練習問題（解答付）

練習問題 1 (2014年 4 月 18 日出題)   学籍番号 氏名

（解いた本人の名前のみを記入すること。本人以外の名前を書くことは不正行為とみなす。） 問題１．30 代の会社員を 40 名選んで年間所得（万円）を調査したところ、以下のデータを得た。 310, 340,  410, 420, 430, 440, 470, 480,

 510, 510, 520, 530, 540, 545, 560, 560, 580, 590,    610, 630, 640, 660, 670, 660, 680,  710, 730, 740, 745, 760, 780,

 855, 860, 870, 870,    980,

   1020, 1070, _{1210,  1360}

（１）図１上にこのデータのヒストグラムを描きなさい．ただし階級の区切りを 0, 100, 200, . . . , 1400 とすること。

（２）図２上にヒストグラムを描きなさい．ただし階級の区切りを 0, 50, 100, 150, . . . , 1400 とする こと。

（３）このデータのメディアンを求めなさい。（１）で描いたヒストグラムの横軸にメディアンの 位置を矢印で示しなさい。

（４）二つのヒストグラムの違いを書きなさい。

答え：このデータでは、階級幅が 100 のヒストグラムの形状が比較的なめらかであり、分布の様子 がわかる。一方、、階級幅が 50 のヒストグラムは形がぎざぎざで分布の様子がとらえにくい。

Histogram of sal$salary

Frequency 246810

練習問題 2 (2014年 5 月 2 日出題)

問題１．以下の式を ∑ 記号を用いない式で書き表わしなさい．ただし a は数である．

(1)

5

∑

i=1

xi = x¹+ x² + x³+ x⁴+ x⁵

(2)

n

∑

i=1

xi = x¹+ x² + · · · + xⁿ

(3)

n

∑

i=1

x²_i = x²1+ x²2+ · · · + x²n

(4)

n

∑

i=1

(xi_{− a) = (x}¹ _{− a) + (x}²− a) + · · · + (xⁿ− a)

= x¹+ x²+ x³+ x⁴+ · · · + xⁿ− na 問題２．以下の式を ∑ 記号を用いて書き表わしなさい．

(1) x¹+ x²+ · · · + x^{n =}

n

∑

i=1

xi

(2) x²+ x³+ x⁴+ x⁵ =

5

∑

i=2

xi

問題３．以下の式をが成り立つことを証明しなさい

n

∑

i=1

(xi_{− ¯x) = 0}

証明

n

∑

i=1

(xi_{− ¯x) =} n

∑

i=1

xi+

n

∑

i=1

(−¯x)

=

n

∑

i=1

xi₋ n

∑

i=1

¯ x

=

n

∑

i=1

xi_{− n¯x}

=

n

∑

i=1

xi₋ n

∑

i=1

xi = 0

練習問題 3(解答付き) (2016年 5 月 6 日出題)

問題１．データ (高校生のこづかい、単位千円)

4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 15, 18, 20, 50 このデータについて以下の値を求めなさい．

(1) 第 1 四分位数=6, 第 2 四分位数=9.5， 第 3 四分位数=12 (2)範囲=50 − 4 = 46

(3)四分位範囲=12 − 6 = 6

問題２．（分散、標準偏差）以下は，あるクラスの英語の点数である． 2, 4, 6, 8, 10

(1)このデータの平均 ¯x を求めなさい．

(2)このデータの分散 S_x²と標準偏差 Sxを求めなさい．計算式も書く． 解答 (1)

¯ x = 6 解答 (2)

(x¹_{− ¯x)}²+ (x²_{− ¯x)}²+ (x³_{− ¯x)}²+ (x⁴_{− ¯x)}² + (x⁵_{− ¯x)}²

=(2 − 6)²+ (4 − 6)²+ (6 − 6)²+ (8 − 6)² + (10 − 6)²

=(−4)²+ (−2)^{2+ 02+ 22+ 42}

=16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 したがって

S_x² = ⁴⁰ 5 ^{= 8} 標準偏差は

Sx =^√8 = ^√2 × 2 × 2 = 2^√2 ≒ 2 × 1.4142 ≒ 2.83

練習問題 4 (2016年 5 月 16 日出題)   学籍番号 氏名

（解いた本人の名前のみを記入すること。本人以外の名前を書くことは不正行為とみなす。） 問題 1  以下はあるクラスの数学の試験の点数である．

A君 B 君 C 君 D 君 E 君 数学 77, 79, 80, 81, 83

(1) 数学の点の標準偏差を求めなさい．

(2) 数学の点数の標準化したデータを求めなさい． 解答 (1)

