<論文>現実事象を幾何学化して問題解決を行う教材の開発―プロジェクターの台形補正機能を題材として―

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(1)現実事象を幾何学化して問題解決を行う教材の開発. 現実事象を幾何学化して問題解決を行う教材の開発 ― プロジェクターの台形補正機能を題材として ― 教育デザインコース数学領域. 花村碧１．研究の背景現実事象を数学化して考えるということは数学教育の. 扱う際にどのような扱い方ができうるのかという点である．. 目標の一つであり，新学習指導要領でもより一層，重要. ③生徒に対する問いの設定，必要な活動とその際使用す. 視されている．しかし，数学的モデリングに関する研究. る教具についての考察を行い，教材の具体化を行う．. が活発に行われている一方で，中学校段階で扱えるよう. ④本研究の知見と今後の課題をまとめる．. な数学的モデリング能力を育成するような教材がまだ少ないことも指摘されている(池田，2010)．. ３．先行研究と教材の分析の観点. そこで本研究では，中学校段階でも扱えるような数学. （１）幾何学化に関わる数学的モデリング能力について. 的モデリングの題材として，島田(1990)が「現実世界につ. 数学的モデリングの過程は，数学化の段階，数学的解. いての専門的な知識はあまりいらない場面を選ぶ必要が. 決の段階，数学的解決を現実世界の場面で解釈する段階，. ある．そのような場面は，後述のように幾何学的な場面. 解決を修正する段階，と段階分けすることができるが(池. に多いであろう」と指摘していることから，比較的取り. 田，2010)，開発する教材はそれぞれの段階でどのような. 扱いやすい幾何光学の分野に焦点を当て教材の開発を行. 力が要求されるかを分析する．本研究では，4 段階のう. うこととした．生徒に比較的なじみのある幾何光学的な. ち，特に強調されている段階である①数学化の段階 ②. 題材としてプロジェクターの台形補正の仕組みについて. 数学的解決を現実世界の場面で解釈する段階 ③解決を. 焦点を当て，数学的モデリングの過程に沿って解決を行. 修正する段階に焦点を当てて分析を行う．それぞれの. うとき，どのような考え方が要求されるか，つまり，ど. 段階において，必要とされる力の例として，先行研究で. のような力を育成することができるものとなりうるか，. は以下のようなことが述べられている．. その可能性を分析することとする．. ①数学化の段階本稿で扱う数学が幾何学であることから，数学化の段. ２．研究の目的と方法. 階を幾何学化の段階と言い換えることができる．本稿に. （１）研究目的. おいては，飯島(1987)，西村(2008)を参考に，「幾何学化」. 本研究の目的は，プロジェクターの台形補正の仕組み. を「幾何学的手法を用いて解決できるようにするために，. に焦点を当て，数学的モデリングを行う上でどのような. 仮定を設定して単純化・理想化することにより，事象を. 力が要求される教材であるのかを分析するとともに，扱. 図形としてみなしていく行為」として規定する．. える学年とその扱い方を考察することにある．（２）研究方法本研究では，以下の手順で研究を進める．. 先行研究をもとにすると，幾何学化に関わる思考として，次の三つが指摘されている．一つ目は，実際には見えない線を書き足して考察して. ①プロジェクターの台形補正の仕組みに関して，数学的. いくことである．例えば，山の斜面の距離を求める場面. 解釈を行う．. では，地図上の距離と山の標高から実際には見えない三. ②プロジェクターの台形補正の仕組みに関して，次の三. 角形を考え，距離を計算することが挙げられる(本田・西. つの観点から分析を行う．一つ目はどのような数学的モ. 村，2005)．. デリング能力が育成できるかという点，二つ目は教材がどの単元で扱えるのかという点，三つ目は複数の単元で. 二つ目は，空間を様々な方向から視点を変えて考察し，そこでとらえた情報を，見取図や平面図，立体模型とい教育デザイン研究. 第 10 号（2019 年 3 月）. 22.

