E in Me01 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in Me01 ans

1 _座標変換

1.1 _{平行移動と反転}

問題1. 下の図で表される座標変換について，_{(x, y)}成分と_(x^′_{, y}^′₎成分との関係を求めよ。

x

y

x'

y'

x'

y'

P (x, y)

a

b

x

y ^x

y

x'

y'

P (x, y)

x'y'

‘æ1ÛŒÀ

【解答】左図では

x^′ = x − a, (1.1)

y^′ = y − b (1.2)

行列を使って書くと

(x^′ y^′ )

=^(x y )

−^(a b )

. (1.3)

右図では（_xy系と_x^′_y^′系の座標軸が区別し易いように原点をずらして描いた。もちろん原点が一致した変換 を考えている）

x^′= −x, (1.4)

y^′= −y, (1.5)

行列を使って書くと

(x^′ y^′ )

= −^(x y )

. (1.6)

1.2 _座標回転

x

y

x'

y'

α

cosα

sinα

- sinα

cosα

e

e

問題2. 右図の座標回転(x, y) → (x^′, y^′)について以下の考える。 2-1._x^′_{, y}^′方向の単位ベクトルをそれぞれ_ex′, e_y′ と書く^*1。これ らを_xy座標系から見た成分で表せ。

【解答】単位ベクトルは大きさが₁である。これを利用して各軸へ の射影を求める。図で，_ex′の_x成分および_y成分は緑色の線で表し，

*1太字で書いたアルファベットはベクトルを表す。

2 ₁ 座標変換

ey^′のx^{成分および}y成分はシアンの線で表してある_:

ex^′ =^{(cos α} sin α )

, (1.7)

ey^′ =

(−_{sin α} cos α

)

. (1.8)

2-2.この座標回転での_{(x, y)}成分と_(x^′_{, y}^′₎成分との関係を求めよ。

x

y

x'

y'

α

x sinα

x cosα

x'

y sin α

y'

y cosα

P (x, y)

【解答】同一の点_Pの座標が，_xy座標系では_{(x, y)}と，_x^′_y^′座標系 では_(x^′_{, y}^′₎と表されるとする。図より

x^′= x cos α + y sin α, (1.9) y^′= −x sin α + y cos α (1.10)

と分かる。_x^′に関連する線をマジェンタで，_y^′に関連する線をシアン で描いた。

2-3.上の座標変換を行列表示せよ。

【解答】行列表記をすれば

(x^′ y^′

)

=

( cos α sin α

−_{sin α cos α} ) (x

y )

(1.11)

上の変換行列において，₁行目の横ベクトルは_ex′ の転置行列^t_ex′一致し，₂行目の横ベクトルは_ey′の転置 行列^t_ey′に一致する。すなわち

(x^′ y^′ )

= (_t

ex^′ t_e

y^′

)(x y )

(1.12)

のように表せる。_(1.12)式の意味を考える。規格直交化された座標系_(x^′_{, y}^′₎において，位置ベクトル_rの_x^′ 成分とは_x^′軸への正射影すなわち_ex′との内積であり，_y^′成分とは_y^′軸への正射影すなわち_ey′ との内積で ある。右辺にある

(x y )

をベクトル_rと解釈すれば，_(1.12)式は，正しく上記の内容を表している。すなわち

x^′= ex^′·r, (1.13)

y^′= ey^′·r, (1.14)

である。これについて，問題₃でも再び議論する。

2-4.この座標変換の逆変換を求めよ。求めた逆変換が回転角−_αの座標回転と一致することを確かめよ。

【解答】_(1.11)式の成分行列を，回転角_αの座標回転行列_T(α)と定義する_: T(α) : =

( cos α sin α

−_{sin α cos α} )

. (1.15)

T(α)^{の行列式は}0ではないので，逆行列が存在する。従って (x

y )

=^[T(α)^]−1(x′ y^′ )

= ¹

cos²α+ sin²α

( cos α ⁻sin α + sin α cos α

) (x^′ y^′ )

=

( cos α ⁻sin α + sin α cos α

) (x^′ y^′ )

(1.16)

と決まる。ここで三角関数の性質より (x

y )

=

( cos(−α) sin(−α)

−_{sin(−α) cos(−α)} ) (x^′

y^′ )

= T (−α)^(x′ y^′ )

. (1.17)

図から予想できた様に，回転角_αの座標回転の逆変換は，回転角−_αの座標回転となることが分かった。 問題3. _xy平面上の任意のベクトル_Aは

A= Axex+ Ayey (1.18)

と表される。ここで_Axおよび_Ayを，それぞれ_Aの_x成分および_y成分という。同様に問題₂の_x^′_y^′座標 系では，_Aは

A= Ax^′ex^′+ Ay^′ey^′ (1.19)

と表される。これらの成分間の関係を求めよ。

【解答】_(1.18)と_(1.19)は，同一のベクトルを単に違う座標系で表現したものに過ぎない。従って当然これ

らは等しい。すなわち

A_x′_ex′_{+ Ay}′_ey′ _{= Axex+ Ayey (1.20)}

が成り立つ。ここで_(1.20)の両辺に対して_ex′ との内積をとる_:

A_x′e_x′^·e_x′_{+ Ay}′e_y′ ^·e_x′ _{= Ax}e_x^·e_x′_{+ Ay}e_y^·e_x′. (1.21)

左辺では_ex′と_ey′との直交性を，右辺では_(1.7)式を用いると Ax^′ex^′·ex^′

| {z }

1

+Ay^′ey^{′ ·}ex^′

| {z }

0

= Axex^·ex^′

| {z }

cos α

+Ayey^·ex^′

| {z }

sin α

∴ _Ax′ _{= Axcos α + Aysin α (1.22)}

が導かれる。同様に_(1.20)の両辺に対して_ey′ との内積をとり，_ex′ と_ey′ との直交性および_(1.8)を用い ると

Ax^′ex^′·ey^′

| {z }

0

+Ay^′ey^{′ ·}ey^′

| {z }

1

= Axex^·ey^′

| {z }

− sin α

+Ayey^·ey^′

| {z }

cos α

∴ _Ay′ _{= −Axsin α + Aycos α (1.23)}

が導かれる。_(1.22)および_(1.23)をまとめると (A_x′

Ay^′

)

=^{( Axcos α + Aysin α}

−_{Axsin α + Aycos α} )

(1.24)

=

( cos α sin α

−_{sin α cos α} ) (A_x

Ay

)

(1.25)

と書ける。これらは_(1.9)および_(1.10)，あるいは_(1.11)と同じ形である。すなわち，座標回転に対してベク トルは，座標成分と同じ様に変換することが分かる。

(1.20)^から(1.23)の計算によって，ベクトル_Aの両辺に対して_ex′ および_ey′との内積をとると，その_x^′ 成分および_y^′成分を取り出せることが明らかになった。

✓ ✏

定義: 座標回転に対して座標と同じ様に変換する量をベクトルと呼ぶ。

✒ ✑

4 ₁ 座標変換

x

y

x'

y'

z' ^z

参考: 右図のような₃次元の座標回転を考える。_xyz座標系から見た_x^′_{, y}^′_{, z}^′ 方向の単位ベクトルを次式で表す：

e_x′ ₌



 l1

m1

n1



, e_y′ ₌



 l2

m2

n2



, e_z′ ₌



 l3

m3

n3



. (1.26)

この場合，₃次元の座標変換は次式の通りである： x^′=l¹x+ m¹y+ n¹z,

y^′=l²x+ m²y+ n²z, (1.27) z^′=l3x+ m3y+ n3z.

✎ 2次元座標回転の合成によって任意の₃次元座標変換が作られるので，ここでは詳しく述べない。

1.3 直線の記述

問題4. ある直線上にある任意の点_Pを表す位置ベクトルを_pとする。_pの満たす方程式は以下の₃つの考 え方から求められる。

1. ^{直線上のある点}A^{の位置ベクトル}aに，直線と平行なベクトル_dの定数倍を加える。

2. 原点から直線に降ろした垂線の足を_H，_Hの位置ベクトルを_hとする。_P と_Hを結ぶ線は，_hと直 交する。

3. ^{直線の上の同一でない}2^つの点S, T の位置ベクトルをそれぞれ_{s, t}とする。_P は線分_ST を適当に 内分または外分した点である。

下図を参考にして，それぞれの場合で_pを表す式を作れ。

d

a

H

h

T

S p

p

p

s

t

【解答】図を参考に問題文のヒントをそのまま数式で表せばよい。結果は

1. p= a + kd (k^{は実数のパラメータ}), (1.28)

2. (p − h) · h = 0, (1.29)

3. p= s + k(t − s) = (1 − k)s + kt (k^{は実数のパラメータ}) (1.30)

となる。

3^{つの式を比べると}(1.28)^および(1.30)^は2本の等式を含むのに対し，_(1.29)は一本の等式しか含まない。 また，_(1.28)および_(1.30)はベクトルの等式であるのに対し，_(1.29)はスカラーの等式である。以下で少し 詳しく調べる。

(1.28)^および(1.30)はベクトルに対する式なので，₂本の等式を含んでいる。等式が₂本あるのは₂次元 平面を考えているからであり，₃次元空間なら₃本，一般に_n次元空間では_n本の等式を含む。₂次元空間に

2本の等式（制約）があるため₁点を指定することになるが，実数パラメータ_kが変化することで，直線（₁ 次元のオブジェクト）が記述できる。この構造は₃次元以上でも同じで，どんな次元でも直線（₁次元のオブ ジェクト）を記述する式である。

一方，_(1.29)はスカラーに対する式なので，₁本の等式しか含まない。₃次元空間でも，一般に_n次元空間 でも等式は₁本しかない。平面を考える場合には，₂次元空間に₁本の等式があるため直線（₁次元のオブ ジェクト）を記述する。しかし₃次元空間の場合，₃次元空間に₁本の等式があるため平面（₂次元のオブ ジェクト）を記述することになる。一般に_n次元空間の場合，_n次元空間に₁本の等式があるため_{n −1}次元 超平面（_{n −1}次元のオブジェクト）を記述する。