 ＇ 以 2 性質 持

＆／＇識別 能

＆０＇ 排 原理＆排 ＇ 1 準 1個 粒子

体例 考え 3 準 2個 ＆識別可能 ＇古 粒子 分布 場

考え 場 以 う (33 = ) 9通 分布 可能

対 3 準 2 個 粒子＆識別 能＇ 分布 場 考え

排 原理 1 準 1個 入 い 可能 分布

3

1 2

1 2

1

2 1

2 1

2 1

2

1

2 1

2

1 2

場 以 4通 ＆古 粒子 何通 考え ＇

固体中 電子 準 分布 場 考え 準 ＆

大 い準 ＇ 無数 あ 場 熱 衡状態 い 電子全体

最 う 分布 実現 n 個 古 粒子 ば う 粒子

基底状態(ground state g.s. 略 ) 詰 込 い 状態 可能 最

い状態

1 2 3 基底状態

n

第1励起状態

対 n 個 粒子 場

う n 準 1個 分布 n

番目 準 占有 う

準 n 個 粒子 分布 場 古

粒子 場 粒子 全く違う 全

電子 違 く

室温(300 K) T > 0K＆ 場 絶対

零 対 有限温 呼 ＇ 熱励起

n 番目 準 ＆最高占有準 ＇ あ 電子

あ 確率 準 い 場

あ 注意 必要 あ 方

準 準 占有 い

熱 励 起 起 い い う あ 熱 励 起 起

最高占有準 あ い 近傍 準

限 占有

占有

粒子 場 実現 分布

n 目 準 占有

占有 空席 空席

1 2 3 n n+1 n+2

占有

占有

有限温 粒子 分布

n 目 準 占有

占有 空席 空席

熱励起

§ － ス ンを考慮した電子 ミ分布

電子 ン＆自転運動 角運動 ＇ 持 ＆ ン 細 い 扱わ

い 教 書０章§／． 明 い ＇ 電子 う 子力学 使 扱う必要

あ 微 粒子＆Fermi-Dirac粒子＇ 自転角運動 球 や惑星 自転 違

限 ＆2通 ＇ 値 持 出来 い

ン 向 ＆ 見 時計方向 自転＇ ン +

1

2



,

表記

ン 向 ＆ 見 時計方向 自転＇ ン 

1

2



,

表記

2種 識別可能 あ ン 含 考え ／． 中段 例 う 3

準 ン 対向 ０ 電子＆ ン 行 2電子＇ 分布 場

示 う 9通 可能 古 粒子 場 同 一方 ン 両方 向

2 電子＆ ン 行 2電子＇ 3準 詰 込 場

3通 い

全部 N個 電子 あ 場 熱 衡 N/2個 ン 向 残 N/2個 ン

向 ＆磁性体 ン 向 電子 数 ン 向 電子 数 ン ン

向 向 同数 場 限 考え ＇ 一 準 ン 向 1個

ン 向 1 個 詰 込 n =

N/2 準 N個 電子 2個 詰 込

いく ＆ ＇

占有

占有

電子 分布

n = N/2

占有 空席 空席

1 2 3 n n+1

§ － 自由電子気体 ネ 準位数：状態密度 計算 (教科書8章§ )

固体中 準 数 計算 1 辺 長 L あ 立方体 固体 中 電子状態

考え ＆ 格子点 あ 原子＆ ン＇ ン ン 無視 ＇

更 箱 いく 接触 積 場 考え

一辺 長 L 立方体中 電子状態 計算 時間 含 い ュ ン

方程式 解く ン V(r) = 0 ＆講義資料 電子物性 ＆ ＇§4 参照＇

2 2 2 2

2 2 2

( , , )

( , , )

2

m

x

y

z

x y z

E

x y z



_

_

_





_

_





_

_



 













(1-6)

変数x, y, z 対 偏微分方程式 あ 各 標変数 変数分

( , , )

_x

( )

_y

( )

