練習問題 1 (2014 年 4 月 18 日出題) 学籍番号 氏名
（解いた本人の名前のみを記入すること。本人以外の名前を書くことは不正行為とみなす。） 問題１．30 代の会社員を 40 名選んで年間所得（万円）を調査したところ、以下のデータを得た。 310, 340, 410, 420, 430, 440, 470, 480,
510, 510, 520, 530, 540, 545, 560, 560, 580, 590, 610, 630, 640, 660, 670, 660, 680, 710, 730, 740, 745, 760, 780,
855, 860, 870, 870, 980,
1020, 1070, 1210, 1360
（１）図１上にこのデータのヒストグラムを描きなさい．ただし階級の区切りを0, 100, 200, . . . , 1400 とすること。
図 1:
Histogram of sal$salary
sal$salary
Frequency
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
0246810
図 2:
（２）図２上にヒストグラムを描きなさい．ただし階級の区切りを0, 50, 100, 150, . . . , 1400 とする こと。
（３）このデータのメディアンを求めなさい。（１）で描いたヒストグラムの横軸にメディアンの 位置を矢印で示しなさい。
（４）二つのヒストグラムの違いを書きなさい。
答え：このデータでは、階級幅が100 のヒストグラムの形状が比較的なめらかであり、分布の様子 がわかる。一方、、階級幅が50 のヒストグラムは形がぎざぎざで分布の様子がとらえにくい。
練習問題2 (2014 年 5 月 2 日出題) 問題１．以下の式を
P
記号を用いない式で書き表わしなさい．ただしa は数である．
(1)
5
X
i=1
xi = x1+ x2 + x3+ x4+ x5
(2)
n
X
i=1
xi = x1+ x2 + · · · + xn
(3)
n
X
i=1
x2i = x21+ x22+ · · · + x2n
(4)
n
X
i=1
(xi− a) = (x1− a) + (x2− a) + · · · + (xn− a)
= x1+ x2+ x3+ x4+ · · · + xn− na 問題２．以下の式を
P
記号を用いて書き表わしなさい． (1) x1+ x2+ · · · + xn =
n
X
i=1
xi
(2) x2+ x3+ x4+ x5 =
5
X
i=2
xi
問題３．以下の式をが成り立つことを証明しなさい
n
X
i=1
(xi− ¯x) = 0
証明
n
X
i=1
(xi− ¯x) = n
X
i=1
xi+
n
X
i=1
(−¯x)
=
n
X
i=1
xi− n
X
i=1
¯ x
=
n
X
i=1
xi− n¯x
=
n
X
i=1
xi− n
X
i=1
xi = 0
練習問題3(解答付き) (2014 年 5 月 9 日出題) 問題１．データ(高校生のこづかい、単位千円)
4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 15, 18, 20, 50
このデータについて以下の値を求めなさい．
(1) 第 1 四分位数=6, 第2 四分位数=9.5， 第 3 四分位数=12 (2) 範囲=50 − 4 = 46
(3) 四分位範囲=12 − 6 = 6
問題２．（分散、標準偏差）以下は，あるクラスの英語の点数である． 2, 4, 6, 8, 10
(1) このデータの平均 ¯x を求めなさい．
(2) このデータの分散 Sx2と標準偏差Sxを求めなさい．計算式も書く． 解答(1)
¯ x = 6 解答(2)
(x1− ¯x)2+ (x2− ¯x)2+ (x3− ¯x)2+ (x4− ¯x)2 + (x5− ¯x)2
=(2 − 6)2+ (4 − 6)2+ (6 − 6)2+ (8 − 6)2 + (10 − 6)2
=(−4)2+ (−2)2+ 02+ 22+ 42
=16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 したがって
Sx2 = 40 5 = 8 標準偏差は
Sx =√8 = √2 × 2 × 2 = 2√2 ; 2 × 1.4142 ; 2.83
練習問題 4 (2014 年 5 月 16 日出題) 学籍番号 氏名
（解いた本人の名前のみを記入すること。本人以外の名前を書くことは不正行為とみなす。） 問題 1 以下はあるクラスの数学の試験の点数である．
