練習問題(解答)

17 

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全文

(1)

練習問題1 (2014年4月18日出題)  学籍番号 氏名

(解いた本人の名前のみを記入すること。本人以外の名前を書くことは不正行為とみなす。) 問題1.30代の会社員を40名選んで年間所得(万円)を調査したところ、以下のデータを得た。 310, 340,

410, 420, 430, 440, 470, 480,

510, 510, 520, 530, 540, 545, 560, 560, 580, 590, 610, 630, 640, 660, 670, 660, 680,

710, 730, 740, 745, 760, 780,

855, 860, 870, 870, 980,

1020, 1070,

1210, 1360

(1)図1上にこのデータのヒストグラムを描きなさい.ただし階級の区切りを0,100,200, . . . ,1400 とすること。

図 1:

Histogram of sal$salary

sal$salary

Frequency

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0

2

4

6

8

10

図 2:

(2)図2上にヒストグラムを描きなさい.ただし階級の区切りを0,50,100,150, . . . ,1400とする こと。

(3)このデータのメディアンを求めなさい。(1)で描いたヒストグラムの横軸にメディアンの 位置を矢印で示しなさい。

(4)二つのヒストグラムの違いを書きなさい。

(2)

練習問題2 (2014年5月2日出題) 問題1.以下の式を

P

記号を用いない式で書き表わしなさい.ただしaは数である.

(1)

5

X

i=1

xi =x1+x2 +x3+x4+x5

(2)

n

X

i=1

xi =x1+x2 +· · ·+xn

(3)

n

X

i=1

x2

i =x

2 1+x

2

2+· · ·+x 2 n (4) n X i=1

(xia) = (x1−a) + (x2−a) +· · ·+ (xn−a)

=x1+x2+x3+x4+· · ·+xn−na

問題2.以下の式を P

記号を用いて書き表わしなさい. (1) x1+x2+· · ·+xn =

n

X

i=1

xi

(2) x2+x3+x4+x5 = 5

X

i=2

xi

問題3.以下の式をが成り立つことを証明しなさい

n

X

i=1

(xix¯) = 0

証明

n

X

i=1

(xix¯) =

n X i=1 xi+ n X i=1

(x¯)

= n X i=1 xi n X i=1 ¯ x = n X i=1

xinx¯

= n X i=1 xi n X i=1

(3)

練習問題3(解答付き) (2014年5月9日出題) 問題1.データ(高校生のこづかい、単位千円)

4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 15, 18, 20, 50

このデータについて以下の値を求めなさい.

(1) 第1四分位数=6, 第2四分位数=9.5, 第3四分位数=12 (2)範囲=50−4 = 46

(3)四分位範囲=12−6 = 6

問題2.(分散、標準偏差)以下は,あるクラスの英語の点数である. 2, 4, 6, 8, 10

(1)このデータの平均x¯を求めなさい. (2)このデータの分散S

2

xと標準偏差Sxを求めなさい.計算式も書く. 解答(1)

¯

x= 6

解答(2)

(x1−x¯) 2

+ (x2−x¯) 2

+ (x3−x¯) 2

+ (x4−x¯) 2

+ (x5−x¯) 2

=(26)2

+ (46)2

+ (66)2

+ (86)2

+ (106)2

=(4)2

+ (2)2

+ 02

+ 22

+ 42

=16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

したがって

S2

x =

40 5 = 8

標準偏差は

(4)

練習問題4 (2014年5月16日出題)  学籍番号 氏名

(解いた本人の名前のみを記入すること。本人以外の名前を書くことは不正行為とみなす。) 問題1 以下はあるクラスの数学の試験の点数である.

A君 B君 C君 D君 E君 数学 77, 79, 80, 81, 83

(1) 数学の点の標準偏差を求めなさい.

(2) 数学の点数の標準化したデータを求めなさい.

解答(1)

S2

x =

1 5

(3)2

+ (1)2

+ (0)2

+ (1)2

+ (3)2

=4

したがってSx = 2 (2)標準化したデータは

(5)

練習問題5 (5月23日出題)(解答)

問題1.n個の個体について,二つの変数xとyについてデータ (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)

で与えられているとする.xとyの共分散および相関係数の定義を書きなさい.

Sxy =1

n n

X

i=1

(xix¯)(yiy¯)

r = Sxy

SxSy

問題2.以下のデータは,ある中学のクラスの5人の(1週間の)数学の勉強時間(時間)と数学の 点数である.

勉強時間(xi) 数学の点数(yi) (xi−x¯) (yi−y¯) (xi−x¯)(yi−y¯)

11 71 -2 -2 4

12 73 -1 0 0

13 72 0 -1 0

14 74 1 1 1

15 75 2 2 4

和 9

(1)表を完成させて,勉強時間と数学の点の共分散を求めなさい。(式も書く) ¯

x= 13, ¯y= 73である.これらを用いて表を完成させる.したがって共分散は

Sxy = 9 5 = 1.8

である.

