一定速度及等加速度で蓮轄する線路⑳緩和曲線の一般解
一定速度及等加速度で運轄する線路の
緩和曲線の一般解
1 緒 言
線路の直線部と曲線部の間には緩和曲線を挿入し、
「カソト」と牟径の急変を避けて列車の激動を減少さ
せ、脱線顛覆の危険を免れている。その緩和曲線は直
線から曲線に移る間に徐々に「カソト」をおげると共
に牛径を小さくして一彊の曲線を作るのであるi ：一そ
の緩和曲線の形が不適当なときは「カソト」と遠心力
とが不釣合や「カソト」の急変のために線路や車輌に
激しい振動を起し乗客に不愉快な藁心地を與えるもの
である。その緩和曲線｝±速度と「カソト」の状態によ
つて色々出來るので一定速度又は等加速度で運轄する
線路で「カソト」が例えば距離と共に直線的に増加さ
せるとか、又は車禰の傾きが時間と共に直線的或いは
調和振動的に変化するとカ㌔「カソト」の壇加殊態を
種々與えることにより色々の緩和曲線が得られるもの
である。
2 一定速度叉は等加速度運轄に封ナる
緩和曲線の基本方程式
宇緩和曲線の始点を原点とし直線部の方向をx軸、こ
れに直角の方向をy軸によつて緩和曲線の方程式を
y＝夕＠）＝ao＋a・x＋侮x 2十a3x3＋…………
とする。こXにy（x）はッがエの函線であることを示
し、微分方程式を解くとき巾級数を用いることがある
のでこれも併記した△滋にao、 ah a2、 a3、……など
は巾級数の未定級数で曲線の方程式を定めるものであ
る。曲線は原点を通過しエ軸に劫するからao・・a1 ＝Oと
なり、曲線が原点で0あるからaL）も0となり
γ＝y（鰺＝asx 3＋a4x・4＋…・一…・…・…・・＜1）
となる。（1）をxについて微分すれば
y’ ・y’（x）＝3α3κ2＋4a4・x・ 3＋………（1’）
ツtl ＝＝y” （x） ：＝6a3x十12a4x 2十… 一・・・・・・・・… （1”）
曲線1／Rをxの巾級数で表わすと
1／R・＝ bssc＋b2x2＋E・3xs ＋一…一・…・…一（2）
が＜＜1なるときは（2）式は近似酌に
1／R’≒y t「＝6a3’x十t2a4x2十・・・・・・・・・・・・・・・… （2’）
曲線上を速度vで車靹が走行するとき、遠心力と車輌
若
林
正
の自重との合力が軌道の中心を通過して動的卒衡を保
つためには列車速度と曲線牛径と「hソb」との間に
は吹の関係が必要である。
z＝」三一一吐
9 R
但し Zは「カソト」量、Gは軌間、 gは重量加速度
vは列車速度を示す。
列車の加速度をαとすれば、等加度運動では
α＝0…一………・・・…………一一…………（4）
等加速度運轄による列車速度は
v ・＝αt ＝Vo…… ……… ………（5）
一定速度では
v ＝ Vo ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （5’）
原点からの運轄距離l
l＝＝Vot十αt2／2・・・・… 臥・・… −t・・一・・・・・・・・… （6）
定速度のときには
1＝Vot
原点から緩和曲線上に浩つて任意点P（x、y）迄の
距離は
2
1＝x十〇．9ax5十2a3a・sx6十・・・・・・・・・・・・… （7）
3 、，
’ ＝x 十 lsxs十16x 6十・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （7’）
近似的には
1≒x………・・……・………・…・……・………（7’ノ）
（2）、（3）を（3）に代入すれば
Z＝：G／g×v2｛6a3x十12a4x2十20a5x3
3
＋30a・・4＋（42a・一一Slas）・5＋……（8）
≒ G／9×v2（6a3x）…………・一・・・… …・・（8’）
「カソト」は緩和曲線上のどの点でも急激に変るこ
とはできなく、徐々に変化しなければならない。その