A 君 B 君 C 君 D 君 E 君 数学 77, 79, 80, 81, 83
(1) 数学の点の標準偏差を求めなさい．
(2) 数学の点数の標準化したデータを求めなさい．
解答(1) Sx2 =1
5(−3)
2+ (−1)2+ (0)2+ (1)2+ (3)2
=4
したがってSx = 2 (2) 標準化したデータは
−1.5, −0.5, 0, 0.5, 1.5 である。
練習問題 5 (5 月 23 日出題)(解答)
問題１．n 個の個体について，二つの変数 x と y についてデータ (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)
で与えられているとする．x と y の共分散および相関係数の定義を書きなさい． Sxy =1
n
n
X
i=1
(xi− ¯x)(yi− ¯y)
r = Sxy SxSy
問題２．以下のデータは，ある中学のクラスの5 人の（1 週間の）数学の勉強時間（時間）と数学の 点数である．
勉強時間(xi) 数学の点数(yi) (xi− ¯x) (yi− ¯y) (xi− ¯x)(yi− ¯y)
11 71 -2 -2 4
12 73 -1 0 0
13 72 0 -1 0
14 74 1 1 1
15 75 2 2 4
和 9
（１）表を完成させて，勉強時間と数学の点の共分散を求めなさい。（式も書く）
¯
x = 13, ¯y = 73 である．これらを用いて表を完成させる．したがって共分散は Sxy = 9
5 = 1.8 である．
（２）勉強時間と数学の点の相関係数を求めなさい。（式も書く） 以下の公式を用いて相関係数を求める．
r =
n
X
i=1
(xi− ¯x)(yi− ¯y)
v u u t
n
X
i=1
(xi− ¯x)2 n
X
i=1
(yi− ¯y)2
n
X
i=1
(xi− ¯x)
2 = (−2)2+ (−1)2+ (0)2+ (1)2+ (2)2 = 10
n
X
i=1
(yi− ¯y)
2 = (−2)2+ (0)2+ (−1)2+ (1)2+ (2)2 = 10
であるから，相関係数は r = √ 9
10 × 10 = 9
10 = 0.9 となる．
統計学入門 練習問題 6 (5 月 30 日実施，正答付き)
下の表は，郊外の五つの駅の周辺人口と各駅の1 日平均乗車数のデータ (架空) である. xi 周辺人口(万人) yi 駅乗車数(万人)
5 5
6 8
7 7
8 6
9 9
(1) 散布図にデータを描きなさい
(2) 以下の表を完成させて、回帰式を求めなさい． xi yi (xi− ¯x) (yi− ¯y) (xi − ¯x)
2 (xi− ¯x)(yi− ¯y)
5 5 -2 -2 4 4
6 8 -1 1 1 -1
7 7 0 0 0 0
8 6 1 -1 1 -1
9 9 2 2 4 4
和 0 0 10 6
¯
x =7, y = 7¯
b =6/10 = 0.6, a = 7 − 0.6 × 7 = 2.8 である．回帰式は
ˆ
y = 2.8 + 0.6x
(3) 回帰直線を散布図上に描きなさい。
解答：散布図を見て下さい。回帰直線が点(¯x, ¯y) = (7, 7) を通ることに注意すること。(回帰直線は常 に(¯x, ¯y) を通ります．)
練習問題 7 (6 月 6 日出題)
下の表は，ある5 企業の広告費と売上高のデータ (架空) である. xi 広告費(百万円) yi 売上高(百万円)
2 11
2 13
4 13
6 13
6 15
(1) 以下の表を完成させて、回帰式を求めなさい． xi yi (xi− ¯x) (yi− ¯y) (xi− ¯x)
2 (xi− ¯x)(yi− ¯y)
2 11 -2 -2 4 4
2 13 -2 0 4 0
4 13 0 0 0 0
6 13 2 0 4 0
6 15 2 2 4 4
和 16 8
答 x = 4, ¯¯ y = 13 であるので、上のように表を完成させる。 b = 8
16 = 0.5
a =¯y − 0.5¯x = 13 − 2 = 11 したがって回帰式は
ˆ
y = 11 + 0.5x
である。
(2) 以下の表を完成させて、決定係数を求めなさい． xi yi yˆi (ˆyi− ¯y) (ˆyi− ¯y)
2 (yi− ¯y) 2
2 11 12 -1 1 4
2 13 12 -1 1 0
4 13 13 0 0 0
6 13 14 1 1 0
6 15 14 1 1 4
和 4 8
答 決定係数は R2 =4
8 = 0.5 である。
統計学入門 練習問題 8(6 月 20 日出題)(正答付き) 問題１
(1) nCr = n! r!(n − r)!
