数学補講資料置き場

数学補講：２日目

定義_{1 (}線形従属:Linear dependent,^線形独立:Linear independent) 任意の有限個のベクトル（行列）の集合_{{a1, a2, ..., ak}}は

x1a1+ x1a2+ · · · + xkak= 0.

のような少なくとも１つは₀でないスカラー_{x1, x2, ..., xk} が存在するとき、線形従属であるという。そのよ うなスカラーが存在しないとき、線形独立であるという。 

補題₁

２ つ 以 上 の_n次 元 ベ ク ト ル の 集 合_{{a1, a2, ..., ak}}は 、そ れ ら の ベ ク ト ル の 少 な く と も １ つ が 他 の ベ ク ト ル の 線 形 結 合 と し て 表 せ る と き か つ そ の 時 に 限 っ て 、す な わ ち 、あ る 整 数j(1 ≤ j ≤ k)^{に 対 し て}aj ^が

a1, ..., a_j−1, aj+1, ..., akの線形結合として表せるときかつかつそのときに限って、線形従属である。 

証明

ある_jに対して、_ajがこれ以外の_{k − 1}個の_{m × n}行列の線形結合

aj = x1a1+ · · · + xj−1a_j−1+ xj+1aj+1+ · · · + xkak

のように表すことができると仮定する。このとき、

(−x1)a1+ · · · + (−xj−1)a_j−1+ aj+ (−xj+1)aj+1+ · · · + (−xk)ak = 0,

であり、_{{a1, a2, ..., ak}}が線形従属な集合であることが得られる。逆に、_{{a1, a2, ..., ak}}が線形従属である と仮定する。この場合は少なくとも１つが₀でないあるスカラー_{x1, x2, ..., xk}に対して、

x1a1+ x1a2+ · · · + xkak= 0

である。_jに対して_{xj ̸= 0}であるとする。このとき、

aj = (−x1/xj)a1+ · · · + (−xj−1/xj)a_j−1+ (−xj+1/xj)aj+1+ · · · + (−xk/xj)ak.

である。

□ 補題₂

２つ以上の_n次元ベクトルの集合_{{a1, a2, ..., ak}}において、この最初のベクトルは₀でないとする。このと き、このベクトルの少なくとも１つがその前にある行列の線形結合として表すことができるときかつそのとき に限って、すなわち、ある整数j(2 ≤ j ≤ k)^{に対して、}aj^がa1, a2, ..., aj−1の線形結合として表すことがで きるときかつそのときに限って、線形従属である。 

証明

ある_jに対して、_aj が_{a1, a2, ..., aj−1}の線形結合として表せると仮定する。このとき先の補助定理により 直 ち に 集 合_{{a1, a2, ..., ak}}は 線 形 従 属 で あ る 。逆 に 、_{{a1, a2, ..., ak}}が 線 形 従 属 で あ る と 仮 定 す る 。_j を {a1, a2, ..., aj}が線形従属な集合である最初の整数であると定義する。このとき、少なくとも１つは₀ではな いあるスカラー_{x1, ..., xj}に対して、

x1a1+ x1a2+ · · · + xjaj= 0

である。そのうえ、_{xj̸= 0}である。これは、そうでないと_jの定義に反して_{{a1, a2, ..., aj−1}}が線形従属に なってしまうからである。よって、

aj = (−x1/xj)a1+ · · · + (−xj−1/xj)a_j−1

である。

□ 定義_{2 (}列空間:Column space)

m × n^行列A^の列空間,_C(A)はその要素が_Aの_n個の列の線形結合として表せるすべての_m次元列ベクト ルから成る集合である。すなわち、_Aの列空間の要素は、_{x1, x2, ..., xn}とスカラー、_{a1, a2, ..., an}を_Aの列 として、一般形

x1a1+ x1a2+ · · · + xnan

の、言い換えると_xを_n次元列ベクトルとして、一般形_Axの、すべての_m次元列ベクトルから成る。 例えば、_{3 × 4}行列





2 −4 0 0

−1 2 0 0

0 0 1 2





の列空間は列ベクトル



 4

−2

−3



= 2



 2

−1 0



+ 0





−4 2 0



− 3



 0 0 1



+ 0



 0 0 2



,

を含むが、_{(1, 0, 0)}

′

は含まない。

定義_{3 (}行空間:Row space)

m × n^行列A^の行空間,R(A)^{はその要素が}A^のm個の行の線形結合として表せるすべての_n次元行ベクト

ルから成る集合である。すなわち、_Aの行空間の要素は、_{x1, x2, ..., xm}をスカラー、_a^′_{1, a}^′_{2, ..., a}^′_mを_Aの 行として、一般形

x1a^′1+ x1a^′2+ · · · + xma^′m

の、言い換えると_xを_m次元行ベクトルとして、一般形_x^′_Aの、すべての_n次元行ベクトルから成る。

記号_R^m×nをその要素がすべての_{m × n}行列から成る線形空間を表すのに用いることにする。記号_Rⁿをす べての_n次元列ベクトルの集合、あるいはその文脈によっては、すべての_n次元行ベクトルの集合を表すの に用いることもある。

