プレゼンファイル・集中講義ノート Jun O'Hara

.

...

R

_{の部分多様体の Riesz エネルギーの正則化と}

球体の特徴づけ

今井 淳 （千葉大）

08/2017

. . . . . .

今日の内容

X ⊂ Rⁿコンパクト多様体. 下のいずれか.

閉部分多様体 M^m (m < n, ∂M = ∅) (結び目, 閉曲面など) コンパクトボディ (有界開集合の閉包) Ω

(m = n, ∂Ωは閉部分多様体)

Xに対し,下の積分を考える: Is(X) :=

∫

X×X

|x − y|^sdxdy s > − dim Xで well-defined.

X = Ωで−n < s < 0のとき, Riesz (s-)エネルギーという. 積分が発散するとき(s ≤ − dim X)には,後述の正則化を行う. 冪sを複素数と思いzとかくと, C ∋ z 7→ Iz(X)は,球体・S¹ (ある 条件下でS²) を特徴付ける(このときI_z(X)はベータ関数で書ける).

発散積分の正則化の方法

超関数論の方法：

(HR) Hadamard正則化 (級数展開を用いる)

(AC) Xを固定し,複素関数z 7→ Iz(X)を解析接続を用いて拡張する Fourier変換を用いる (使わない)

以下,冪をzで表す.

∫ d 0

t^zdt （z ≤ −1で発散）で説明.

. . . . . .

発散積分の正則化の方法

超関数論の方法：

(HR) Hadamard正則化 (級数展開を用いる)

(AC) Xを固定し,複素関数z 7→ Iz(X)を解析接続を用いて拡張する Fourier変換を用いる (使わない)

以下,冪をzで表す.

∫ d 0

t^zdt （z ≤ −1で発散）で説明.

Hadamard 正則化 , Hadamard の有限部分  Partie finie

∫ d 0

t^zdt はz ≤ −1のときt = 0の近傍の寄与のせいで発散. 積分領域から, 0のε-近傍(ε > 0)を取り除き,

∫ d ε

t^zdt をεで(Laurent)級数展開し, ε → 0⁺で発散する部分を捨てる.

∫ d ε

t^zdt =









 [ t^z+1

z + 1 ]d

ε

= ^d

z+1

z + 1 ⁻ ε^z+1

z + 1 ^{(z ̸= −1),} [log t]^d_ε= log d − log ε (z = −1).

Pf.

∫ d 0

t^zdt :=









 lim

ε→0⁺

(∫ d ε

t^zdt + ^ε

z+1

z + 1 )

= ^d

z+1

z + 1 ^{(z ̸= −1),}

ε→0lim⁺ (∫ d

ε

dt

t ^{+ log ε} )

= log d (z = −1). Hadamard の有限部分という.

. . . . . .

Hadamard 正則化 , Hadamard の有限部分  Partie finie

∫ d 0

t^zdt はz ≤ −1のときt = 0の近傍の寄与のせいで発散. 積分領域から, 0のε-近傍(ε > 0)を取り除き,

∫ d ε

t^zdt をεで(Laurent)級数展開し, ε → 0⁺で発散する部分を捨てる.

∫ d ε

t^zdt =









 [ t^z+1

z + 1 ]d

ε

= ^d

z+1

z + 1 ⁻ ε^z+1

z + 1 ^{(z ̸= −1),} [log t]^d_ε= log d − log ε (z = −1).

Pf.

∫ d 0

t^zdt :=









 lim

ε→0⁺

(∫ d ε

t^zdt + ^ε

z+1

z + 1 )

= ^d

z+1

z + 1 ^{(z ̸= −1),}

ε→0lim⁺ (∫ d

ε

dt

t ^{+ log ε} )

= log d (z = −1). Hadamard の有限部分という.

Hadamard 正則化 , Hadamard の有限部分  Partie finie

∫ d 0

t^zdt はz ≤ −1のときt = 0の近傍の寄与のせいで発散. 積分領域から, 0のε-近傍(ε > 0)を取り除き,

∫ d ε

t^zdt をεで(Laurent)級数展開し, ε → 0⁺で発散する部分を捨てる.

∫ d ε

t^zdt =









 [ t^z+1

z + 1 ]d

ε

= ^d

z+1

z + 1 ⁻ ε^z+1

z + 1 ^{(z ̸= −1),} [log t]^d_ε= log d − log ε (z = −1).

