経済変動論 Kizuku Takao ch3

経済変動論

第 3 章

高尾 築

青森公立大学 経営経済学部

講師

2017/05/25

. . . . . .

0. アウトライン

第 3 章 企業の設備投資行動 (教科書 p.55-72) 1. マクロ経済における投資の役割

様々な投資 設備投資の2面性 2. 新古典派投資理論

設備投資の2期間モデル 企業価値最大化条件の解釈 経済環境の変化と設備投資 3. 調整費用モデル

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1.マクロ経済における投資の役割

1. マクロ経済における投資の役割

様々な投資

投資

総固定資本形成 民間企業設備投資 民間住宅投資 公的固定資本形成 在庫品増加

在庫品増加自体は現時点では利益を生まないが,将来売れれば 利益が生じるので投資と見なせる.

研究開発(Research and Development)投資 企業の技術進歩の源泉

. . . . . . 1.マクロ経済における投資の役割

教科書 (二神, 堀 第 1 版 2009 年)p.56 図 3.1

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1.マクロ経済における投資の役割

教科書 (二神, 堀 第 1 版 2009 年)p.57 図 3.2

. . . . . . 1.マクロ経済における投資の役割

教科書 (二神, 堀 第 1 版 2009 年)p.58 図 3.3

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1.マクロ経済における投資の役割

1. マクロ経済における投資の役割

投資の 2 面性

投資の 1 つ目の側面: 投資は GDP に占める割合として消費の 次に大きい. 需要面から現在の GDP を決定する要因として大 きな役割を果たす.

投資の 2 つ目の側面: 現在の設備投資は, 資本ストックとして 将来の生産に貢献する. したがって, 設備投資は生産面から将 来の GDP を決定する役割を果たす.

. . . . . . 1.マクロ経済における投資の役割

資本ストックの変化を表す式 (資本の遷移式) K^t+1 = I^t+ (1 − δ)K^t

資本ストック: ある時点で企業が保有する機械や建物などの 総量

Kt_{: t}期に保有されている資本ストック K_{t+1: t + 1}期に保有されている資本ストック It_{: t期の設備投資(粗投資)}

δ_{(デルタ): 資本減耗率 (一定期間,}機械を使用すれば資本ス トックの一定割合が摩耗して減少することを描写)

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2.新古典派投資理論

2. 新古典派投資理論

( 企業が行う ) 設備投資の 2 期間モデル

仮定

企業は資本ストックのみを用いて生産活動を行う (議論の簡単 化のため, ここでは労働投入を無視)

企業は最初に K1の資本ストックを与えられて設立され, 2 期 間にわたり生産活動を行う.

第 1 期: 資本 K1(所与)によって生産活動. また投資 I1を行う. 第 2 期: 資本 K2を用いて生産活動. 第 2 期目の最後には残さ れた資本 (1 − δ)K2を売却して清算が行われる.

. . . . . . 2.新古典派投資理論

.企業の 2 期間の利益 .

.

... .

.

.

F (K ): 生産関数 (一般形). 後述するように,^{資本の限界生産性} が逓減することを仮定する.

生産物の価格 = 1 とする. 第 1 期の利益: π1 = F (K1) − I1

上式は, 「売り上げ F (K1)のうちの一部が投資 I1の支払いに用 いられ, その残りが企業の所有者に支払われる」ことを意味. 第 2 期の利益: π2 = F (K2) + (1 − δ)K2

第 2 項 (1 − δ)K2は第 2 期末に残された資本の売却額を表す. .資本の遷移式

. .

... .

.

.

K2 = I1+ (1 − δ)K1

(δ > 0: 資本減耗率)

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2.新古典派投資理論

.F (K ) についての仮定 .

.

... .

. .F^′(K ) > 0, F^′′(K ) < 0

. . . . . . 2.新古典派投資理論

.企業の目的 .

.

... .

.

.

2期間の生産活動から得られる利益の割引現在価値の合計 (これを

「企業価値」とよぶ) を最大化すること: max π₁+ ^π2

1 + r

= F (K1) − I1+ ^{F (K2}) + (1 − δ)K2

1 + r

※第4章で説明するように,^π2は割引現在価値で評価する必要がある. ここで利子率を^rで表す.

.企業の行動 .