変化状態はxの距離又は1によつて示され、或いは車輌
の通過時間と「カソト」との関係が與えられる。即ち
Z・＝Z（x）＝il ．r十ゴ2エ2十………（9）
叉はZ＝Zα）＝＝ i1 1＋i2 12＋一一・…・・……（10）
或はZ＝Zω＝＝ klt＋k2 12＋………（11）
「カソト」の漸増｝伏態を（9）（10）（11）のいつれ
かによつて與えればその条件により種々の緩和曲線が
T．Wakabayashi
The ge江eral solution of the transition curve
一一
P1一
昭和28年7月
山梨大丁学工学部研i究’報告
第 4 号
出來る訳で、基本方程式（2）∼（8）式と「カソト」
の条件（9）（10）（ユ1）を満足する様な解を求めて、
緩和曲線式の係tWa3、 a4、……を決定すれば緩和曲線
の形状が定まることになる。この様に等加速度蓮鱒を
する線路の緩和曲線二±次の条件式の組合により多数の
種類に分類できる。
（の「カソト」Zは佑，1，叉はτの中のどの函数で示
されるか。．’
（b）「カソト」Zの漸増状態を直線状に、又は拠物
線、三角函数に変化させる。
（の曲率を表わす式を1精密式にするか、又は近似
式にするか。
（の曲線長を近似的にXと等しいと考えられるか
どうか。 、
（の級数の項数の多少により近似程度が異つてく
るo
3 等加速度運動に封する緩和曲線の解法
（の「カソト」がエ座標について定められた場合
Z＝Z（x）＝ilx十i2 x2十i3 x3十……（12）
で定められたときには
（5） より t＝（v−Vo）／α・・・・・・・・・・… 一■・・・… （13）
（6）式に入れて
1＝v2一吐＿．＿．＿．．＿＿………（14）
2α
．◆．v2 ＝ 2α1 十 Vo2 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （15）
i 2
：＝ Vo2十2α （x 十〇．9 a x5十2a3a4x 6十… ）
3
（15）を（8）に代入して
Z＝G／g×｛6a3 Vo2x＋（12a3（α十Vo2）x2十
（20a5 Vo2十24aα4）x3十………（16）
（12）と（16）の係数を比校して係数a3、 a4…を求め
れば緩和曲線の式は
），−6蒜、が＋樗嘉漂・・
＋”°4’ ’3＋4識二29”°甦5＋・…・・（・7）
（ai）その特別な例として「カソト」が直線歌に増
すときには（17）で
Z＝ilx i2＝・i3＝……＝＝ Oとおき
y−
U詩・一蹴…＋鑑，糾・・…く・7’）
（aii）「カント」が二次の弛物線Z＝＝ il X 十i2x2の
場合には
一9一三Lκ3＋鯉02‘2二2幽輌・克4
夕＝＝
12G〃04
6GVo2
＋29笥一謬竺・・＋一…・・……（・7’「）
が得られる。
（の「カソト」が原点からの曲線に浩つての距離t
について定められたとき
Z＝Z（’）＝＝∫1’十ノ212十………（10）
とすれば
2
1 ＝x 十 〇．90 x5十2a3 a4x 6十・・・・・・・・・… （7）
3
（10）式に（7）式を代入すれば
Z＝Z（x）の形式となり前項に帰する。
（C）「カソト」が媛和曲線の始点を衡車輌が通過し
てからの時間に関して定められたとき
Z＝Z（’）＝klt十k2t2十…………一（11）
とすれば（6）より
αt2＋2Vot−21＝0
より
・÷一†巖・雪辮・一……・・く・8）
（i1）に代入すれば
z−le・；エ＋昔（k2−」÷一÷）x2
＋昔（k3一讐＋蒜）糾一一・く・9）
よつて（のの場合に帰するこどができる。
4定速度運轄のための緩和曲線の一般解法
（の「カソト」条件式として（9）式
Z＝Z（x）＝il x＋ゴ2パ＋・…・・が與えられた
ときは（8）式の各項の係数と比較して
・・−a1−・・一・…一壼告