(2)勉強時間と数学の点の相関係数を求めなさい。(式も書く) 以下の公式を用いて相関係数を求める.

r =

n

X

i=1

(xix¯)(yiy¯)

v u u t n X i=1

(xix¯)2 n

X

i=1

(yiy¯)2

n

X

i=1

(xix¯)2

= (2)2

+ (1)2

+ (0)2

+ (1)2

+ (2)2

= 10

n

X

i=1

(yiy¯)2

= (2)2

+ (0)2

+ (1)2

+ (1)2

+ (2)2

= 10

であるから,相関係数は

r = √ 9

10×10 = 9

10 = 0.9

(6)

統計学入門 練習問題6 (5月30日実施,正答付き)

下の表は,郊外の五つの駅の周辺人口と各駅の1日平均乗車数のデータ(架空)である.

xi 周辺人口(万人) yi 駅乗車数(万人)

5 5

6 8

7 7

8 6

9 9

(1)散布図にデータを描きなさい

(2)以下の表を完成させて、回帰式を求めなさい.

xi yi (xix¯) (yiy¯) (xi x¯)2

(xix¯)(yiy¯)

5 5 -2 -2 4 4

6 8 -1 1 1 -1

7 7 0 0 0 0

8 6 1 -1 1 -1

9 9 2 2 4 4

和 0 0 10 6

¯

x=7, y¯= 7

b=6/10 = 0.6, a= 70.6×7 = 2.8

である.回帰式は ˆ

y= 2.8 + 0.6x

(3)回帰直線を散布図上に描きなさい。

(7)

練習問題7 (6月6日出題)

下の表は,ある5企業の広告費と売上高のデータ(架空)である.

xi 広告費(百万円) yi 売上高(百万円)

2 11

2 13

4 13

6 13

6 15

(1) 以下の表を完成させて、回帰式を求めなさい.

xi yi (xix¯) (yiy¯) (xix¯)2

(xix¯)(yiy¯)

2 11 -2 -2 4 4

2 13 -2 0 4 0

4 13 0 0 0 0

6 13 2 0 4 0

6 15 2 2 4 4

和 16 8

答 x¯= 4, ¯y = 13であるので、上のように表を完成させる。

b= 8

16 = 0.5

a=¯y0.5¯x= 132 = 11

したがって回帰式は ˆ

y= 11 + 0.5x

である。

(2) 以下の表を完成させて、決定係数を求めなさい.

xi yi yiˆ (ˆyiy¯) (ˆyiy¯)2

(yiy¯)2

2 11 12 -1 1 4

2 13 12 -1 1 0

4 13 13 0 0 0

6 13 14 1 1 0

6 15 14 1 1 4

和 4 8

答 決定係数は

R2

=4 8 = 0.5

(8)

統計学入門 練習問題8(6月20日出題)(正答付き) 問題1

(1) nCr = n!

r!(nr)!

(2) 6C3 =

6! 3!3! =

6×5×4 3×2 = 20

(3) 6C1 =

6! 1!5! = 6

(4) 6個の科目から3個の科目を選ぶ場合の数.

答え:

6C3 =

6! 3!3! = 20

であるから20通り. 問題2

1から4までの数が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある.これらのカードの中から2枚のカード を無作為に引く試行を考える.

(1) この試行の標本空間を書きなさい.

Ω ={{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4} }

ただし,たとえば{1,2}は1のカードと2のカードが引かれる結果を意味する. (2) 引かれた2枚のカードに1が書かれたカードが含まれる確率を求めなさい.

P(1が書かれたカードが含まれる) = P ({{1,2}, {1,3}, {1,4}} ) = 3 6 =

1 2

問題3

(1) コインを4回投げるとき,4回とも裏が出る確率を求めなさい.

答え:この試行の結果を,たとえば表,表,裏,裏の順になる結果をHHTTと表すとする.

P({TTTT}) = 1 16

(2) コインを4回投げるとき,少なくとも1回表が出る確率を求めなさい. 答え:

(9)

統計学入門 練習問題9 (6月27日出題) 問題1

ある会社が販売するコンピュータには0.1の割合で不良品が含まれている.不良品は使用開始1年以 内に故障する確率が0.5であり,不良品でないコンピュータではこの確率は0.01である.この会社か ら買ったコンピュータが使用開始一年以内に故障する確率を求めよ.

答え:事象A, Bを以下のように定義する.