(2) 現実事象を幾何学化して問題解決を行う教材の開発. ったように表現を変えて表すことである(太田，2010；. の感得」「長期的な展望を持った『数学的活動』の具体. 松原・川村・太田，2015) ．. 化」「事象の変化のとらえ方を豊かにする『展開』の方. 三つ目は，空間において基準点と基準の方向をいろい. 法の活用」といった意義があるとして，数学第一類にお. ろなところに映して考えることである．例えば，地下鉄. ける問題場面が共通な教材を「事象の数学化」の視点か. の改札から地上の出口までの方向がわからなくならない. ら分析し，問いの構成を以下の三つに分類している．. ように，地上に基準点を置いてそこまでの方向を考える. ①同じ問題に対して異なる解決方法を用いることによっ. ことが挙げられる(島田，1990)．. て方法自体が洗練されることを感得できる構成. 後述するが，本教材における幾何学化に関する思考と. ②条件・仮定が変更されることによって豊かな数学的内. しては，光源を点光源と考え 1 点で表すこと，光線を 4. 容の出現を意識できる構成. 本の直線でかき表すこと，スクリーンを平面として表す. ③実験・実測が用いられることによって数学的表現や結. ことなどの単純化・理想化が挙げられる．. 論を再吟味できる構成. ②数学的解決を現実世界の場面で解釈する段階数学的処理を行ったのち，その解をそのまま解決の結. 本研究では，三つの観点を参考にしながら，本教材の扱い方を考察する．. 果とすると，現実事象の解決結果としては不十分である．数学的に解決した後は，数学的な解をそのままにするの. ４．台形補正の仕組みについての数学的解釈. ではなく，現実場面で解釈し直す活動が期待される．例. （１）台形補正の仕組みを理解する活動. えば，山の情景を地図から距離と高低差を用いて計算し. プロジェクターの仕組みを簡単にとらえると，映した. 求める問題では，その後に山の位置関係を言葉で表した. いもの(今回は長方形とする)の後ろから光を当てて(図1)，. り，絵に表現し直したりすることで解釈し直している(本. その影をスクリーンに映しているものと考えることがで. 田・西村，2005)．またそれ以外に，課題解決の途中にも，. きる．本稿ではこの映したいものを「デバイスの映像」，. 例えば，仮定の設定をどうするかなど，現実世界に戻っ. スクリーンに映る像を「スクリーンの映像」とする．. て考察する場面も考えられるため，現実世界と数学の世. まず，デバイスの映像とスクリーンが平行な場合を考. 界を常に行き来することが期待される．. える．このとき，光源を長方形 ABCD の対角線の交点を. ③解決を修正する段階. 通る長方形 ABCD の垂線上に置く．図 1 はその状態で. 数学的に解決したあとで，その結果が現実世界に適し. おいたときにできるス. ているかを確かめることが重要である．例えば，震源の. クリーンの映像までを線分. 深さを初期微動継続時間などから計算などで求める場合. で結んだものである．線分. には，実際に計算をして求めた後に発表されている数値. で結ぶと事象は. と照らし合わせて，解決方法が妥当であったかなどを検. 四角錐 O-EFGH というこ. 証することが挙げられる(太田，2010)．このことにより，. とができ，スクリーンに映. 数学的な解決が現実事象を解決する際に有効な手段とな. る映像は四角錐の底面であ. りうることを実感するとともに，解決の段階で現実とそ. るといえる．このとき，. ぐわない結果が出ている場合は，予想とのずれが生じる. デバイスの映像とスク. こととなり，問題解決の思考を促進してくれるものであ. リーンが平行であるこ. ると考えられる．. と，光源の位置がデバ. （２）複数の単元での取り扱い方について. イスの映像の対角線の. 本教材は，どこか一つの単元に焦点を当て使用するこ. 交点を通る垂線上であ. ともできるが，複数の単元にまたがって使用することも. ることから底面の四角. 考えられる．. 形 EFGH は長方形と. 戦時中に発行された中等数学教科書「数学第一類・. なる．しかしプロジェ. 第二類」では，複数の学年にわたって問題場面が同一の. クターはたいていの場. 教材が用いられている．田中(2008)は，「数学の有用性. 合，図 1 のように平行教育デザイン研究. 図1. 図2. 第 10 号（2019 年 3 月）. 23.

