素粒子の質量行列の研究

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(1)学位論文. 『素粒子の質量行列の研究』. 兵庫教育大学大学院学校教育研究科教科領域教育専攻自然系コース（理科）. M95614H 竹浦史朗. 主任指導教官指導教官. 佐藤光教授. 佐藤光教授.

(2) 目次. 第1章. 序論. 1. 第2章第1節第2節第3節第4節. ゲージ対称性. 3. 対称性の自発的破れ. 3. 大域的ゲージ対称性の自発的破れ. 4. Higgs機構. 5. 6. 局所SU（2）ゲージ対称性の自発的破れ. 第3章第1節第2節第3節第4節第5節. 標準模型. 9. 電弱相互作用. 9. 第4章第1節第2節第3節第4節. 大統一理論. 第5章第1節第2節第3節. クォーク質量とCKM行列. Higgs揚の選択ゲージボソンの質量フェルミオンの質量. 標準模型：ラグランジアンの最終的な形. 標準模型の長所と短所大統一理論. SU（5）大統一理論もっと大きな大統一理論. クォーク質量. CKM行列実験との比較（最新版）. 11 12 14 16. 17 17 18 21 23 26 26 26 27. 第6章第1節第2節第3節. One parameter modelによる計算. 結果. 30 30 31 32. 第7章. 結論. 38. 謝辞. 39. Appendix A. 40 78. 前提条件計算方法. Appendix B Appendix C References. 114 115.

(3) 第1章. 序論. 物質は原子からできており、原子は中心の原子核と、そのまわりの電子とからできている。原子核は陽子と中性子からできている。陽子と中性子およびこれらの間を行ったりきたりしている中間子は素粒子と呼ばれるものであった。しかし、これらのものも決して“ 素”ではなく、さらに小さな粒子でできていることが明らかになった。その粒子はクォークと呼ばれるものである。. ものごとにはいろいろの段階があり、ある時期、ある立場から見れば“素”であったものが、さらに詳細に調べればより細かいものが見えるのは、歴史が示すとおりである。一時期の素粒子が複合体となるのは当然で驚くにあたらない。しかし、クォークの段階まできて、今までとは少し違った事情となった。原子の場合は、光などを当てると電子が飛び出すし、原子核も壊して、構成子である陽子や中性子をとり出すことができる。しかし、. クォークではそれができない。クォークがどうしても外に出てこないのである。クォークが陽子などの粒子の中に存在することは間違いなく、その分布状況までわかっている。だが、それをたたき出して、1個のクォークという状態をつくりだすことができない。クォ. ークはその電荷が電気素量の1／3という特異な性質を持っているので、存在すればはっきり見分けがっくはずだが、単独のクォークは発見されていない。クォークは核子や中間子の中に閉じ込められているのである。. 実験でわかったことは、色をもった系は単独には存在しない、世界には無色のものだけが存在するということであった。また、1個のクォ・一一一・iクを引き離すと、距離に比例するポ. テンシャルエネルギーが生じる。このことは、ハドロンのレジェ系列が線形であることから導かれている。レジェ系列はかなり大きな角運動量まできれいに線形であるから、ポテンシャルはかなり大きな距離まで直線的に増加することが言える。この先どこまで増加するかは実験的証拠はないが、上がり方が弱まるという徴候は見られない。したがって、クォークは閉じ込められ外に出られない。また、無理矢理大きな力で引き離すと、クォーク、. 反クォークの対が発生し、ハドmン（核子や中間子）となって出てくる（ハドロン化）。これはジェットとして観測される。一方、膠着子（グルーオン）も色をもち、閉じ込められている。クォークとは異質のひもを伴い、やはりハドロン化してジェットをつくる。クォークとグル■一一一一オンを記述する力学は、色を源とする非可換ゲージ理論で量：子色力学と呼ばれる。. 本論文の目的は、この究極の物質粒子であるクォーク質量生成の機構を理論的に明らかにし、大統一理論の信芋粥を実験値との比較によって検討することである。. まず、最初の目的である、クォーク質量生成の理論の概要を述べる。標準模型には. SU（2）。2重項をなすヒッグス場が含まれていて、これが真空期待値を持つことにより対称性を自発的に破り、3つのGo豆dstoneボソンを生成する。これをヒッグス機構によ. 一1一.

(4) って、3つのベクトルボソンW±、zoが吸収し、ゲv一一一一ジボソンが質量を獲得する。ま. た、ビッグス場の自由度は4であるから、残り1つがヒッグス粒子（未発見）となる。一方、フェルミオン（クォ・一一一・ク・レプトン）の質量項がラグランジアンの中に初めから存在. するとすればSU（2）。XU（1）Y対称性があからさまに破れ、くり込み不可能となる。そこで、フェルミオンに質量：を持たせるためにフェルミオンとヒッグス場とのゲージ不変な湯川結合を作り、対称性の自発的破れによってフェルミオンに質量を獲得させる。. 次に、もう一つの目的である大統一理論の信愚性は、第4章の説明及び最新の実験値と第6章の計算の結果との比較から判断していきたいと思う。本論文は、以下の構成になっている。. 第2章. 「ゲージ対称性」では、対称性の自発的破れとHiggs機構について述べる。. 第3章. 「標準模型」では、フェルミオン質量獲得の機構について述べる。. 第4章. 「大統一理論」では、標準模型の長所・短所、くり込み群方程式、最小SU（5）模型や超対称最小SU（5）模型について説明する。. 第5章. 「クォーク質量とCKM行列」では、湯川行列から質量を導く過程をまとめ、CKM行列では最新の値を載せた。. 第6章. 「One parameter modelの計算」では、実際に、湯川行列とくり込み群方程式からクォーク質量を計算し、実験値と比較してみた。. 第7章. 「結論Gでは、本論文のまとめをする。. また、Appendix Aには宗像のプログラムを、 Appendix Bには第6章で使用した新しい. プログラムを載せている。Appendix Cには、くり込み群方程式（4．9）に、第6章の計算で求めた最適なg−GUTの値（0．720）を代入し、（4．10a）、（4．10b）、（4． 10c）を使って大統一理論のグラフを作成した。. 一2一.

(5) ゲージ対称性. 第2章. 第1節対称性の自発的破れラグランジアン. ￡≡T−V−t（∂p・￠）・一t・・φ・＋tiφ・. （2・・）. で記述されるスカラー粒子だけからなる世界を考える。ここでλ＞0とし、￡はφを一φ. に変える対称変換に対して不変であるとする。Vをφのべキに展開して、対称性で許される最初の2項だけとれば十分である。ポテンシャルの2つの可能な形が図①に示してある。. （a）はμ2＞0で質量μのスカラー場を表す。 φ4項は、結合定数λの4粒子相互作用が存在することを示す。. その可能性を本当に探りたいのは、図①の（b）μ2のく0の場合である。 φ2項と. 運動エネルギーTの相対符号は正だから、ラグランジアン（2．1）の質量項の符号は正もしくない。（a）の場合と違い、（b）の場合はポテンシャルは2つの最小を持つ。それは、. 旦一φ（。・＋λφ・）一。 ∂φ. 1. を満足するから、. φ一±v， v一》〔苅. （2．2）. で最小になる。摂動計算は、古典的な最小値φ＝ vまたはφ＝一vのまわりの展開である。そこで、. ￠（x）＝v 十n（x）（2． 3）と書けば、η（x）はこの最小値のまわりの量子的ゆらぎである。（2．. 3）を（2．1）に. 代入すれば、. ￡’ ＝一1｝（o，n）2−xv2n2−ivn3一一1−in4＋const. 2 i F一・r ’ ’. （2． 4）. 4. を得る。. v. O. ip. （b）. （al ’. 図①. 一3b.

(6) 場ηは正しい符号の質量項を持った。￡！のはじめの2項と￡” ＝＝一1一（op￠）（a”￠）一一一1一 m2￠2. 2 ’. 一. 2. を等置して. m，＝：V−IE一；［”5−E ＝一V’＝li−luilP5 （2・ 5）となる。こうして、スカラー粒子が質量を獲得する。第2節大域的ゲ・一一一・Lジ対称性の自発的破れ. スカラー一一一場φ＝（φ・＋iφ2）／Gに対して前節の手続きを繰り返すと、ラグランジアンは￡＝（a．￠）＊（ op di ）一 pt 2￠＊￠一A （￠＊￠）2 （2． 6）. となり、これは変換φ→eiaφに対して不変である。前と同様、λ＞0かつμ2〈0 の場合を考えて（2．6）を書き直す：￡＝＝一ll一（Op￠i）2＋一llm （O．￠2）2一一ll一 pt 2（￠i2＋￠22）一’ll一 Z（￠i2＋￠22）2. ポテンシャルV（φ）を最小にするφの値は、φ、一φ2平面内で. φ12十φ22＝・v2 、ここで. v2＝一μ2／λ. （2．7）. ＞sc ．を満足する半径vの円周上にある（図②参照）。. 再び、場をエネルギー最小の位置まで平行移動して、（2．6）に φ（x）＝》「rフ7喜［v＋η（x）＋iξ（x）］. （2・ 8）. 1. を代入して、￡を真空のまわりに展開してηとξで表せば￡’一⊥（∂．ξ）・＋一！（∂Pη）・＋。・η・＋（定獺）＋（，，ξに関して3、4次の項）. 2 一 ”” 2 レ（φ｝. （2． 9）. φ2. ei ξ一、. 1 、. 一一 η. 、「. @ ，’＿一. ｼ径γをもつ極小値の円. 図②. 一4一.