a・一工鵠・肉一2鵠一・…
y−6毛（igx’・＋；・・＋語・4…・・）……（2・）
でありXの小さいときには項数は少くても近似的に差
支なく曲率の関係は近似式でも充分である。（20）式
の第1項のみをとれば最も普通に用いられる3次拗物
線型の緩和曲線となり、第2項迄とすれば「カソト」
を2次拗物線にした場合の緩和曲線となる。
（e）’「カソト」条件式として（10）式
Z＝Z（り＝ノ1＋∫2 12＋一…
が與えられたときは（7）式を代入して1をxにか
える ・
ダ
Z＝＝ノ1 x−十ブ2エ2十∫3κ3十元4貧4十（0．9c3／1十」5）
十・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… ∵・・・・・・・・・・・・・・・・・… （21）
で「カソト」が．で表わされたから（のに帰着した。
（C）「カソト」条件式として（11）式
一12一
一定速度及等加速度で蓮轄する線路の緩和曲線の一一般解
Z＝Z（t）＝＝klt十k2t2一ト・・・・・・・・・…（11）
で與えられたときには（5’）式1＝ votよりt＝1で
VO
あるからこれを（11）式に入れて
z＝z（り＝kil／Vo十k212／Vo2十k313／Vu3十…（22）
で表され（のに帰着する。
（d）無限巾級数を使用せず直接に微分方程式を解
く解法の例として．「カソト」が余弦曲線多伏に変化す
る例を解いて見る。
「カソト」が直線的に変化する場合にはその始点、
終点で上ド方向の運動が急に変化するので滑らかな変
移を破ることになる。これを避けるには緩和曲線の始
点終点で「カソト」が徐々に変化させればよいので、
その一例として、曲線の外側レ・・一ルの「カント」が余
弦函数状態に漸増してe−waの調和蓮動をなす場合を考
察して見よう。（3）式で
Z−−S−一一一X（・一…㌘）一・…一……（23）
とおく。但しRcは圓曲線の牛径、 Lは緩和曲線の全長
を示す。（2’）を（3）に入れると
Z ＝ G／≦「 × v2 ・… 一一一一・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 一… （24）
（23）と（24）とを相等しいとおけばi
St v＝（1−cosπx／L）／Rc・………・・…（25）
（25）をとくと
・一蒜＋よ（i）2（c・・竿・）……（26）
（26）式は「カソト」が余弦函数状に変化する場合の
緩和曲線である。
結 論
一定速度又は等加速度で運鱒する列車に対して「カ
ント」の逓進状態を任意に與えて緩和曲線を求める一一一
般解法を導いた。こXで述べた方法で在來・一一一般に知ら
れたのと異る点は次の通りである。
在來の方法では「カソト」量をX （X座漂）によつて
表わした。こXでは
「カヅト」量を x座標
tl tt l（始点からの距離）
〃 tt t（始点からの運輔時間）
の三瞳で表わした。実際上も「カソト」量をX軸に
あらわすよりもt秒後に「カソト」がどれだけになり、
車彌がどれだけ傾くかという点を注目した方が実際運
輔上、車繭の傾斜や振動を取扱う上から合理的ヂある
と思われる。こXで述べた様に緩和曲線は「カント」
の與え方にょつて色々出來るが、その中最も適当な条
件を選んで緩和曲線を作ることが望ましく、新しい型
の曲線の計算や曲線設置、補正には計算が多少複雑で
も予め表を製作して置けば、どんな曲線でも現在使用
中の三刻勉物線同じ手数で理想的な緩和曲線を與える
ことができるo
文 献
田中 豊 運轄速度の変化を考慮したる場合の緩和
曲線について。
業務班究資料 第20巻36号
沼田政矩・甕 哲司
緩和曲線に就いて。
第7回土木学会講演会
江藤 乱等変速度に適応する全緩和曲線び
土木学会誌 第24魅3号
稻田 隆 鉄道工学。
齋藤 朴鉄道工学。
’13