補題₃

任意の行列_Aに対して、_y^′_{∈ R(A}^′₎であるときかつそのときに限って、_{y∈ C(A)}である。 

証明

もし_{y∈ C(A)}ならば、ある列ベクトル_xに対して_{y= Ax}である。これより_y^′_{= (Ax)}^′_{= x}^′_A^′である こと、従って_y^′_{= R(A}^′₎であることが得られる。同様に、もし_y^′_{∈ R(A}^′₎ならば、_{y∈ C(A)}である。

□ 補題₄

B^をm × n^行列、V^をm × n行列の線形空間とする。このとき、_Vの中の任意の行列_Aに対して、_{B∈ V} であるときかつそのときに限って、_{A+ B ∈ V}である。

証明 

もし_{B∈ V}ならば、_{A+ B ∈ V}は明らかである。逆に、もし_{A+ B ∈ V}ならば、_B= (A + B) + (−1)A であるので、_{B∈ V}であることが線形空間の定義より明らかである。

□ 定義_{4 (}部分空間:Sub space)

線形空間_Vの部分集合_Uは、_U 自身が線形空間のとき、 Vの部分空間あるいは部分ベクトルという。

補題₅

A^をm × n行列とする。このとき、_R^mの任意の部分空間_Uに対して、 _Aのあらゆる列が_U に属すると

きかつそのときに限って、_{C(A) ⊂ U} である。 同様に、_Rⁿ の部分空間_Vに対して、_Aのあらゆる行が_V に属するときかつそのときに限って、_{R(A) ⊂ V}である。

証明

a1, a2, ..., an ^をA の 列 と す る 。も し_{C(A) ⊂ U} な ら ば 、明 ら か に _ai ∈ U (i = 1, ..., n) ^{で あ る 。逆 に} ai ∈ U (i = 1, ..., n)^{であると仮定する。}y∈ C(A)^{に対して、}y= x1a1+ x1a2+ · · · + xnan^{を満たすスカ}

ラー_{x1, ..., xn}が存在する。よって、_{y∈ U} が得られる。 _Aのあらゆる行が_V に属するときかつそのとき に限って、_{R(A) ⊂ V}であることは同様の方法で証明できる。 

□ 補題₆

任意の_{m × n}行列_Aと_{m × p}行列_Bに対して、_{B = AF} を満たす_{n × p}行列_F が存在するときかつその ときに限って、C(B) ⊂ C(A)である。同様に、任意の_{m × n}行列_Aと_{q × n}行列_C に対して、_{C = LA} を満たす_{q × m}行列_Lが存在するときかつそのときに限って、R(C) ⊂ R(A)^である。

証明

b1, b2, ..., bk^をBの列とする。明らかに、_{bi= Afi}(i = 1, ..., p)^を満たすp^{個の列ベクトル}f1, f2, ..., f_p^が

存在するときかつ その時に限って、すなわち、i = 1, ..., p^{に対して、}bi∈ C(A)のときかつそのときに限っ て、_{B= AF} であるような行列_F が存在する。補題₅より、_{B= AF} であるような行列_F が存在すると きかつそのときに限って、C(B) ⊂ C(A)であることが得られる。列空間に関する証明も同様の方法でできる。

□ 定義_{5 (}スパン_:Span)

有限個の空でない集合_{{a1, ..., ak}}のスパンとは、_{a1, ..., ak}の線形結合として表せるすべてのベクトルから 成る集合のことをさし、_{sp(a1, a2, ..., ak)}で表す。

線形空間_Vの中の集合_Sは、_{sp(S) = V}のとき、_Vを張るという。 

定義_{6 (}基底：_Basis)

線形空間_Vを張る_Vの中の線形独立なベクトルの有限集合を_Vの基底と呼ぶ。

例えば、空集合は線形空間_{0}の基底である。 補題₇

a1, .., ap ^とb1, ..., bq ^{を 線 形 空 間}V の 中 の ベ ク ト ル と す る 。こ の と き 、も し 集 合_{{a1, ..., ap}}が_V を 張 る な ら ば 、集 合_{{a1, ..., ap, b1, ..., bq}}も_V を 張 る 。ま た 、も し 集 合_{{a1, ..., ap, b1, ..., bq}}が_V を 張 り b1, ..., bq^がa1, ..., apの線形結合として表せるならば、集合_{{a1, ..., ap}}は_Vを張る。

証明 

a1, .., ap^がV ^を張り、b1, ..., bq ^はVの中のベクトルであることを考慮すると、_b1は、 b1= x1a1+ x1a2+ · · · + xpap