S_x² =¹

5^{(−3)

2+ (−1)^{2+ (0)2+ (1)2+ (3)2}}

=4

したがって Sx = 2 (2)標準化したデータは

−1.5, −0.5, 0, 0.5, 1.5 である。

練習問題 5   (5 月 23 日出題)(解答)

問題１．n 個の個体について，二つの変数 x と y についてデータ (x¹, y¹), (x², y²), . . . , (xn, yn)

で与えられているとする．x と y の共分散および相関係数の定義を書きなさい． Sxy =¹

n

n

∑

i=1

(xi_{− ¯x)(y}i_{− ¯y)}

r = ^Sxy SxSy

問題２．以下のデータは，ある中学のクラスの 5 人の（1 週間の）数学の勉強時間（時間）と数学の 点数である．

勉強時間 (xi) 数学の点数 (yi) (xi_{− ¯x) (y}i_{− ¯y) (x}i_{− ¯x)(y}i_{− ¯y)}

11 71 -2 -2 4

12 73 -1 0 0

13 72 0 -1 0

14 74 1 1 1

15 75 2 2 4

和 9

（１）表を完成させて，勉強時間と数学の点の共分散を求めなさい。（式も書く）

¯

x = 13, ¯y = 73である．これらを用いて表を完成させる．したがって共分散は Sxy = ⁹

5 ^{= 1.8} である．

（２）勉強時間と数学の点の相関係数を求めなさい。（式も書く） 以下の公式を用いて相関係数を求める．

r =

n

∑

i=1

(xi_{− ¯x)(y}i_{− ¯y)}

v u u t

n

∑

i=1

(xi_{− ¯x)}² n

∑

i=1

(yi_{− ¯y)}²

n

∑

i=1

(xi_{− ¯x)}

2 = (−2)²+ (−1)^{2+ (0)2+ (1)2+ (2)2 = 10}

n

∑

i=1

(yi_{− ¯y)}

2 = (−2)^{2+ (0)2}+ (−1)^{2+ (1)2+ (2)2 = 10} であるから，相関係数は

r = _√ ⁹

10 × 10 ⁼ 9

10 ^{= 0.9} となる．

統計学入門 練習問題 6   (5 月 30 日実施，正答付き)

下の表は，郊外の五つの駅の周辺人口と各駅の 1 日平均乗車数のデータ (架空) である. xi 周辺人口 (万人) yi 駅乗車数 (万人)

5 5

6 8

7 7

8 6

9 9

(1)散布図にデータを描きなさい

(2)以下の表を完成させて、回帰式を求めなさい． xi yi (xi_{− ¯x) (y}i_{− ¯y) (x}i _{− ¯x)}

2 (xi_{− ¯x)(y}i_{− ¯y)}

5 5 -2 -2 4 4

6 8 -1 1 1 -1

7 7 0 0 0 0

8 6 1 -1 1 -1

9 9 2 2 4 4

和 0 0 10 6

¯

x =7, y = 7¯

b =6/10 = 0.6, a = 7 − 0.6 × 7 = 2.8 である．回帰式は

ˆ

y = 2.8 + 0.6x

(3)回帰直線を散布図上に描きなさい。

解答：散布図を見て下さい。回帰直線が点 (¯x, ¯y) = (7, 7) を通ることに注意すること。(回帰直線は常 に (¯x, ¯y) を通ります．)

練習問題 7   (6 月 6 日出題)

下の表は，ある 5 企業の広告費と売上高のデータ (架空) である. xi 広告費 (百万円) yi 売上高 (百万円)