Pf.

∫ d 0

t^zdt :=









 lim

ε→0⁺

(∫ d ε

t^zdt + ^ε

z+1

z + 1 )

= ^d

z+1

z + 1 ^{(z ̸= −1),}

ε→0lim⁺ (∫ d

ε

dt

t ^{+ log ε} )

= log d (z = −1). Hadamard の有限部分という.

. . . . . .

解析接続  AC

冪を複素数と思い

∫ d 0

t^zdtをzの関数と思う（f (z)とかく）.

f : C ∋ z 7→

∫ d 0

t^zdt ∈ C はℜez > −1のとき正則で,このとき

f (z) = ^d

z+1

z + 1 (ℜez > −1).

f の定義域を解析接続で^C全体に広げ, C上の有理型関数を得る. これをAC

∫ d 0

t^zdtとかくことにする. 極はz = −1で留数は1.

解析接続  AC

冪を複素数と思い

∫ d 0

t^zdtをzの関数と思う（f (z)とかく）.

f : C ∋ z 7→

∫ d 0

t^zdt ∈ C はℜez > −1のとき正則で,このとき

f (z) = ^d

z+1

z + 1 (ℜez > −1).

f の定義域を解析接続で^C全体に広げ, C上の有理型関数を得る. これをAC

∫ d 0

t^zdtとかくことにする. 極はz = −1で留数は1.

. . . . . .

Hadamard 正則化 = 解析接続

Hadamard 有限部分Pf.^∫₀^dt^zdtと解析接続で得られるAC^∫₀^dt^zdtは 次の意味で同じ.

AC^∫₀^dt^zdtが極を持つz = −1以外で

Pf.

∫ d 0

t^zdt = AC

∫ d 0

t^zdt= ^d

z+1

z + 1^.

AC^∫₀^dt^zdtの極z = −1で

Pf.

∫ d 0

t⁻¹dt = lim

z→−1

( AC

∫ d 0

t^zdt −^{Res(f, −1)} z + 1

)

= log d.

以下,解析接続の方法で記述する.

Hadamard 正則化 = 解析接続

Hadamard 有限部分Pf.^∫₀^dt^zdtと解析接続で得られるAC^∫₀^dt^zdtは 次の意味で同じ.

AC^∫₀^dt^zdtが極を持つz = −1以外で Pf.

∫ d 0

t^zdt = AC

∫ d 0

t^zdt= ^d

z+1

z + 1^.

AC^∫₀^dt^zdtの極z = −1で

Pf.

∫ d 0

t⁻¹dt = lim

z→−1

( AC

∫ d 0

t^zdt −^{Res(f, −1)} z + 1

)

= log d.

以下,解析接続の方法で記述する.

. . . . . .

Hadamard 正則化 = 解析接続

Hadamard 有限部分Pf.^∫₀^dt^zdtと解析接続で得られるAC^∫₀^dt^zdtは 次の意味で同じ.

AC^∫₀^dt^zdtが極を持つz = −1以外で Pf.

∫ d 0

t^zdt = AC

∫ d 0

t^zdt= ^d

z+1

z + 1^.

AC^∫₀^dt^zdtの極z = −1で Pf.

∫ d 0

t⁻¹dt = lim

z→−1

( AC

∫ d 0

t^zdt −^{Res(f, −1)} z + 1

)

= log d. 以下,解析接続の方法で記述する.

Hadamard 正則化 = 解析接続

Hadamard 有限部分Pf.^∫₀^dt^zdtと解析接続で得られるAC^∫₀^dt^zdtは 次の意味で同じ.

AC^∫₀^dt^zdtが極を持つz = −1以外で Pf.

∫ d 0

t^zdt = AC

∫ d 0

t^zdt= ^d

z+1

z + 1^.

AC^∫₀^dt^zdtの極z = −1で Pf.

∫ d 0

t⁻¹dt = lim

z→−1

( AC

∫ d 0

t^zdt −^{Res(f, −1)} z + 1

)

= log d. 以下,解析接続の方法で記述する.

. . . . . .

