講演資料置き場 名城大学春季セミナー2015

数理 ン 入門 ₂

加藤 恭

大阪大学大学院基礎工学研究科

大阪大学金融 保険教育研究セン _(CSFI)

[email protected]

城大学理工学部数学科 ₂₀₁₄年度春季セ

(1) _数理 ナンス おける主要研究 ー

(2) _{バ 価格付け理論 発展}

Introduction

On Mathematical Finance

数理 ナンス

 ^{金融市場 様々 現象 背後 あ 構造 、数理的 手法 用い}

分析 学問

 ^{金融市場 不確実性 伴う 様々 現象 関し}

( ^主 ) ^{確率解析的手法 用い 構造 解明 行う}

 ^{基礎工学的 (窮)理学的研究分}

 ^{代表的 研究}

 ^{金融資産 投資運用 最適化}

 ^{良い投資戦略 ？ ⇒ 最適化問 (確率制御理論)}

 ^{金融派生商品 ( ) 価格付 ( ン )}

 ^{ン、先物 言 複雑 構造 持 金融商品 適正価格 ？}

⇒ 無裁定価格理論 ₍ ン 理論₎

 ^{最近 計算 ン 研究分 …}

 ^{金融 管理}

 ^{サ 危機、 ン危機 う 金融 対 備え}

⇒ 計 化 ₍ 尺度、極値理論₎

Introduction

Optimal Investment Problem -1-

代表的 研究 ー

 ^{金融資産 投資運用 最適化 : 多期間動的 最適化問}

 ^{証券価格 変動 様々 要因 影響}

⇒ 証券価格 確率過程 ₍不確実性 伴う関数 (w.r.t. time)) ^{し ン}

 ^{投資家 動的 最適 問}

 ^{将来時点 期待効用最大化問}

 ^{長期的収益率} (long term growth) ^最大化問

 ^{ン (株価指数等) 累積期待 乗誤差最小化問}

 ^{将来時点 最大損失} (Value at Risk) ^最小化問



等 定式化 ₍確率制御問 ₎

 ^{古 的 研究: Merton 問}

= Black-Scholes ^{型 対数効用} or ^{冪効用最大化問}

 ^{ッ ュ 1 証券 非常 基本的 市場 考え}

 ^多次元化 (^複数証券 ) ^{可能 簡単 考え い}

 ^証券価格 Black-Scholes ^従う

Introduction

Optimal Investment Problem -2-

Merton 問題 (流動性 問題 無い 理想的 市場 おける問題)

 ^{次 連続時間最適化問 考え}

 ^{終端時刻 T wealth(富、資産) W}T ^{期待対数効用 最大化}

 ^{: 投資家 比率} (at time t)



 ^{最適解: 比率 一定値 (Merton 比率) 保}

ッ ュ保 証券保

Brown ^運動

確率 微分方程式

Introduction

Optimal Investment Problem -3-

Merton _{問題 拡張}

 ^{引 考慮}

 ^{(連続的 ) 一定 保 = 無限 引 発生し し う}

 ^{引 最適投資問} : Davis-Norman, Shreve-Soner, Liu etc.

 ^{最適解: 比率 あ 領域 外 出 い う 保}

= ^{比率 領域 出し ン}

 ^{ン ン ッ 戦略 整合的}

 ^{あ 領域} = No Transaction Region(NTR)

 ^{流動性 最適投資問}

 ^{必 し 引 成立 限 い}

いう設定 最適投資問

 Matsumoto, Fujimoto-Nagai-Runggaldier

 ^{ッ ン 考慮}

 ^{非観測情報 含 最適投資問}



t

NTR

Introduction

Derivative Pricing -1-

代表的 研究 ー

 ^{金融派生商品 ( ) 価格付 ( ン )}

 ^{証券価格 変動 様々 要因 影響}

⇒ 証券価格 確率過程 ₍不確実性 伴う関数 (w.r.t. time)) ^{し ン}

 ^{証券 (原資産) 価格 連動 金融派生商品 あ い 条件付請求権} 価格 ₍₌ 複製 ₎ う決 良い ？

 ^{証券 適正価格: ン や経済学 問}

 ^{し し、証券 原資産 派生商品 価格 数理的 計算 出来}

 ^{古 的研究} : Black-Scholes(-Merton)