_z

( )

x y z

x y z

x

y

z

E

E

E

E

















置い 式(1-6) 代入

L

L L

結晶

原子＆ ン ＇ 電子 ン力 及

原 子 ン

無視

自 電子気体

一辺 長 L 箱 中 電子 運動 い

＆ ＇

箱 サ L 数 数 ン 程 大

あ 場 箱 積 電子状態 変化 い経験則

L





2

2 2 2

2 2 2

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

( )

( )

( )

y x z

y z x z x y

x y z x y z

y

x

z

y

z

x

z

x

y

m

x

y

z

E

E

E

x

y

z



























_

_

_







_







_



















両辺

( )

( )

( )

x

x

y

y

z

z







割

2

2 2 2

2 2 y 2 2 2 z

( )

1

( )

1

( )

2

( )

2

1

( )

0

( )

2

y x x y x y x z z z

y

x

E

E

x

m

x

y

m

y

z

E

z

m

z

























_





_



_









 





_

_



_



_

_

_









































_



_



_























 





けに依存 けに依存

けに依存

式 任意 x, y, z 対 立 条件 各項 独立 あ 以 示

う 各 分 常微分方程式3点 得

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( )

( )

2

( )

( )

2

( )

( )

2

x x x y y y z z z

d

x

E

x

m

dx

d

y

E

y

m

dy

d

z

E

z

m

dz



_



_



_













_

_



















常微分方程式 自 粒子 ュ ン 方程式 出 形 あ

一般解 形 持

( )

ik xx ik xx

x

x

Ae

Be



_

_











右向進行波 左向進行波

＆但

2

_x

x

mE

k





＇ (1-7)

y方向 z方向 い 同様 関係 立 k = (k_x, k_y, k_z) 波動 波数

角波数 呼ば 長

k



k

波長

k

2





いう関係 あ

波 関係式 波数 電子 運動 p p = ħk いう関係 立 ＆講義

資料 電子物性 ＆ ＇ 参照＇

境界条件 考え 固体＆結晶＇ 扱う 特有 境界条件 課

各立方体 同等性 任意 x 対

( )

(

)

(

2 )

(

3 )

x

x

x

x

L

x

x

L

x

x

L







 













要求 ＆y方向 z方向 い 同様＇ 形 境界条件 周期的境界条件

呼ば 従 x方向 波動関数 _x(x) 対

＆／＇微分方程式

2 2 2

( )

( )

2

x x x

d

x

E

x

m

dx



_







満

＆０＇周期的境界条件

( )

(

)

x

x

x

x

L









満足 要求 微分方程式 一般解 式(1-7) 形 周期的境界条件

課

( ) ( )

x x x x

x x x x

ik x ik x ik x L ik x L

ik L ik x ik L ik x

Ae

Be

Ae

Be

e

Ae

e

Be

   

 











関係式 任意 x い 立 条件 x

1

ik L

e



_e

ik Lx



1

2

4

0, , ,

x

k

L

L











  

,

2

_x x n

n

k

L





(nx 負 整数)

従 波動関数 規格化定数 ／

,

,

( )

x n

ik x x n

x

e





いう形 表記 出来 ＆n 場 右向進行波 負 場 向進行波＇

波動関数 対応 電子

2

/

x x

k



mE



2 2 2

2 2

, , ₂

4

2

2

x n x n x

E

k

n

m

m L











同 計算 y, z方向 対 行う 全波動関数



, , ,



, , ,

( , , )

( )

( )

( )

x n y n z n

x y z

i k x k y k z x n y n z n

x y z



x



y



z

e

 







但 _{, , ,}

2 2 2

, ,

x n x y n y z n z

k n k n k n

L L L

  

   (nx, ny, nz) 整数( 負) あ

電子 式 表

x

L L L

立 方 体 同 一

＆同等＇ 区別 い

x0 x0+L x0+2L

点 電子状態

点 電子状態

点 電子状態

3 点 同等

電子状態 同一

L

0 0

(

)

(

)

x

x

x

x

L













2





2 2

2 2 2 2 2 2 , , ,

2

2

x n y n z n

2

x y z

E

k

k

k

n

n

n

m

m

L















_

_

 





k





準 数 数え 節 目的 数え いく

最 状態＆基底状態＇ 1



nx,ny,nz







0, 0, 0



場 E_k = 0 い状態



n_x,n_y,n_z



 