(3) 現実事象を幾何学化して問題解決を行う教材の開発. に設置することはなく，上方に少し傾けて使用する(図 2)．. このように，デバイ. すると，スクリーンへの光の当たり方が変わる．プロジ. スの映像の形を台形. ェクターを上方に少し傾けるとは，長方形 ABCD の辺. に変形させることで，. AB をスクリーンから遠ざけ，辺 CD をスクリーンに近. スクリーンに映る形. づけるような動作である．したがって，図 1 の四角錐 O-. が長方形になるよう. EFGH の辺 GH より光源側に辺 G’H’，辺 EF より光源. にする機能が，台形補正である．. と反対側に辺 E’F’をとることとなり，E’F’＞G’H’となる. （２）デバイスの映像を変形させる活動. ことから等脚台形 E’F’G’H’が，図 2 のように，スクリー. ①相似を用いて. ンに映ることとなる．この，台形に映ってしまう映像を，図3. 図6. 実際に元の長方形に対して，上底をどのくらい短くし，. 元の長方形に戻す機能が台形補正である．この，台形に. 下底をどのくらい長くすればよいのかということについ. なった映像を長方形に戻す方法として，デバイスの映像. て考察する．. を台形にすることでスクリーンに映る映を長方形に変形. 図 7 で考察していく．. させる方法が挙げられる．この方法による台形補正の仕. OB=OC=1 とおく．. 組みは以下の通りである．. また，スクリーンま. 図 2 の台形 E’F’G’H’を図 3. での距離の遠くなる. の長方形 IJKL に補正する. 方である OF’=m，. ことを考える．光の筋が映. 距離が短くなる方である. し出したいものの角を通り，スクリーンに当たる部分が. 図3. 図7. OG’=n とおく．ここまで表したところで，図 8 で(元の長方形の辺)：(補正後の台形の上底)，図 9 で(元の長方形. 長方形 IJKL となればよいため，長方形 IJKL から，光. の辺)：(補正後の台形の下底)を求めることができると考. 源まで光の筋をかき(図 3：辺 OI,OJ,OK,OL)，それに合. えられる．実際の図と式は以下のとおりである．. わせて映したい長方形自体を変形させればよい．下から見た図は次の図 4，図 5 である．. まず，図 8 を用いて考察を行う．図 1 の状態でスクリーンに光があたる部分であるEF までの光源O からの距離を OE=OF=ℓ，上方向に傾けた特に光がスクリーンに当たる部分である E’F’ までの光源 O からの距離を OE’=OF’=m とする． EF//E’F’より， △OAB∽△OE’F’であるから，. 図 4 上から見た図. 図 5 下から見た図. 図４では，元の長方形の辺よりも内側を光の筋が通っており，新しく辺 MN を作る必要があることがわかる．下から見た図では元の長方形の外側を光の筋が通っているため，より長い辺 PQ を作る必要がある．最後に，デバイスの映像の部分だけを取り出して確認. OE:OE’=EF:E’F’=ℓ：m 台形補正では，スクリーンに映る画像が E’F’から IJ の大きさに縮小される．IJ=EF=ℓであるから，. 上から見た図. ℓ. IJ= 𝐸𝐸 ′ 𝐹𝐹 ′ 𝑚𝑚. と表すことができる．. をすると，PQ＞(元のデバイスの映像の大きさ)＞MN と. よって，E’F’を IJ に縮小するために. なる．また光源が元のデバイスの映像としている長方形. ことから AB を 1 とすると MN に縮小. の対角線の交点と元のスクリーンの映像の対角線の交点. するには. を結んだ直線の延長線上にあることから，線対称な図形. 図8. ℓ 𝑚𝑚. ℓ 𝑚𝑚. 倍すればよい. 倍すればよい．…(a). 次に，図 9 の考察を行う．図 1 の状態でスクリーンに. になるといえるため，図 6 のように四角形 MNQP は等. 光があたる部分である GH までの光源 O からの距離. 脚台形となることがわかる．. OG=OH=ℓ，上方向に傾けた特に光がスクリーンに教育デザイン研究. 第 10 号（2019 年 3 月）. 24.