2 11

2 13

4 13

6 13

6 15

(1) 以下の表を完成させて、回帰式を求めなさい． xi yi (xi_{− ¯x) (y}i_{− ¯y) (x}i_{− ¯x)}

2 (xi_{− ¯x)(y}i_{− ¯y)}

2 11 -2 -2 4 4

2 13 -2 0 4 0

4 13 0 0 0 0

6 13 2 0 4 0

6 15 2 2 4 4

和 16 8

答 ¯x = 4, ¯y = 13 であるので、上のように表を完成させる。 b = ⁸

16 ^{= 0.5}

a =¯y − 0.5¯x = 13 − 2 = 11 したがって回帰式は

ˆ

y = 11 + 0.5x である。

(2) 以下の表を完成させて、決定係数を求めなさい． xi yi yˆi (ˆyi_{− ¯y) (ˆy}i_{− ¯y)}

2 (yi_{− ¯y)} 2

2 11 12 -1 1 4

2 13 12 -1 1 0

4 13 13 0 0 0

6 13 14 1 1 0

6 15 14 1 1 4

和 4 8

答 決定係数は R² =⁴

8 ^{= 0.5} である。

統計学入門 練習問題 8(6 月 20 日出題)(正答付き) 問題１

(1) nCr = ^n! r!(n − r)!

(2) ⁶C³ = ^6! 3!3! ⁼

6 × 5 × 4 3 × 2 ^{= 20}

(3) ⁶C¹ = ^6! 1!5! ^{= 6}

(4) 6個の科目から 3 個の科目を選ぶ場合の数． 答え:

6_C3 ₌

6! 3!3! ^{= 20} であるから 20 通り． 問題２

1から 4 までの数が書かれたカードがそれぞれ 1 枚ずつある．これらのカードの中から 2 枚のカード を無作為に引く試行を考える．

(1) この試行の標本空間を書きなさい．

Ω = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} }

ただし，たとえば {1, 2} は 1 のカードと 2 のカードが引かれる結果を意味する． (2) 引かれた 2 枚のカードに 1 が書かれたカードが含まれる確率を求めなさい．

P (1が書かれたカードが含まれる) = P ( {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}} ) = ³ 6 ⁼

1 2 問題３

(1) コインを 4 回投げるとき，4 回とも裏が出る確率を求めなさい．

答え：この試行の結果を，たとえば表, 表, 裏, 裏の順になる結果を HHTT と表すとする． P ({TTTT}) = ¹

16

(2) コインを 4 回投げるとき，少なくとも 1 回表が出る確率を求めなさい． 答え：

P (少なくとも 1 回表が出る) = 1 − P ({TTTT}) = ¹⁵ 16

統計学入門 練習問題 9 問題 1

Z ∼ N(0, 1) とする。このとき以下の確率を求めなさい。 (1) P (Z > 1.5) = 0.067(付表 1 から)

(2) P (Z ≦ 1.5) = 1 − 0.067 = 0.933

問題 2

X ∼ N(40, 4) とする。このとき以下の確率を求めなさい。 (1)

P (X > 43) =P^{( X − 40} 2 ^>

43 − 40 2

)

= P^{( X − 40} 2 ^{> 1.5}

)

= 0.067

(2) P (X ≦ 43) = 1 − P (X > 43) = 1 − 0.067 = 0.933 (3)

P (X ≦ 42) =P^{( X − 40} 2 ^≦

42 − 40 2

)

=P^{( X − 40} 2 ^{≦ 1}

)

= 1 − P ^{( X − 40}₂ ^{> 1} )

= 1 − 0.159 = 0.841

統計学入門 練習問題 10   2016 年 11 月 11 日 学籍番号 氏名

問題 1

自由度 k の χ²分布の定義を書きなさい。

答え: Z¹, Z², · · · , Z^k は独立で、それぞれが標準正規分布 N(0, 1) に従う確率変数であるとする。い ま Y を

Y = Z1²+ Z2²+ · · · + Zk²

で定義するとき、確率変数 Y の確率分布を自由度 k の χ²分布とよび、χ²(k) で表す。 (講義ノートを参照せよ。)

問題 2

Z¹, Z², . . . , Z¹⁰は独立で、それぞれ N(0, 1) に従うとする。 このとき

Z1² + Z2² + · · · + Z¹⁰² の確率分布は何か?

