練習問題(解答付)

14 

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全文

(1)

練習問題1 (2014418日出題)  学籍番号 氏名

(解いた本人の名前のみを記入すること。本人以外の名前を書くことは不正行為とみなす。)

問題1.30代の会社員を40名選んで年間所得(万円)を調査したところ、以下のデータを得た。

310, 340,

410, 420, 430, 440, 470, 480,

510, 510, 520, 530, 540, 545, 560, 560, 580, 590, 610, 630, 640, 660, 670, 660, 680,

710, 730, 740, 745, 760, 780,

855, 860, 870, 870, 980,

1020, 1070,

1210, 1360

(1)図1上にこのデータのヒストグラムを描きなさい.ただし階級の区切りを0,100,200, . . . ,1400

とすること。

(2)図2上にヒストグラムを描きなさい.ただし階級の区切りを0,50,100,150, . . . ,1400とする

こと。

(3)このデータのメディアンを求めなさい。(1)で描いたヒストグラムの横軸にメディアンの 位置を矢印で示しなさい。

(4)二つのヒストグラムの違いを書きなさい。

答え:このデータでは、階級幅が100のヒストグラムの形状が比較的なめらかであり、分布の様子

がわかる。一方、、階級幅が50のヒストグラムは形がぎざぎざで分布の様子がとらえにくい。

Histogram of sal$salary

Frequency

2

4

6

8

(2)

練習問題2 (2014年5月2日出題)

問題1.以下の式を∑記号を用いない式で書き表わしなさい.ただし

aは数である.

(1)

5

i=1

xi =x1+x2 +x3+x4+x5

(2)

n

i=1

xi =x1+x2 +· · ·+xn

(3)

n

i=1

x2

i =x

2

1+x

2

2+· · ·+x

2 n (4) n ∑ i=1

(xi−a) = (x1 −a) + (x2−a) +· · ·+ (xn−a)

=x1+x2+x3+x4+· · ·+xn−na

問題2.以下の式を∑

記号を用いて書き表わしなさい.

(1) x1+x2+· · ·+xn =

n

i=1

xi

(2) x2+x3+x4+x5 = 5

i=2

xi

問題3.以下の式をが成り立つことを証明しなさい

n

i=1

(xi−x) = 0¯

証明

n

i=1

(xi−x) =¯ n

i=1

xi+ n

i=1

(x)¯

=

n

i=1

xi− n ∑ i=1 ¯ x = n ∑ i=1

xi−n¯x

=

n

i=1

xi− n

i=1

(3)

練習問題3(解答付き) (2016年5月6日出題)

問題1.データ(高校生のこづかい、単位千円)

4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 15, 18, 20, 50

このデータについて以下の値を求めなさい.

(1) 第1四分位数=6, 第2四分位数=9.5, 第3四分位数=12 (2)範囲=504 = 46

(3)四分位範囲=126 = 6

問題2.(分散、標準偏差)以下は,あるクラスの英語の点数である.

2, 4, 6, 8, 10

(1)このデータの平均x¯を求めなさい.

(2)このデータの分散S2

xと標準偏差Sxを求めなさい.計算式も書く.

解答(1)

¯ x= 6

解答(2)

(x1−x)¯ 2

+ (x2−x)¯ 2

+ (x3−x)¯ 2

+ (x4−x)¯ 2

+ (x5−x)¯ 2

=(26)2

+ (46)2

+ (66)2

+ (86)2

+ (106)2

=(4)2

+ (2)2

+ 02

+ 22

+ 42

=16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

したがって

S2

x =

40 5 = 8

標準偏差は

Sx = √

(4)

練習問題4 (2016516日出題)  学籍番号 氏名

(解いた本人の名前のみを記入すること。本人以外の名前を書くことは不正行為とみなす。)

問題1 以下はあるクラスの数学の試験の点数である.

A君 B君 C君 D君 E君 数学 77, 79, 80, 81, 83

(1) 数学の点の標準偏差を求めなさい.

(2) 数学の点数の標準化したデータを求めなさい.

解答(1)

S2

x =

1 5

{ (3)2

+ (1)2

+ (0)2

+ (1)2

+ (3)2} =4

したがってSx = 2

(2)標準化したデータは

−1.5, 0.5, 0, 0.5, 1.5

(5)

練習問題5 (523日出題)(解答)

問題1.n個の個体について,二つの変数xとyについてデータ

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)

で与えられているとする.xとyの共分散および相関係数の定義を書きなさい.