1, 0, 0 or 0, 1, 0 or 0, 0, 1















場 ＆6 ＇

波数 書く

2 2 2

, 0, 0 or 0, , 0 or 0, 0,

L L L

  

     

 _{  }  _{ }  _

     

k

6 準 同

2 2 k 2

2

E

m L

    _{ }  









 

 

 





 

 

 





 

 

 



, , 1,1, 0 , 1, 1, 0 , 1,1, 0 , 1, 1, 0 ,

1, 0,1 , 1, 0, 1 , 1, 0,1 , 1, 0, 1 ,

0,1,1 , 0,1, 1 , 0, 1,1 , 0, 1, 1 x y z

n n n     

       

波数

2 2 2 2 2 2 , , 0 , , , 0 , , , 0

L L L L L L

     

     

_{  }  _{ } _

     

k ＆以 省略＇

12 準 同

2 2

k 2 2

2

E

m L

    _{ } 

 



更 ＆以 省略＇

準 数 以 う 数え 出来 (k_x, k_y, k_z) 軸 3 元 標系

設定 2

L



間隔 格子 描く 各格子 交点 一 一 準 対応 原点 距

E い 持 準 総数

数 え





2 2

2 2 2 2

2 2 x y z

E k k k k

m m

     

2 2 2 2

2 x y z mE

k k k 



半 径

2

2mE

 球 描 い

側 あ 格子点 数 E い

持 準 総数 いう

い う 側 あ 格 子 点 数

数え 必要 あ 一

準 表 格子点 占 体積 考え

＆ 体積 電子 動 回 い 1辺 長

L 立方体 体積 全く別 ＇

う 一 格子 点＆赤丸○＇ 周

前 右 6 隣接 格子点

＆緑丸○＇ 距 2/L 存

一 格 子 点 占 体 積

kz

k

y

k

x

点 (k_x, k_y, k_z) = (0, 0, 0)

最 準 対応

2/L

2/L

6 交点

2 2 k 2

2

E

m L

    _{ }  

 ₆

準 対応

＆ ＇

＆ ＇

ky

kx

kz

2

2mE



2/L

2/L

2/L

/L

3 2 L     

  あ 半径

1/2

2 2

2mE 2mE

 _ _

  あ 球 体積

3/2 2 4 2 3 mE _ _

   あ 1 格子点

＆準 ＇ 占 体積

3 2 L     

  E い 持 準 総数





3/2

3/2 3/2 3

2

3 2 2 2 2

4

2

2

2

3

6

6

2 /

mE

L

mE

V

mE

L

















_

_

_

_



_{ }

_

_

_

_

_















V = L3 自 電子気体 動 回 い 立方体 体積

§／＋１ 明 う 電子 ン 向 ン 向 2 種類 あ 各準

ン 向電子 ン 向電子 2個 入 出来 E い

持 準 総数＆ 電子 状態数 N(E) 呼 ＇

3 2 3

2

3/2

2 2 2 2

2

2

( )

2

6

3

V

mE

V

m

N E

E













 

_

_



_

_













(1-8)

う E わ 大 いE + E 間 あ 状態 数





3 3 3

3 3 3

2 3 2 2

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2

( ) ( ) 1 1

3 3

V m V m E

N E E N E E E E E

E                   _{ } _    _ _ _ _  _      

  (1-9)

E/E 1 い微 展開 使う 出来





3

2

1x x 1 い場 展開





3 2 3

2

1x  1 x 近似 出来

＆ 展開 い 数学 教 書 参照 ＇ 式(1-9) い x = E/E 置 ば

3 2

3 3 1

2

₁

₁

2

₁

3

₁

3

2

2

2

E

E

E

E

E

E

E

E



_



_

_

_





_



_{ }





_



_{ }

_





_



_





_



_



_



_









従 う 3 元電子 E 状態密 得

3 2 1 2 2 2

2

(

)

( )

2

V

m

N E

E

N E

E

E







  