解析接続（後で使う形）

Iz(X) =

∫

X×X

|x − y|^zdxdyは次の形に帰着される:

∫ δ 0

t^wφ(t) dt =

∫ ₁

0

t^w [

φ(t) − φ(0) − φ^′(0)t − · · · − ^φ

(k−1)₍₀₎

(k − 1)! ^t

k−1

] dt

+

∫ δ 1

t^wφ(t) dt + ^∑

1≤j≤k

φ^(j−1)(0) (j − 1)! (w + j) (δ = diamX)

φ(t)がC^k-級=⇒ w 7→ RHS はℜe w > −k − 1で有理型 持ち得る極：w = −1, . . . , −kで一位の極

w = −jでの留数は^φ(j−1)(0) (j − 1)!

..back to閉部分多様体._.back toコンパクトボディ

Riesz エネルギーからベータ関数へ

Xを固定. 滑らかとする. C_{∋ z 7→}

∫

X×X

|x − y|^zdxdy ∈ C (ℜez > − dim X) の定義域を解析接続(AC)で ^Cに拡げる.

1位の極のみを持つ有理型関数BX(z)を得る.

Xのベータ関数と呼ぶ. (結び目→ Brylinski 1999,閉（超）曲面→ Fuller-Vemuri 2015,コンパクトボディ→ O.-Solanes).

X : C^k+1-級 (k ≥ 1)なら BX(z) の定義域が変わる.

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Riesz エネルギーからベータ関数へ

Xを固定. 滑らかとする. C_{∋ z 7→}

∫

X×X

|x − y|^zdxdy ∈ C (ℜez > − dim X) の定義域を解析接続(AC)で ^Cに拡げる.

1位の極のみを持つ有理型関数BX(z)を得る.

Xのベータ関数と呼ぶ. (結び目→ Brylinski 1999,閉（超）曲面→ Fuller-Vemuri 2015,コンパクトボディ→ O.-Solanes).

X : C^k+1-級 (k ≥ 1)なら BX(z) の定義域が変わる.

積分の正則化 ∼ 閉部分多様体 ^M の場合

∫

M×M

|x − y|^zdxdy =

∫

M

(∫

M

|x − y|^zdy )

dx x ∈ M 固定. δ := Mの直径.

∫

M

|x − y|^zdy=

∫ δ 0

t^zψ_M,x^′ (t)dt, ただし ψM,x(t) := Vol(M ∩ Bt(x)). ^..説明

∫ δ 0

t^zψ_M,x^′ (t) dtは ^{..前のスライドの方法} で正則化できる.

ψM,x(t)のtでの級数展開(Karp-Pinsky 1989 最初の2項を計算) M ∩ Bt(x)はextrinsic ball と呼ばれる.

. . . . . .

Extrinsic ball の体積とベータ関数の留数

M : C^k+1-級(k ≥ 1) ⇒ ∃ϕ_M,x C^k-級 s.t. ψ^′_M,x(t) = t^m−1ϕ_M,x(t). ϕ^(2j−1)_M,x (0) = 0 (1 ≤ 2j − 1 ≤ k) ⇒ tの冪は1つ飛び.

ϕ_M,x(0) = Vol (S^m−1) = σ_m−1. I_z(M ) =

∫

M

∫

M

|x − y|^zdydx =

∫

M

∫ δ 0

t^zψ^′_M,x(t) dtdx

=

∫ δ 0

t^z+m−1

∫

M

ϕ_M,x(t) dxdt. BM(z)はℜez > −m − k で有理型.

z = −m − 2i (0 ≤ 2i ≤ k − 1) で1位の極を持ち得て, Res(B_M, −m − 2i) =

∫

M

ϕ⁽²ⁱ⁾_M,x(0)dx, Res(BM, −m) = σ_m−1Vol(M ). 注：留数が0になることもある.

Extrinsic ball の体積とベータ関数の留数

M : C^k+1-級(k ≥ 1) ⇒ ∃ϕ_M,x C^k-級 s.t. ψ^′_M,x(t) = t^m−1ϕ_M,x(t). ϕ^(2j−1)_M,x (0) = 0 (1 ≤ 2j − 1 ≤ k) ⇒ tの冪は1つ飛び.