(7) を得る。第3項はη場の質量項である。こうして前と同様、ηの質量はη＝》＝旋となる（（2．5）参照）。￡ノの第1項はξ場の運動エネルギーを表すが、ξ場の質量項はない。すなわち、この理論は質量0のスカラー場ξを含んでいる。これがGoldstone ボソンである。. 第3節Higgs機i構i U（1）ゲージ対称性では、第一にラグランジアン（2．6）をU（1）局所ゲージ変換￠一etct（x）￠. （2． 1 O）. に対して不変にしなければならない。それには、∂、を共変微分 D．＝＝ O，一ie A．. で置き換えればよい。ただし、ゲージ場は次のように変換する。. 1 AnAge十一 O ge a e. （2． 1 1）. したがって、ゲージ不変なラグランジアンは￡＝（ O ”＋i e A”）￠＊（ O ．一ie A，）￠一 pt 2￠“￠一Z（￠’￠）2−t F．．F”V. （2． 1 2）. となり、Pt 2＞0ならば、（自己相互作用項φ4は別として）質量μの荷電スカラー粒子に対するQEDラグランジアンである。ここでは、対称性の自発的な破れによって質量を生み出すのだから、 μ2〈0ととる。場φを本当の基底状態へ平行移動するという手順を繰り返す。（2．8）を（2．12）に代入すると￡’ ＝＝一ly（o．e）2＋一li（o．n）2−v2xn2＋一llr e 2 v 2A．A”. 2. 2’ ’H ’ 2. 1 （2． 1 3） evA、∂〃ξ一一F。．Fμγ＋相互作用 4 となる。￡ノに含まれる粒子のスペクトルは、質量：0のGoldstoneボソンξ、質量を持っ. たスカラー粒子η、さらに重いベクトル粒子A、である。実際、（2．13）から V（￠）＝u2 of ￠十A（￠t￠）2. を得る（（2．1）参照）。こうしてゲージ場の質量：が生成されたが、依然として、質量を持. たないGoldstoneボソンが出現する。そこで、手がかりの1つとして、ξの最低次で di ＝V’ 1；（v＋n＋ie）＃ V’ llr（v＋n）eie／v （2． i4）. が成り立つことを使い、これから、元のラグランジアン（2．12）の変数を、異なる1. 組の実数場h，θ，A、によって￠一一． V’；1；（v＋h（x））eie （x）／v ， A．一一＞Apt ＋一s11Tt O ge e （2． i s）. 一5一.

(8) と置き換える。これは、hが実数になるようにθ（x）を選んで、特別のゲージを1つ決めたことになる。従って、理論はθ（x）には関係しないと考える。実際、ラグランジアンは. ￡〃一一！（∂．h）・一λ。・h・＋⊥。・v・A。2一λ。h・ユλh・. 2. 2. r 4. （2． 1 6）. 1 ． L ．． A． 1 ＋一ill’ e 2Ap2h2＋v e 2A．2h−t. Fp．F”v. となる。ラグランジアンは、相互作用する2つの質量を持った粒子、ベクトルゲージボソ. ン A、とスカラー粒子h Higgs粒子. だけを含むことになった。欲しくな. い質量0のGoldstoneボソンは、質量を持ったゲージ粒子になった。これを｝丑ggs機構という。. 第4節局所SU（2）ゲージ対称性の自発的破れ次のラグランジアンを考えよう。￡＝（∂μφ）†（∂μφ）一μ2φ†φ一一一一λ（φ†φ）2. （2．17）. ここでφは複：素スカラー場のSU（2）2重項である。. φ。 1. φi十iφ2. φ謳，＝万φ・＋iφ・. （…8）. ￡は大局的SU（2）位相変換 φ→φ，＝eiαa㌔／2φ. （2。 19）. に対して不変である。. ￡を局所SU（2）不変、つまりα→α（x）にするために、 ∂、を共変微分. ロ. D・＝∂・＋ig万W・＆. （2・2・）. で置き換える。ここで3つのゲージ場W、a（x）（a ・・1，2，3）が新たに登場した。. 無限小ゲージ変換 φ（x）→φノ（x）＝［1十iαa（x）τa／2コφ（x）. （2。21）. に対して、3つのゲージ場は次のように変換する。. w。→w．＿−∂．a−axw、（2． 2 2） 9 WはSU（2）ベクトルだから、 Ct×W W、v＝∂。Wv一∂。W，一gW、×W．の項が現れる。aがxに無関係であっても、これは“回転”を表す。するとゲージ不変なラグランジアンは. 1 ltl ．．．一 1 ￡＝∂・φ＋i・ア耐・φ∂〃φ＋ig万℃’Wμφ. 一v（￠）一Ellw．．w”’ （2． 23） 4. −6一.

(9) となる。ここで. V（￠）＝IL 2￠t￠十 A．（￠t￠）2 （2． 24）であり、. W”v‘＝OpWv−6vW”一gWpXWv （2・25）と書いて、ゲージ場の運動エネルギー項を加えてある。. 興味があるのは、 μ2〈0かつλ＞0の場合である。（2．24）のポテンシャルV（φ）は、ある有限のiφ【の値で最小になるが、その1φ1は￠t￠：ii 一ll一（￠，2＋￠，2＋￠，2＋￠，2）E一一SLiel （2． 26）. で与えられる。V（φ）が最小になる点の作る多様体は、 SU（2）変換に対して不変である。. φ（x）をある特定の最小値のまわりで展開しなければならない。例えば、それを￠i＝￠2＝＝￠，＝ O，￠3＝一 pt 2／Z iE v 2 （2． 27）と選ぶことができる。このことは、SU（2）対称性の自発的破れと同等の効果を示す。さて、φ（x）をこの特定の真空. ￠，＝：vf；（g］（2． 2 s）のまわりで展開する。ゲージ不変性によって、展開. ￠（x＞＝＝ V’；；［．＋g（．））（2． 2g）をラグランジアン（2．23）に代入すれば、求める結果が得られる。すなわち、4つのスカラー一一・場の中で残るのは（Higgs場）h（x）だけである。ここで、（2．15）との類似. を進めて、真空φ。のまわりのゆらぎを o. ￠（x）＝eiT’e（x）／vl v＋h（x）1 （2． 30）侮を用いて、4っの実数場θ、sθ2，θ3およびhで表す。これが一般的であるために、小さい摂動を調べてみると、 φ（X）≒. ^総総1）／V’（1＝甑翫＋1（x）. ≒傷舘1δ、. （2． 3 1）. を得る。4つの場が確かに独立で、真空φ。からのずれが完全にθ，とhで表されて一7一.

(10) いる。したがって、（2．30）中の3つの（質量0のGoldstoneボソン） ③（x）場をゲージ化することができ、ラグランジアンにはθ（x）の痕跡は消えて（2．29）の結果が得られる。. 生成されたゲージボソンW。aの質量を決定するには、（2．28）のφ。をラグランジアンに代入する。（2．23）の中で関係する項は 1. igTT’W．￠ 2. 2. 92. Wp 3 W”i−iWp2. 8. w．1十iw．2 w．3. 一9v 8. o. 2. m（Wの・＋（W。2）・＋（W．3）・］. である。ここで1i2は Otoの略記である。これを通常の質量：項M2B。2／2 と比較すれば、M＝gv／2となる。すなわち、このラグランジアンは3個の質量を持ったゲージ場と、1個の質量を持ったスカラー場hを記述する。Higgs機構のおかげで質量 0の粒子を避けることができた。だが、基本的な問題は、弱ボソンの質量を生成することだけでなく、理論の中に組み込んで、なおかつ、くり込み可能性を保たなければならない。. その証明は、1971年’tHooftによって完全になされた。. 一8一.

(11) 第3章. 標準模型. 第1節電弱相互作用電磁相互作用の振幅（一iM）は、相互作用. Qe ＝一1， Qu ：十2／3 （3・ 1）を用いて計算できた。ここで、Qは荷電演算子（電子に対する固有値一1）である。この相互作用は、自由なフェルミオンのラグランジアン￡＝￠（i7”O．一一M）￠. が、局所ゲージ（位相）変換 ψ→ψ，＝eエα（x）Qψ. （3． 2）. に対して不変であるという要求から出てくる。実際、局所ゲージ不変性を主張すれば、ラグランジアンは. 一．．. 一 1. ￡＝＝￠（iy”O．一m） ip 一e ￠ y”Q￠A．一lii一 F．．F”V （3・ 3）. となる。. 今回、クォーク場、レプトン場を全て取り入れるには、電荷保存を保証しなければなら. ないから、（3．2）は当然Qが入る。したがって、電磁相互作用はQ。＝一1，. Q。＝＋2／3 のように関与する場の電荷に比例する。弱い相互作用による過程を含む理論を定式化するには、（3．1）を2っの基本的相互作用で置き換えなければならない。第一は、3つのベクトルボソンWμと相互作用する 3重項の弱カレント」μ. 一igJ．・w”＝一ig−5Jr，y．r・wpx． su（2）．（3・ 4）であり、第二は、第4番目のベクトルボソンBμと相互作用するハイパ・一一一一荷カレント一ie j ．yB” ＝＝一i g’ 一i；u 7．一lliL th Bp u（ o．（3・ s）. である。演算子TとYは、それぞれゲ・・一一一ジ変換群SU（2）、およびU（1）yの生成演算子である。これらを一緒にすると、ψの左成分と右成分に対するSU（2）×U（1）変換は次のようになる。. 一9一.

