数B基本ノート 基礎数学B・C Kaneshita's Class note3

■ ^{解法の基本}

[ ポイント１ ] 問題解答は条件の言い換えと同じ．

解答とは



















• 与えられた条件を言い換える．

• 条件を式で表す．

• 式を書き換え，整理，まとめる．

[ 解答の流れ ] 問題の条件 _→ （言い換え） _{→ · · · →} 式

[ ポイント２ ] すべては「おく」「たてる」「とく」の三段階で解決できる．

解法の必勝法は



















• 未知の量を x などの文字でおく．

• 条件を表す式をたてる．

• 式を整理して，x についてとく．

[ 必勝法 ] おいて _→ たてて _→ とく

■ ^{学習の基本}

[ ポイント１ ] 例題の解答例をよく読む．

基本を理解するために











（１） 解答例の一文一文をよく読んで，意味を考える．

（２） 解答例を見ないで例題を解いてみる．

（３） 解答例が再現できているかを確認．

（４） 抜けている所 → その文が必要な理由を考える.

[ ポイント２ ] 演習は例題を真似して解く．

理解を定着させるために







（１） 何も見ないで問題を解く．

（２） 答えや解答例を見ながら確認．

（３） 不十分なところは例題を振り返る.

■ ^{関数の意味（ y = 3x + 2 を例として）}

• これは，入力 x と出力 y の関係を表す式である．

• 例えば，入力 x = 1 に対して，出力 y = 5 が得られる．

• x と y の関係を表す 3x + 2 に f という名前をつけることを f(x) = 3x + 2 とかく．

• f(x) の 「(x)」 は，「入力は x」を表している．f × x の意味ではないので注意．

• f(x) 以外にも g(x) や h(x)，F (x) なども使われる．（基本的には何でも OK）

■ 関数の値（入力の方法）

f (x) = 3x + 2 のとき，

f(1) = 3 · 1 + 2 = 5 ← x に 1 を代入 f(2) = 3 · 2 + 2 = 8 ← x に 2 を代入

f(−1) = 3 · (−1) + 2 = −3 + 2 = −1 ← マイナスを代入するときは括弧をつける． f(a) = 3 · a + 2 = 3a + 2 ← 代入する値が文字でも同じ．

f(a + 1) = 3 · (a + 1) + 2 = (3a + 3) + 2 = 3a + 5 ← 多項式 a + 1 を代入．括弧を 忘れると大変なことに……

g _{(x) = x}

_{+ 1 のとき，}

g(3) = 3²+ 1 = 10 ← x を 3 で置き換えるので 3 は 2 乗される． g(−1) = (−1)^{2+ 1 = 2} ← マイナスを代入するときは括弧をつける． g(a + 1) = (a + 1)²+ 1 ← x を a + 1 の塊で置き換える．括弧を忘れずに．

= (a²+ 2a + 1) + 1

= a²+ 2a + 2

h _{(x) = x}

_{+ x のとき，}

h_{(3) = 3}²_{+ 3 = 12} ← すべての x を 3 で置き換える．

h(−1) = (−1)²+ (−1) = 0 ← マイナスを代入するときは括弧をつける． h(a + 1) = (a + 1)²+ (a + 1) ← すべての x を a + 1 の塊で置き換える．

= (a²+ 2a + 1) + (a + 1)

= a²+ 3a + 2

■ 2 次関数を標準形に直す手順（ ^y = 3x

+ 12x + 5 を例として）

y= 3x²+ 12x + 5 ← x² の係数（3）に注目する

= 3(x²+ 4x) + 5 ← x の付いている項（前 2 項）だけくくり，x の係数（4）に注目する．

= 3[(x + □)² − □²] + 5 ← 括弧の中を (x + □)²− □^{2 の形にしたい.}

= 3[(x + 2)²_{− 2}²] + 5 ← □ に入るのは，x の係数の半分（今の場合は 4 の半分で 2）.

= 3(x + 2)²− 3 · 4 + 5 ← 外側の括弧を外す．展開するときには忘れずに後ろの項にも係数をかける．

= 3(x + 2)²_{− 7}

ここまで計算できたら，必ず検算をする．

y= 3(x + 2)²− 7 → 展開して元の式に戻れば正解．

= 3x²+ 12x + 5 ← この他にも，x = 0 など簡単な値を代入して確かめるのも良い．

■ 2 次関数の最大最小を求める手順

• 頂点の座標を求める．（そのためには標準形に変形．）

• 頂点が定義域内にあるかどうかを判定．

• 端の座標を求める．（定義域の端の x 座標を代入．）

• 大小を比べる．

■ −3x

+ 4x + 5 > 0 を解く手順

3x² − 4x − 5 < 0 ← x² の係数がプラスになるように −1 をかける．

3x² − 4x − 5 = 0 ← グラフを書くために，まず不等号を等号に置き換えた方程式を考える． x= ^{2 ±}

√19

3 ← 解の公式を使って解き，この点を交点とするようなグラフをかく．

3x² − 4x − 5 < 0 ← 元の不等式（x² の係数が正のもの）に戻って，グラフとの対応を考える． 2 −^√19

3 < x < ^{2 +}

√19

3 ← 上式の不等号の向きから０より下となる x が求める解になる． ここまで計算できたら，必ず検算をする．

−3(0)²+ 4 · 0 + 5 > 0 ← 解の範囲に入っている x = 0（何でもよい）を代入してみる． 5 > 0 ← 確かに不等式が正しく成立しているので，OK．