Sxy =

1 n

n

i=1

(xi−x)(y¯ i−y)¯

r= Sxy SxSy

問題2.以下のデータは,ある中学のクラスの5人の(1週間の)数学の勉強時間(時間)と数学の

点数である.

勉強時間(xi) 数学の点数(yi) (xi−x)¯ (yi−y)¯ (xi−x)(y¯ i−y)¯

11 71 -2 -2 4

12 73 -1 0 0

13 72 0 -1 0

14 74 1 1 1

15 75 2 2 4

和 9

(1)表を完成させて,勉強時間と数学の点の共分散を求めなさい。(式も書く)

¯

x= 13, ¯y= 73である.これらを用いて表を完成させる.したがって共分散は

Sxy =

9 5 = 1.8

である.

(2)勉強時間と数学の点の相関係数を求めなさい。(式も書く) 以下の公式を用いて相関係数を求める.

r =

n

i=1

(xi−x)(y¯ i−y)¯

v u u t n ∑ i=1

(xi−x)¯ 2 n

i=1

(yi−y)¯ 2

n

i=1

(xi−x)¯ 2

= (2)2

+ (1)2

+ (0)2

+ (1)2

+ (2)2

= 10

n

i=1

(yi−y)¯ 2

= (2)2

+ (0)2

+ (1)2

+ (1)2

+ (2)2

= 10

であるから,相関係数は

r = 9

10×10 = 9

10 = 0.9

(6)

統計学入門 練習問題6 (530日実施,正答付き)

下の表は,郊外の五つの駅の周辺人口と各駅の1日平均乗車数のデータ(架空)である.

xi 周辺人口(万人) yi 駅乗車数(万人)

5 5

6 8

7 7

8 6

9 9

(1)散布図にデータを描きなさい

(2)以下の表を完成させて、回帰式を求めなさい.

xi yi (xi−x)¯ (yi−y)¯ (xi −x)¯ 2

(xi−x)(y¯ i−y)¯

5 5 -2 -2 4 4

6 8 -1 1 1 -1

7 7 0 0 0 0

8 6 1 -1 1 -1

9 9 2 2 4 4

和 0 0 10 6

¯

x=7, y¯= 7

b=6/10 = 0.6, a= 70.6×7 = 2.8

である.回帰式は

ˆ

y= 2.8 + 0.6x

(3)回帰直線を散布図上に描きなさい。

解答:散布図を見て下さい。回帰直線が点(¯x,y) = (7,¯ 7)を通ることに注意すること。(回帰直線は常

(7)

練習問題7 (66日出題)

下の表は,ある5企業の広告費と売上高のデータ(架空)である.

xi 広告費(百万円) yi 売上高(百万円)

2 11

2 13

4 13

6 13

6 15

(1) 以下の表を完成させて、回帰式を求めなさい.

xi yi (xi−x)¯ (yi−y)¯ (xi−x)¯ 2

(xi−x)(y¯ i−y)¯

2 11 -2 -2 4 4

2 13 -2 0 4 0

4 13 0 0 0 0

6 13 2 0 4 0

6 15 2 2 4 4

和 16 8

答 x¯= 4, ¯y = 13であるので、上のように表を完成させる。

b= 8

16 = 0.5

a=¯y0.5¯x= 132 = 11

したがって回帰式は

ˆ

y= 11 + 0.5x

である。

(2) 以下の表を完成させて、決定係数を求めなさい.

xi yi yˆi (ˆyi−y)¯ (ˆyi−y)¯ 2

(yi−y)¯ 2

2 11 12 -1 1 4

2 13 12 -1 1 0

4 13 13 0 0 0

6 13 14 1 1 0

6 15 14 1 1 4

和 4 8

答 決定係数は

R2

=4 8 = 0.5

(8)

統計学入門 練習問題8(620日出題)(正答付き)

問題1

(1) nCr =

n! r!(nr)!

(2) 6C3 =

6! 3!3! =

6×5×4 3×2 = 20

(3) 6C1 =

6! 1!5! = 6

(4) 6個の科目から3個の科目を選ぶ場合の数.

答え:

6C3 =

6! 3!3! = 20

であるから20通り.

問題2

1から4までの数が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある.これらのカードの中から2枚のカード

を無作為に引く試行を考える.

(1) この試行の標本空間を書きなさい.

Ω ={{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4} }

ただし,たとえば{1,2}は1のカードと2のカードが引かれる結果を意味する.

(2) 引かれた2枚のカードに1が書かれたカードが含まれる確率を求めなさい.

