講義資料 マクロ経済学演習（財務省・2015年度） Hiroshi Morita's Homepage

1

第 2 回 ラム ヸモデル

ヷ ミ ロ的基礎 け 持 経済成長モデル - ^{ミ ロ的基礎 け 持 経済モデル}

ヷ 経済 テム 構築 方程式 家計や企業 最適化問題 導出 モデル

ヷ _IS-LMモデル ミ ロ的基礎 け い経済モデル 見 目ㄥ 経済変数 関係や経験則 基 い モデル 構築さ い

例え _IS－_LMモデル 仮定さ 消費関数

IS-LM^{モデル 消費関数} � = � + � � − ⁽¹⁾

消費_C 可処分所得_Y-T 依存 決

⇒ ミ ロ的基礎 け いモデル 現実 経済 対 当 比較的良い いく

問題 含 い

1. ^{将来 ㅖ見さ 政策変化 対 応 捉え い}

- IS-LM^{モデル 考え 経済 人々 えㅖ見さ い 消費税 増税さ} 行動 変え い 想定さ い

2. ^{人々 行動様式} Deep parameter ^{変化 モデル 動学 う変化させ わ い} -^{見 目ㄥ 関係 導 出さ 方程式 係数} (1)^式 _c ^や_� ^{人々 行動 決 い} Deep parameter ^{関数 い} IS-LM ^モデル _� ^や_� ^{変化 こ わ 何 原因}

変化 わ い

⇒ ミ ロ的基礎 け 持 経済モデル ㅖ見さ 政策 分析 可能 あ Deep parameter 変化 経済 及ぼ 影響 分析 こ

⇒ 最 基本的 ミ ロ的基礎 け 持 モデル ラム ヸモデル 最適成長モデル 呼 経済成長モデル 紹介

⇒ ラム ヸモデル 経済成長 け く 景気循環 分析 応用

- ^{経済成長モデル：時間 経過 経済 成長 いく様子 説明 経済モデル}

ヷ 経済成長モデル 流

1. ^{資本 労働 生産技術 基 い 生産物 生 出さ} 2. ^{生産物 消費 貯蓄 配分さ}

3. ^{投資 来期 資本 組 込 一方 元々あ 資本 一部 減耗} 4. ^{労働 人口成長 増加 技術進歩 生産技術 向ㄥ} 5. ^{来期 資本 労働 来期 生産物 生 出さ}