(4) 現実事象を幾何学化して問題解決を行う教材の開発. 当たる部分である G’H’まで. プロジェクターを持ち上げる角度を. の光源 O からの距離. ∠SOX=θ. OG’=OH’=n とする．. さらに，光源 O からスクリー. G’H’//GH より，. ンまでの距離を①同様. △OG’H’∽△OGH であるから，. OR=m， OW=n， OZ=ℓ. OG’:OG=G’H’:GH=ℓ：n. とする．また OS はスクリーンを. 台形補正では，スクリーンに映る画像が G’H’から KL. 図9. 立てる平面のため，. 図11. の大きさに拡大される．. ∠OVR=90°. KL=GH= ℓであるから，. このとき，三角比を用いて OV を. m，n，ℓで表す．. ℓ. KL= G′H′. OV = 𝑚𝑚cos(𝜃𝜃 + 𝛼𝛼). 𝑛𝑛. OV = 𝑛𝑛 cos(𝜃𝜃 − 𝛼𝛼). と表すことができる．よって，G’H’を KL に拡大するために. ℓ 𝑛𝑛. すればよい．…(b) よって(a)，(b)より元の長方形を 1 とすると上底が. 𝑚𝑚. ，下底が. ②三角比を用いて. ℓ 𝑛𝑛. OV = ℓcos 𝜃𝜃. 倍すればよ. いことから CD を 1 とすると PQ に拡大するには. ℓ. Z. ℓ 𝑛𝑛. 倍. これより，ℓを m，n で表すことができるので. ℓcos 𝜃𝜃 = 𝑚𝑚 cos(𝜃𝜃 + 𝛼𝛼). になればよい．同様にして. 上方に傾けた角度によって，どんな大きさの台形にすればよいか，ということが表せないか考える．まず上方向に傾ける際の傾け方に関して，光源を中心. その状態から上に傾けていくため，光源を含む水平面(ス. の中点を通り光源を含む平面の作る角度がプロジェク同様にして. 図 10 図 10 の△ORS を取り出して考察する．それはつまり，. (下底) =. 図10 の四角錐を点F’の方向から△ORS に垂直な視点で. をかくといった図の変換を行って図をかくことが必要である．この時，点 S は E’F’の中点 R から E’F’に垂直に下した直線と点 O を含みスクリーンに垂直な平面(スクリーンが立っている平面)の交点とする．プロジェクターの光が出る角度を ∠ROX=∠YOX=α. ℓ. ℓ. 𝑚𝑚. ，下底＝. 𝑛𝑛. 𝑚𝑚 cos(𝜃𝜃 + 𝛼𝛼) cos 𝜃𝜃 (上底) = 𝑚𝑚 cos(𝜃𝜃 + 𝛼𝛼) = cos 𝜃𝜃. 角度であるとする．. あるが，相似を用いた考えと同様に，立体図から平面図. 𝑛𝑛 cos(𝜃𝜃 − 𝛼𝛼) cos 𝜃𝜃. になればよいことから. と，デバイスの映像の縦幅. 投影図的に見たときの図をかいて考察するということで. ℓ=. (上底)＝. クリーンと直行する平面). ターを上方向に傾けた時の. 𝑚𝑚 cos(𝜃𝜃 + 𝛼𝛼) cos 𝜃𝜃. （２）より，元の長方形を 1 としたとき. として傾けるものとする．次に角度の表し方に関して，デバイスの映像とスクリーンが平行な状態を 0°とする．. ℓ=. cos(𝜃𝜃 − 𝛼𝛼) cos 𝜃𝜃. ５．教材の分析（１）本教材を扱う単元についての分析学習指導要領で定める指導内容を参考に，本教材をどの単元で取り扱うことができるかについて分析を行う．分析に当たっては，本教材を解決する際に必要となる知識を考察し，その知識が指導される単元を抽出していくこととする．単元と学年は学習指導要領解説(2008)を参考にする．分析結果は表 1 の通りである．. 教育デザイン研究. 第 10 号（2019 年 3 月）. 25.