(12) ／ ia（X）・T十tB（x）Y xL−xL’ ＝e XL. （3． 6）. 〈P R一（1） Rt ＝＝ eiB（x）Y （p R. 左巻きフェルミオンはアイソスピン2重項XLを、右手系フェルミオンはアイソスピン1重項ψRを作る。例えば、電子とニュー一一トリノに対しては γ。 XL＝＝ e−L. 1. T＝一. ，Y＝一1. 2. （3．7） T＝O ，Y＝一2. ψR＝e−R. である。ところが、クォークに対しては. ロ x・＝dL〈P R＝＝ U・・d・である。. 電磁相互作用（3．1）は（3．4）と（3。5）の中に埋め込まれる。3つの群の生成演算子は次の関係を満足する。. Y Q・・T3十一 2 したがって、. 1 」。。m＝」。3＋一」。Y. 2. である。つまり、電磁：カレントは、（3．4）、（3．5）に出てくるJ。3及び」。Y という2つの中性カレントの1次結合である。したがって、2つの物理的な中性ゲージ場 A、と Z、は、ゲL一一一Lジ場W、3と B、の1次結合で表され、互いに直交している。ただし、その混合角がθw（Weinberg角）である。したがって、中性カレントの相互作用は、物理的な場を用いて書くことができる。一i g J ．3w3 pt 一i ei j ．yB ．＝一i［ g sin e w J ．s＋ g’ cos e w一11i’LLY ］ A”. 堰mgcosewJ．3一一 gt sinew一！li’LLY ］zp 一一. ie. ［ J ．3−sin2 ew j ．em］ zp ＝＝一ie j ．eMAp 一．．. sin e wcos e w. （3． 8）. 電磁相互作用（3．1）が右辺に現れるという要請が、中間カレント相互作用に特別な性. 質を与え、その結果、結合定数gとgノがeとθwによって次のようになる。. e＝gsinew＝＝g’ cosew 一10一. （3． 9）.

(13) QEDのラグランジアン（3．3）が、 U（1）。m局所ゲージ不変性を課すことによって得られたように、SU（2）×U（1）Y不変な形を要請することにより、電弱相互作用のラグランジアンを得ることができる。例えば、電子・ニュートリノの組に対するラグランジアンは￡＝一5i−7． y p［i o．一一 g 一；T ’ w“ 一一一 g’ ［ ’一一一lle ）B pt ］ zL. ＋一 Zfl. y”［iO．一gi （nt i）B．］eR一一tw．．wpv一一2一 B．vB”’. （3． 1 0）. ここで、（3．7）で与えたハイパー荷Y．＝一1およびYR・＝一一 2を用いた。￡、は、（3．4）および（3．5）で表される弱アイソスピン相互作用とハイパー荷相互作用を含んでいる。最後の2項は、場 W、の運動エネルギーと自己相互作用（（2． 25）参照）、および場B、の運動エネルギーを表す。ただし、B。。i≡∂、B。一∂。B、である。. ゲージ不変性とは、ラグランジアンが各ゲージ群の変換に対して1重項として変換する. ということである。例えば、ゲージ群U（1）emではラグランジアンの中で、場φ、，φ2，…. ，φRの積の項は次のように変換される（（3．2）参照）。. （￠i dS 2’ ’ ’ ￠n）一“， e i”（X）（Qi＋Q2＋’”＋Qn）（￠i￠2．．．￠．）. ゲージ不変性は、ラグランジアンが中性であるべきことを要求する。したがって、 Qi十 Q2十 ’”十 Qn ＝＝ O. （3． 1 1）. が成り立つ。これは電荷保存にほかならない。電子の質量項は一m．一E一 e ＝ ’一m．一5一［一II一（ i 一y s）＋一ll一（ i ＋ y s）1 e. ＝一me（ ER e L＋ ’EIT e R）（3・ 12） e、はアイソスピン2重項、eRは1重項だから、この質量：項はゲージ不変性を破っている。. 第2節 Higgs場の選択 w±と zoが質量を獲得し、光子は質量。のままであるようにHiggs場を定式化する。. これを実現するために4っの実スカラー場φ、を導入し、￡1に次のようなスカラー場に対するSU（2）×U（1）不変なラグランジアンを付け加えなければならない。. 一11一.

(14) Y ） 12 2. ￡2 ：HiO．’gT・W．一g’ ￠1 ’ii｝’B．一V（￠）（3．13）. ここで 1（2≡O†Oの意味である。￡2の構造は2．4節で説明した（（2．23）参照）。一番経済的な選び方は、4つの場を、ハイパー荷Y＝1のアイソスピン2重項にまとめることである。. ￠＋）￠＋＝（￠，＋i￠，）／E φ＝φ・ここでφ・≡（φ、＋iφ、）／E （3・14）実際、これは1967年Weinberg自身が最初にとったものである。これで電弱相互作用の標準（ミニマル）模型が完成する。これが、Weinberg−Salam模型である。. ゲージボソンの質量を生成するために、（2．24）でかつλ＞oとしたHiggsポテンシャルV（φ）を使って、φ（x）の真空期待値φ。を選ぶ。そのうまい選び方は、（2．. 28）の 1 fO ￠oi. 万v. （3．15）. である。. 第3節ゲージボソンの質量. 2．4節と同様に、φ（x）の真空期待値をφ。ラグランジアンに代入して、ゲージボソンの質量を求める。（2．45）で質量に関係する項は. 一・9；・畦・’B・φ一÷熊：喩辞購：証㍗21。12 ㊧?v292［（w．i）2＋（w．2）2］＋一ll−v2（g’ B，一gW．B）（g’ B”一gW3”）：一. ＝［ mll一 v g）2wpt ’w 一”＋一ll v 2（w． 3， B．）［一： 2．， ’ g，，g ’，）（￥￥：”. （3． 1 7）. ここで、w±＝（w1＝FiW2）／万. を用いた。第1項と荷電ボソンの質量項. Mw2W＋W『を比較して 1. Mw＝一ll一 vg ．（3． ls）. が得られる。残りの項はW。3と B、に関して非対角的である。一12一.

(15) ÷・・［・・（W・・）・一299・W・・B・＋…B・2］一kv・［・Wp・一・・B・コ・. 十〇［g’ W．3十gB，］2 （3． 1 9）. （3．17）に現れる2行2列の行列の固有値の1つは0である。それを（3．19）に場の1次結合の形で含めたが、第1項の1次結合とは直交している。さて、物理的な場. Z、と A、は質量行列を対角化する。したがって、（3．19）は一li−Mz2z．2＋一li−MA2A．2. 2 F. 2. と同定しなければならない。ここで1／2は、中性ベクトルボソンの質量項に特有の因子である。場を規格化して. 9／W、3十gB、ここでMA＝0 A．＝. 肝. （3．20）. Z・一9儲Bμこ一一音・門戸（・・2・）が得られる。. gl （3．9）を使うと g. ＝tanew （3． 22）. と書くことができる。 θwを使えば、（3．20）、（3．21）は A．＝＝ cos e w B．十sin e wW．3. （3． 2 3） Z．＝＝一sin e w B．十cos e ww．3. さらに（3．18）、（3．21）を使えば M．. Esil＝cos e w （3．24）. が得られる。. M、≠Mwは W．3と B、の；場が混ざり合うためである。こうして、質量の固有状. 態は、自動的に質量0のA、と質量を持ったZ、の場となり、かつMz＞Mwである。 θw ＝＝Oの極限ではMz＝Mwとなる。（3．24）のMw／M。に対する結果は標準模型（Higgs 2重項を入れた）の予言である。. 1983年、WとZがCERNの反陽子・陽子コライダーで、次のような反応によって発見された。. 一13一.

(16) PP．W’X一一〉（ e ’v ）X. PP．ZOX一〉（e＋e一）X ここで、Xはこの高エネルギー正面衝突で作られたすべての他の粒子を表す。放出された崩壊電子と陽電子の運動量分布を調べて、W、 Zの質量の実験値は. Mw ＝81±2GeV Mz一一93±2GeV となった。これは電荷相互作用の標準模型の予言と驚くほど一致している。. 第4節フェルミオンの質量. 標準模型の魅力的なところは、w±と zoの質量を生成したその同じHiggs 2重項が、レプトンとクォー一一一クにも質量を与えることができるという点である。例えば、電子質. 量を生成するには、ラグランジアンに次のようなSU（2）×U（1）不変な項を取り入れる。￡s＝一Ge［（VI， ’E）L. ￠＋. e。＋孫（φ一，ア）Ve. ￠o. ］（3．31）. e. Higgs 2重項は、まさにe・e・と相互作用できるSU（2）×U（1）の量子数を持っている。対称性を自発的に破って￠＝v” 1；（．＋g（．）. を（3．31）に代入する。中性Higgs場h（x）は、対称性が自発的に破れた後に残ったHiggs 2重項（3．14）の名残りである。他の3つの場はゲ・一一一一ジ化されてしまう（（2．30＞参照）。φを代入すればラグランジアンは次のようになる。￡3 ＝一一fli’：一 v（L5−IJ eR＋一611 e L）一 lk’ 一（’ifli eR＋一E；II eL） h. ここでG。を GeV Me＝E. （3． 3 2）. と選べば、（3．12）を使って、電子の質量が得られる。. ￡，＝＝一m，一5一 e一一！gL’ 一5一 eh （3． 33）. しかし、注意すべき点は、 G。は任意だから、電子質量の実際の値を予言することはできないことである。. クォークの質量も同様にして生成される。ただ1つ新しい点は、クォーク2重項の上の一14一.

