No2 経済統計 2013 冬学期 Kengo Kato

2013.10.2.

確率変数列の収束

加藤 賢悟

このノートでは，確率変数列の収束概念を復習する¹．以下，_{Xn, n ≥ 1} を確率変数列とし，_Xを別の確率変数とする（_Xは定数でもよい）．まず確 率収束の定義を与える．

定義（確率収束）_{. Xn}が_Xに確率収束するとは，任意の_{ϵ > 0}に対して，

n→∞lim ^{P (|Xn}− X| > ϵ) = 0

が成り立つことである．このとき， X_{n→ X}^p

と書く．_//

次に分布収束の定義を与える．_{Xn, X}の分布関数をそれぞれ_{Fn, F}と書く． 例えば，

F_n(x) = P (X_n≤ x), x ∈ R

である．

定義（分布収束）_{. Xn}が_Xに分布収束するとは，_Fの任意の連続点_xに対 して，

n→∞lim ^Fn(x) = F (x),

が成り立つことである．このとき，

Xn_{→ X, or, X}^d n_{→ F}^d

1こういった諸概念を真面目に理解しようとする場合，（測度論的）確率論を勉強する必要が

ある．統計を勉強する場合，確率論は言語のようなものなので，早めに勉強したほうがよい． 比較的平易な教科書として，舟木直久「確率論」朝倉書店，Renick, S. “A Probability Path”

Birkhauser^{などがある．}Resnickの本はアメリカの統計学科の大学院一年生向けの確率論の

講義でよく使用される教科書である．

1

と書く．_//

極限分布として特に重要なのは標準正規分布_{N (0, 1)}である．標準正規分 布とは，確率密度関数

ϕ(x) = _√¹ 2π^e

−_x2_/2

, を持つ確率分布であり，その分布関数は

Φ(x) =

∫ x

−∞

ϕ(t)dt

で与えられる．関数_Φ(x)は_R上で連続なので，特に， X_{n→ Φ ⇔ lim}^d

n→∞^Fn(x) = Φ(x), ∀x ∈ R である．また，_Xn

→ Φd ^のことを

X_{n→ N(0, 1)}^d

とも書いたりする．確率収束と分布収束の関係をまとめておく． 定理（確率収束と分布収束の関係）．_(i)一般に，

X_{n→ X ⇒ X}^p _{n→ X.}^d (ii) X^が定数aに恒等的に等しいとき，

X_{n→ a ⇔ X}^p _{n→ a.}^d //

次に紹介する連続写像の定理とスラツキーの定理は重要なので，理解し応 用できるようになっておくとよい．

定理（連続写像の定理）．集合_Cを

P (X ∈ C) = 1

となるようにとる_{(C = R}でもよい₎．_{f : R → R}は_C上で連続な関数とし， X_{n→ X}^d を仮定する．このとき，

f (X_n)_{→ f(X).}^d 2

//

例えば，f (x) = |x|, Xⁿ→ X, X ∼ N(0, 1)^{d とすると，}

|Xn|→ |X|^d

であり，_|X|の分布関数は連続なので，

n→∞lim ^{P (|Xn}| ≤ t) = P (|X| ≤ t), ∀t ∈ R

が成り立つ． また，_Xn

→ X ≡ a (ad ^{は定数)とすると，}

P (X ∈ {a}) = 1.

よって，_{f : R → R}が_{x = a}で連続ならば，

f (X_n)_{→ f(a),}^{d 従って}, f (X_n)_{→ f(a)}^p

が成り立つ．特に，_{a ̸= 0}ならば，f (x) = 1/x, x ̸= 0, f(0) = 0^{なるf (x)は} x = a^{で連続だから，}

1 X_n

→p ¹_a

が従う．次のスラツキーの定理も統計では重要である． 定理（スラツキー）．_{Xn, Yn}を確率変数列とし，_Xn

→ X, Yd ⁿ→ a^{p とする．た} だし，_{X, a}はそれぞれ確率変数，定数とする．このとき，

X_n+ Y_{n→ X + a, Y}^d _nX_{n→ aX.}^d //

例えば，_{a ̸= 0}なら，先ほどの議論より，_1/Yn

→ 1/ap ^{であり，したがっ}

て，スラツキーの定理を用いると， X_n

Y_n

→d ^X_a

が成り立つ．よくある応用例として，_Xn

→ N(0, σd ²), σ > 0, Y_{n→ σ}^{p である} とき，

X_n Y_n

→d ^X_σ ∼ N(0, 1)

3

が言える．

最後に，リンドバーグ・フェラーの中心極限定理を紹介してこのノートを 終わることにする．以下，各_{n ≥ 1}に対して，三角列_Xn1, . . . , X_n,kn^が与え

られているものとする．

X₁₁, . . . , X_1,k1 X₂₁, . . . , . . . , X_2,k2 ...

X_n1, . . . , . . . , . . . , X_n,kn, ...

定理（リンドバーグ・フェラー）．各行_nに対して，_Xn1, . . . , X_n,kn^は独立で

あって，_E[Xni] = 0, i = 1 . . . , k_n^{をみたすとする．} s²_n=

kn

∑

i=1

E[X_ni² ]

とおき，十分大きな任意の_nに対して_s²

n^{> 0}を仮定する．このとき，任意の ϵ > 0に対して，リンドバーグ条件

1 s²_n

kn

∑

i=1

E[X_ni²_{I(|Xni| > ϵsn})] → 0, n → ∞

が成り立つならば， 1 s_n

kⁿ

∑

i=1

X_ni→ N(0, 1), n → ∞^d

が成り立つ．_//

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