_

_











状態密度

状態密 ：

3 2 2 2

2

( )

2

V

m

D E

E









_

_







＆ 要 式＇ (1-10)

(教 書150 式(8.48) Z(E) 単 体積 状態密 D(E) = V Z(E) 関係 あ )

注意： 状態密 いう用語 意味 E 変数 考え 場 あ

E0 近傍 幅 E 区間 ン

向 ン 向 わ 電 子



E

E0

§ － Fermi-Dirac分布 (教科書8章§ )

温 T 熱 衡状態 E あ 状態＆準 ＇ 粒子 存 ＆分布＇ 確率

Fermi-Dirac 分布＆略 分布＇ え く知 い ＆ 基底状態

基準 ＇

(1) T 0 K 極限

基底状態E = 0 n番目 E = E_F 状態

粒子 占有 い ：確率 = 1

E > EF 状態 粒子 存 い：確率 = 0

＆ T 0 K 最高占有状態 準

EF 呼 ＇

前 描 状 態 対 応

横軸 準 縦軸 各

準 占 有確 率 示

う 0 < E < E_F 領域 1.0, E_F< E

0 < E < EF 粒子 必 占有

一方 E_F 準 空 いう あ

(2) 有限温 T > 0 K 場

示 う 少

い 持 状態 あ 粒子 熱励

起 E_F 少 状態 分布

EF近傍 占有確率 1.0 0.0 滑

減少 いく

(3) 更 温 昇 う E_F近傍

く

E

占

有

確

率

E = 0 EF 1.0

Fermi-Dirac分布関数

T > 0K 場

熱励起

1.0 い

E

占

有

確

率

E = 0 (g. s.)

EF (Fermi Energy) 1.0

Fermi-Dirac分布関数

T = 0 場

E

占

有

確

率

E = 0 EF 1.0

Fermi-Dirac分布関数

高温 場

記 分布 Fermi-Dirac分布関数(略 分布関数) え あ

E 状態 粒子 占有 確率f_FD E 関数 式 え





( )/

1

1

( )

1 exp (

) /

1

B

FD _{E k T}

B

f

E

E

k T

e















＆ 要 式＇ (1-11)

T 絶対温 k_B ン定数 あ  化学 ン 呼ば T

= 0K 一致 ( = E_F at T = 0 K)

化学 ン  温 依存 T > 0K  E_F 等 く く 差

く 多く 場  代わ E_F 使 大 間違い 生 い

関数 体的

(1) 特別 場 T 0K ＆絶対零 ＇

E <  領域 E < 0 e (負 )/ k

BT あ 極限T 0 e 0 f_FD1

E >  領域 e

( )/ k_BT

あ 極限T 0 e

+

1

1



e

 