A=買ったコンピュータが一年以内に故障する

B =買ったコンピュータが不良品である

このときA={A∩B} ∪ {A∩Bc}であるから

P(A) =P(AB) +P(ABc

) =P(B)P(A|B) +P(Bc)P(A

|Bc)

=0.1×0.5 + 0.9×0.01 = 0.05 + 0.009 = 0.059

である. 問題2:

(1) さいころを4回投げるときに,3の目が1回だけでる確率を求めよ. 答え:この事象の確率は

4C1

1 6

5 6

3

=4×5

3

64

= 5

3

9×62 =

125 324

である.

(2) さいころを4回投げるときに,3の目が2回だけでる確率を求めよ. 答え:この事象の確率は

4C2

1 6

2 5 6

2

= 4! 2!2! ×

52

64

=6×5

2

64 =

25 216

である.

(3) さいころを4回投げるときに,3の目がでる回数をXで表す.Xの確率分布は何か?正確に答え なさい.また,Xの期待値を求めよ.

(10)

練習問題10、11は講義ノート内の問題で、授業中に解説した。 練習問題10

イチローが1打席でヒットを打つ確率は0.3であるとする。イチローの10打席中のヒットの数をX で表す。Xの確率分布の名前、Xの期待値と分散を答えなさい。

答え:Xの確率分布は二項分布 B(10,0.3)である。期待値はE(X) = 10×0.3 = 3、分散はV(X) = 10×0.3×(10.3) = 2.1である。

練習問題11 (6.3節の復習)

ある和菓子屋さんでは特大どらやきを販売している。特大どらやきの1日に売れる数は確率変数であ ると考えられ、その確率分布は以下で与えられるとする。

  X  0 1 2 3 4 確率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

Xの期待値と分散を求めなさい。 答え:期待値は

E(X) = 0×0.1 + 1×0.2 + 2×0.4 + 3×0.2 + 4×0.1 = 2

である。次に、公式V(X) = E(X

2

)− {E(X)}2

を使うために、E(X

2

)を求める。 E(X2

) =02

×0.1 + 12

×0.2 + 22

×0.4 + 32

×0.2 + 42 ×0.1 =0 + 0.2 + 1.6 + 1.8 + 1.6 = 5.2

したがって分散は V(X) = E(X2

)− {E(X)}2

= 5.24 = 1.2

(11)

統計学入門 練習問題12 9月26日出題

問題1 標準正規分布N(0,1)、正規分布N(4,1)の確率密度関数のグラフをそれぞれ上、下の図に 描きなさい.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

...

0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

(12)

統計学入門 練習問題13 問題1

Z N(0,1)とする。このとき以下の確率を求めなさい。 (1) P(Z >1.5) = 0.067(付表1から)

(2) P(Z ≦1.5) = 10.067 = 0.933

問題2

X N(40,4) とする。このとき以下の確率を求めなさい。 (1)

P(X >43) =P

X40 2 >

4340 2

=P

X40 2 >1.5

= 0.067

(2) P(X ≦43) = 1P(X >43) = 10.067 = 0.933

(3)

P(X ≦42) =P

X40

2 ≦

4240 2

=P

X40

2 ≦1

= 1P

X40 2 >1

(13)

統計学入門 練習問題14

問題1 サッカーのチームAとBが試合をするときチームAの点数をX, チームBの点数をY とす る。(X, Y)の同時確率分布が以下の表で与えられているとする。たとえば,Aが1点でBが2点で ある確率は0.14である。

      X Yの

   0 1 2 3 周辺確率分布   0 0.06 0.08 0.04 0.02 0.2   1 0.15 0.20 0.10 0.05 0.5 Y 2 0.10 0.14 0.05 0.01 0.3

  3 0 0 0 0 0 Xの周辺確率分布 0.31 0.42 0.19 0.08

以下の問いに答えなさい。

(1) Xの周辺確率分布、Y の周辺確率分布を求め、表に記入しなさい。 解答:表を見よ。

(2) AとBが試合をするときAが勝つ確率を求めよ。

解答:

P(Aが勝つ) = P(X > Y) = 0.08 + 0.04 + 0.10 + 0.02 + 0.05 + 0.01 = 0.3

(3) Aの点−Bの点(つまりX−Y)の確率分布を求めなさい。

解答:

(14)

統計学入門 練習問題15(10月24日出題) 問題1

X1とX2は独立で、X1 ∼N(80,25), X2 ∼N(70,20)であるとする。このとき、X1+X2の確率分布 は何か。

解答: 正規分布N(150, 45) 問題2

ある大学の陸上部では,400mリレー走の練習をしている.A君,B君,C君,D君の順に第1,2, 3,4走者である.400mリレー走でのA君,B君,C君,D君の100mのタイム(秒)は独立でそれぞ れ正規分布N(13,0.36), N(12,0.25),N(12,0.25), N(11,0.35)に従うものとする.このチームの400m リレー走のタイムの確率分布を求めよ.