(17) 成分に対しても質量を生成しなくてはならないことである。それにはφから新しいMggs 2重項を作らなければならない。. φ・一一i・・φ一一瓢緬破諺∵ （3・34） SU（2）の特別な性質のために、 φcはφと全く同じ変換をする。（ただし、 φcの弱ハイパー荷はφと逆でY＝一1）。したがって、ラグランジアンに対するゲージ不変な寄与を次のように作ることができる。. ￠＋. ￡4＝一Gd（一ii一一El一）L. dR−Gu（一｛li ’Ei一）L. ￠o. 一￠o. UR＋Hermite共役項. ￠一. ここでは、クォーク2重項（u，d）しだけを考えたが、弱い相互作用は（▽， d’）、. 、（c，sノ）L…. などのクォーク2重項にも働く。ダッシュはフレーバーの固有. 状態の1次結合を表す。したがって、クォークのラグランジアンは次のようになる。￡4 ＝mGdij（一iii一，一li−1・］一’ ）L（ Zl；］djR−G．ij（一E一；・，MEI−1・i一’ ）L（一｛￠b−O 1 u」R＋Hermiteiagll」. （3． 3 6）. ここでi，j＝1，2，…. ，Nで、 Nはクォーク2重項の数である。クォークのラグラン. ジアンを対角化すると. ￡4＝一mdi didi. h. 1十一. i＝. 一Mu一 Ut Ul. h. 1十一. （3． 3 7）. この場合も質量は勝手な値がとれる結合定数に依存しているので、理論から予言することができない。. 猛ggs 2重項の最小限の選び方で、ゲージボソン、フェルミオンいずれの質量を生成することもできるが、フェルミオンの質量は、理論に現れる単なるパラメーターであって、. 理論により予言されるものではなく、実験値を入れなければならない。しかし、プラス面では、H：iggsとフェルミオンの相：互作用が、フェルミオンの質量に比例することである。. この予言は、もしthggS粒子が実際に観測されれば、実験的に検証されうるものであるが、まだ発見されていない。. 実効ポテンシャルの最初の2項 V（￠）＝： IL 2￠t￠十 A．（￠t￠）2十… （3． 38）を用いて. mh2＝＝2v2」し. （3．39）. が得られる。vの値は固定できるから、 mhが大きくなればなるほどλの値も大きくな. る。摂動展開が意味を持つとすれば、mhは数百GeVより小さくなる。また、理論. 的な下限としてはmh＞10GeVが得られている。一15一.

(18) MggS粒子は〉フェルミオンとの相互作用の強さが、フェルミオンの質量に比例するという性質を持っているために、実験的にみつけるのは確かに難しい。実験的に最も扱いやすい粒子は軽いフェルミオン（電子、および陽子や中性子内のu、dクォーク）である。これらの粒子とHiggs粒子との相互作用は非常に弱い。もっと重いフェルミオン（τ， c，. b，t）は、 Higgsとは相互作用しやすいが、それらのフェルミオン自身を作るのが難しい。. 第5節標準模型：ラグランジアンの最終的な形標準（Weinberg−salarn）模型のしめくくりとして、完全なラグランジアンの構成要素の1つ1つをまとめて書くと、次のようになる。狽浴E・・ ’ w・ ’一一ll一 B 、，・Bpv撫z’γ噸エネルギーおよび自己相. ￡：一. ＋τγ・i∂・一9が覧一・’歩Lレプトンとク＿クの囎動エネルギー、およびそれら W±. 一 i ． Y ＋RγPi∂。一9，一B、R 2. Z、γとの相互作用. ＋i∂、、．一・か・吼一・・号8。φしV（φ）無二ζ’γ’日ggs o. 一（G1τφR十G2τφcR十Hemite共役項）レプトンおよびクォークの質量と HiggSとの結合（3． 4 0）. Lは左巻きフェルミオン（レプトンまたはクォーク）2重項、Rは右巻きフェルミオン1 重項を表す。. 一16一.

(19) 第4章. 大統一理論. 第1節標準模型の長所と短所長所としては、次の（ア）∼（ウ）がある。. （ア）：電磁相互作用、弱い相互作用、強い相互作用の3つの相互作用について、ゲージ原理に基づいて共通の概念的理解に到達した。（イ）：必然的に生じる新しい粒子を予言し、それらのうちのいくつかは実際に観測された。例えば、荷電W粒子、中性Z粒子、チャームクォL一一一・iク、タウ粒子、ボトムク. オーク、トップクォークなどである。. （ウ）：くり込み可能な理論を構成することに成功したので、量子論での高次効果を系統. 的に求めることが出来るようになった。短所としては、次の（ア）∼（エ）がある。. （ア）：標準模型には、確かにゲージ原理が共通しているが、実は電磁相互作用、弱い相. 互作用、強い相互作用という3つの別々の相互作用に対応して3つのゲージ結合定数が独立に存在している。これらは実験で決めるべきパラメーターで、それらの結合定数の大きさについて理論からは何も手がかりがない。（イ）：自然界に存在する粒子の電荷は、全て単位の量の整数倍になっている。量子力学. で、整数値に値が決まってしまう量の代表的なものは角運動量である。この結果が得られるのは、角運動量の演算子が互いに非可換であるという点に起因している。. 非可換な演算子の交換関係を解くと、角運動量が特定の値の整数倍しかとり得ない. ことが導かれる。すなわち、角運動量演算子の作る群であるSU（2）が非可換群であるということが、角運動量の量子化の原因である。さて、標準模型では、電荷は. 3．1節にある通り. Y 2. Q＝T3十一1−. という関係で与えられている。ここに出てきた演算子のうち、Yは可換群U（1）の無限小演算子である。したがって、この固有値が量子化される必然性がない。（ウ）：クォーク・レプトンの質量、CKM行列の混合角や位相は全て理論のパラメーター. として外から（実験的に決定して）与えなければならない量である。これらのパラメーターを説明する可能性が標準模型には全くない。また、理論的必然性からは世. 一17一.

(20) 代がいくつあっても構わなく、世代の数を決定する論理が標準模型にはない。さらに、世代ごとに質量には大きな差があり、こうした階層的な構造を説明する可能性がない。. （エ）：存在することがわかっている重力相互作用を、統一理論の枠組みの中に取り入れることが全く出来ていない。. 第2節大統一理論標準模型の短所を少しでも改善するためには、ゲージ群が3つの群の直積ではなく、単純な1っの群にまとまっていればよい。この考えにもとづいて1974年にGeorgiとGlashow の提案した理論が大統一理論（Grand Unified Theory）と呼ばれるもので、略してGU’rという。この理論は、短所の（ウ）、（エ）については十分な解決を与えたとは言えないが、（イ）に. 対しては解答を与えている。つまり、単一のゲージ群という考え方に立って、ゲージ群としては非可換群を採用したとしよう。そのとき、電荷も非可換群の無限小変換の演算：子の. 一つとして得られる。したがって、このような電荷はとり得る値（固有値）が離散的となり、電荷の量子化がおこる。. SU（2）×U（1）電弱ゲージ理論は驚くほどよく実験と合った。しかし、短所の（ア）で述. べたように、ゲージ群SU（2）XU（1）は2つの独立なゲージ変換の積である（SU（2）群の結合定数はg、U（1）群はglである。）。したがって、これら2つの結合定数は理論で. 関係づけられているわけではなく、gとgノの比（3．22）は実験的に決めなければならない。. つまり、SU（2）とU（1）のゲージ変換が、もっと大きい変換群Gの中に埋め込まれた場合に限り、gとgノとはゲージ理論によって関係づけることが出来る。形式的に書けば. G）SU（2）XU（1）（4． 1）である。. 群Gの要素である新しい変換が、今まで無関係だったゲージ変換の部分群SU（2）とU（1）を関係づけるのである。したがって、gとgノは、ある数（実際は群GのClebsch 一 Gordan 係数）で関係づけられるが、その値は、tC統一する群”Gの選び方による。. “究極的”理論を求めて、強い相互作用をうまく記述出来るカラーゲージ群SU（3）も. 含む“大統一群”Gが存在すると考えてみると、（4．1）は. GDSU（3）×SU（2）XU（1）. （4． 2）. に拡張される。Gの中のゲージ変換も、電弱相互作用の結合定数g、 gtとカラー結合定. 数 αsとを互いに関係づける。こうして、全ての相互作用が1個の結合定数 9Gだけを持つ大統一理論（GUT）によって記述されるのである。いったんゲージ群Gがみつ. かれば、全ての結合定数は、GUTの結合定数9G とある特別な仕方で関係することになる。. 一18一.