0 fFD 0

従 E =  1 0 状 変化 ＆前 一番 当 ＇

(2) 温 昇 関 数 電 卓

使 実 計算 く い

示

 = 0.1 eV

T = 10K, 77K, 300K

場 分 布 関 数

あ

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

占

有

確

率

(eV) 10K

§ － 状態数 電子数 区別

電子 入 ＆占 ＇ 出来 状態 あ いう 実 電子 状態 占 い い

う 区別 必要 あ §／＋０ §／＋１ 示 う T 0K 粒子 各状態

1 個 占 行 最 粒子 占 ＆電子 ン

各状態 2個 占 ＇ T > 0K 熱励起 近傍 電子 状

態 占 う 状態 あ 状 態 電 子 占 い 限 い 状 態

数 電子数 同 い

電子 人 状態 例え 考え

電子  人

状態＆準 ＇ 

壇 あ 並 い

壇 高 相当 行く 大 く 一段

E 大 く

壇 用意 い 状態 ＆準 ＇ 表 壇 方 行く

＆ 大 い ＇各段 用意 い 数 多く 一 段 用意

数 E 状態 数D(E)E 表

人 電子 対応 ＆ 排 原理 ＇一 一人 出来 い

壇 方 面倒 い段 空い い い

描い 11人 う 4段目 占有 T  0K 場 相当 い 4

段目 当 Fermi-Dirac 分布関数 一 人 確率 表

い 場 1段目 4段目 あ 11個 確率 1 い ＆

＇

E

E T 0K 場

段 準 

T > 0K 場 考え 場 4段目 い 一人 ＆熱励

起 ＇元気 一 5段目 い い 4段目 5席中4席 占

有 い 一 占有 確率 3段目 f_FD(3段目) = 1.0 f_FD(4段目) = 0.75

一方5段目 6席中1席 占有 い f_FD(4段目) = 0.166 いう

場 人 数(電子数) 計算 各段 分布関数 数

段 計 ば求

人 数 =

1

n 





fFD(n段目)  (n段目 数)

= fFD(1段目)1脚+f_FD(2段目)2脚+f_FD(3段目)3脚+f_FD(4段目)5脚+f_FD(5段目)6脚 = 1.01脚+ 1.02脚 + 1.03脚 + 0.755脚 + 0.1666脚 = 11人

実 固体中 電子 場 準 間 差 い 和 積分

電子 総数

0 FD

( ) ( )

n







f

E D E dE

＆ 要 式＇ (1-12)

(教 書155 ) 式 半 体 学 等 使わ 極 要 関係式 あ

E

E T > 0K 場

段 準 

＆ ＇

fFD(E)

D(E)

特 T 0K

fFD(E) = 1 for 0 < E < EF,

fFD(E) = 0 for EF < E ,

あ 計算 簡単

3 3 3

3

2 1 2 3 2

2

2 2

0 0

2 2 ₀ 2 2 2 2 0

( ) ( )

( )

2

2

2

2

3

2

2

3

F

F F

E FD

E E

F

n

f

E D E dE

D E dE

V

m

V

m

V

m

E dE

E

E



















 









_

_



_

_

_

_



_

_







 



















(1-13)

関係式

3 3 2

2

2 2

2

3

F

V

m

n

E









_

_







体積V 自 電子気体 い ( ン 向 向 わ

)電子数n E_F 関係 決 要 関係式 あ

え 波 数 波 数 k_F 呼





2 ₂

2

F _m F

E





k

使 う

2

3 3

V F

n

k





いう関係式 立

14 中段 示 k_x, k_y, k_z 軸 半径k_F 球面 中 あ 状態 占有

う 球 表面 あ 状態 (あ い 波数) 持 状態 相当

球 表面 面 呼

ky

kx

kz

2

2 _F

F mE

k 



演習問題

／，右 う 4 準 あ 4 電子 入

但 電子 ン 向 2個 ン 向 2個

＆／＇T  0K い 全体 最 電子 分布(基底

状態) 描

＆０＇ い分布(第1励起状態) 描 (複数 可能

性 あ )

０，E_F = 0.1 eV 場 い 分布関数f_FD(E) 描 (1) 0K 場 (2) 77K 場

特 77K 場 近傍 関数電卓 使 計算 但 77K

 = EF = 0.1 eV

１， E₁ E₂ 間 あ 状態数 求

(解)





3 3 3

2 3 1

2 2 2

2 2 2 2 1 1 1 3/2 3/2 2 1 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( )

3 3

2 2 2

E

E E

E E _E

V m V m V m

D E dE E dE E E E

            _{ }  _{   }  _{ }         



_



_{ }

２，E₁ E₂ 間 持 電子 個数 求

(解)

3 2

2 2

1 2 2 1 ( )/

2

1

( ) ( )

2

1

F B

E E

FD _{E E k T}

E E

V

m

n

f

E D E dE

E

dE

e













_

_









_



積分 一般 数値積分 必要 前 式(1-13) う T 0K 場 積分可能

問１ 問２ 状態数 電子数 違い 注意

３， 金属 あ Na 自 電子気体 く記述 Na 電子密 2.6510

22

個/cm 3

あ E_F 求 ＆T 0K 場 ＇

(解) T 0K 場 電子数n E_F 関係 前 式(1-13)

3 3 2 2 2 2

2

3

F

V

m

n

E









_

_







, 2 3 2 2 3 2 F n E m V     _ _    _,

電子密  = n/V ,

 

