後期 期末試験（ 2月13日） （ kimatu-5

微積分

I 2005

期末試験問題例題及び解答

(9) f (x) = log|x| (10) f(x) = log |3x + 1| (11) f(x) = sin x (12) f (x) = cos x (13) f (x) = sin(2x) (14) f (x) = cos(2x) (15) f (x) = sin x cos x (16) f (x) = sin2x

2 y = xeαx_{が全ての x に対して, y}00_{− 2}√_2y0_{+ 2y = 0を満たす様に定数} αの値を定めよ. 3 y = cos(αx)が全ての x に対して, y00+ 12y = 0を満たす様に定数 α の 値を定めよ. 4 y = Ax sin(√3x)が全ての x に対して, y00+ 3y = 8 cos(√3x)を満たす 様に定数 A の値を定めよ. 第 5 章の問題の略解 1 (1)2n_e2x _(2)(−1)n_e−x ₍₃₎₂n_e2x+3 _(4)(x+n)ex ₍₅₎₍₂n_x+n2n−1_)e2x (6)(−1)_xn+1nn! (7) (−1)n3nn! (3x+1)n+1 (8) n! (1−x)n+1 (9)f(n)(x) = (₁ x )(n−1) = (−1)n−1_xn(n−1)! (10)f(n)_(x)=3( 1 3x+1 )(n−1) =(−1)n−1_(3x+1)3n(nn−1)! (11) sin(x+ nπ 2 ) (12) cos(x+ nπ 2 )

(13)2nsin(2x +π₂n) (14)2ncos(2x +π₂n) (15)f(n)(x) =(1₂sin(2x))(n)= 2n−1sin(2x +π₂n) (16)f(n)(x) = ( 1_−cos(2x) 2 )(n) =−2n−1cos(2x +π₂n) 2 √2 3 ±2√3 4 √4 3 第 6 章テイラ−（マクロ−リン）の公式の問題 1 次の関数でマクロ−リンの公式を n = 5 の項 (R5)まで求めよ. (1) e2x _{(2) e}−x _{(3) e}x2 _{(4) xe}2x _{(5) x}2_e−x _{(6) e}x_−e−x _{(7) sin(2x)}

(8) sin2x (9) cos2x (10) sin x cos x (11) x√1 + x (12) x√1− 2x (13) √_1+xx (14) √ 1 1−x2 (15) 1 1_−2x (16) x 1+x (17) x 1_−x2 2 次の極限値を求めよ. (1) lim x→0 ex2− 1 − x2 x4 (2) lim_x→0 sin x cos x− x x3 (3) lim_x→0 log|x + 1| 2x (4) x→+∞lim x4 e2x 3 f (x)は何回でも微分できる関数とする.  次の問に答えよ. (1) f (x)をマクロ−リン展開したときの x100_{の係数を求めよ.} (2) x2exをマクロ−リン展開したときの x100 _{の係数を求めよ.} (3) f (x) = x2_ex_{のとき f}(100)_{(0)の値を求めよ.} 4 f (x)は何回でも微分できる関数とする.  次の問に答えよ. (1) f (x)をマクロ−リン展開したときの x50の係数を求めよ. 1

(2) x sin(2x)をマクロ−リン展開したときの x50_{の係数を求めよ.} (3) f (x) = x sin(2x)のとき f(50)_{(0)の値を求めよ.} 5 次の和を計算せよ. (1) ∞ ∑ n=0 xn n! (2) ∞ ∑ n=1 nx n n! (3) ∞ ∑ n=2 n(n− 1)x n n! (4) ∞ ∑ n=0 rn (|r| < 1) (5) ∞ ∑ n=1 nrn (|r| < 1) 第 6 章テイラ−（マクロ−リン）の公式の問題の略解 1 (1)1 + 2x + 2x2₊4 3x 3₊2 3x 4_{+ R} 5 (2)1− x + 1₂x2−₆1x3+₂₄1x4+ R5 (3)1 + x2₊1 2x 4_{+ R} 6 (4)x + 2x2+ 2x3+4₃x4+ R5 (5)x2− x3+1₂x4+ R5 (6)2x+1₃x3+R5 (7)2x−4₃x3+R5 (8)x2−1₃x4+R6 (9)1−x2+1₃x4+R6 (10)x−2₃x3_+R 5 (11)x+1₂x2−1₈x3+₁₆1x4+R5 (12)x−x2−1₂x3−1₂x4+R5 (13)x−1₂x2+3₈x3−₁₆5x4+ R5 (14)1 +1₂x2+3₈x4+ R6 (15)1+2x+4x2_+8x3_+16x4_+R 5 (16)x−x2+x3−x4+R5 (17)x+x3+R5 2 (1)1 2 (2)− 2 3 (3) 1 2 (4)0 3 (1) 1 100!f (100)_{(0) (2)} 1 98! (3)9900 4 (1)_50!1 f(50)_{(0) (2)}249 49! (3)2 50_·52 _{5 (1)e}x _(2)xex _(3)x2_ex ₍₄₎ 1 1−r (5) r (1−r)2 第６章 グラフの問題 1 次の関数 y = f (x) で増減表を作り、グラフの概形を描け. (1) y = x3_{− 3x + 2 (2) y = x}4_{− 2x}2_{+ 3 (3) y = 4x}3_{− 3x}4 (4) y =_1+xx2 (5) y = 1−x x2₊₁ (6) y = xex (7) y = xe−x 2 (8) y = x− sin 2x (0 5 x 5 π) (9) y = x log x (x > 0) 2 次のグラフ (1),(2) の変曲点を調べよ. (1) y = _2x22₊₁ (2) y = e−x 2 グラフの問題の略解 1 (増減表には y0の +0− が必要, グラフは下図) (1) y0= 3x2_{− 3 = 3(x + 1)(x − 1) より x = ±1 で y}0 _{= 0} x · · · −1 · · · 1 · · · y0 + 0 − 0 + y % 極大値 & 極小値 % 極値 4 0 (2) y0= 4x3_{− 4x = 4x(x + 1)(x − 1) より x = 0, ±1 で y0 = 0} x · · · −1 · · · 0 · · · 1 · · · y0 − 0 + 0 − 0 + y & 極小値 % 極大値 & 極小値 % 極値 2 3 2 (3) y0= 12x2_{− 12x}3_{= 12x}2_{(1− x) より x = 0, 1 で y}0_{= 0} x · · · 0 · · · 1 · · · y0 + 0 + 0 − y % 極値無し % 極大値 & 極値 1 (x = 0は極値を与えない.) 2