2 経済成長 メヸ 図

- ^{経済モデル 構築}

⇒ モデル化 ₌ メヸ 図 示 う 経済 数式 写

⇒ 具体的

1. ^{生産関数 生産技術} 2. ^{消費 貯蓄 配分} 3. ^{資本 蓄積}

4. ^{技術進歩ヷ人口成長} 数式 表

以ㄦ 単純化 技術進歩 捨象 労働量 常 ₁ 成長 い 仮定

3 ヷ ラム ヸモデル

- ^生産関数

⇒ 経済学 資本 労働 生産関数 基 い 生産物 生 出さ 仮定さ

生産関数 _{� = , = , = (2)}

- Y^：生産量 K^：資本量 L^：労働量 F(^ヷ)^{：生産関数}

- ^{生産関数 形状 関 仮定}

⇒ 生産関数 一次同次性 ₌ 資本 労働 規模 関 穫一定

⇒ _{z >} 対

F � , � = � , = ��

⇒ 生産要素 全 _z倍 生産量 _z倍

⇒ 資本 限界生産性 正 逓減 いく

′ _{> ,} ′′ _<

⇒ 限界生産性：生産要素 追加的 ₁単ㆮ増や 時 増加 生産物 量

⇒ 生産関数 形状

⇒ 片方 生産要素 量 固定 う一方 生産要素 投入量 増や いく 生産量 増え 増え方 ㆯㄦ いく

- ^{消費 貯蓄 配分}

⇒ ラム ヸモデル 想定 消費 決定 主体

無限期間生 合理的 代表的家計

無限期間生 ：無限 続く経済 変化 分析

合理的 ：自分 存在 い 経済 テム 完全 理解 最適 行動 こ 代表的：₁種類 家計 存在 い 家計間 異質性 存在 い

⇒ 生涯 通 ㅖ算制約 ㄦ 生涯効用 最大化 う 各期 消費水準 決

4 - ^{生涯効用関数}

生涯効用関数 _{= � + � + � + ⋯ = ∑} ^� _��

∞

�= ⁽²⁾

⇒ _U：生涯効用関数 _{u ∙} ：時 効用関数 _�：消費水準

⇒ ：主観的割引率

現在 ₀期 時 立 生涯 通 効用 考え 将来 消費 得 効用 一定 率

割 引

効用関数 生産関数 同様 形状 関 以ㄦ 仮定 u^′ � > , ^′′ � <

- ^{ㅖ算制約式}

⇒ 家計 入

1. ^{家計 資本 所有 企業へ貸 こ レンタル料}_(�^�₎ ^得 2. ^{家計 労働 企業へ 供 こ 賃金} _� ^得

⇒ 労働量 ₁ いう仮定 ㄦ

家計 入_{= �� �+ �} こ 入 消費 貯蓄 振 分け _t期 家計 ㅖ算制約式

各時 ㅖ算制約式 _{��+ �= �� �+ � (3)}

貯蓄₌投資 関係 _{��= �} 使う

各時 ㅖ算制約式 _{��+ �� = �� �+ � (3)’}

⇒ 家計 各時 直面 制約(intra-temporal)

⇒ 時間 通 動学的 経済 変化 分析 い 家計 _(3)’ 制約 加え 各時 通 制約(inter-temporal) ^{直面 い}

- ^{資本 蓄積} 資本 移式

資本 移式 _{�+ = �+ ��− � � = − � �+ �� (4)} - _δ^{：資本減耗率 元々存在 い 資本 減耗 割合}

⇒ 資本 家計 所有さ い 資本 移式 家計 う 投資 資本 変換 蓄

積 いく 表 制約条件 捉え こ

- ^{時間 通 ㅖ算制約式} (3)_{’ (4)}

時間 通 ㅖ算制約式 _{�+ = − � �+ �� �+ �− �� (5)}

⇒ 家計 直面 動学的 制約条件

⇒ こ 時間 通 ㅖ算制約式₍₅₎ 生涯効用関数₍₂₎ 最大 う 最適条件式 導出 こ

5 - ^{非ポン ヸヷ ヸム条件 横断条件}

⇒ 無限期間 問題 考え 場合

経済活動 終わ 最 無限期目 経済 満 さ け い条件

存在

(5) ^{ㅖ算制約式 全} _{t + j}^{期 成立}

K�+ + = ( − � + �_�+ ) �+ + �+ − ��+

書くこ

例え 第₀期 第₁期 け 取 出

第₀期 _{= − � + � + − � (6)}

第₁期 _{= − � + � + − � (7)}

こ 整理

+ ∑ ^�

∏ ( − � + � )^�₌

�= ^{= ∑}

�_�

∏ ( − � + � )^�₌

�= ⁺∏ ( − � + � )₌ where _{∏ = × × ⋯}

以ㄥ 代入 無限期先 行う

+ ∑ ^�

∏ ( − � + � )^�₌

∞

�= ^{= ∑}

�_�

∏ ( − � + � )^�₌

∞

�= ^{+ ��→∞}

�

∏^�−₌ ( − � + � )

⇒ 無限期間 通 ㅖ算制約式 最終項 注目

�→∞�

�

∏^�−₌ ( − � + � )

⇒ 無限期目 資本量 割引現在価値

⇒ 合理的 個人 最終期 資本量 いく う ？

1. ^横断条件 transversality condition ^{：合理的 個人 最終期 資本 残さ い}

�→∞�

�

∏^�−₌ ( − � + � )

⇒ 最 資本 残 分 消費 方 効用 高く

2. ^{非ポン ヸヷ ヸム条件} non-Ponzi game condition ^{：合理的 家計 負債 残さ い}

�→∞�

�

∏^�−₌ ( − � + � )