2 3 2 2 3 2 F E

m    

あ 数値 代入 計算 E_F = 3.24 eV

係 あ 16 あ う 波数 k 電子 運動 p 間 p = ħk いう関

係 立 以 3 定義

kF: 波数 p_F = ħk_F: 運動 v_F = p_F/m: 速

運動 速 最 大 い状態 占有 い 電子 運動

速 出来

前問 Na 3.24 eV あ 速 求

(解) 定義

2 1 2

F F

E



m

v

あ 前問 E_F = 3.24 eV = 5.1910

19

J 求

vF = 1.07106 m/s  高速

注意

面付近 電子 高速 動い い 進行方向(速 向 ) ン

章：

ネ

帯構造

(

ネ

バンド

)

(

教科書

9

章

)

§ － バンド 形成 教科書9章§

前章 固体中 結晶格子 構 い ン 無視 章 規則的 並

ン 結晶中 電子状態 特徴 ン 生 見 いく

節 直観的 明 試 有限 壁 1 元井戸型 ン 中 状態

考え (教 書 各格子点 あ 原子 ン ン 中 状態 考え い )

2 同 形 井戸型 ン 充分 い 場 井戸 独立 準

存 ＆ 井戸 3 準 あ ＇ 井戸 近 2 井戸

接近 準 N個 井戸 近 準 N 準 含

幅 持 ン 一 ン N 準 あ ＆ ン 向 ン

2N

０ 井戸型 ン

い

各準 独立

接近

１ 井戸型 ン

い い

接近

2

3 3

3

N個 井戸型 ン 接近

2

2

準 N , 第1＆基底＇ ン 準 N , 第2 ン 準 N , 第3 ン

各 ン 2N個 電子 入

§ － ネ バンド 何

前節 見 ン 電子 E 運動 p＆あ い 波数k＇ 関係 考

え

初 真 空 中 皆 く 御 存 う (簡

単 1 元 考え )

2 2 2

2

2

p

k

E

m

m







＆ m 電子 質 ＇

いう2 式 表 横軸 波数k 縦軸

E 描 ば う

放 物 線 ( う 波 数

関係式 E-k分散関係あ い 単

分散関係 呼 ) 固体中 あ 規則的 並

陽 ン ン 無視 自 電子気

体 同 様 放 物 線 型 分 散 関 係

結晶中 E-k分散関係 う

う ？

電子 E 連 変化

＆k 関数 E 連 変化 ＇

波 数

,

2

,

3

a a a

k

  

 

 

 い

連 変化 (a 結晶 格子定

数)

E1 < E < E2,

E3 < E < E4, ⁞

持 k 状態 存 い

電子

○ 0 < E < E₁  区間 連 的 変化

● E₁ < E < E₂ い

○ E₂ < E < E₃  区間 連 的 変化

● E₃ < E < E₄ い

⁞ E

k

放物線

真空中 E-k分散関係

E

k

結晶中 E-k分散関係

a  2

a a





2

a



o

a 結晶 格子間隔 E1

E2

E3

E4

波数k 方向 変化 いく ＆／＇

0

a

k



 

： 区間 電子 0 < E < E₁ 間 連 的 変化

＆０＇ a

k



 E1 E2 飛  (energy gap)

＆１＇ 2

a

k

a



_{ }

 ： 区間 電子 E₂ < E < E₃ 間 連 的 変化

＆２＇ 2

a

k



 E3 E4 飛 

⁞

k 負方向 変化 い 場 同様 あ

n a

k

 

 ＆n 任意 整数＇ い 連 変化

ン 呼 大 Eg 表記

(補足) 横軸 波数k 連 的 変化 う 見え 厳密

§／＋２ う 結晶＆固体＇ 大 ＆1辺 長 ＇ L あ 場 可能 波数k 状態

2 n L

k



 (n 負 整数) 限 横軸 連 変化 あ k

値 隣 k 間隔 極 く 見 連 問題 い

金属Na 例 体的 見

格子定数 a = 0.4225 nm

結晶サ L = 1 cm

9 1 9

2 1 2

3.1415

7.4 10

0.4225 10

2

2 3.1415

6.3 10

1 10

m

m

a

L





 