(21) この統一は図③に示してあるが、図ではSU（3）、 SU（2）、 U（1）部分群に関係する結合定数を9t（Q）（i・＝ 3，2，1）と記してある。図からゲージ結合定数は、各. 相互作用に特有の運動量（あるいは1／Q）に依存するということに気づく。非可換群の. 結合定数92（Q）と 9a（Q）は漸近的自由であるが、可換群の結合定数9玉（Q）は、電磁気における普通の電荷遮蔽と同様に、運動量Qが大きくなるにつれて増大してい. く。図からわかるように、ある大きな運動量スケールQ＝・Mxにおいて、3つの結合. 定数は、1個の大統一結合定数9Gに一致する。すなわち、 Q≧Mxでは gi（Q）” gG（Q）. （4． 3）. となり、群Gが結合定数g。の統一相互作用を記述する。QがMx以下になると gエ（Q）は分岐して、現象論的結合定数g、gノおよびα．になっていく。これが. Q≒μ≒10GeVあるいはこのエネルギー領域において、現在、実験で観測されている相互作用を記述するのである。. 慣習的に結合定数を選べば次の関係が得られる。 a ，（ Q）＝＝一｛1−1’i！ U−2（Q）， g（Q）＝＝ g 2（Q）， g’ （Q） ”＝一21一 g i（Q）. （4． 4）. ここで、定数Cは群GのClebsch−Gordan係数である。 O．1. α3，Sこノ‘3，. g. e. ば. ct2， SU｛2）. ↓ al， vO）. o. ac， 6. I． ios ，，：’e｝ルfw. 1，01s. kx. 図③. （3．22）をg、と. 92で表せば. 1 gi（Q）. （4． 5）. 6 一ii一；1 tCIHS一（6i ＝＝ tan e w（Q）. となる。Q≧Mxにおいては、 g、＝g2が成り立つしたがって、 CがWeinberg角 θwを決定する。. 群Gが存在すると仮定すれば、Q≒μで結合定数の現象論的な値を使って、相互作用が. 統一される質量Mxを求めることができる。これができるのは、結合定数9i（Q）の一19一.

(22) Q依存性がゲージ理論によって規定されているからである。例えば、 α。のQ依存性は. as（ pt 2）. as（Q2）．＝ as（ pt 2）. 1十 12z〈33−2nf）log（Q2／pt 2）（4． 6）. で与えられる。（4．4）を用いてαsを g3で置き換えれば、変形をして（4．6）は次のようになる。. 1 1 ，A． d Q g−g，ll（fi−5’2（pt）＝：一gmg，iti：b一，（Q＋2b310gli7’ （4．7）ここで. b，＝＝. li一，一，．一1一一ll一．，一一一ii1 （4・ s）. 3 （4z）2. で、 nfはクォ・一一・一クフレーバーの数である。 Q ・＝ Mxで 93＝92だから、. （4．7）は次式で i＝3とおいたものになっている。. 1 1 Mx ｛i；，SGi−」2（pt）＝＝？．2＋2biiog＝1’i＝“ （4． g）この関係式は、もちろんSU（2）やU（1）の結合定数に対してもそのまま成り立つ。図③. で、3つの結合定数9i（Q）が、それぞれ違った道をたどって9Gに到達しているのは、（4．9）のb、の値が違っているためである。すなわち、. 1 14 b1＝ 3 （4x）2. ＝iL n，1 （4． 10 a） 1 b 2＝：. （4z）2. 22 3. 十b，. （4． 10 b）. 1. b・＝ i4π）・（一11）＋b・. （4． 10 c）. ここでngはフェルミオンの世代の数、 b、は（4．8）にほかならない。実際SU（N）の場合は，. b・一（i，）・卜」ナN＋÷n・］（・．・・）. である。. Mxを求めるには、（4．9）でi＝1，．2，3とおいた3つの式からn、と 9G を消去して、（4．10）を用いて特別な形の1次結合を作る。. 一20一.

(23) C2 gi5十. （1＋c2）. g11，ls一，一一一！L1tZ−gf；一：2一＋，？‘）＝＝2［c2b，＋b，一（1＋c2）b，］leg）llL’. （4． 1 2）. ここで、 9t2・…9t2（μ）である。実際、（4．4）、（3．9）を用いると. c2 ． 1 1 1 1 十r＝一．十”＝：一＝＝一A g12 ’ №Q2 gt 2 ‘ g2 e2. （4． 1 3）. が成り立つ。（4．10）のbjの式を（4．12）に代入すると 1・・讐一2羨1驚き、）［÷一1・＋C・）。1、］. 6z. ［÷一1ま『. 1 1（1十3C2）. （4． 1 4）. μ＝10GeVとすると、α；1／137、およびαs≒0．1はわかっているから、 C2＝5／3 （gとgノを関係づけるSU（5）のClebsch−Gordan係数の値）ととれば. Mx＝5×10’‘GeV （4． 15）という値が得られる。. 厳密にいえばμ≒Mwととるべきだろう。しかし、結合定数の変化はゆっくりしていて、大きさの程度の評価は、μの値として選ぶ通常の質量に敏感に左右されることはな. い。したがって、μ＝10GeVで評価した。 Weinberg角θwは大統一理論によって決定されるから、それを実験値と比較することができる。実際、（4．5）から次の関係が得られる。 sin2 e w＝. gi2（Q）. gt2（Q）十C2922（Q）. （4． 1 5）. もしC2＝・ 5／3にとれば、 Q＝Mxにおいてsin2θw ・3／8となる。ただし、 9i・g2とする。しかし、 QがMxから減少するにつれてg、と g2が違ってくるために、Q≒μではsin2θw≒0．23となる（実験値と同じ）。第3節 SU（5）大統一理論前節では、大統一群G G）SU（3）×SU（2）×U（1）が存在すると考えて話を進めた。GeorgiとGlashowは、このようなゲージ変換の最：小の. 群はSU（5）であることを示した。 SU（5）では、無限小回転行列は対角成分の和が0になる。荷電演算子はそれらの線形結合になっているはずだから、クォークやレプトンも一 21 一・.

(24) SU（5）の表現として、電荷の和が0にならなければならない。表1のクォークやレプトンの量子数を見ると、左巻きレプトンの電荷の和は（’v L， eL） Q．L十Q．L ＝O−1＝一1. である。これらと足し合わせて電荷0になる粒子としては、右巻きdクォークd。の. 反粒子d。Cを考えると電荷は＋1／3で、カラーが3種類（1，2，3）あるからちょうどよい。荷電共役変換でカイラリティは逆になる。（d．）C＝（dC），. そこで、次のような記法を用いる。（ HEillT，一arllTt ， ’E−1：Tt ）＝（（ d c 1）L，（ d c 2）L，（ d c 3）L）＝＝（（ d c 1），（ d c 2），（ d c s））L. 誤解を避けるために、できるだけ反粒子は上付きのCをつけて表し、カイラリティの記号. を（）の外側につけることにする。ただし、添え字に使うときはdCのような上付きのCという記号のかわりにπとバーをつけて表すことにする。 1 ．11 3 3 3. Q7Li十QT，2十Qi，，＝＝十一i一十一f一十一1一＝＝十 1. となる。SU（5）の最も基本的な表現は5次元表現である。右巻きdクォークの反粒子と. 左巻きレプトンをひとまとめ1こして、この5次元表現の複素共役表現5＊と考えることにする。. 素粒子の構成要素とその量子数・名称. バリオン数. スピン. B. レプトン数電荷. L. Q. クォーク u（アップ）. 1／2. 1／3. o. ＋2／3. d（ダウン）. 1／2. 1／3. o. −1／3. 1／2. 0. 1. −1. 1／2. e. 1. 0. γ（光子）. 1. o. 0. W土，Z（弱ボソン）. 1. o. 0. 9i（i＝1，…，8グルーオン）. 1. o. 0. レプトン e（電子）り（ニコ．一トリノ）. ゲージボソン 0 ±1，0. 0. 表1 （p j＝（（ diR）C，（d2R）C，（d3R）C， e L，一 ’v L）. ．．（（ dCl）L，（dC2）L，（dCS）L， e L，一V L）. ＝（dcl， dC2， dC3， e，一v）L. 5’表現多重項全体が左巻きの粒子なので、そのような場合は外側にカイラリティの記号をつけることにする。ここで左巻きレプトンはアイソスピンの第2軸の周りに180度一22一.