⇒ 横断条件 非ポン ヸヷ ヸム条件 同時 満 さ

�→∞�

�

∏^�−₌ ( − � + � )⁼

⇒ 合理的 個人 仮定 無限期間モデル い 最終期 資本 ロ

6 - ^{最適条件 導出}

ラム ヸモデル 最適化問題

{�max�^}�=0^{∞ = ∑}

� _�

�

∞

�=

Subject to

K_�+ = ( − � + �_�) _�+ _�− �_� , ∀

⇒ 動学ラ ラン ュ関数

L = E ∑^{∞ �} �_�

�= ^{+ ∑}

�_�

�

∞

�= ^{[( − � + ��) �+ �− ��− �+ ]}

⇒ 動学ラ ラン ュ関数 消費_�� 資本 _�+ 及 ラ ラン ュ乗数_� 微分 ロ 置くこ 最適化条件 導 出 必要 一階条件 導出

�

��_�^{= (8)}

�

� _�+ ^{= (9)}

�

��_�^{= (10)}

- ^{ラム ヸモデル 構成 方程式} - _Euler^方程式

⇒ ₍₈₎式 ₍₉₎式

Euler^{方程式 ′} _�� = ( − � + �_�+ ) ^′ �_�+ ⁽¹¹⁾ - ^{資本 移式}

⇒ ₍₁₀₎式

資本 移式 _�+ = ( − � + �_�) _�+ _�− �_� ⁽¹²⁾ - ^{非ポン ヸヷ ヸム条件 横断条件}

Non-Ponzi game^ヷTVC _�→∞� ^�

∏^�−₌ ( − � + � )^{= (13)}

ヷ _Euler方程式 消費 動学 決 ヷ 資本 移式 資本 動学 決

ヷ 非ポン ヸヷ ヸム条件 横断条件 最終期 経済 状態 決

⇒ こ ₃本 方程式 ラム ヸモデル け 経済 動学 特徴 け こ

7

- ^{ラム ヸモデル 分析 始 前 いく 準備}

1. Euler^{方程式 解釈}

Euler^{方程式：合理的 家計 最適 消費 択 特徴 け い}

Euler^{方程式 ′} _�� = ( − � + �_�+ ) ^′ �_�+ ⁽¹¹⁾ - ^′ _� ^{：消費 限界効用}

⇒ 消費 ₁単ㆮ変化 効用 変化分 表 い

⇒ 家計 第_�期 消費 ₁単ㆮ減 貯蓄 回 う 択 迫 い 考え

⇒ こ _Euler方程式

［左辺］限界費用：

第_t期 消費 ₁単ㆮ減 効用 ^′ _�� け減少

［右辺］限界便益：

第₁期 減 ₁単ㆮ 消費 貯蓄 回 分 け資本 ₁単ㆮ増え 第_t+1

期 _�� け資本 増え 返 く _δ 分 減耗 う 第_{t +} 期 元 貯蓄

1^{単ㆮ分 加え} _{− � + ��+} ^{け消費 増や こ 将来 消費 得 効}

用 _β 率 割 引 結 果 第 ₁ 期 ₁ 単 ㆮ 消 費 減 少 第 _t+1 期 _{( − � +}

�_�+ ) ^′ �_�+ ^{効用 増加}

⇒ _Euler方程式 成立 最適 消費水準 ㄦ 限界効用 限界費用 等 く 連続 ₂期 間 消費 変化させ ン ンテ ブ く

ヷ _Euler方程式 等号 成立 い い

′ _�

� < ( − � + �_�+ ) ^′ �_�+ こ 場合 最適 行動

こ あ う 生涯効用 高く こ

2. ^{完全競ㅗ市場 け 要素価格 レンタル料ヷ賃金 決定}

マ ロ経済学 モデル レンタル料や賃金 い 要素価格 企業 利潤最大化問題 結果

決 考え い

ヷ 企業 利潤関数

⇒ 企業 労働 資本 生産物 生 出 消費者 売 一方 労働 資本 供者 賃金 レンタ ル料 支払 い

企業 利潤関数 _{Π = Yt− � �− �� �= �, � − � �− �� � (14)}

⇒ 利潤_Π 最大 う 労働_L 資本_K 決定

⇒ 利潤 最大化 最適化条件

�Π

� = ^{�= �, � (15)}

�Π

� = ^{�� = �, � (16)}

8

⇒ 最適化問題 結果 賃金 労働 限界生産性 レンタル料 資本 限界生産性 等 く 要素価格 限界生産性 等 く う 決

3. Euler ^定理

⇒ 一次同次 生産関数 ㄦ 要素価格 限界生産性 等 く う 決 い 生

出さ 生産物 全 労働 資本 供者 配分さ 企業 利潤 ロ Y_t = _�, _{� �}+ _�, _{� �}⇔ Π =

⇒ 具体的 一次同次 生産関数 使用さ ブ＝ダ ラ 型生産関数 用い 確

ブ＝ダ ラ 型生産関数 _{��= �}^� _�^−� ₍₁₇₎

こ 関数 ㄦ

�^, � ^{= −} �^{� −�}�

�^, � ⁼ �^�− �^−�

�^, � �⁺ �^, � �^{= −} �^{� −�}� ^∙ �⁺ �^�− �^−�∙ � ^{= −} �^� �^−�+ �^� �^{−�= �}�

こ 確

- ^{ラム ヸモデル 分析}

ㄥ _{2. 3.} 考慮 入 以ㄦ う ₍₁₁₎～₍₁₂₎式 書 直 こ

Euler^{方程式 ′} _{�� = ( − � + ′ �+ )} ^′ _��+ (11)_’

資本 移式 _{�+ = − � �+ � − �� (12)’}

ヷ 定常状態

⇒ _Euler方程式 資本 移式 中 _� 出 い い

⇒ ₂ 式 _{C K} 変化 い定常状態(steady state) ^{特徴 け こ}

⇒ _{��= ��+ = � �= �+ = Euler}方程式 資本 移式 代入

消費 定常状態 _F^′ _{= − − � (18)}

資本 定常状態 _{� = − � (19)}

⇒ _{K (18)}式 満 水準 あ _{Ct= ��+} = � ⇔ Δ� =

⇒ _{C (19)}式 満 水準 あ _{Kt= �+ = ⇔ Δ =}

⇒ _F 形状や_{δ β} 値 決 定常状態 値 あ _{C K} 求 こ

9 ヷ ㆮ相図 用い 分析

⇒ ₍₁₈₎式 ₍₁₉₎式 _{ΔC = ΔK =} 表 方程式 線 意味 い _{ΔC =} 線 ΔK = ^{線 呼}

ΔC = ^線 F^′ = − − � ⁽¹⁸⁾

ΔK = ^線 � = − � ⁽¹⁹⁾

⇒ 縦軸 消費_C 横軸 資本 _K 取 平面ㄥ こ _{ΔC =} 線 _{ΔK =} 線 込 ラフ ㆮ 相図 呼

⇒ ㆮ相図 く 縦軸 ャンプ変数 横軸 先決変数 取 こ い

⇒ ㆮ相図 用い あ 経済 初期時 定常状態 う 向 いく 分析 こ

1. _{ΔC =} ^線：_F^′ = ⁄ + δ +

- _{ΔC =} ^{線ㄥ 資本量 多い}

10 2. _{ΔK =} ^線：_{C = F − �}

- _{ΔK =} ^{線ㄥ 消費量 多い}

⇒ 山 頂ㄥ 消費量 最大 _F^{′ �} _{= �} 満 さ

⇒ こ 資本量 ^� 資本 黄金 水準 呼

ヷ ㆮ相図

11 - _{ΔC =} ^線 _{ΔK =} ^{線 交わ} E ^{経済全体 定常状態}

- _C-K^平面 4 ^{分割さ 各領域} C K ^{変化 いく方向 異}

- ^{初期 資本量 ㄨえ ㄦ 定常状態 向 経済 う 変化 いく 考え}

⇒ 重要 ポ ント

- ^{合理的 家計 初期 資本量 ㄨえ} Euler^{方程式 資本 移式 非ポン ヸ ヸム条件ヷ} 横断条件 全 満 定常状態へ向 う最適 経路 見 け出 こ

- ^{初期 資本量 ㄦ 定常状態へ向 う経路ㄥ あ 最適 初期 消費量 決定}

⇒ 定常状態へ向 う最適 経路 ＝ 鞍 経路

⇒ 初期 資本量 対 鞍 経路ㄥ あ 最適 消費 初期値_C^∗ 見 け出 こ

⇒ 定常状態 向 経済 成長 いく

12 - _C^′_{< C}^{∗ 場合}

- _C^′′_{> C}^{∗ 場合}

13

⇒ 合理的 家計

自分 存在 い 経済モデル 構造 完全 理解 い 最適 初期 消費量 択 こ

経済 安定的 定常状態へ向 いく 最適化条件 満 さ い う ㄧ安定 経路 択さ い