P(1が書かれたカードが含まれる) = P ({{1,2}, {1,3}, {1,4}} ) = 3 6 =

1 2

問題3

(1) コインを4回投げるとき,4回とも裏が出る確率を求めなさい.

答え:この試行の結果を,たとえば表,表,裏,裏の順になる結果をHHTTと表すとする.

P({TTTT}) = 1 16

(2) コインを4回投げるとき,少なくとも1回表が出る確率を求めなさい.

答え:

(9)

統計学入門 練習問題9 問題1

Z N(0,1)とする。このとき以下の確率を求めなさい。

(1) P(Z >1.5) = 0.067(付表1から)

(2) P(Z ≦1.5) = 10.067 = 0.933

問題2

X N(40,4) とする。このとき以下の確率を求めなさい。

(1)

P(X >43) =P (

X40 2 >

4340 2

) =P

(

X40 2 >1.5

)

= 0.067

(2) P(X ≦43) = 1P(X >43) = 10.067 = 0.933 (3)

P(X ≦42) =P (

X40

2 ≦

4240 2

)

=P (

X40

2 ≦1

)

= 1P (

X40 2 >1

)

(10)

統計学入門 練習問題10 2016年11月11日 学籍番号 氏名

問題1

自由度kの χ2

分布の定義を書きなさい。

答え: Z1, Z2,· · · , Zk は独立で、それぞれが標準正規分布 N(0,1)に従う確率変数であるとする。い

まY を

Y =Z2

1 +Z

2

2 +· · ·+Z

2 k

で定義するとき、確率変数 Y の確率分布を自由度 k の χ2

分布とよび、χ2

(k)で表す。

(講義ノートを参照せよ。)

問題2

Z1, Z2, . . . , Z10は独立で、それぞれ N(0,1)に従うとする。

このとき

Z2

1 +Z

2

2 +· · ·+Z

2 10

の確率分布は何か?

答え: 自由度10の χ2分布。記号で書くと

χ2

(10).

問題3

X1, X2,· · · , X10が互いに独立で、同一の正規分布N(µ, σ

2

)にしたがう確率変数であるとする。

(

X1−X¯

)2

σ2 +

(

X2−X¯

)2

σ2 · · ·+

(

X10−X¯

)2

σ2

の確率分布は何か?

答え: 自由度9の χ2

分布。記号で書くとχ2

(11)

統計学入門 練習問題11 2016年12月16日 学籍番号 氏名

問題1(講義ノート62ページの練習問題)

ある工場では、容量の平均が300mlになるようにミネラルウォーターが製造されている。この工

場で製造されたミネラルウォーター9本の容量を測定したところ、平均はx= 298.4、標本標準偏差

はs= 2.4であった。帰無仮説 H0 :µ= 300、対立仮説 H1 :µ̸= 300として、有意水準0.05で仮説

検定を行いなさい。

答え: この場合、対立仮説は両側対立仮説であるので、両側検定を用いる。検定統計量の実現値を求

めると

x300 s/√n =

298.4300 2.4/3 =−1.6

0.8 =−2

となる。付表2からt0.025(8) = 2.306である。| −2| <2.306から帰無仮説は棄却されない。つまり、

容量の母平均が300mlと異なるとは言えない。

問題2 あるレストランでは、顧客25人に顧客満足度調査を行った。この調査では、「当レストラン

の食事について満足度をお答えください」、と聞き、-4(完全に不満足である)から4(完全に満足

である)の値で連続的に満足度を回答する(両端に-4, 4の目盛、真ん中に0の目盛が記入された線

分上に矢印で記入する)。0が「どちらとも言えない」に対応する。顧客の満足度(-4∼4の間の)を

X1, X2, . . . , X25で表す。これらの満足度は、母集団分布がN(µ, σ 2

)の正規母集団からの無作為標本

と考えられるものとする。以下の問いに答えなさい。

(1) この調査結果から、満足度の母平均がプラスであるかどうかを仮説検定を用いて知りたい。適切

な帰無仮説と対立仮説を設定しなさい。

解答

H0 :µ≤0 v.s. H1 :µ >0

(2) 調査のデータから、標本平均がx= 0.2、標本標準偏差が s= 0.8 であった。(1)で設定した帰無

仮説、対立仮説に対して有意水準0.05で仮説検定を行いなさい。

解答: この場合、対立仮説は片側対立仮説であるので、片側検定を用いる。

検定統計量の実現値を求めると

x0 s/√n =

0.2

0.8/5 = 1.25

となる。付表2からt0.05(24) = 1.711である。1.25 < 1.711から帰無仮説は棄却されない。つまり、

(12)

統計学入門 練習問題12 2016年12月23日

問題1 (2015年度学年末試験問題)

あるデパート地下の食品売り場にある商品の売り上げ個数は,1日平均 400 個,標準偏差60個であ

る.500 個準備したときに,200 個以上売れ残る確率は?(売り上げ個数は,正規分布に従うものと

仮定してよい.)