 Black-Scholes ^{公式 し}

 Black-Scholes ^{理論自体 完成さ 理想市場 理論}

 ^{現実 市場 複雑 (= 非 理想的)} Black-Scholes ^{従わ い}

 ^{複製戦略 考え方 ⇒ 無裁定価格理論 数理 ン 基本定理}

 ^{非完備市場 ン 、} SV model, exotic option…

 superhedging cost, utility indifference pricing, minimal martingale measure, good deal valuation…

Introduction

Derivative Pricing -2-

数理 ナンス 基本定理 ⇒ Risk Neutral Pricing

 ^{第一基本定理}

 ^{市場 無裁定} (no-arbitrage) ^{⇔ 中立確率測度 存在}

 Arbitrage = free lunch = ^{儲 機会}

 ^{第 基本定理}

 ^{市場 完備} (complete) ^{⇔ 中立確率測度 一意性}

 Complete = ^{あ ゆ} ( ^{ッ 型}) ^複製可能

 ^{基本定理 発展 一般化}

 ^{散時間 ワ あ 基本定理 成立 、}

連続時間 ワ 場合 あ 技術的 条件 必要 、

形 完全 値性 成 立 い

 No Free Lunch with Vanishing Risk(NFLVR)

 Delbaen-Schachermayer

 No Unbounded Profit with Bounded Risk(NUPBR)