(5) 現実事象を幾何学化して問題解決を行う教材の開発. 表 1 本教材を解決する際に必要となる知識とそれに関. 決に関しては，相似を用いた解決を踏まえて取り組む課題であるため，中学校第 3 学年以上で扱う必要があると. 連する単元・学年必要な知識. 扱う単元. 学年. いえる．相似を用いた解決と三角比を用いた解決は求め. (1) 四角錐（見取図含む）. 空間図形. 中1. ることは台形の上底と下底の辺の比であり，解決の結果をスクリーンまでの距離で表すか，プロジェクターを持. 立体の切断面投影図. 空間図形. 中1. ち上げる角度で表すか，という違いとなるため，二つが. (2) 投影図. 空間図形. 中1. 必ずしもこの順番で並ぶ必要はないが，三角比を用いて. 相似な図形. 中3. 解決する際には相似を用いて表した比の式を用いる必要. 平行線と比の性質. があるため，相似を用いた解決のために必要な知識は，. (3) 立体の切断面三角比（sin，cos）. 三角比. 数Ⅰ. 台形補正の仕組みを理解する活動に関しては，中学校第 1 学年の空間図形の単元から取り扱うことができる内容である．考察の際に必要となる知識として，まず，錐体の知識がある．小学校で習う立体図形としては，立方体，直方体に加え，三角柱や円柱といった柱体があるが，錐体に関して扱うのは中学校が初めてである．本研究で取り扱うプロジェクターの仕組みは，光の筋をかき表す事で四角錐ととらえることができる．そのため，四角錐の図形に関する学習を行った後に取り組む事ができる課題である．また，図形のかき表し方の技能として，小学校で既習の見取り図に加え，中学校第 1 学年で学習する投影図の見方も利用する場面がある．さらに，プロジェクターの台形補正がされない場合に，台形が映し出されてしまうことを理解することは，立体図形の切断面の形を捉える問題だということができるが，切断面に関する学習は現在指導内容からは外れている．しかし，前指導要領では 1 学年に位置づけられていたことに加え，幾何学的に表現することが理解の手助けになることが期待できるため，中学校第 1 学年の空間図形の単元に位置づけることが可能である．デバイスの映像の形を変形させる活動の相似を用いた解決に関しては，中学校第 3 学年で扱うことができる内容である．台形補正の仕組みを理解する活動に取り組んだ上での考察場面となるため中学校第 1 学年以上の課題であるといえるが，ここでは特に中学校第 3 学年の相似な図形の単元で学ぶ平行線と比の性質を用いて，台形の上底と下底の辺の比を求めることになる．したがって，中学校第 3 学年の相似な図形の単元に位置づけることが可能である．デバイスの映像を変形させる活動の三角比を用いた解. 三角比を用いた解決のためにも，必ず必要となることがいえる．またここでは特に，プロジェクターを傾ける角度を変数とするため，変数θを用いて三角比で表す必要がある．したがって，高等学校数学Ⅰの三角比の単元での扱いとなる．（２）数学的モデリング能力を育成することができる教材であるかという観点からの分析数学的モデリングの段階として本研究では①数学化の段階 ②数学的解決を現実世界の場面で解釈する段階 ③解決を修正する段階に焦点を当てるが，プロジェクターの台形補正の仕組みを数学的モデリングの過程に沿って解決を行うとき，どのような考え方が要求されるかを，以上の段階ごとに抽出していく． ①数学化の段階台形補正の仕組みについて考察する際に，事象の中に四角錐を見出すことが重要である．四角錐を見出すためには，実際には見えない線である光線を図にかき表すこと，さらにそれを理想化して図形をみなすことが要求される．台形補正の仕組みは，四角錐の切断面ととらえて解決を行うことができるが，かき表した線を，単に補助線として捉えるか，それとも四角錐とらえるかで，切断面を考えるという思考につながるかが左右されるといえる．また，台形補正の仕組みを数学的に解釈した際に使用した図は 11 種類である．このことから，1 種類の図の表現のみでは解決が難しいことがわかり，見取図のほかに，様々な方向から見た投影図，さらには，切断面を表す平面図なども必要となるため，一方向からの事象の観察のみならず，様々な向きから見たり，それを図の表現を変えてかき表したりすることが必要となるといえる．さらにデバイスの映像を変形させる活動では実際にプロジェクターを傾けたときの状況について考察する中で，図 7 や図 11 のような，断面図や投影図をかくことが要教育デザイン研究. 第 10 号（2019 年 3 月）. 26.