(25) 回転して定義した。上付きの添え字iは5＊表現のインデックスで1，… ，5を走る。. SU（5）の表現として5行5列の反対称表現である10次元表現が使える。. O （U 3R）C. 一（U2R）C 一UIL 一一dlL. ’（U3R）C O （UIR）C x三」＝. （U2R）C 一（UIR）C O. 一u2L 一d2L −u3L 一d3L. UIL U2L U3L. O. dlL d2． d3L. eL＋ O. −eL＋. o uC3 一uC2 一ul 一一dl 一．. 浮RC o ucl. 一一. 浮Q 一d2. uC2 一uCl o. −u3 一一 d3. Ul U2 U3. 0. dユ d2. e“ O. d3. −e＋. このように、5＊表現と10次元表現の中にクォークとレプトンはうまくあてはまる。観測されているクォークとレプトンが観測されている通りの量子数で埋め込まれていて、. 余る粒子も足りない粒子もない。したがって、SU（5）の大統一理論は、最小の群で、クォークとレプトンをまとめ上げることのできる理論である。SU（5）ゲージ対称性を破る. ためには5次元と24次元のビッグス粒子があればよい。ヒッグス粒子としてこれらだ. けで、クォーク・レプトンとしては1世代にっき 5＊表現と10次元表現だけを入れたものが最小の大統一理論となる。この模型を艦小SU⊂5D模型という。. 第4節もっと大きな大統一理論 SU（5）以外にも様々な大統一理論の模型を作ることができるが、大きな群ほど多くのパラメーターを含むという欠点を持つ。その中で、SU（5）を含む群で最も小さいものど. して考えられるのが10次元空間の直交回転軸SO（10）である。この群がよいのは、. 16次元表現という表現があって、クォークやレプトンの1世代を全部まとめて1っの表現に入れてしまうことができる点である。. 標準模型では、1世代のクォーク・レプトンは15個ある。 dl， dz， dg， ul， uz， u2， d蓋， d農， d畏， u長， u護， u畏，. vLe eLp eR. これに対して、SO（10）の16次元表現は、1つだけ粒子が余分である。その粒子の量子数を見ると、ちょうどニュートリノと同じ量子数で、カイラリティだけが逆である。したがって、この粒子を右巻き二＝一トリノ’v・Rと考える。. この粒子は、今のところ観測されていないが、大変相互作用しにくいことを考えれば実験事実に矛盾しているわけではない。むしろ、こうした粒子が存在すると考えればニュー一23一.

(26) トリノについていままで謎とされてきた問題に解決を与える可能性がある。また、ニュートリノの質量は、現在までの実験精度では0である。もし、質量があれば右巻きニュートリノも存在することになっている。さらに、ニュートリノに質量があった場合、宇宙の未来像（再び重力によって収縮するか、永遠に膨張を続けるか）に影響を与えるダークマターの30％を担っている可能性がある。［18】. 超対称性の特徴超対称性を用いた大統一理論では、全ての粒子には統計性の異なる相棒があることになる。例えば、クォ・一一一一クやレプトンのようなスピン1／2の粒子はフェルミ統計に従うから、. 対応する粒子はスピン0のスカラー粒子である。ただし、自由度の数が一致するためにはスカラー粒子も2つなければならない。超対称性（supersymmetry）の相棒は、 quarkに対一してsquarkのように頭文字のsを先頭につけて名付ける習慣になっている。. クォーク q ⇔ スクオークすゲージ粒子の揚合は、ベクトル粒子でポーズ統計に従うから、対応する粒子はスピン1. ／2の粒子である。質量0のベクトル粒子にはヘリシティが±1の2つの状態がある。スピン1／2粒子には右巻きと左巻きの2つの状態があってちょうど自由度が一致する。ただし、ゲージ場は実場であって、複素場ではないので、スピン1／2粒子も実場になる必要がある。そのため、粒子と反粒子とが同一粒子となるから、通常のディラック粒子と比べて自由度は半分になる。フェルミ粒子であるニュートリノなどの呼び方に習って、ゲージ粒子の相棒のスピン1／2粒子をゲージーノなどと呼んでいる。. ゲbUジ粒子W， Z，A，… ⇔ ゲージーノW，Z，A，… 超対称性を取り入れた大統一模型の一般的特徴をいくつかあげると、（ア）：超対称模型では、大統一が起こるエネ！レギー・スケールが大きくなる傾向がある。. （イ）：ゲージ粒子以外は全て漸近的自由性を破る傾向をもっている。したがって、新た. に付け加えた超対称の相棒は全て漸近的自由を減らす方向に働く。その結果、超対称性を取り入れた模型では大統一での結合定数が一般に大きくなる。（ウ）：超対称性は対称性の制限が強いために、同じビッグス場の反粒子を用いることが. できない。そのため、今までよりも余分にビッグス場を導入することが必要である。面対称量感SU｛5》模型はそのような粒子構成からできている。（エ）：超対称大統一模型では、理論の対称性からくる制約が強いために低エネルギV一一一・で. ビッグススカラーポテンシャルの形に制限がある。そのため、ヒッグススカラーがゲージ対称性を自発的に破るように、ポテンシャルを自由に調整するわけには行かない。. 一24一.

(27) となる。短所としては、標準模型と同じように重力相互作用を統一していないことであるが、長所としては、実際の現象とよく一致することである。. 近年の高エネルギー精密実験の発展はめざましく、Weinberg角（弱い相互作用の混合角）θwの精度は桁違いに向上した。この結果、大統一理論のエネルギー・スケールそのものに到達しなくても、低エネルギーでの予言を精密にテストすることによって、様々の模型の良し悪しを判定できるようになってきた。その例として、低エネルギーでの実験結. 果から、最小SU（5）模型で高エネルギーに外挿した場合の有効結合定数の走り方を図④. に示した。それを見ると、3つの結合定数は1回忌交わっていない。もし、1点で交わるという条件で高エネルギーから走らせれば、低エネルギーでのWeinberg角sin2θwの実験データと矛盾する。このように、かっては誤差の範囲で相当よい一致を示していた最小SU（5）模型の予言が詳しく調べてみると不十分であることがわかった。これに対して、超対称性を取り入れると有効結合定数の走り方が異なってくる。超対称. 最小SU（5）模型で、上の場合と全く同様に低エネルギー結合定数から高エネルギーへ走らせた結果が図⑤である。この場合はみごとに高エネルギーで3っの結合定数が一致している。このように、近年の実験事実は間接的ではあるが、超対称模型を強く支持している。. ：．. 著・・. Tti一 60. 標準模型：. 超対称模型：. 91年全世界データ平均を用いて. 50. 91年全世界データ平均を用いて. 50. α「量（μ）. ai−i（p）. 40. 40. 30. 30. ．旺1（μ）. a，一 i. 20. ．‘2e. 一／／百巳（μ）. 砥巳（tt）. 10. 10. o. ip）. 20. o. O 2 4 6 8 10 12 14 16 18. O 2 4 6 8 10 12 14 16 18. 10g p IGeVl. 10g p ｛GeVl. 図⑤. 図④. 超対称最小SU（5）模型での有効結合定数. 最小SU（5）模型での有効結合定数の走. り方。高エネルギーへ外挿すると、3つ. の走り方。超対称性があると、高エネル. の結合定数は1点で交わらない。［191. ギーで、3つの結合定数は1点で交わる。［19］. 一25一.

(28) 第5章クォv一一…ク質量とCKM行列第1節クォ・・一一一ク質量. クォーク質量は、湯川結合定数f差回）とビッグス真空期待値vの積である複素行列. M島）＝一v f（i）AB 花. i＝p （u， c， t）， n （d， s， b）. を、双ユニタリー変換によって対角化して得られる。つまりS、Tをユニタリー行列として. StMT＝：Mdiag. のように、対角行列Md‘agに変換できる。対角行列の対角成分はU、 Dタイプのクォーク質量であり、その具体形は. m．O O MVag ．，．. u. O m． 0. Mu， me， mt＞O. 0 0 m七. MdO O Mゴ三ag＝. O m， O. Md， Ms， Mb＞O. O O Mb である。. 第2節 CKM行列一般にN世代の理論を考えよう。（N×N）ユニタリー行列はN2の実パラメーターで表現できる。その場合には2N個のクォーク場があるので全体に共通な位相を除いた（2. N−1）個のクォーク場の再定義に吸収でき、残りのパラメーター数は（N−1）2である。．これは（N×N）直交行列の回転角N（N−1）／2と（N−1）（N−2）／2の位相因子にとれる。2世代の理論ではN＝2のため位相因子がカレントに入る余地がなく、C. Pは破れない。したがって、（V−A）理論の標準模型でCPを破るためには少なくとも N＝3でなければならない。クォ・一一＋クとして（u，d， s）の存在しか知られていないうちから、このことを指摘していたのが、小林一益川理論であった。［12］. 6種類のクォーク模型ではN＝3だからユニタリー行列Vは3個の回転角と1個の位相因子で表現できる。順に1軸、3軸、1軸の順に一θ3，θ、，θ2だけ回転し、その間に位相因子e‘Sを挿入すると、Vは. 一 26 一一.