 Karatzas-Kardaras, Takaoka-Schweizer

Introduction

Derivative Pricing -3-

ご参考: ーロ ン ー オ シ ン

 ^{中 最 基本的 標準的 いえ}

 ^{今、あ 株式 S 原資産 ン 考え}

 ^{実 個別株 対 ン 現状 活発 引さ 株価指数等 対 ン 方}

一般的 、分 個別株 ン 例 考え

 ^{( ン ) ン 、将来 決 満期時点 い}

決 行使価格 _S 買う 出来 権利

 ^{満期 3 ヶ 、行使価格 100 円 ン ( 満期時点}

え 金 _{) …}

 ^{3 ヶ 後 S 価格 = 120 円}

⇒ 満期時点 権利行使し、₁₀₀ 円 購入し 売 差引 ₂₀ 円 利益

 ^{3 ヶ 後 S 価格 = 80 円}

⇒ 権利 行使 放置 良い _±0 円

 ^{ン 負 値 ( 損失 ) 無い}

 ^{勿論 権利 得 い 、 金 出し ン}

買う 必要 あ

Introduction

Derivative Pricing -4-

ご参考: ーロ ン ー オ シ ン

 ^{満期 3 ヶ 、行使価格 100 円 ン 関数}

3^{ヶ 後 原資産価格} 100

Introduction

Derivative Pricing -5-

ご参考: ーロ ン ー オ シ ン

 ^{満期 3 ヶ 、行使価格 100 円 ン 現在価格}

現時点 原資産価格

(^{あ い 満期 残存期間、金利、}

、 他各種 ₎

ン価格

？？

Introduction

Derivative Pricing -6-

問題 ：次 オ シ ン 価格 ？

 ^{現在 100 円 株 1 ヶ 後 1 株手 入 権利}

 ^{し、企業 倒産 、金利や配当 い}

 ^{答え 100 円}

 ^{し 100 円 安い値段 権利 売 い 、 権利 購入し、}

株 空売 確実 利益 し う

 ^{し権利 100 円 高い値段 、株 100 円 買 権利 売 確}

実 収益 出来

Introduction

Derivative Pricing -7-

問題 ：次 ー オ シ ン 価格 ？

 ^{利子率 0 、倒産無し、配当無し}

 ^{現在 株価 = 100 円}

 ^{満期 1 ヶ 後}

 ^{行使価格 120 円}

 ^{株価 1 ヶ 後 50% 確率 160 円 80 円}

円

円 ％

円 ％

Introduction

Derivative Pricing -8-

問題 ：次 ー オ シ ン 価格 ？

 ^ン

 ^{現在価値 X = ??}

現在価値 X 円

円 ％

円 ％

Introduction

Derivative Pricing -9-

複製戦略

 ^{10 円 用意し、初期時点 い}

 ^{銀行 50 円 借}

 ^{資金 株 (100 円) 0.5 単 買う …}

 ^{ン 将来時点 複製 ( ッ ) 出来 い ！}

 ^{戦略 必要 初期 10 円 ⇒ ン 現在価値 10 円！}

10円＋0.5株

10円＋80円－50円＝

円 ％

10円＋40円－50円＝

円 ％

円

円 ％ 円 ％

Introduction

Derivative Pricing -10-

スク中立確率 ( = 同値 チン ー 測度)

 ^{実確率 P 将来証券価格 期待値}

 160 × 50% + 80 × 50% = 120 ^円

 ^{今、 160 円 or 80 円 実現 確率 無理矢理変え 、将来証券価値 期待}

値 現在価値 _{( = 100} 円 ₎ 一致 う _…

 ^{160 円 出 確率 p 時、}

円

円 ％

Under Q

Introduction

Derivative Pricing -11-

スク中立確率 Q 下 ー オ シ ン ペ オ

 ^{現在価値 X = Q 将来 期待値}

= 40 × 0.25 + 0 × 0.75 = 10 ^円！

 ^{複製戦略 現在価値 一致}

 ^{複製戦略 現在価値 ＝ 中立確率 期待値}

 ^{安全資産利子率 0 い場合 割引現在価値 考え ( 省略 )}

現在価値 X 円

円 ％

円 ％

Introduction

Quantitative Risk Management

代表的 研究 ー

 ^{金融 管理 計測}

 ^{100年 1度 1000年 1度 呼 う 大規模損失 備え、}

確率 発生し得 高 損失 計 行う 考え

 ^代表例: Value at Risk (VaR)

 ^{測 道 : 尺度} (risk measure)

 ^{尺度 求 良い 性質 ？}

 Monetary, sub-additive, convex, coherent, law invariant… ( ^{分 や さ} )

 ^{良い 尺度 数学的 特徴付 : 双対表現}

 Coherent risk measure ^表現定理 (with Fatou property) ^← Delbaen

 Law invariant coherent risk measure ^{表現定理 ←} Kusuoka

 Convex monetary risk measure ^{表現定理 ←} Jouini, Schachermayer-Touzi etc.

 ^{多期間 尺度}

 ^{期中 ン 考慮し 場合 良い 動的 尺度 ？}

 ^{実 良い 性質 仮定し過} trivial ^{し 残 し う}…

(coherent, law invariant, time consistent ^{動的 尺度 最悪値 ←} Delbaen)

 Categorical Framework on Dynamic Risk Measures Adachi

Introduction

Math Finance and Systemic Risk

シス ック スク ( ≒ 金融シス 全体 破綻 関する スク)

 ^{伝統的 ッ} : Carmona, Fouque, Papanicolaou…

 ^{銀行ネッ ワ ッ}

 ^{数理 ン 研究 活発化し 数年}

 ^{市場型 ッ}

 ^{サ 問 、 ン ッ}

 ^{ッ ュ ッ ュ ← ッ ？ 関し 諸説あ}

 ^{: 大規模執行 ッ ン (や 諸説あ )}

シス 全体 スク管理 ⇒ Multi-player 問題

 ^{数理 ン 多 研究 単一市場参加者 対象}

 ^{複数市場参加者 関 動的均衡 → 確率微分} (stochastic differential game)

 Carmona-Fouque-Sun (^後述)

 Multi-player ^{対 均衡理論 ← 数理経済学}

 ^{数理 ン い 一般的 設定 問 し 過 、}

多 場合数学的 部分 単純化