■ ^{不等式のルール}

両辺に同じものを足したり掛けたりして変形できる．負の数をかけるときだけ不等号の向きに 注意．

（1）両辺に足す．→ 不等号の向きはそのまま．（3 > 2 → 3 − 1 > 2 − 1）

（2）両辺にプラスかける．→ 不等号の向きはそのまま（3 > 2 → 3 × 2 > 2 × 2）

（3）両辺にマイナスかける．→ 不等号の向きが逆になる．（3 > 2 → 3 × (−1) < 2 × (−1)）

■ ^{グラフと式の対応．式 y} = f (x) = 2x + 1 の変形．

目標：グラフ上の操作（移動や変形）と式の上での操作（変数の置き換え）の対応関係を覚え る．

（1-1） x 軸方向 t だけ平行移動 → x を x − t で置き換える．（代入：x → x − t） y= f (x − t) = 2(x − t) + 1

（1-2） ｙ 軸方向 t だけ平行移動 → y を y − t で置き換える．（代入：y → y − t） y− t = f(x) = 2x + 1

y = 2x + 1 + t

（2-1） x 軸に関して対称移動 → 上下反転 → y を −y で置き換える．（代入：y → −y）

−y = f(x) = 2x + 1 y_{= −2x − 1}

（2-2） y 軸に関して対称移動 → 左右反転 → x を −x で置き換える．（代入：x → −x） y = f (−x) = 2(−x) + 1

= −2x + 1

（2-3） 原点に関して対称移動 → x 軸対称移動+y 軸対称移動 → x を −x，y を −y で置き 換える．（代入：x → −x，y → −y）

−y = f(−x) = 2(−x) + 1 y _{= 2x − 1}

（2-4） 直線 y = x に関して対称移動（＝逆関数） → x 軸と y 軸入れ替え → x と y を入れ 替える.（代入：x → y，y → x）

x= f (y) = 2y + 1 y = ^x

2 ⁻ 1 2

（3-1） x 軸方向に C 倍 → x を ^x

C ^{で置き換える．（代入：x →}

x C^）

y= f (^x C^{) = 2}

x

C ^{+ 1 = 2} x C ^{+ 1}

（3-2） y 軸方向に C 倍 → y を ^y

C ^{で置き換える．（代入：y →}

y C^）

y

C = f (x) = 2x + 1 y = 2Cx + C

■ y = ^{3x + 1}

2x + 1 ^{を変形する手順}

y= ^{3x + 1}

2x + 1 ^{← 分母に注目．} y= ⃝(2x + 1) + □

2x + 1 ← 分子に分母と同じ形を作りたい．

=

3

2(2x + 1) + □

2x + 1 ← 分子を展開したときに x の係数が元の式と同じになるよ うに ⃝ を決める．

=

3

2^{(2x + 1) +}

(−¹

2

)

2x + 1 ← 分子を展開したときに定数 (

+³ 2^{+ □}

)

元の式と同じ (+1) になるよう □ を決定．

= ³ 2⁺

−¹2

2x + 1 ← ２つに分けてかき，分母の x の係数に注目

= ³ 2⁺

−¹2^/2

(2x + 1) /2 ← 分母の x の係数で分母分子を割る．

= ³ 2⁺

−¹4

x + ¹₂ ← こうして分母の x の係数を１とする．

= ⁻

1 4

x + ¹2

+³ 2

ここまで計算できたら，検算をする．変形の前後の式に x の簡単な値を代入して確認（例え ば x = 0 を代入すると y = 1 になるか）．

この形に変形したら漸近線が分かる．→ 分母に注目して x = −¹

2^．（分母 = 0 で y 軸に平行な 漸近線）

→ 第 2 項に注目して y = ³

2^．（x 軸に平行な漸近線） 定義域は「分母 = 0 となる値を除く実数全体」である．（定義域：x ̸= −¹

2^）

■ ^{分数関数 y = r}

x _{− p} + q (r ̸= 0) ^{のグラフのかき方}

(1) 「漸近線（x = p, y = q）」と「あと 1 点」を求める．

（あと一点は，例えば x = p + 1 を代入してみると， (p + 1, q + r) と求まる．） (2) 求めた点から漸近線に近づくようにかく．

(3) もう一方は，点 (p, q) に関して対称となるようにかく．

定義域は「分母 = 0 となる値を除く実数全体」．（定義域：x ̸= q）

■ ^{無理関数 y = √ x} − p + q ^{のグラフのかき方}

(1) 「頂点 (p, q)」と「あと 1 点」を求める．

（あと一点は，例えば x = p + 1 を代入してみると， (p + 1, q + 1) と求まる．） (2) 「頂点」からもう一点を通るように放物線の半分をかく．

定義域は「ルートの中がゼロ以上」．（定義域：x ≥ q）

■ 2 ^{点 A(1, 2) ， B(5, 8) の間の距離の求め方．}

(1) 長めのルートを書く．中身は２つの和．

^√ +

(2)中身は「x 座標同士の差をとって 2 乗 (1 −5)^2」

+

_{√(1 − 5)}

_{+ (2 − 8)}

■ A(1, 2) ^{， B(5, 8) に対して，線分 AB を 3 : 1 に分ける内分点 P}

(P

^{, P}

) の座標の求め方．

(1) Px は A, B の x 座標同士をミックスする．(Py は y 座標同士) (2) その比率は A が ¹

3 + 1 ^{B が} 3

3 + 1^．（A の方が P から遠いので，割合を少なく．）

■ A(1, 2) ^{， B(5, 8) に対して，線分 AB を 3 : 1 に分ける外分点 P}

(P

^{, P}

) の座標の求め方．

「3 : 1 に外分」 → 「3 : −1 に内分」として計算する．（マイナスを小さい方に付けて内分の 式で計算．）