解答:

A君,B君,C君,D君の400mリレーの中でのタイムをそれぞれX1,X2,X3,X4で表そう.リレーの タイムX1+X2+X3+X4の期待値は13+12+12+11 = 48(秒),分散は0.36+0.25+0.25+0.35 = 1.21 である。したがって講義ノート定理7.2からX1+X2+X3+X4の確率分布は 正規分布N(48, 1.21) である.

問題3

X1, X2, X3, X4, X5は独立でそれぞれ正規分布N(20,4)に従うとする。このとき以下の問に答えなさ い。

(1)

5

X

i=1

Xiの確率分布は何か。

(2) 1 5

5

X

i=1

Xiの確率分布は何か。

解答:

(1) 正規分布N(100,20)

(15)

統計学入門 練習問題16(11月7日出題) 問題1(母比率の信頼区間)

標本の大きさnが大きいときの,母比率pに対する信頼係数95%の信頼区間の公式を書きなさい. 解答:

" ˆ

p1.96 r

ˆ

p(1pˆ)

n , pˆ+ 1.96

r ˆ

p(1pˆ)

n

#

問題2(母比率の推定値と信頼区間)

ある選挙区で,100人の有権者を無作為に抽出して調べたところ,A党の支持者が40人であった. (1)標本におけるA党の支持率pˆを求めなさい.

(2)この選挙区におけるA党の支持率pに対する信頼係数95%の信頼区間を求めよ.(

24 ;4.9を 使うこと.)

解答:解答:(1) 標本における比率はpˆ= 0.4である.(2) r

ˆ

p(1pˆ)

n =

r

0.4(10.4)

100 =

r 0.24

100 = r

24

10000 = 4.9/100 = 0.049

であるから, 1.96×

r ˆ

p(1pˆ)

n = 1.96×0.049 = 0.096

したがって,pに対する信頼係数95%の信頼区間は [0.40.096, 0.4 + 0.096] = [0.304, 0.496]

となる.

問題3(母比率の信頼区間)

ある工場で,製品の中から無作為に400個を抽出して調べたところ,40個の不良品があった.この 工場で作られる製品の不良率pに対する信頼係数95%の信頼区間を求めよ.

解答:解答:標本における比率はpˆ= 0.1である. r

ˆ

p(1pˆ)

n =

r

0.1(10.1)

400 =

r 0.09

400 = 0.3

20 = 0.015

であるから, 1.96×

r ˆ

p(1pˆ)

n = 1.96×0.015 = 0.0294

したがって,pに対する信頼係数95%の信頼区間は [0.10.029, 0.1 + 0.029] = [0.071, 0.129]

(16)

統計学入門

練習問題17(講義ノート62ページの練習問題) 問題1 以下の値を求めよ。

(1) t0.025(8)

(2) t0.025(15)

答え:付表2から上側パーセント点を求める。(1) t0.025(8) = 2.306

(2) t0.025(15) = 2.131

問題2

Aさんが1000m走を走り、9人がタイムをストップウォッチで測定した。9人の測定値の平均はx¯= 180.0、標本標準偏差はs= 0.9であった。タイムの測定値は正規分布N(µ, σ

2

)にしたがうと仮定し て、母平均µの信頼係数95%の信頼区間を求めよ。

答え:n= 9 で、t0.025(8) = 2.306なので、

t0.025(n−1)× s

n = 2.306×

0.9

3 = 2.306×0.3 = 0.6918

である。したがってµの信頼区間は

[1800.6918, 180 + 0.6918];[179.31, 180.69]

である。

練習問題18(講義ノート64ページ)

ある工場では、容量の平均が300mlになるようにミネラルウォーターが製造されている。この工場 で製造されたミネラルウォーター9本の容量を測定したところ、平均はx¯= 298.4、標本標準偏差は

s= 2.4であった。帰無仮説 H0 :µ= 300、対立仮説 H1 :µ6= 300として、仮説検定を行いなさい。

答え:検定に用いるtの値は

t= x¯−300

s/√n =

298.4300 2.4/3 =

298.4300 2.4/3 =

−1.6 0.8 =−2

(17)

統計学入門 練習問題19(12月12日出題) 練習問題19

あるスポーツクラブでは、ダイエットプログラムを提供していて、このプログラムを3日間続ける と、体重が平均で500gを超えると宣伝している。このことを検証するために、16人がこのプログラ ムを3日間体験し、体重減少量(g)を測定したところ平均はx¯ = 510(g)、標本標準偏差はs = 28(g) であった。体重減少量を正規分布N(µ, σ

2

)にしたがう確率変数の実現値と考え、母平均µが500よ り大きいかどうかを仮説検定によって判断しなさい。有意水準は5% とすること。

答え:

帰無仮説 H0 :µ≤500、対立仮説 H1 :µ >500として、仮説検定を行う。

tの値は

t= x¯−500

s/√n =

510500 28/4 =

10

7 ;1.43

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