宿題10 数理統計 2016 S1・S2 Kengo Kato

2016.7.7. 出題：加藤賢悟 宿題 10

• ^{提出期限：7/14の講義終了時．}

問題

1. X¹, . . . , Xn∼ P o(λ) i.i.d. (λ > 0)^{とする．bλ = Xとおく．このとき，} H0 : λ = λ0 vs. H1 _{: λ ̸= λ}0

という検定問題に対して，

√n|bλ − λ⁰|

√λ^{0 > zα/2⇒ reject}

という検定は近似的にサイズαをもつのであった(z_α/2= Φ⁻¹_{(1 − α/2))}．この検定の 受容域を反転させてλに対して近似的に水準_{(1 − α)}のCIを構成せよ．

2. (問題1の続き). デルタ法を認めて，^√n(g(b_{λ) − g(λ))→ N(0, 1)}^d となるような関数gを 1つ求めよ．この結果を利用して，λに対して近似的に水準_{(1 − α)}のCIを構成せよ． 3. X ∼ Ga(k, ν)^{とする．ただし，kは正の整数であって，ν > 0とする．このとき，} 2X/ν ∼ χ^2(2k)を示せ．この関係を利用して，Ga(k, ν)の_{(1 − α)}分位点をχ²(2k)の (1 − α)^分位点χ2α^{(2k)を用いて表せ．}

4. (問題1の続き). λ ∼ Ga(k, ν)という事前分布を入れる．ここで，kは正の整数であっ て，ν > 0とする．ζ^bαをλの事後分布の_{(1 − α)}分位点としたとき，ζ^bαをχ²の分位点 を用いて表せ．

5. X_n∼ Bin(n, θ), θ ∈ (0, 1)^とし，g(θ) = θ(1−θ)^{に対して水準}(1−α)^{のCIを構成するこ} とを考える．θのMLEをθ = X^b _n/nとおいたとき，デルタ法を認めて，^√n(g(b_θ)−g(θ)) の極限分布を求めよ．これにもとづいてg(θ)に対する近似的に水準_{(1 − α)}のCIを構 成せよ．

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