(6) 現実事象を幾何学化して問題解決を行う教材の開発. 求される．実際の事象は，プロジェクターを上方向に傾. 「同じ問題に対して異なる解決方法を用いることによっ. ける動きであるが，図にかき表す際にはプロジェクター. て方法自体が洗練されることを感得できる構成」. を傾ける(四角錐自体を上方に傾ける)のではなく，スクリーンを設置している水平面を下方向に傾けることでプ. 本教材では，三つの解決方法が学年進行とともに取り扱われることになる．. ロジェクターを上方向に傾けた「ことにする」という発. 一つ目は，見取図に補助線をひき，図的に解釈する解. 想の転換をすることが，図 7 や図 11 のような図をかく. 決方法である．これに関しては，中学校第 1 学年の空間. ために要求される考え方である．このような図は，より. 図形の単元で扱うことができる．このことにより，台形. 簡潔であると同時に，傾ける前の状況と比較しやすい図. であることが視覚的に理解することができる．それゆえ，. であるといえ，解決の手助けになると考えられる．. 幾何学的に論証することがさらなる課題として設定でき. ②数学的解決を現実世界の場面で解釈する段階. る．. 得られた数学的な解決の結果は数式であるため，その. 二つ目は，平行線と比の関係を用いて台形の上底と下. 文字や数字がプロジェクターの構造でいうとどこに当て. 底の辺の比をプロジェクターからスクリーンまでの距離. はまるのかを考えることが必要となる．また数学的な解. を用いて求める解決方法である．上記で課題として設定. 決を現実世界の場面で解釈することは，数学的処理を行. されていた幾何学的な論証が可能になるとともに，実際. った後のみではなく，処理を行っている途中にも必要で. に台形補正の補正幅を求めることができるようになる．. ある．具体的には，デバイスの映像の変形について相似. 三つ目は，プロジェクターを傾けた角度を計測し三角. を用いて解釈する際，スクリーンまでの距離を文字でお. 比を用いて台形の上底と下底の辺の比を求める解決方法. き，比を求めるが，どこを文字でおくかは，現実場面に. である．結果としては中学校第 3 学年と同様に台形補正. 立ち返る必要がある．実際の場面で求めることができな. の補正幅が求められるが，その導き方が異なる．台形補. いような部分を文字でおき，解決をしたとしても，実際. 正の仕方が少なくとも 2 通りあることがわかり，問題状. の事象の解決とは言えない．したがって数学的な解決の. 況に応じて長所短所を比較考察することが可能になる．. 途中にも，解決していることを現実事象の中で解釈する. このように，同一の問題を異なる手法を用いて解決す. ことが必要となる．. ることにより，解決の精度，並びに解決の多様性が理解. ③解決を修正する段階. できるとともに，各単元で用いた数学的手法のよさを感. まず，台形補正の仕組みを考える場面において，実際. 得することができる．. のプロジェクターを用いて，本当に台形に映るのか，ということを検証することが考えられる．この場合，数学. ６．実際の指導に向けた教材の具体化. 的な考察の段階では台形に映ると予想しているが，台形. 分析をふまえて，プロジェクターの台形補正の仕組み. 補正機能によりすぐに長方形に補正され，予想とずれが. に関する教材について育成されうる数学的モデリングに. 生じるため，検証結果をもって，修正する活動にもつな. おける見方・考え方を明確化するため，教材の具体化を. がる．さらにデバイスの映像を変形させる活動では実際. 行う．併せて，生徒へ向けた問いの設定と使用する教具. に長さや角度を計算式にあてはめ，厚紙等を台形に切り. の考察も行う．. 投影することで，長方形に補正することができたかどう. （１）中学校第 1 学年：空間図形. かの検証ができる．（３）複数の学年で扱う際の取り扱い方について扱うことのできる学年についての分析により，学年は，. 問 1 長方形の厚紙の後ろから光を当てると，どのような影がスクリーンにできるか．スクリーンに対す. 中学校第 1 学年から高等学校第 1 学年にまたがることが. る光の当て方を変えると，影の形はどうなるか．. わかった．どこか一つの学年に焦点を当てることもでき. 問 1 では，プロジェクターの仕組みを概略的に説明し. るが，ここでは複数の学年にまたがって，問いがどのよ. た後で，プロジェクターの簡易模型として長方形の厚紙. うに深化していくのかに着目して分析を行うこととする．. を使用した実験を行う．生徒は，生活経験をもとに予想. 分析の観点としては，下記の点に焦点を当てて行う（田. する段階を経て，実際に実験し，その予想を確かめるこ. 中，2008）．. とになる．その際，スクリーンに映る長方形の大きさが教育デザイン研究. 第 10 号（2019 年 3 月）. 27.