(2) 6C3 = 6! 3!3! =
6 × 5 × 4 3 × 2 = 20
(3) 6C1 = 6! 1!5! = 6
(4) 6 個の科目から 3 個の科目を選ぶ場合の数． 答え:
6C3 =
6! 3!3! = 20 であるから20 通り． 問題２
1 から 4 までの数が書かれたカードがそれぞれ 1 枚ずつある．これらのカードの中から 2 枚のカード を無作為に引く試行を考える．
(1) この試行の標本空間を書きなさい．
Ω = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} }
ただし，たとえば{1, 2} は 1 のカードと 2 のカードが引かれる結果を意味する． (2) 引かれた 2 枚のカードに 1 が書かれたカードが含まれる確率を求めなさい．
P (1 が書かれたカードが含まれる) = P ( {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}} ) = 36 = 12
問題３
(1) コインを 4 回投げるとき，4 回とも裏が出る確率を求めなさい．
答え：この試行の結果を，たとえば表, 表, 裏, 裏の順になる結果を HHTT と表すとする． P ({TTTT}) = 161
(2) コインを 4 回投げるとき，少なくとも 1 回表が出る確率を求めなさい． 答え：
P (少なくとも 1 回表が出る) = 1 − P ({TTTT}) = 1516
統計学入門 練習問題 9 (6 月 27 日出題) 問題１
ある会社が販売するコンピュータには0.1 の割合で不良品が含まれている．不良品は使用開始 1 年以 内に故障する確率が0.5 であり，不良品でないコンピュータではこの確率は 0.01 である．この会社か ら買ったコンピュータが使用開始一年以内に故障する確率を求めよ．
答え：事象A, B を以下のように定義する．
A =買ったコンピュータが一年以内に故障する B =買ったコンピュータが不良品である
このときA = {A ∩ B} ∪ {A ∩ Bc} であるから P (A) =P (A ∩ B) + P (A ∩ Bc)
=P (B)P (A|B) + P (Bc)P (A|Bc)
=0.1 × 0.5 + 0.9 × 0.01 = 0.05 + 0.009 = 0.059 である．
問題２：
(1) さいころを 4 回投げるときに，3 の目が 1 回だけでる確率を求めよ． 答え：この事象の確率は
4C1
1 6
5 6
3
=4 × 5
3
64
= 5
3
9 × 62 = 125 324 である．
(2) さいころを 4 回投げるときに，3 の目が 2 回だけでる確率を求めよ． 答え：この事象の確率は
4C2
1 6
2
5 6
2
= 4! 2!2! ×
52 64
=6 × 5
2
64 = 25 216 である．
(3) さいころを 4 回投げるときに，3 の目がでる回数を X で表す．X の確率分布は何か？正確に答え なさい．また，X の期待値を求めよ．
答え： X の確率分布は二項分布 B(4, 1/6) である．
練習問題10、11 は講義ノート内の問題で、授業中に解説した。 練習問題 10
イチローが１打席でヒットを打つ確率は0.3 であるとする。イチローの 10 打席中のヒットの数を X で表す。X の確率分布の名前、X の期待値と分散を答えなさい。
答え：X の確率分布は二項分布 B(10, 0.3) である。期待値は E(X) = 10 × 0.3 = 3、分散は V(X) = 10 × 0.3 × (1 − 0.3) = 2.1 である。
練習問題 11 (6.3 節の復習)
ある和菓子屋さんでは特大どらやきを販売している。特大どらやきの1 日に売れる数は確率変数であ ると考えられ、その確率分布は以下で与えられるとする。
X 0 1 2 3 4 確率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 X の期待値と分散を求めなさい。
答え：期待値は
E(X) = 0 × 0.1 + 1 × 0.2 + 2 × 0.4 + 3 × 0.2 + 4 × 0.1 = 2 である。次に、公式V(X) = E(X
2) − {E(X)}2を使うために、E(X2) を求める。 E(X2) =02× 0.1 + 12× 0.2 + 22× 0.4 + 32× 0.2 + 42× 0.1
=0 + 0.2 + 1.6 + 1.8 + 1.6 = 5.2 したがって分散は
V(X) = E(X2) − {E(X)}2 = 5.2 − 4 = 1.2 である。
統計学入門 練習問題 12 9 月 26 日出題
問題１ 標準正規分布N (0, 1)、正規分布 N (4, 1) の確率密度関数のグラフをそれぞれ上、下の図に 描きなさい．
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.00.10.20.30.4
x
...