.

... .

.

.

上記目的を達成するように, 第 1 期の投資水準 I1を決定する. (資本の遷移式からわかるように, 第 1 期の投資水準 I1が決まれば, 第 2 期の資本ストック水準 K2も決まる.)

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2.新古典派投資理論

.企業価値最大化問題 .

.

... .

.

.

maxI₁ ,^K2 ^{F (K}

1) − I1+^{F (K2}) + (1 − δ)K2

1 + r s.t. _{K2 = I1+ (1 − δ)K1} .内生変数 (モデルの解として求めるべき変数) .

.

... .

.

.I1, K2

.外生変数 (企業にとっては所与, つまり企業の意思では変えること のできない変数)

. .

... .

.

.r , δ, K1

. . . . . . 2.新古典派投資理論

.解法

. .

... .

.

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(1) 資本の遷移式 (K2 = I1+ (1 − δ)K1)を π2に直接代入して 解く方法

(2) ラグランジュ乗数法を用いて解く方法

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2.新古典派投資理論

解法 (1): 板書参照

. . . . . . 2.新古典派投資理論

解法 (2):

資本の遷移式を変形すると,_K2 − I1− (1 − δ)K1 = 0であることに 注意して, ラグランジュ関数を以下のように定義:

L ≡ π1⁺

π₂

1 + r ^{+ λ [K2− I1− (1 − δ)K1]}

⇔ L = F (K1) − I1+^{F (K2}) + (1 − δ)K2

1 + r

+ λ [_K2− I1 − (1 − δ)K1] ここで, λ をラグランジュ乗数とする

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2.新古典派投資理論

ラグランジュ関数 L は {I1, K2, λ}に依存する多変数関数なので, L(I1, K2^{, λ})と表記.

最大化の必要条件 (1 階の条件) は...

∂L(I1, K2, λ)

∂I1

= 0: −1 − λ = 0

∂L(I1, K2, λ)

∂K2

= 0: ^F

′_(K

2) + (1 − δ)

1 + r ^{+ λ = 0}

∂L(I1, K2^{, λ)}

∂λ ^{= 0: K2− I1− (1 − δ)K1 = 0}

. . . . . . 2.新古典派投資理論

1つめの条件より, λ= −1

これを 2 つめの条件に代入: F^′(K2) + (1 − δ)

1 + r ^{− 1 = 0}

⇔ F^′(K2) + (1 − δ) = 1 + r

⇔ F^′(K2^∗) = r + δ

上式より, 最適な第 2 期の資本水準 K₂^∗が決定. 3つ目の条件より,

K2 = I1− (1 − δ)K1

これを変形して, I1^∗ = K2^∗− (1 − δ)K1

この式より, 最適な第 1 期の投資水準 I₁^∗が決定.

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2.新古典派投資理論

.企業価値最大化条件 .

.

... .

.

.

F^′(K2^∗) = r + δ I1^∗ = K2^∗− (1 − δ)K1

. . . . . . 2.新古典派投資理論

企業価値最大化条件の解釈

.資本を追加的に 1 単位増加させることから生じる追加的な収入 .

.

... .

. .資本の限界生産性: F^′(K )

.資本を追加的に 1 単位増加させることの費用 (資本の使用者費用) .

.

... .

.

.

(1) _{利子の費用 r} (2) 資本減耗の費用 δ

(1)投資のための資金を借り入れた場合は明らか. 一方,自己資 金で投資を行う場合, 投資に使用した資金で利子率^rの金融資 産を保有できなくなる. (つまり,利子率の上昇は投資の機会費 用を上昇させる.)

(2)資本減耗率が高いことは,摩耗等によって資本の価値が低 下する速度が早いことを意味する. これは結果的に,資本購入 の費用を上昇させていると考えられる.

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2.新古典派投資理論

経済環境の変化と設備投資

. . . . . . 2.新古典派投資理論

.新古典派投資理論のまとめ .

.

... .

.

.

(1) 利子率の低下 (上昇) ⇒ 設備投資の増加 (減少)

(2) 第 2 期の正の (負の) 生産性ショック ⇒ 設備投資の増加 (減少)

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2.新古典派投資理論

練習問題

ある企業は資本のみを投入要素として 2 期間生産を行うと する.