ϕ_M,x(0) = Vol (S^m−1) = σ_m−1. I_z(M ) =

∫

M

∫

M

|x − y|^zdydx =

∫

M

∫ δ 0

t^zψ^′_M,x(t) dtdx

=

∫ δ 0

t^z+m−1

∫

M

ϕ_M,x(t) dxdt. BM(z)はℜez > −m − k で有理型.

z = −m − 2i (0 ≤ 2i ≤ k − 1) で1位の極を持ち得て, Res(B_M, −m − 2i) =

∫

M

ϕ⁽²ⁱ⁾_M,x(0)dx, Res(BM, −m) = σ_m−1Vol(M ). 注：留数が0になることもある.

. . . . . .

結び目のベータ関数 (Brylinski ’99)

結び目のベータ関数 BK(z).

ψ_K,x(t) = Length(K ∩ B_t(x)) = 2t +^κ

2

12^t

3_{+ O(t}5_{) .}

極は z = −1, −3, −5, . . . その留数は z = −1   2Length(K)

z = −3   ¹ 4

∫

K

κ²ds

z = −2 のときBK(−2) =結び目のメビウスエネルギー 単位円◦では B_◦(z) = B^{( z}

2 ⁺ 1 2^,

1 2

)

閉曲面のベータ関数 (Fuller-Vemuri ’15)

閉曲面のベータ関数 B_M(z)

ψ_M,x(t) = Area(M ∩ B_t(x)) = πt²+ ^π

32^{(κ1− κ2)}

2_t4_{+ O(t}6_{) .}

極は z = −2, −4, −6, . . . その留数は z = −2   2πArea(M )

z = −4   ^π 8

∫

M

(κ₁− κ2^)2dµ   (M ⊂ R³のとき) n次元単位球面ではBSⁿ(z) = 2^z+nωn−1ωnB^(z

2 ⁺ n 2^,

n 2 )

, ただし ωk= Area(S^k)

. . . . . .

コンパクトボディの場合

.Lemma ..

...

Ω をコンパクトボディとする. ℜz > −nかつ z ̸= −2 ならば

∫

Ω×Ω

|x − y|^zdxdy = ⁻¹ (z + 2)(z + n)

∫

∂Ω×∂Ω

|x − y|^z+2⟨nx, ny⟩ dxdy. ただし ⁿx, ny は外向き単位法ベクトル.

ψ_ν,x(t) :=

∫

∂Ω∩Bxⁿ(t)

⟨nx^{, n}y⟩ dy, ϕ_ν,x(t) = ψ_ν,x^′ (t), とおくと

∫

Ω×Ω

|x − y|^zdxdy = ⁻¹ (z + 2)(z + n)

∫ δ 0

t^z+2 (∫

∂Ω

ϕ_ν,x(t) dx )

dt 正則化は^{..先と同様}.

コンパクトボディのベータ関数の留数

Rⁿ_{⊃ Ω}ⁿ _{: コンパクトボディ,境界 ∂Ω は滑らかとする.} .Theorem (O.-Solanes (Barcelona))

..

...

B_Ω(z)は1位の極を z = −n, −n − 1, −n − 3, −n − 5, . . . に持ちうる. Res(B_Ω, −n) = σ_n−1Vol(Ω),

Res(B_Ω, −n − 1) = −^σn−2

n − 1^Vol(∂Ω), Res(BΩ, −n − 3) = − ^σn−2

24(n²− 1)

∫

∂Ω

(3(n − 1)²H²− 4K)dµ, 但し, ∂Ωの主曲率をk₁, . . . , knとして, H = _n−1^{1 ∑}_iki は平均曲率, K =^∑_i<jkikj はスカラー曲率. σj = Vol (S^j).

Ω : C^k+1-級 (k ≥ 1) ⇒ BΩ(z)は ℜez > −n − k−1で有理型.

. . . . . .

n = 2, 3 の場合 (with Solanes)

R² _{⊃ Ω:コンパクトボディ. 極は}z = −2, −3, −5, . . . B_Ω(z)の留数: z = −2 2π Area(Ω)

z = −3 −2Length(∂Ω) z = −5 − ¹

12

∫

∂Ω

κ²ds

R³ _{⊃ Ω:コンパクトボディ. 極は}z = −3, −4, −6, . . . B_Ω(z)の留数: z = −3 2π Vol(Ω)

z = −4 −π Area(∂Ω)

z = −6 ^π

24

∫

∂Ω

(3H²− K)dµ = ^π 8

∫

∂Ω

H²dµ −^π

2

12^χ(∂Ω)