0 2 4 6 8
0.00.10.20.30.4
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8
統計学入門 練習問題 13 問題 1
Z ∼ N(0, 1) とする。このとき以下の確率を求めなさい。 (1) P (Z > 1.5) = 0.067(付表 1 から)
(2) P (Z ≦ 1.5) = 1 − 0.067 = 0.933
問題 2
X ∼ N(40, 4) とする。このとき以下の確率を求めなさい。 (1)
P (X > 43) =P X − 40 2 >
43 − 40 2
= P X − 40 2 > 1.5
= 0.067
(2) P (X ≦ 43) = 1 − P (X > 43) = 1 − 0.067 = 0.933 (3)
P (X ≦ 42) =P X − 40 2 ≦
42 − 40 2
=P X − 40 2 ≦ 1
= 1 − P X − 40 2 > 1
= 1 − 0.159 = 0.841
統計学入門 練習問題 14
問題 1 サッカーのチームA と B が試合をするときチーム A の点数を X, チーム B の点数を Y とす る。(X, Y ) の同時確率分布が以下の表で与えられているとする。たとえば，A が 1 点で B が 2 点で ある確率は0.14 である。
X Y の
0 1 2 3 周辺確率分布
0 0.06 0.08 0.04 0.02 0.2 1 0.15 0.20 0.10 0.05 0.5 Y 2 0.10 0.14 0.05 0.01 0.3
3 0 0 0 0 0
X の周辺確率分布 0.31 0.42 0.19 0.08 以下の問いに答えなさい。
(1) X の周辺確率分布、Y の周辺確率分布を求め、表に記入しなさい。 解答：表を見よ。
(2) A と B が試合をするとき A が勝つ確率を求めよ。 解答：
P (A が勝つ) = P (X > Y ) = 0.08 + 0.04 + 0.10 + 0.02 + 0.05 + 0.01 = 0.3 (3) A の点− B の点（つまり X − Y ）の確率分布を求めなさい。
解答：
X − Y -3 -2 -1 0 1 2 3 確率 0 0.1 0.29 0.31 0.19 0.09 0.02
統計学入門 練習問題 15(10 月 24 日出題) 問題 1
X1とX2は独立で、X1 ∼ N(80, 25), X2 ∼ N(70, 20) であるとする。このとき、X1+ X2の確率分布 は何か。
解答: 正規分布N (150, 45) 問題 2
ある大学の陸上部では，400m リレー走の練習をしている．A 君，B 君，C 君，D 君の順に第 1，2， 3，4 走者である．400m リレー走での A 君，B 君，C 君，D 君の 100m のタイム (秒) は独立でそれぞ れ正規分布N (13, 0.36), N (12, 0.25), N (12, 0.25), N (11, 0.35) に従うものとする．このチームの 400m リレー走のタイムの確率分布を求めよ．
解答:
A 君，B 君，C 君，D 君の 400m リレーの中でのタイムをそれぞれ X1, X2, X3, X4で表そう．リレーの タイムX1+X2+X3+X4の期待値は13+12+12+11 = 48(秒)，分散は 0.36+0.25+0.25+0.35 = 1.21 である。したがって講義ノート定理7.2 から X1+ X2+ X3+ X4の確率分布は 正規分布N (48, 1.21) である．
問題 3
X1, X2, X3, X4, X5は独立でそれぞれ正規分布N (20, 4) に従うとする。このとき以下の問に答えなさ い。
(1)
5
X
i=1
Xiの確率分布は何か。
(2) 1 5
5
X
i=1
Xiの確率分布は何か。
解答:
(1) 正規分布 N (100, 20)
(2) 正規分布 N (20, 0.8)
統計学入門 練習問題 16(11 月 7 日出題) 問題１(母比率の信頼区間)
標本の大きさn が大きいときの，母比率 p に対する信頼係数 95% の信頼区間の公式を書きなさい． 解答：
"
p − 1.96ˆ
rp(1 − ˆp)ˆ
n , ˆp + 1.96
rp(1 − ˆp)ˆ n
#
問題２(母比率の推定値と信頼区間)
ある選挙区で，100 人の有権者を無作為に抽出して調べたところ，A 党の支持者が 40 人であった． (1) 標本における A 党の支持率 ˆp を求めなさい．