として表せる。明らかに、_{{a1, ..., ap,x1a1+ x1a2}+ · · · + xpap}^もV^{を張るので、}{a1, ..., ap, b1}^もV^を 張る。同様の手順で行えば、_{{a1, ..., ap, b1, ..., bq}}が_Vを張ることがいえる。証明の後半も同様である。

□ 定理_{1 (}取り換え定理₎

V^をr個のベクトルの集合によって張られる線形空間とし、_Sを_Vの中の_kの線形独立なベクトルの任意の 集合とする。このとき、_{k ≤ r}であり、もし_{k = r}ならば_Sは_Vの基底である。

証明

r > 0^{の場合を示す。}a1, a2, ..., ak^を集合S^の中のk個の線形独立なベクトル、_{{b1, b2, ..., br}}を_Vを張 る_r個のベクトルの基底とする。_{k > r}であると仮定する。集合_{{b1, b2, ..., br}}の先頭にベクトル_a1を挿入 して得られる集合_{{a1, b1, ..., br}}を考える。補題により、この集合は_Vを張る。そのうえ、_a1は_{b1, ..., br} の 線 形 結 合 と し て 表 せ る の で 、集 合_{{a1, b1, ..., br}} は 線 形 従 属 で あ る 。よ っ て 、ベ ク ト ル_{b1, ..., br} の 間 に、ベクトルの列_{a1, b1, ..., br} の中に自身より先行するベクトルの線形結合として表せるベクトルが存在す ることが得られる。それを_bp とする。補題₇より、集合_{{a1, b1, ..., br}}から_bpを削除して得られる集合 {a1, b1, ..., b_p−1, bp+1, ..., br}^がV を張ることが得られる。いま集合_{{a1, b1, ..., bp−1, bp+1, ..., br}} の a1^{の後にベクトル}a2を挿入して得られる集合_{{a1, a2, b1, ..., bp−1, bp+1, ..., br}}を考える。この集合は Vを張る。加えて、この集合は線形従属である。それで、ベクトル_{b1, ..., bp−1, bp+1, ..., br} の間に、ベク

トルの列_{a1, a2, b1, ..., bp−1, bp+1, ..., br} の中に自身より先行するベクトルの線形結合として表せるベクト ルが存在する。集合_{{a1, a2, b1, ..., bp−1, bp+1, ..., br}}からこのベクトルを削除すると、_Vを張る_r個のベ クトルの部分集合を得る。この過程を続けると、_{{a1, ..., ar}}が_Vを張ることが得られる。これはベクトル ar+1, ..., ak^がa1, ..., arの線形結合として表せることを意味する。これは_Sが線形独立な集合であるので、 矛盾した結果となる。よって、_{k ≤ r}が得られる。また、_{k = r}の場合、先の過程を用いると、_Sが_V を張る こと、したがって、_Sは線形結合な集合であるので、_Sは_Vの基底であることが得られる。

□ 系₁

n次元ベクトルの線形独立な集合の中のベクトルの数は_n個を超えることはできない。

定理_{2 (}基底の存在₎

あらゆる線形空間は基底を持つ 証明

V^をn次元ベクトルの任意の線形空間とする。基底を_Bとする。もし、_{V = {0}}ならば、すなわち、もし_V がいかなる₀でなしベクトルも含まないならば、この手順を直ちに終えて_Bを空集合にとる。そうでないな らば、₀でないベクトル_a1も_V に含ませる。もし_a1だけからなる線形独立な集合_{a1}が_V を張るなら ば、_{B = {a1}}にとる。もしこの集合が_V を張らないならば、_a1のスカラー倍として表せない_a2を_Vに含 ませる。この線形独立な集合_{{a1, a2}}が_Vを張るならば、_{B = {a1, a2}}にとる。もしそうでないならば、 a1, a2の線形結合で表せないベクトル_a3を_Vに含ませる。この手順を続け、第_kステップで、この手順を 終え_{B = {a1, ..., ak}}にとるかそうでなければ集合_{{a1, ..., ak+1}}が線形独立であるような_ak+1を_Vに 含ませる。この手順はたかだか_nステップで終了する。そうでないと、_n個より多い線形独立なベクトルの集 合が存在することになるが、これは系に矛盾するからである。

□ 補題_{8 (}表現の一意性₎

線形空間_Vの中のベクトル_aは任意に固定した基底_{{a1, a2, ..., ak}}を用いて一意に表される。すなわち、線 形結合

a= x1a1+ x1a2+ · · · + xkak

の中の係数_{x1, ..., xk}は一意に決定される。

証明 

x1, ..., xk ^とy1, ..., yk ^{をそれぞれ}a=^∑k_i=1xiai^とa=^∑k_i=1yiai を満たす任意のスカラーとする。この とき、

k

∑

i=1

(yi− xi)ai=

k

∑

i=1

yiai−

k

∑

i=1

xiai= a − a = 0

である。_{a1, a2, ..., ak}が線形独立なベクトルなので、_{yi− xi= 0},すなわち、_{yi= xi}(i = 1, ..., k)^{が得られる。}