解答: この商品の売上個数をXで表せば、X N(400,602

)である。求める確率はP(X <300)であ

る。Z = (X400)/60とおけばZ N(0,1)である。したがって

P(X <300) =P (

X400 60 <

300400 60

)

=P(Z <1.67) =P(Z >1.67) = 0.048

問題2 (講義ノート7.6節の内容)

2つの確率変数X1,X2は独立で、X1 は正規分布N(µ1, σ 2

1)にしたがい、X2 は正規分布N(µ2, σ 2 2)に

したがうとする。このとき以下の確率変数の確率分布は何か?

(1) X1+X2

(2) X1−X2

解答:

(1) N(µ1+µ2, σ 2

1 +σ

2 2)

(2) N(µ1−µ2, σ 2

1 +σ

2 2)

問題3 (2015年度学年末試験問題)

都心にある自宅から東京駅まで車で送ってもらい,10時30分発の博多行き「のぞみ」に乗りたい.

過去の経験では,自宅から東京駅までの所用時間は正規分布に従い,平均は20分,標準偏差は5分

である.駅の降車場からホームまでの所要時間は5分である.10時ちょうどに車に乗った場合,列

車に乗り遅れる確率は?

解答: 自宅から東京駅までの所用時間をXで表せば、X N(20,52

)である。Z = (X20)/5とお

けばZ N(0,1)である。求める確率はP(X >25)である。

P(X >25) =P (

X20 5 >

2520 5

)

(13)

統計学入門 講義ノート内の問題の解答

講義ノート44ページ

問題7.1 サッカーのチームABが試合をするときチームAの点数をX, チームBの点数をY

する。(X, Y)の同時確率分布が以下の表で与えられているとする。たとえば,Aが1点でBが2点

である確率は0.14である。

      X Yの

   0 1 2 3 周辺確率分布

  0 0.06 0.08 0.04 0.02

  1 0.15 0.20 0.10 0.05

Y 2 0.10 0.14 0.05 0.01

  3 0 0 0 0

Xの周辺確率分布

以下の問いに答えなさい。

(1) Xの周辺確率分布、Y の周辺確率分布を求め、表に記入しなさい。

解答

      X Yの

   0 1 2 3 周辺確率分布

  0 0.06 0.08 0.04 0.02 0.20

  1 0.15 0.20 0.10 0.05 0.50

Y 2 0.10 0.14 0.05 0.01 0.30

  3 0 0 0 0 0.00

Xの周辺確率分布 0.31 0.42 0.19 0.08

(2) AとBが試合をするときAが勝つ確率を求めよ。

解答:

P(Aが勝つ) = P(X > Y) = 0.08 + 0.04 + 0.10 + 0.02 + 0.05 + 0.01 = 0.3

問題7.2 ある大学の陸上部のA君とB君は200mリレー走の練習をしている.A君,B君の順に第

1,2走者である.200mリレー走でのA君,B君の100mのタイム(秒)は独立な確率変数とし、期待

値がそれぞれ12秒, 13秒で、分散がそれぞれ0.36, 0.25であるとする。A君とB君は200mリレー走

をしたときのタイムすなわちふたりのタイムの和の期待値と分散を求めなさい。

(14)

講義ノート60ページ

問題1 以下の値を求めよ。

(1) t0.025(8)

(2) t0.025(15)

解答

(1) t0.025(8) = 2.306

(2) t0.025(15) = 2.131

例題

Aさんが1000m走を走り、9人がタイムをストップウォッチで測定した。9人の測定値の平均はx¯=

180.0、標本標準偏差はs= 0.9であった。タイムの測定値は正規分布N(µ, σ2

)にしたがうと仮定し

て、母平均µの信頼係数95%の信頼区間を求めよ。

解答 s

n ×t0.025(8) = 0.9

9×2.306 = 0.3×2.306 = 0.6918

したがって

x s

n ×t0.025(8) =180−0.6918 = 179.31, x+ √s

n ×t0.025(8) =180 + 0.6918 = 180.69

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参照

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