(2) この選挙区における A 党の支持率 p に対する信頼係数 95% の信頼区間を求めよ．(√24 ; 4.9 を 使うこと．)
解答：解答：(1) 標本における比率は ˆp = 0.4 である．(2) rp(1 − ˆp)ˆ
n =
r0.4(1 − 0.4) 100 =
r 0.24 100 =
r 24
10000 = 4.9/100 = 0.049 であるから，
1.96 ×
rp(1 − ˆp)ˆ
n = 1.96 × 0.049 = 0.096 したがって，p に対する信頼係数 95% の信頼区間は
[0.4 − 0.096, 0.4 + 0.096] = [0.304, 0.496] となる．
問題３(母比率の信頼区間)
ある工場で，製品の中から無作為に400 個を抽出して調べたところ，40 個の不良品があった．この 工場で作られる製品の不良率p に対する信頼係数 95% の信頼区間を求めよ．
解答：解答：標本における比率はp = 0.1 である．ˆ rp(1 − ˆp)ˆ
n =
r0.1(1 − 0.1) 400 =
r 0.09 400 =
0.3
20 = 0.015 であるから，
1.96 ×
rp(1 − ˆp)ˆ
n = 1.96 × 0.015 = 0.0294 したがって，p に対する信頼係数 95% の信頼区間は
[0.1 − 0.029, 0.1 + 0.029] = [0.071, 0.129] となる．
統計学入門
練習問題 17(講義ノート 62 ページの練習問題) 問題 1 以下の値を求めよ。
(1) t0.025(8) (2) t0.025(15)
答え：付表２から上側パーセント点を求める。(1) t0.025(8) = 2.306 (2) t0.025(15) = 2.131
問題 2
A さんが 1000m 走を走り、9 人がタイムをストップウォッチで測定した。9 人の測定値の平均は ¯x = 180.0、標本標準偏差は s = 0.9 であった。タイムの測定値は正規分布 N (µ, σ2) にしたがうと仮定し て、母平均µ の信頼係数 95% の信頼区間を求めよ。
答え：n = 9 で、t0.025(8) = 2.306 なので、 t0.025(n − 1) ×
s
n = 2.306 × 0.9
3 = 2.306 × 0.3 = 0.6918 である。したがってµ の信頼区間は
[180 − 0.6918, 180 + 0.6918] ; [179.31, 180.69] である。
練習問題 18（講義ノート64 ページ）
ある工場では、容量の平均が300ml になるようにミネラルウォーターが製造されている。この工場 で製造されたミネラルウォーター9 本の容量を測定したところ、平均は ¯x = 298.4、標本標準偏差は s = 2.4 であった。帰無仮説 H0 : µ = 300、対立仮説 H1 : µ 6= 300 として、仮説検定を行いなさい。
答え:検定に用いる t の値は t = x − 300¯
s/√n =
298.4 − 300 2.4/3 =
298.4 − 300 2.4/3 =
−1.6 0.8 = −2
である。自由度8 の t 分布の上側 2.5 パーセント点は t0.025(8) = 2.306 であり、| − 2| < 2.306 である ので、帰無仮説は棄却されない。つまり、容量の母平均が300ml と異なるという十分な証拠はない。
統計学入門 練習問題 19(12 月 12 日出題) 練習問題 19
あるスポーツクラブでは、ダイエットプログラムを提供していて、このプログラムを3 日間続ける と、体重が平均で500g を超えると宣伝している。このことを検証するために、16 人がこのプログラ ムを3 日間体験し、体重減少量 (g) を測定したところ平均は ¯x = 510(g)、標本標準偏差は s = 28(g) であった。体重減少量を正規分布N (µ, σ
2) にしたがう確率変数の実現値と考え、母平均 µ が 500 よ り大きいかどうかを仮説検定によって判断しなさい。有意水準は5% とすること。
答え：
帰無仮説 H0 : µ ≤ 500、対立仮説 H1 : µ > 500 として、仮説検定を行う。 t の値は
t = x − 500¯ s/√n =
510 − 500 28/4 =
10
7 ; 1.43
である。自由度15 の t 分布の上側 5% 点は、付表２から t0.05(15) = 1.753 である。t = 1.43 < 1.753 であるから、帰無仮説は棄却されない。つまり、体重減少量の母平均500 を超えるという十分な証拠 はない。