(29) v＝. 1 0 O. Sl CI O. 1 0 O O l O. O O I. O o 一ei6. O ’S3 C3. 1 0 O. Cl 一Sl O. O C2 一S2. 0 S2 C2 C1. −SIC3. O C3 SS. 一．SIS3. SiC2 CiC2c 3一 s2s 3ei6 cic2s s＋ s2s 3ei6. SiS2 CiS2Cs＋C2s3ei6 cis2s3−c2c3ei6 のようになる。ここでci＝cosθi， si・sinei （i＝1，2，3）である。これをカビボ・小林・益ill行列といい、 CKM行列と略記する。この理論では、 C Pの破れば必. ずsinδに比例していることがわかる。荷電カレント相互作用では行列Vのため世代間の. 遷移が起こる。この場合、カビボカレソトの例にしたがって、通常はUiをそのままにし、 Diが混合した表示がとられる。 V、、＝V。d， V、2＝V。，，・D・V33＝V、bと. 書けば、Diが混合した表示は ’li’ ） r v．， v．， V．b ）C d. ’gl’ 1＝＝1 V．d V．， Vcb ll s. lll’ j 〈Vtd V，， V，，」（b. となり、荷電カレントは」（，十”）＝一｛≡「；＝γμニヨ「三＝十一；；一；＝っノμ一≡≡「三＝十『＝i「17γμ1≡；一≡＝. となる。. 第3節実験との比較（最新版）［5】. CKM行列の各要素は、荷電カレントの関係する独立な弱過程を解析することで原理的には決定できる。そうはいうものの、実験的制約からすべてにわたって満足のいく値が得られているわけではなく、特に。、b、 tクォークの関係する実験値はまだ不確定要素を含む。以下に実験値の現状を簡単に紹介する。（1） IV．dl. この値は最も高い精度で求められている。中性子崩壊とミューオンのβ崩壊を比. 疑して. lv・dト｛9：1認：翻と与えられている。（2） IVusl. 2つの決め方がある。1つは（1）と同様に、例えばK｝→πOl−v。など荷電K中間子のセミ・レプトン崩壊を用いる方法で、もう1つはハイペロンの非レプ一27一.

(30) トン崩壊を用いる方法である。これらの分析には、SU（3）対称性の破れ効果、結. 合様式を決めるパラメーターのF／D値、形状因子効果などの評価が必要とされるが、結果は次のようなものである。 iv．，i＝＝／gl 22 ；；2i．O ’o Oo 03 23. （3） IV．di. 高エネルギー・ニュS一一一一トリノ線を核子に照射して、チャーム粒子を生成する過程. から決められる。この素過程は、γe十d→1＋cであり、核子中のdクォーク分布の知識を使って、CDHS実験グループは IV．，1 ＝＝O． 2241O． 016 を得ている。（4）1V。b1と IV。，1／IV。b1 これらを決定する最も良い方法はBボソン（bi， b ffなど）のセミ．レプト. ン包含崩壊過程B→iv・anythingを調べることである。この崩壊幅は、 Q C. Dの最低次の修正を考慮して r（B一一〉 i T；x）＝一 r（b．c i 一F；）＋r（b一一＞u i V；）. r（b一・IM）一｝V・bl・認、9鑑・一2αき（警2）f副. r（b−ulτ）一W譲、9慧・一2α§（薯2）f割（5． 1）となる。ここで、. g（x）11−8x2十8x6−x8−24x21n x は位相空間因子、f（x）はQCDの修正因子、（f（m．／mb）’v2． 4， f（m．／mb）”一．3． 61）. O． OOI O． 002. a．（mb2）＝：O． 157±. はQCDの結合定数である。実験データに関しては、 Bボソンの寿命が. 0．6×ユO｝i2sec≦τB≦ユ．4×10−i2secの間にあり、分岐比 BR（B 一〉 1 一］」； x）E r（ B． 1 一 JM；x）／r，．，＝（ 1 2． o± o． 7± o． s）o／o. と与えられるので. r（B一一＞1171x）＝BR（B．1Mx）／T．（5・ 2）一28一.

(31) が求められる。. さらに、崩壊レプトンの実験的スペクトルは高いエネルギー成分が少ないので、. その成分に寄与するb→u1『ﾏの過程が抑制されており r（b−u1 IJT）／r（b一“clV）〈o． 04（goo／ecL）（5・ 3）とおさえられる。（5．1）、（5．2）、（5．3）を使えば、. 4．8GeV≦ Mb≦5．2GeVとして o． 036〈lv．，1〈o． 070 1V．bl／IV．bl〈O． 14 が得られる。行列Vがユニタリーであることを使えば、残りの行列要素の絶対値にも制限がつき、全体として O． 9745一一一〇． 9757 O． 219−vO． 224 O． 002−vO． 005 （i V，，1）＝＝1 O． 218・vO． 224 O． 9736 ・vO． 9750 O． 036 tNvO． 046. 0． 004・vO． 014 O． 034・vO． 046 O． 9989−vO． 9993. となる。ここで、上記の数値は各行列要素のとりうる可能な領域を示したもので、. 各行列要素が独立にその範囲の任意の値をとれるわけではなく、ユニタリー性によって制限を受ける。. 一29一.

(32) 第6章One parameter modelによる計算宗像のプログラム“One parameter model from superstring theory”（Appendix A参. 照）を、小山との共同研究により複素数にも対応するように改良し、大統一理論でのクォー一一一. N質量についての計算：（Appendix B参照）をする。（ただし、宗像のプログラムを改. 良しているため10’6G e V以上ではS6（10）が、 1016∼1012GeVではSU SY（超対称性理論）が使われていて、大統一理論を超えるものとなっている。）. 第1節前提条件. 宗像のプログラムは、湯川結合定数（湯川行列）をtype1∼7用意し、第5章の手続きを経て、クォークの質量を求めるものである。また、方程式を走らせるのに、m．. （タウ・レプトン）の質量を1．784GeVと実験値を仮定している。（今回の計算では、. 最新の実験値1．777GeVを使う。）今回は、湯川行列type 1∼5について計算する。湯川行列の具体的な形は、下記に示す。. Yu Yd o V17 x6 o type 1. 万λ・ λ・ o. O O. 0 4Z3 1. I. O 2Z4 0. O 16 o Z6 O 12 0 A2 1. type 2. 0 type 3. O 2Z4 0. 2Z4 2 Z3 413. 2×4 2A3 2 z3. 0 2A3 1. O 2A4 0. 0 》万λ・. O 14 o 万λ・0 1. 22し4 2λ3 4λ3. 0 4Z3 1. 0 》写λ・0 type 4. 》万λ・》写λ・λ・. O Z2 1. 一30一. 21・鞠.

(33) O. o. 214 o 2Z4 2A3 o 0. Z2. 苑z4万. o. type 5. Z4. Z2. Z4. 0. 0. 1. 1. 万. ここでλはsinθcで、θcはカビボ角である。大きさは。．23程度である。第2節計算方法（1）宗像のプログラムは、最初にクォーク質量の最大値（mtop）と統一スケールでの結合定数（g−GUT）を与えて質量計を求めるもので、そのことにヒントを得て、. 全てのクォーク質量（実験誤差の範囲）にあてはまる、mtopとg−GUTとλの値を探すことにした。実験値. クォーク. 5∼15. m“. MeV. ms. 100∼300MeV. mb. 4．1∼4．5 GeV. mu. 2∼8. MeV. n■c. 1．0∼1．6 GeV. mt. 168∼192 GeV. その結果は、mtopの値による影響はなく、 g−GUTとλの適正範囲を求めることができた。ところが、そのg−GUTとλの値ではg（1）、 g（2）、 g（3）の値が実験値と一致しない。. ’. （2）そこで、最新実験［5］によるg（1）、g（2）、 g（3）の様々な値の範囲の中で、一. 番広いところ使い、 g（1）、g（2）、 g（3）の全てが適正範囲に入る時のg−GUT. とλの範囲を求め、その時、求められたクォーク質量が実験値と一番近くなるところを最小二乗法によって探すことにした。最小二乗法の式を書くと、 s ＝＝. O． Ol−m，. O． 005. 2. 十. O． 2−m． O． 1. 一31一. 2. 十. 4． 3−m， O． 2. 2.

(34) 十. O． 005−m． O． 003. 2. 1． 3−mc. 十. 2. 十. 180−m，. 2. 12. O． 3. となる。また、md等のクォーク質量の単位はGeVである。第3節結果（α1、α2、α3は微細構造定数を、V1、 V2は真空期待値を表す。 g（1）∼g（3）の前の0は、値が実験誤差の範囲に入っていることを表す。 me、 mμ、mτは、それぞれ電子、ミュー粒子、タウ粒子の質量を表す。）. ＠ type ＝一 1. mtop ＝. lso．ooooooooooo G e v. g−GUT 一＝. O．72000002861023. z 一一. 0．23800000032783. o g（1）一＝. O．46849103757769. o g（2）一. 0．67165209056685. 〇 g（3）＝. 1．3071727967250. ［Y u］. o．ooooooo. o．ooooooo. O．OOO4935. O．OOO4934. o．ooooooo. 0．0061595. −O．OOOOO I 7. o．ooooooo. −O．OOOO217. O．OOOOOOO 一〇．OOOO529. o．ooooooo. 0．OOOOOOO 一〇．0085985. o．oooeooo. 0．OOOOOOO I D345511. o．ooooooo. o．ooooooo 一e．ooo24go. o．ooooooo. ［Y d］一〇．OOOOO 19 0．Ol 1 9874. −O．OOO2582. o．ooooooo o．ooooooo o．ooooooo. al a2 a3. O．0119905 0．0482877 0．0537553. O．OOOOOOO O．0622055. o．ooooooo. 0．OOOOOOO I D148310. o．ooooooo. at t（mz）. 0．0175 O．0359 O．1360. Vl V2. at t（mz）. 4．822103 245．952734. mu o．oo6s3 Gev. mc. IP8 GeV mt. 180 GeV. md. me o．oo427 G e V. o．olo2 G e v. ms. m pt. o．06sl Gev. O．163 G e V. mb. M T. 1．78 GeV. 3．47 GeV 一 32 ．．.