(7) 現実事象を幾何学化して問題解決を行う教材の開発. 長方形の厚紙とスクリーンの距離に依存することに気づ. 2 次元である平面図形の対応関係に注意することが要求. き，その距離の変化を視覚化して表すために実際には見. される．次元を変換する力は，幾何学化を行う際の重要. えない線である光線をかくことになる．そして，光線と. な考えの一つである．. スクリーンに映る長方形を合わせて四角錐として理想化. 教具に関しては，透明な素材で作成した四角錐にひも. して捉えることにつながる．さらに，スクリーンに映る. を巻くことで切断面の図形を考察することのできる模型. 四角形が四角錐を切断することで得られる図形であると. を使用する．立体の模型を用いて空間をとらえることで. 同定することにより，四角錐の切断面の形を考察するこ. 問 3 の思考の中で最も重要な平行線と比の性質の考えに. とになる．その結果，切断面の形が台形であると予想す. 必要な平行線が見やすくなる．また，立体模型を手に取. ることが期待される．このような活動をする中で，事象. り考察することで，いろいろな方向から見ようという視. を自分で理解したり他者に伝えたりすることが要求され，. 点の移動をする考えが出やすくなる．つまりここでの立. 幾何学化が促進されることになる．その後，実験を通し. 体模型は，立体から平面図形を抜き出して考察する考え. て切断面が台形であることを確かめることになる．. 方を促進させるものである．. 教具に関しては，図 1 が再現できるようなプロジェク. （３）高等学校：三角比. ターの簡易模型(長方形の厚紙の後ろから，懐中電灯を当. 問 4 プロジェクターを上に θ だけ傾けたとき，台形の. てるなど)を使用している．実際のプロジェクターをここ. (上底)：(下底)はどう表すことができるか．. で使用すると，状況によっては台形補正機能が働き，意図した活動が行えない．また，アクリル板等で作成した. この問いを解決する際に重要となるのは図 11 をかく. 四角錐の模型を使うことも考えられるが，この時点で使. ことである．この図は事象を四角錐に理想化してみたと. 用すると，幾何学化されたものを提示することになって. きの側面図であるが，この図をかくためにはまず事象を. しまうため，この時点での使用は避けるべきである．. 四角錐として理想化して捉えることが必要である．この. 問 2 実際のプロジェクターの映像は，どのように台形を長方形に補正しているか．問 2 では，実際にプロジェクターを使用して実験してみる．実際にプロジェクターを作動させると台形補正機能が働き，一瞬，問 1 の解決で得たような台形が映るも. 幾何学化は問 1 の段階ですでに行っているものである．そして，角度を用いて表すためにこのほかに様々な方向から空間をとらえ，側面図を平面にかき表すという，視点の変更や，それに伴う図の変換の力が要求される．教具としては問 2 同様に透明な素材で作成した立体模型を用いることが挙げられる．(図 12，13). のの，すぐに長方形に変形されてしまう．ここで，台形が長方形に変形されることに驚きを感じるとともに，どのように台形を長方形に変形しているのかという新たな問いが設定される．そこで，問 1 で用いた図 2 の見取り図をもとに長方形. 図 12. 図 13. の厚紙の形を台形に変形することで，スクリーンに映る. 透明な素材で作成することにより見取図をかくよりも正. 図形が長方形に変形されることを考察する．. 確に，かつ立体的に観察を行うことができることに加え，. （２）中学校第 3 学年：相似な図形. 裏側の状況が見えるため，立体の中腹部分にひいた補助. 問 3 台形補正機能で，映したいものである長方形を台. 線も見ることができる．補助線に関しては，ひもや色テ. 形に変形させるとき，(上底)：(下底)がいくつになる台. ープを模型に巻き付ける(図 14，15)ことで，見取りに補. 形にすればよいか．. 助線をひく変わりに状況を考察するための図を作成することができるため，想像が難しい状況でも理解を促すこ. ここでは主に，横から見た図や，角錐を切断した図を. とができる．. 取り出して平面で考察し，それを空間に戻して解決していく．空間図形を平面図形で考察するために，次元の変換の力が求められる．その際，3 次元である空間図形と教育デザイン研究. 第 10 号（2019 年 3 月）. 28.