答え: 自由度 10 の χ²分布。記号で書くと χ²(10). 問題 3

X¹, X², · · · , X¹⁰が互いに独立で、同一の正規分布 N(µ, σ²)にしたがう確率変数であるとする。 (X¹_{− ¯}X⁾²

σ^{2 +}

(X²_{− ¯}X⁾² σ^{2 · · · +}

(X¹⁰_{− ¯}X⁾² σ² の確率分布は何か？

答え: 自由度 9 の χ²分布。記号で書くと χ²(9).（定理 9.1 による。）

統計学入門 練習問題 11   2016 年 12 月 16 日 学籍番号 氏名

問題 1（講義ノート 62 ページの練習問題）

ある工場では、容量の平均が 300ml になるようにミネラルウォーターが製造されている。この工 場で製造されたミネラルウォーター 9 本の容量を測定したところ、平均は x = 298.4、標本標準偏差 は s = 2.4 であった。帰無仮説 H⁰ : µ = 300、対立仮説 H¹ : µ ̸= 300 として、有意水準 0.05 で仮説 検定を行いなさい。

答え: この場合、対立仮説は両側対立仮説であるので、両側検定を用いる。検定統計量の実現値を求 めると

x − 300 s/^√n ⁼

298.4 − 300 2.4/3

=^−1.6 0.8 ^{= −2}

となる。付表 2 から t⁰.025(8) = 2.306である。| − 2| < 2.306 から帰無仮説は棄却されない。つまり、 容量の母平均が 300ml と異なるとは言えない。

問題 2 あるレストランでは、顧客 25 人に顧客満足度調査を行った。この調査では、「当レストラン の食事について満足度をお答えください」、と聞き、-4（完全に不満足である）から 4（完全に満足 である）の値で連続的に満足度を回答する（両端に-4, 4 の目盛、真ん中に 0 の目盛が記入された線 分上に矢印で記入する）。0 が「どちらとも言えない」に対応する。顧客の満足度 (-4∼4 の間の) を X¹, X², . . . , X²⁵で表す。これらの満足度は、母集団分布が N(µ, σ²)の正規母集団からの無作為標本 と考えられるものとする。以下の問いに答えなさい。

(1) この調査結果から、満足度の母平均がプラスであるかどうかを仮説検定を用いて知りたい。適切 な帰無仮説と対立仮説を設定しなさい。

解答

H⁰ : µ ≤ 0 v.s. H^{1 : µ > 0}

(2) 調査のデータから、標本平均が x = 0.2、標本標準偏差が s = 0.8 であった。(1) で設定した帰無 仮説、対立仮説に対して有意水準 0.05 で仮説検定を行いなさい。

解答: この場合、対立仮説は片側対立仮説であるので、片側検定を用いる。 検定統計量の実現値を求めると

x − 0 s/^√n ⁼

0.2

0.8/5 ^{= 1.25}

となる。付表 2 から t⁰.05(24) = 1.711である。1.25 < 1.711 から帰無仮説は棄却されない。つまり、 満足度のの母平均がプラスであるとは言えない。

統計学入門 練習問題 12   2016 年 12 月 23 日 問題 1 (2015 年度学年末試験問題)

あるデパート地下の食品売り場にある商品の売り上げ個数は，１日平均 400 個，標準偏差 60 個であ る．500 個準備したときに，200 個以上売れ残る確率は？（売り上げ個数は，正規分布に従うものと 仮定してよい．）

解答: この商品の売上個数を X で表せば、X ∼ N(400, 60²⁾である。求める確率は P (X < 300) であ る。Z = (X − 400)/60 とおけば Z ∼ N(0, 1) である。したがって

P (X < 300) =P ^{( X − 400} 60 ^<

300 − 400 60

)

=P (Z < −1.67) = P (Z > 1.67) = 0.048 問題 2 (講義ノート 7.6 節の内容)

2つの確率変数 X¹,X²は独立で、X¹ は正規分布 N(µ¹, σ1²)にしたがい、X² は正規分布 N(µ², σ2²)に したがうとする。このとき以下の確率変数の確率分布は何か?