Riesz エネルギーの正則化で得られる量

(H) Hadamard正則化 (X: fixed, z ∈ R: fixed)

∫

X_×X\∆ε

|x − y|^zdxdy をεで(Laurent)級数展開する

(∆εは対角成分∆のε-近傍 ∆ε= {(x, y) ∈ R³× R³: |x − y| ≤ ε}) {(a) Laurent級数の負冪の係数

(b)定数項(Hadamardの有限部分) Pf.^∫_X×X|x − y|^zdxdy (AC)解析接続 (X: fixed, z ∈ C: 動かす)

ℜez > − dim Xで^∫_X×X|x − y|^zdxdyはzの正則関数

解析接続_{⇝ C}上の有理型関数BX(z). これは1位の極のみ持つ.





 (a)留数

(b) BX(z0) (z0:極でない), lim

z_→z0

(

BX(z) −^{z0での留数} z− z0

) (z0:極)

(a):localな量の積分,(b):globalな量の積分

. . . . . .

ベータ関数による同定問題

ベータ関数で多様体Xが決まるか？ .Problem 1

.. ...

BX(z) = B_X^′(z) (∀z ∈ C) =⇒ X = X^′ (Rⁿの合同変換を除き) ? NO. (“generic ”な平面凸多角形なら YES)

.Problem 2 ..

...

ベータ関数でボール・球面が決まるか？

“YES”.

凸か一般 かで状況が異なる.

ベータ関数による同定問題

ベータ関数で多様体Xが決まるか？ .Problem 1

.. ...

BX(z) = B_X^′(z) (∀z ∈ C) =⇒ X = X^′ (Rⁿの合同変換を除き) ? NO. (“generic ”な平面凸多角形なら YES)

.Problem 2 ..

...

ベータ関数でボール・球面が決まるか？

“YES”.

凸か一般 かで状況が異なる.

. . . . . .

ベータ関数による同定問題

ベータ関数で多様体Xが決まるか？ .Problem 1

.. ...

BX(z) = B_X^′(z) (∀z ∈ C) =⇒ X = X^′ (Rⁿの合同変換を除き) ? NO. (“generic ”な平面凸多角形なら YES)

.Problem 2 ..

...

ベータ関数でボール・球面が決まるか？

“YES”.

凸か一般 かで状況が異なる.

ベータ関数による同定問題

ベータ関数で多様体Xが決まるか？ .Problem 1

.. ...

BX(z) = B_X^′(z) (∀z ∈ C) =⇒ X = X^′ (Rⁿの合同変換を除き) ? NO. (“generic ”な平面凸多角形なら YES)

.Problem 2 ..

...

ベータ関数でボール・球面が決まるか？

“YES”.

凸か一般 かで状況が異なる.

. . . . . .

反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

. . . . . .

反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

. . . . . .

反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

. . . . . .

反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

Waksman (’85)によれば,この例は例外的.

. . . . . .

Generic 平面凸多角形

.Theorem (Waksman ’85) ..

...

Ωを平面凸多角形とする. ∂Ω がgeneric ならば, ΩはB_Ω(z)で決まる.

“generic”⇔平行な辺がない,など. ^..Definition of generic polygons

正多角形は genericでない.

凸とは限らない場合の Caelli による反例を作る方法

Caelli (’80) は,ベータ関数は同じだが合同でないような平面領域の対を

作る方法を与えた.

..二点間距離分布 と BX(z)

1

2 3

1 2

䃈 䃈

䃈

䃈 I1 2

L

L

q/p = 1/3

直線 L1 とL2 のなす角(q/p)π. Ij : 直線 Lj に関する折り返し. R = I₁I₂ : 角2(q/p)π の回転. Ωj : Lj に関し対称, IjΩj = Ωj

Ω₃ : Rに関し回転対称 RΩ₃ = Ω₃ I1Ω3 ̸= Ω3 と仮定する.

X :=Ω₁∪ Ω3∪Ω₂ X^′ :=Ω₁∪ Ω₃∪RΩ₂

. . . . . .

凸体の中でのボールの特徴づけ

.Problem 2 ..

...

BX(z)はボール・球面を特徴付けるか?

.Theorem (Davy ’84, Santal´o ’86, Schneider ’85) ..

...