(35) CKM matrix O．9862006. o．ooooooo. O．1654714 O．OOOOOOO. 一〇．0052473. o．ooooooo. −O．1646760. o．ooooooo. O．9837352 O．OOOOOOO. 0．0717414. o．ooooooo. 0．0170332. o．ooooooo. −O．0698873 O．OOOOOOO. 0．9974095. o．ooooooo. s一＠ type 一一. 18．191916391065. 2. mtop ＝. 1so．ooooooooooo G e v. g−GUT 一. O．72000002861023. z ＝＝. 0．24800000032783. o g（1）一. O．46849103757769. 〇 g（2）一. 0．67165209056685. 〇 g（3）一. 1．3071727967250. ［Y u］. o．ooooooo. o．ooooooo. O．OOO4434 O．OOOOOOO. 一〇．OOOO491. o．ooooooo. O．OOO4453. o．ooooooo. −O．0030426 O．OOOOOOO. 0．0682391. o．ooooooo. O．0635896 O．OOOOOOO. 1．0308066. o．ooooooo. 一〇．OOO 1670. o．ooooooo. −ODOOO117. o．ooooooo. ［Y d］. 一〇．OOOOO31. 0．0141524 −O．OOO2314. o．ooooooo o．ooooooo o．ooooooo. al cr2. ev 3. 0D175 O．0359. V1 4．825902. mu o．oo476 G e v mc. 1．26 GeV mt. 180 GeV. O．0141575 O．OOOOOOO O．0561017 O．OOOOOOO O．0301125 O．OOOOOOO. 0．0255547. o．ooooooo. 1．0167905. o．ooooooo. at t（mz）. 0．1360. V2. at t（mz）. 245．952659. md. me. O．O117 GeV. o．oo4s6 G e v. ms. m ll. o．200 Gev mb. aO836 Ge V. 3．47 GeV. 1．78 GeV. M T. 一33一.

(36) CKM matrix O．9559487. o．ooooooo. O．2935264 O．OOOOOOO. 一〇．0020943. o．ooooooo. −O．2933837. o．ooooooo. O．9552074 O．OOOOOOO. −O．0387924. o．ooooooo. −O．0093861. o．ooooooo. O．0376980 O．OOOOOOO. 0．9992451. o．ooooooo. 17．252292992962. s一. ＠ type ＝一. 3. mtop ＝. 1so．oOooooooooo G e V. g−GUT 一. O．72000002861023. z ＝＝. 0．23800000032783. o g（1）一＝. O．46849103757769. o g（2）＝＝. 0．67165209056685. o g（3）一＝. 1．3071727967250. ［Y u］. 一〇．OOOOI53. o．ooooooo. 一〇）OOOOOO I O．OOOOOOO. O．0053483. o．ooooooo. −O．OOOO390. o．ooooooo. O．0061595 O．OOOOOOO. −O．0085985. o．ooooooo. 0．0046943. o．ooooooo. −O．OOOO217 O．OOOOOOO. 1．0345299. o．ooooooo. ［Y d］一〇．OOOOO 17. QO119874. o．ooooooo o．oeooooo. −O．OOO2582. o．ooooooo. or 1 a 2. a3. 0．0175 O．0359. 0．1360. V1 4．822105. mu. O．00688 GeV mc 1．07 G e V mt. 180 GeV. V2. O．O119531 ODOOOOOO O．0482880 O．OOOOOOO O．0537517 O．OOOOOOO. 一〇．OOO9571. o．ooooooo. 0．0622056. o．ooooooo. 1D148312. o．ooooooo. at t（mz）. at t（mz）. 245．952734. md. me. O．00427 GeV. o．olo2 Gev ms. m” o．06sl G e v. O． 163 G e V. mb. M T. 3．47 GeV. 1．78 GeV. 一34一.

(37) CKM matrix O．9699162. o．ooooooo. O．2433782 O．OOOOOOO. 一〇．0054439. o．ooooooo. −02423715. o．ooooooo. O．9675133 O．OOOOOOO. 0．0719311. o．ooooooo. 0．0227735. o．ooooooo. −O．0684477 O．OOOOOOO. 0．9973947. o．ooooooo. n．OOOOI15. o．ooooooo. 0．0648906. o．ooooooo. s一＠ type ＝. 18．243175748496. 4. mtop ＝. lso．ooooooooooo G e v. g−GUT ＝. O．72000002861023. z ＝一. 0．23399999490380. o g（1）一. O．46849103757769. 〇 g（2）一. 0．67165209056685. 〇 g（3）一. 1．3071727967250. ［Y u］. o．ooooooo. o．ooooooo. O．OOO4445 O．OOOOOOO. O．OOO4446. o．ooooooo. O．0077558 O．OOOOOOO. −O．OOOOO97. ny−. o．ooooooo. O．0563875 O．OOOOOOO. 1．0314705. o．ooooooo. o．ooooooo. O．O112340 O．OOOOOOO. 一〇．OOOOOO4. o．ooooooo. ［Y d］一〇．OOOOO 17. 0．O112287 −O．OOOO412. o．ooooooo o．ooooooo. al a2. or 3. 0．0175 O．0359. V1 4．825560. mu o．oosll G e v mc. Q737 Ge V mt. 180 GeV. O．0479844 O．OOOOOOO. −O．0085774. −O．OOO 1760 O．OOOOOOO. 1．0177407. o，ooooooo o．ooooooo. at t（mz）. 0．1360. V2. at t（mz）. 245．952666 md. me o．oo3s6 G e v. o．ooss3 Gev. mu. ms. o．071g G e v. O．172 G e V. mb. M T. 3．47 GeV. 1．78 GeV. 一35一.

(38) CKM matrix O．9933892. o．ooooooo. O．1145550 O．OOOOOOO. O．0074283. −O．1137442. o．ooooooo. O．9909657 O．OOOOOOO. −O．0710584. o．ooooooo. Z．0155013. o．ooooooo. O．0697437 O．OOOOOOO. 0．9974445. o．ooooooo. ・一. s一＠ type 一. o．ooooooo. 21．856888259385. 5. mtop. lso．ooooooooooo G e v. g−GUT. O．72000002861023. z. 0．24400000049174. o g（1）＝＝. O．46849103757769. o gt2．）＝＝. 0．67165209056685. o g（3）＝一. 1．3071727967250. ［Y u］. 一〇．OOOOO91. o．ooooooo. 一〇．OOOIO97 O．OOOOOOO. O．0042143. o．ooooooo. −O．OOOIO91. o．ooooooo. O．0083135 O．OOOOOOO. 0．0499155. o．ooooooo. 0．0036653. O．0433713 O．OOOOOOO. o．ooooooo. 1．0327048. o．ooooooo. 一e．ooosslg. o．ooooooo. ［Y d］. 一〇．OOOOO29. 0．0132727 −O．OOOO375. o．ooooooo o．ooooooo o．ooooooo. al or2. 4．826191. mu O．00647 G e V mc. 1．08 GeV mt. 180 GeV. 0．0000000. 0．0543932 O．OOOOOOO. −O．0066008. −O．OOO1567 O．OOOOOOO. 1．0176175. a3. 0．0175 O．0359. V1. 0つ132751. o．ooooooo o．ooooooo. at t（mz）. 0．1360. V2. at t（mz）. 245．952654. md. me o．oo437 G e v. O．OIO5 G e V. m pa. ms. Oつ818GeV. O．196 GeV mb. M T. 3．47 GeV. 1．78 G e V. 一36一.

(39) CKM matrix O．9629948 O．OOOOOOO O．2694253. O．OOOOooO 一〇．0071357 O．OOOOOOO. −O．2694041 O．OOOOOOO O．9614687. O．OOOOOOO 一〇．0547666 O．0000000. −O．0078947 O．OOOOOOO O．0546624. 0．OOOOOOO O．9984737 O．OOOOOOO. S ＝ 17．88657121 6955. この計算では、湯川行列type 1∼5の違いに関わらずSが最小になるg 一GUT（0．720）は、一定だった。また、Sが最小になるλは、0．234∼0．248の問で推移した。クォーク質. 量については、mbの値を除いてtype 1、2、3、5では全て実験値の範囲に入る。逆にtype4では、実験値：の範囲に入るのはMd、 m、、 m、だけであった。 C KM行列に. ついては、位相を考慮していないせいかtype 2で、適正範囲に入るものが5／9あるだけで、他のtypeではあまり合っていない。この点に関しては、複素数の位相を考慮して計算している小山の結果に期待する。それから、Appendix Cには、くり込み群方程式（4．. 9）に、この計算で求めた最適なg−GUTの値（0．720）を代入し、（4．10a）、（4．. 10b）、（4．10c）を使って大統一理論のグラフを与えた。全体を通して、一品目Sの値が17．2523∼21．8569と大きくなる。しかし、6．2節の（2）の最小二乗法のMbの部分だけ、具体的に計算してみるとtype 1∼5の全ての. mbが、3．47GeVであるから、 4． 3−3． 47 O． 2. 2. ＝1 7． 2225. となり、Sの大部分をmbの部分が占めていることがわかる。仮に、この原因不明の Mbの値の違いを除くと、非常に良く実験値に合う。また、 m。の値を受け入れたとしてもOne parameter model（z）は優れたモデルである。. 一37一.