第1期の生産関数: K₁^0.5 第2期の生産関数: K₂^0.5 第1期の利益: π1 = K₁^0.5− I1

第2期の利益: π₂ = K₂^0.5+ (1 − δ)K₂ 資本の遷移式: K₂ = I₁+ (1 − δ)K₁

第1期の資本^K1^>0,利子率^{r >}0,資本減耗率^{δ >}0 (所与) と仮定. この企業の投資決定に関して以下の問いに答えよ.

(1)第2期の最適な資本水準^K₂^∗を(計算して)求めよ. (2)第1期の最適な投資水準^I₁^∗を(計算して)求めよ.

(3) rの上昇は,第2期の最適な資本ストック水準^K₂^∗にどのよ うに影響するか説明せよ.

(4) rの上昇は,第1期の最適な投資水準^I∗にどのように説明

. . . . . . 3.調整費用モデル

3. 調整費用モデル

新古典派投資理論の問題点

将来への期待が現在の投資に影響を与えない 証明: 3期間モデルを考察

第2期から第1期への割引: 1 + r1

第3期から第2期への割引: 1 + r₂

3期間の生産活動から得る利益の割引現在価値の合計: π₁₊ ^π2

1 + r₁⁺

π₃ (1 + r₁)(1 + r₂)

= F (K₁) − I₁+^{F(K2) − I2} 1 + r1

+^F(K3) + (1 − δ)K₃ (1 + r1)(1 + r2) 資本の遷移式:

K_{2 = I1+ (1 − δ)K1} K_{3 = I2+ (1 − δ)K2}

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3.調整費用モデル

(解法 1) 資本の遷移式を利益の式に直接代入: Skip

(解法 2) ラグランジュ乗数法を用いる: 資本の遷移式より,

K2− I1− (1 − δ)K1 = 0, K3− I2− (1 − δ)K2 = 0

であることに注意して, ラグランジュ関数を以下のように定義:

L ≡ π1+ ^π2 1 + r ⁺

π₃ (1 + r1)(1 + r2⁾

+ λ1[_K2− I1− (1 − δ)K1] + λ2[_K3− I2− (1 − δ)K2] ここで, λ , λ をラグランジュ乗数とする

. . . . . . 3.調整費用モデル

書き直すと...

L = F (K1) − I1+^{F (K2) − I2} 1 + r1

+ ^{F (K3}) + (1 − δ)K3

(1 + r1)(1 + r2) + λ1[K2− I1− (1 − δ)K1]

+ λ2[K3− I2− (1 − δ)K2]

ラグランジュ関数 L は {I1, I2, K2, K3^{, λ}1^{, λ}2}に依存する多変数関数 なので, 以降では L(I1, I2, K2, K3^{, λ}1^{, λ}2)と表記.

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3.調整費用モデル

最大化の必要条件 (1 階の条件) は...

∂L(I1, I2, K2, K3^{, λ}1^{, λ}2)

∂I1

= 0:

∂L(I1, I2, K2, K3^{, λ}1^{, λ}2)

∂I2

= 0:

∂L(I1, I2, K2, K3^{, λ}1^{, λ}2)

∂K2

= 0:

∂L(I1, I2, K2, K3^{, λ}1^{, λ}2)

∂K3

= 0:

∂L(I1, I2, K2, K3^{, λ}1^{, λ}2)

∂λ₁ ^{= 0:}

∂L(I1, I2, K2, K3^{, λ}1^{, λ}2)

∂λ₂ ^{= 0:}

. . . . . . 3.調整費用モデル

練習問題

(1) ラグランジュ乗数法を用いて前ページの計算を引き続き行い, 第 2 期の最適な資本ストック水準 K₂^∗が r2に依存しないことを証明 せよ.

(2) 同様に, 第 3 期の最適な資本ストック水準 K3^{∗がどのように決}

定されるのか説明せよ.

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3.調整費用モデル

3. 調整費用モデル

新古典派投資理論においては, 将来の期待が現在の投資に影響 を与えないという問題点を克服するために考案されたのが, 調 整費用モデル

調整コスト (費用): 設備投資額に応じて比例的に発生する費 用を上回る費用

詳細は教科書参照

. . . . . . 3.調整費用モデル

調整費用関数のグラフ

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