□ 定義_{7 (}次元:Dimension)

線形空間_Vの規定の中のベクトルの数を_V の次元と呼び、記号_dimVあるいは_{dim(V )}で表す。

定理₃

もし線形空間_V が_r個のベクトルによって張られるならば、dim(V ) ≤ r^{であり、もし}V ^の中にk^この線形 独立なベクトルの集合があるならば、dim(V ) ≥ k^である。

定理₄

もし_U が線形空間_Vの部分空間ならば、dim(U ) ≤ dim(V )^である。 定理₅

r^{次元線形空間}V ^の中のr個の線形独立なベクトルの集合は_Vの基底である。

定理₆

U, V^をm次元ベクトルの線形空間とする。もし_{U ⊂ V}でdim(U ) = dim(V )^ならば、U = V^である。 証明 

r = dim(U )^,S^をU ^{の基底である}r個の線形独立な任意の集合とする。_{U ⊂ V}と仮定する。この場合には_S の中のベクトルの_r個はすべて_Vの中にある。もしdim(U ) = dim(V )^ならばS^はV ^{の基底である。よって} V = Sp(S) = U^である。

□ 定義_{8 (}行階数_{:Row rank,}列階数:Column rank)

行列_Aの行空間の次元を行階数と呼ぶ。また、列空間の次元を列階数と呼ぶ。 定理₇

A^{を行階数が}r^{でかつ列階数が}c^の0^でないm × n行列とする。このとき、_{A= BL}を満たす_{m × c}行列 B^とc × n^行列L^{が存在する。同様に、}A= KT ^を満たすm × r^行列K^とr × n^行列T ^{が存在する。}

証明

定理より、_C(A)の基底である_c個のベクトルの集合_{{b1, b2, ..., bc}}が存在する。_Bをその列が_{b1, b2, ..., bc} である_m×c行列にとる。このとき、C(B) = sp(b1, b2, ..., bc) = C(A)^{である。そして補題}6^よりA= BL

を満たす_{c × n}行列_Lが存在することが得られる。_{A= KT} に関する証明も同様である。

□ 定理₈

任意の行列_Aの行階数は_Aの列階数に等しい。

証明

r^{を 行 列}A^{の 行 階 数 、}cを 列 階 数 と す る 。_Aは₀で な い と 仮 定 す る 。定 理₇に よ り 、_{A= BL}を 満 た す m × c^行列B^とc × n^行列L^{が存在し、同様に、}A= KT ^を満たすm × r^行列K^とr × n^行列T ^が存在 する。補題₆から、R(A) ⊂ R(L)^とC(A) ⊂ C(K)が得られる。よって、定理_{4, 5}を使用すると、

r ≤ dim(R(L)) ≤ c

及び

c ≤ dim(C(K)) ≤ r

が得られる。よって_{r = c}である。

□ 定義_{9 (}階数_:Rank)

行列_Aの行階数及び列階数の値を_Aの階数と呼び、記号_rank(A)で表す。 補題₉

任意の_{m × n}行列_Aに対して、rank(A) ≤ m^かつrank(A) ≤ n^である。 定義_{10 (}非特異:Nonsingular)

m × n^{行 列}BA ^{は 、}rank(A) = m、す な わ ち 、階 数 が 行 の 数 に 等 し い と き 、最 大 行 階 数 を 持 つ と い い 、

rank(A) = nのとき、最大列階数をもつという。行列は、最大行階数と最大列階数をもつとき、非特異である

という。

定義_{11 (}行列式:Determinant)

２次、あるいは３次の正方行列に対して、行列式を次のように定義する。また、行列_Aの行列式を_det(A)で 表す。

A =

[ a11 a12

a21 a22

]

det(A)= a11a22− a12a21

B =





a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33





det(B)= (a11a22a33+ a21a32a13+ a31a12a23) − (a21a12a33+ a31a22a13+ a11a32a23) 定理₉

A^をn × n^{行列とすると、}det A ̸= 0のときかつそのときに限って、_Aは非特異である。

逆行列と行列式の関係は次のようになる。 B^をA^{の逆行列とする。}

A=

[ a11 a12

a21 a22

] , B =

[ b11 b12

b21 b22

]

AB=

[ a11b11+ a12b21 a11b12+ a12b22

a21b11+ a22b21 a21b12+ a22b22

]

= I = [ 1 0

0 1 ]

これを解くと、

B= ¹

a11a22− a12a21

[ a22 −a12

−a21 a11

]

= ¹

det(A)

[ a22 −a12

−a21 a11

]