(1) X1+ X2

(2) X¹_{− X}² 解答:

(1) N (µ¹+ µ², σ1²+ σ2²) (2) N (µ¹_{− µ}², σ1²+ σ²2)

問題 3 (2015 年度学年末試験問題)

都心にある自宅から東京駅まで車で送ってもらい，10 時 30 分発の博多行き「のぞみ」に乗りたい． 過去の経験では，自宅から東京駅までの所用時間は正規分布に従い，平均は 20 分，標準偏差は 5 分 である．駅の降車場からホームまでの所要時間は 5 分である．10 時ちょうどに車に乗った場合，列 車に乗り遅れる確率は?

解答: 自宅から東京駅までの所用時間を X で表せば、X ∼ N(20, 5²⁾である。Z = (X − 20)/5 とお けば Z ∼ N(0, 1) である。求める確率は P (X > 25) である。

P (X > 25) =P^{( X − 20} 5 ^>

25 − 20 5

)

=P (Z > 1) = 0.159

統計学入門 講義ノート内の問題の解答 講義ノート 44 ページ

問題 7.1 サッカーのチーム A と B が試合をするときチーム A の点数を X, チーム B の点数を Y と する。(X, Y ) の同時確率分布が以下の表で与えられているとする。たとえば，A が 1 点で B が 2 点 である確率は 0.14 である。

      X Yの

   0 1 2 3 周辺確率分布

   0 0.06 0.08 0.04 0.02    1 0.15 0.20 0.10 0.05 Y 2 0.10 0.14 0.05 0.01

   3 0 0 0 0

Xの周辺確率分布 以下の問いに答えなさい。

(1) Xの周辺確率分布、Y の周辺確率分布を求め、表に記入しなさい。 解答

      X Yの

   0 1 2 3 周辺確率分布

   0 0.06 0.08 0.04 0.02 0.20    1 0.15 0.20 0.10 0.05 0.50 Y 2 0.10 0.14 0.05 0.01 0.30

   3 0 0 0 0 0.00

Xの周辺確率分布 0.31 0.42 0.19 0.08 (2) Aと B が試合をするとき A が勝つ確率を求めよ。

解答：

P (Aが勝つ) = P (X > Y ) = 0.08 + 0.04 + 0.10 + 0.02 + 0.05 + 0.01 = 0.3

問題 7.2 ある大学の陸上部の A 君と B 君は 200m リレー走の練習をしている．A 君，B 君の順に第 1，2 走者である．200m リレー走での A 君，B 君の 100m のタイム (秒) は独立な確率変数とし、期待 値がそれぞれ 12 秒, 13 秒で、分散がそれぞれ 0.36, 0.25 であるとする。A 君と B 君は 200m リレー走 をしたときのタイムすなわちふたりのタイムの和の期待値と分散を求めなさい。

解答 定理 7.1 の (1) と (5) を用いる。期待値は 12 + 13 = 25, 分散は 0.36 + 0.25 = 0.61 である。

講義ノート 60 ページ

問題 1 以下の値を求めよ。 (1) t0_.025(8)

(2) t⁰.025(15) 解答

(1) t0_.025(8) = 2.306 (2) t⁰.025(15) = 2.131 例題

Aさんが 1000m 走を走り、9 人がタイムをストップウォッチで測定した。9 人の測定値の平均は ¯x = 180.0、標本標準偏差は s = 0.9 であった。タイムの測定値は正規分布 N(µ, σ²)にしたがうと仮定し て、母平均 µ の信頼係数 95% の信頼区間を求めよ。

解答

√s

n ^{× t0.025(8) =}

√0.9

9× 2.306 = 0.3 × 2.306 = 0.6918 したがって

x − √^s

n ^{× t0.025}(8) =180 − 0.6918 = 179.31, x + _√^s

n ^{× t0.025}(8) =180 + 0.6918 = 180.69 信頼係数 95% の信頼区間は [179.31, 180.69]