与えられた体積 V を持つ凸体の中で,ボールのみが Rieszエネルギー B_•(s) (−n < s < 0)の最大を与える.

V =√BΩ⁽⁰⁾なので .Corollary

.. ...

凸体の中ではボールはベータ関数で特徴付けられる. 別証明：凸体ならば B_Ω ⇔ 二点間距離分布 ⇔ 弦長分布 ^.. 積分幾何の Croftonの公式より 弦長分布_{⇝ Ω}と∂Ωの体積 +一般の等周不等式

ベータ関数によるボール・球面の特徴付け

.Theorem ..

...

X : Rⁿの閉部分多様体またはコンパクトボディ.

Rⁿの合同変換を除き以下が成立する.

1... _{X : C}²_{-級 コンパクトボディ, BX = BB}n_{(r) ⇒ X = B}ⁿ_(r). 2... _{X : C}³_{-級, BX = B}

B^n′(r) ^{⇒ n′} = n & X = Bⁿ(r). ...

3 _{X : C}³_{-級, BX = B}

S¹(r) ^{⇒ X = S1(r).}

4... _{X : C}⁴_-級, codimX ≤ 1, BX = B_S2_(r) ⇒ n = 3 & X = S²(r).

..証明に必要な留数の数 ⇝ C^k . codimX > 0 & ∂X ̸= ∅だと ？ .Corollary

.. ...

定理と同じ条件で,ボール,円周,および2次元球面は 二点間距離分布 で 特徴付けられる. ^..IDD

. . . . . .

ご清聴ありがとうございました

mille feuilles =千葉

結び目のメビウスエネルギー ^B

(−2) の動機

結び目のよい形を求め たい.

与えられた結び目型の 中で,エネルギー最小の 形として.

使うエネルギー

Pf.^∫_K×K|x − y|⁻²dxdy

..Back

. . . . . .

閉部分多様体 ^M の場合

∫

M

|x − y|^zdy= lim

max |ti−ti−1|→0

∑

i

ti^z Vol⁽M ∩ (Bti^{(x) \ B}t_i−1(x))⁾

= lim

max ∆ti→0

∑

i

ti^z Vol⁽M ∩ (Bti₋₁+∆ti(x) \ Bti₋₁(x))⁾ (∆ti = ti− t_i−1 )

= lim

max ∆ti→0

∑

i

t_i^{z Vol(M ∩ Bti−1+∆ti}(x)) − Vol(M ∩ B_ti−1(x))

∆ti

∆t_i

=

∫ δ 0

t^zψ_M,x^′ (t)dt,

..back

Definition of generic planar polygons

.Definition ..

...

A closed planar polygon P is generic if ...

1 No parallel sides,

2... _{|vi− vj}| are all distinct, where vk are vertices,

3... _{l±(vi, vj) and l±(vi, vj)/|vi− vj}| are all distinct, where l±^(vi, vj) is the altitude of v_i from the line containing the edge through v_j, ...

4 No collinear three vertices.

..back

. . . . . .

二点間距離分布 Interpoint Distance Distribution

Xの二点間距離分布f (r) (r ≥ 0) を下で定める:

f (r) := µ({(x, y) ∈ X × X : |x − y| ≤ r}), するとベータ関数は二点間距離分布から求まる.

BX(s) =

∫

X×X

|x − y|^sdxdy =

∫ _∞

0

r^sf^′(r) dr = (Mf^′)(s + 1), ただし MはMellin変換. これは逆Mellin変換を持ち,ベータ関数 から二点間距離分布が得られる.

ΩをコンパクトボディとするとBlaschke-Petkantschinの公式により Interpoint Distance Distribution ⇐⇒ Chord Length Distribution

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Regularity と留数の数

閉部分多様体の場合. M : C^k+1-級 (k ≥ 1)とする. BM(z)は極を z = −m − 2i (0 ≤ 2i ≤ k − 1)で持ち得て Res(B_M, −m) = σ_m−1Vol(M ).

コンパクトボディの場合. Ω : C^k+1-級(k ≥ 1) とする.

B_Ω(z)は極をz = −n, −n − (2i + 1) (1 < 2i + 1 < k)で持ち得て, Res(B_Ω, −n) = σ_n−1Vol(Ω),

Res(B_Ω, −n − 1) = −(σ_n−2/n − 1)Vol(∂Ω).

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