(4) y0=(1+x_(1+x2)−x(2x)2₎2 = (1_−x)(1+x) (1+x2₎2 より x =±1 で y0= 0 x · · · −1 · · · 1 · · · y0 − 0 + 0 − y & 極小値 % 極大値 & 極値 −1₂ 1₂ (5) y0=−(x2+1)_(x2−(1−x)(2x)₊₁₎2 = (x_{−α)(x−β)} (x2₊₁₎2 より x = α, β で y0 = 0 x · · · α · · · β · · · y0 + 0 − 0 + y % 極大値 & 極小値 % 極値 1/2 +√2/2 1/2−√2/2 (α = 1−√2, β = 1 +√2) (6) y0= ex_{+ xe}x_{= (x + 1)e}x より x =−1 で y0= 0 x · · · −1 · · · y0 − 0 + y & 極小値 % 極値 1/e (7) y0= (1− 2x2)e−x2 より x =±1/√2で y0= 0 x · · · −1/√2 · · · 1/√2 · · · y0 − 0 + 0 − y & 極小値 % 極大値 & 極値 −1/√2e 1/√2e (8) y0= 1− 2 cos 2x より 0 5 x 5 π では x = π/6, 5π/6 で y0= 0 x 0 · · · π/6 · · · 5π/6 · · · π y0 − 0 + 0 − y 0 & 極小値 % 極大値 & π 極値 π/6−√3/2 5π/6 +√3/2

(9) y0= log x + 1より x = 1/e で y0 = 0 ( lim

x_→+0x log x = 0に注意) x 0 · · · 1/e · · · y0 × − 0 + y × & 極小値 % 極値 × −1/e (x = 1で y = 0) (1)-(9)のグラフ -4 -2 0 2 4 6 8 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 (1),(2),(3)
  (1) (2) 0 (3) -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 "(4),(5)
  " (4) (5) 0 3

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 "(6),(7) (7) (6) 0 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 "(8),(9) (9) (8) 0 2 (1)変曲点 x =−1/√6, 1/√6 (2) 変曲点 x =−1/√2, 1/√2 第７章 不定積分の問題 次の不定積分を計算せよ. (1) ∫(2x3− 3x + 3)dx (2) ∫ _s+12 ds (3) ∫(t− cos 2t)dt (4) ∫ _1+3x2 dx (5) ∫ _1+tt dt (6) ∫(√x− 2 sin 3x + e−2x)dx (7) ∫ _1+eexxdx (8) ∫ _x x2₊₃dx (9) ∫ x sin xdx (10) ∫ _x22₋₁dx (11) ∫ x2_e−x_{dx (12)} ∫ 1 x log xdx (13) ∫ x tan−1xdx (14) ∫ √(x− a)(b − x)dx (a < b) 不定積分の略解 答の不定積分を I で，積分定数を C で表す. (1) I =1₂x4−3₂x2+ 3x + C (2) I = 2 log|s + 1| + C (3) I =1₂(t2_{− sin 2t) + C (4) I =} 2 3log|1 + 3x| + C (5) t 1+t = 1− 1 1+t より I = t− log |1 + t| + C (6) I = 2 √ x3 3 + 2 3cos 3x− 1 2e−2x+ C (7) t = ex_{と置換すると I = log(1 + e}x_{) + C (8) I =}1 2log(x 2_{+ 3) + C}

(9) I =∫ x(− cos x)0dx =−x cos x +∫ cos xdx =−x cos x + sin x + C (10) _x22₋₁ =

1 x−1−

1

x+1より I = log|x − 1| − log |x + 1| + C = log | x₋₁

x+1| + C

(11) I =∫ x2(−e−x)0dx =−x2e−x+ 2∫xe−xdx = (−x2− 2x − 2)e−x+ C (12) t = log x, dt = 1_xdxと置換し I =∫ 1_tdt = log|t| + C = log | log x| + C

(13) I = 1₂(x2tan−1x + tan−1x− x) + C (14) √(x− a)(b − x) =

√ (b−a₂ )2− (x −a+b 2 )2より，I = 1 2{(x − a+b 2 ) √ (x− a)(b − x) + (b−a₂ )2_×

sin−1 2_b−a(x−a+b

2 )} + C