 









_



_



_







_





　　

7

ケタ

差

一 ン

0

a

k



 

範 10 7

個 可能 波数k あ

材料 常

2

a L



_

 あ 横軸 波数k 連 的 分布 い 出来 a

 a





2

§ － アン帯: Extended/Reduced zone 拡張/還元帯域 (教科書9章§ 、§3)

ン 表記 2 方法 あ

示 表 記 Extended zone 表 記 ＆ 形

式＇ 呼ば い 電子 持

出来 範 許容帯 (allowed band)

持 出来 い範 禁 帯

(forbidden band) ン 呼

形式 表記 付近

高 い 部 分 ＆ 方 ＇ 表 示

広い波数 範 描く必要 あ

便 あ ＆2＋6 節 見 う 物質 電気的性

質 付近 ン 構造 決定

々 興味 持 部分 あ ＇

高 領 域 見 や く

Reduced zone表記＆形式＇ 採用 場 多い

2 番目以 許容帯 分散曲線 2

a 整

数倍 右あ い 側 行移動

許容帯

a

k

a  

  

領域 積

描 く 表 記 あ ＆ う 許 理

§０＋３最 補足 見 ＇Reduced zone形式

使う う コン 表記

出来

a

k

a  

  

領域 第1 ン帯 呼 外側

2

a

k

a

   

2

a

k

a 

_{ }



領域 第 2 ン帯 呼 外

側 第3 第4 く Reduced zone形

式 ン 分散 第 1 ン帯

縮 表現 い 1 元 場

考え 3 元 結晶 教 書173

9.11 あ う 結晶構造 第1 ン帯 形 決 く

面 形 自 電子 場 球形 現実 結晶 結晶構造 電子数

応 複雑 形状 持 教 書174 参照

E

k

Extended zone 表記

a  2 a a 



2 a



o E1 E2 E3 E4

許容帯 許容帯

許容帯

禁 帯

禁 帯

＆ ＇

E

k

Reduced zone 表記

a  a 



o E1 E2 E3 E4 ＆ ＇ E k

Extended zone Reduced zone 変換

a  2 a a 



2 a



o E1 E2 E3 E4 2 a

行移動

2

a



§ － 結晶内 電子状態 ：周期的ポ ンシ 中 波動関数 特徴：Bloch関数

結晶中 電子 ン 構造 持 述 §０＋２ §０＋３ 進

容 結晶中 電子状態＆ く言えば 結晶 構 い 陽 ン 周期的 ン

中 電子 波動関数 ＇ 子力学 用い 厳密 計算 ン

求 方法 明

準備 周期的 ン 中 電子波動関数 示 特徴 考え ＆ 以 ば く

間簡単 1 元 考え ＇

自 電子＆結晶 周期的 ン 無視＇ 波動関数 §／＋２付近 求 う

面波 表

( )

( , )

x t

e

i kxt





i( kx t)

e

 

空間部分 時間 依存 部分 変数分 い

( , )

( )

i t

x t



x e







空間部分

( )

or

ikx ikx

x

e

e



_



但 周期的境界条件 課

2

k

L







＆波数k 部分 考え

(





0,1, 2,



)

＇

結晶中＆格子間隔a 原子＆陽 ン＇ 周期的 配列＇ 波動関数 ？

周期的 ン ：

V x

(

 

a

)

V x

( )

ン

V x

( )

形 問わ い 周期的 あ 要

Bloch 定理＆ 定理＇

ン 中 電子 波動関数 以 形

( )

x

e

ikx

u x

_k

( )





但

(

)

( )

k k

u x

 

a

u x

波動関数 ＆自 電子 同 ＇ 面波e

ikx

結晶 同 周期a 持 関数u_k(x) 積

え 形 関数(x) Bloch関数 呼

＆証明＇

ン 格子間隔a 周期関数

V x

(

 

a

)

V x

( )