(8) 現実事象を幾何学化して問題解決を行う教材の開発. 異なる単元(中学校第 1 学年の空間図形，第 3 学年の相似，高等学校の三角比)における異なる手法を用いて解決することにより，解決の精度，並びに解決の多様性が理解できるとともに，各単元で用いた数学的手法のよさを感得することができる教材を開発することができた．図 14. 図 15. 問 4 で重要になるのは，前述のとおり図 11 のような事象を真横から見た状態の図でとらえることである．そ. 今後の課題としては，実践授業を行い，期待する活動が見られるか，同一の問題場面を用いた問いの構成が有効か，などを検証することが挙げられる．. のため，まず立体模型を用いてプロジェクターを水平状態(デバイスの映像がスクリーンに平行な状態)から上方. 引用・参考文献. 向に傾けることの状況を把握する．そして様々な方向か. 本田千春・西村圭一（2005）．空間思考の育成を目指す. ら状況を観察することにより，傾けた角度（変数θとな. 授業に関する研究～地図から風景をスケッチする. るもの）をとる場所が水平状態のときの平面と現在の水. 教材を用いて～，日本数学教育学会誌，87(7)，pp．. 平面とが作る角であることを理解することができる．. 13-20．. また，立体模型を横から投影図的に見ることで図11 の. 飯島康之 (1987) ．数学的モデル化における. △ORY が示されていることに加え，三角比を用いて解. geometrization について，日本数学教育学会数学教. 決する際に重要になる(△ORV が直角三角形になるた. 育論究 VoL47・48，pp．27-30 ．. め)線分 RV のうち，線分 RW の部分を示してくれている．この模型観察を通して，図 11 のような図をかくことができ，この図をかくことで三角比の問題として数学的に処理を行うことができる．. 池田敏和ほか(2010)．数学教育学研究ハンドブック，東洋館出版社，pp．272-282．松原敏治・川村栄之・太田伸也（2015）．空間における位置のとらえ方 ―南半球から見た太陽の動きを題材として―，秋期研究発表大会集録，48，pp．257-. ７．知見と今後の課題本研究ではプロジェクターの台形補正の仕組みを教材化するにあたって，三つの観点から分析を行った．本教材を扱う単元として，中学校第１学年の空間図形の単元，第３学年の相似な図形の単元，高等学校の数学 Ⅰにおける三角比の単元が特定された．どのような数学的モデリング能力を要求される教材であるかということに関して，以下の考え方が特定された．. 260．文部科学省(2008)．中学校学習指導要領解説数学編，東洋館出版．文部科学省(2009)．高等学校学習指導要領解説，数学編，東洋館出版．西村圭一(2008)．数学的モデル化を遂行する力の育成をめざす教材の開発－事象の幾何学化に焦点を当てて－，教材学研究，19 巻，pp．171-178．. ①数学化の段階：光線を直線としてかき表すことを通し. 太田伸也（2010）．地震の震央・震源を求める問題から. て，事象を四角錐として理想化して捉えること．様々な. 空間図形の問題へ－『三角錐の頂点から底面への. 方向から事象を見たり，次元を換えて表現したりするこ. 垂線の足の求め方』を中心に－，日本数学教育学会. と．. 誌，92(3)，pp．2-9．. ②数学的解決を現実世界の場面で解釈する段階：数学的. 島田茂(1990)，教師のための問題集，共立出版，. 解決を行う際，どこを文字でおくか，現実に即して考え. 田中義久(2008)．『数学第一類』における問題場面が. ること．解決したことをプロジェクターの構造でいうと. 共通な教材に関する事象の数学化の視点からの分析，. どこに当たるのかを解釈すること．. 日本数学教育学会誌，90(1)，pp．12-25．. ③解決を修正する段階：結果をもとに模型等を作成して検証を行い，解決と検証結果とのずれから修正箇所を見出し，修正を行うこと．複数の学年での取り扱い方に関しては，同一の問題を教育デザイン研究. 第 10 号（2019 年 3 月）. 29.

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