物理的 測定 例え

ば電荷＆電子＇密 周期a 関数 ＆ い＇

波動関数 同 周期a 関数 ： (x+a) = (x)？ く い

波動関数(x)自体 測定 観測 物理 い！

電荷＆電子＇密

2

( )

x



比例

2

( )

x

* ( ) ( )

x

x









周期 a 関数

波動関数 条件： 任意 x 対

2 2

(

x

a

)

( )

x









あ 複素数C あ



(

x

 

a

)

C



( )

x

, 但

2

1

C



意味

更 第 1 章 自 電子 波動関数 同 う 結晶 大 L 周期的境界条

件



( )

x





(

x



L

)

立 要求 う 長 L 中 n個 原子 並

い 場 考え

従 ＆ 中 最 ン ン 引い 行 ＇ C

n

= 1 いう複素数C 対 条件

出 く 条件 満 C

2

(

0,1, 2,

1)

n i

C



e

 





 

n

いう形 波動関数 条件 満 う

2

( )

inax

( )

k

x

e



u x





 , ＆但 u_k(x)

(

)

( )

k k

u x

 

a

u x

いう周期関数 あ ＇

いう形 持 必要 あ 形 関数 あ ば

2 ( )

2 2 2 2

(

)

(

)

( )

( )

( )

na na n n na i x a

k

i x i k

i i x k

x

a

e

u x

a

e

e

u x

e

e

u x

C

x

    







 









    

(

x

a

)

C

( )

x



 



条件 満 na = L

2

2

( )

inax

( )

i L x

( )

ikx

( )

k k k

x

e



u x

e



u x

e

u x













最 式 変形 周期的境界条件 課 2

L

k



 あ 使 ＆証明終＇

L

a a a a a

1 2 3 4 5 n n+1

(x)

(x+a) = C(x)

(x+2a) = C(x+a) = C2(x)

(x+3a) = C(x+2a) = C2(x+a) = C3(x)

(x+(n1)a) = Cn1(x)

元 戻 (x+na) = C

n

Bloch関数 形

( )

( )

ikx

k

x

e

u x





eikx 実部： 角関数

uk(x) 周期a 関数

積

eikx 包絡線 u_k(x) 振幅 周期的 変化

注意：

実 Bloch 関数 複素数 う 描く 出来 い あく

§ － 結晶内 電子状態 ：Kronig-Penney ロ ニッヒ ペニ

体的 周期的 ン 形 え 中 電子 波動関数

ュ ン 方程式 解い 求

結晶格子点 あ 陽 ン 電子 及 ン ン ン 形＆関

数形＇ ( 節 格子定数 d )

2 2 2 2

0

1

( )

4

2

3

4

e

e

e

e

V x

x

d

x

d

x

d

x

d





_

_

_

_





_







 

_













形 ン ュ ン 方程式 解 い ＆紙 鉛筆 解 い 初

微分方程式 数値計算 解く必要 あ ＇

ン 簡単 形 置 換え 考え Kronig-Penney

周期的凸型 ン 使う ＆高 V 幅b＇

( )

0

0

,

2

, 2

2

3

2

( )

( )

, 2

2

2 , 3

2

3

3

( )

V x

x

a a

b

x

a

b

a

b

x

a

b

i

V x

V

a

x

a

b

a

b

x

a

b

a

b

x

a

b

ii



 

  



    





_

_{  }

_{  }

_

_{    }



時間 依存 い ュ ン 方程式

2 2

2

( ) ( )

( )

2

d

V x

x

E

x

m dx



_

_









以 E < V 場 考え (i) 領域 (V(x) = 0)

2 2

2

( )

0

d

x

dx

  





但

2

2

mE







(ii) 領域 (V(x) = V)

2

2

2

( )

0

d

x

dx

  





但

2

2 (

m V

E

)









(i) 領域 微分方程式 一般解

1

( )

i x i x

x

Ae



Be





_

_

 _(2-1)

一方Bloch 定理 波動関数 形 持

d

d _{2d 3d 4d}

V

a b

2d 3d

b

a d

波動関数 2(x) 1(x)