目次
本書 本書本書 本書 いいいい
マン マンマン
マン符号化符号化符号化符号化 復号化復号化復号化復号化 マン
マン マン
マン符号化符号化符号化符号化 方法方法方法方法 均符号長
均符号長 均符号長
均符号長 最短最短最短最短 ここここ 証証証証 マン
マン マン
マン復号化復号化復号化復号化 方法方法方法方法
離散 離散 離散
離散 インインインイン変換変換変換変換 エ エ エ エ級数級数級数級数 エ エ エ
エ変換変換変換変換 逆変換逆変換逆変換逆変換 離散
離散 離散
離散 エエエエ変換変換変換変換 逆変換逆変換逆変換逆変換 高速
高速 高速
高速 エエエエ変換変換変換変換 逆変換逆変換逆変換逆変換 離散
離散 離散
離散 インイン変換インイン変換変換変換 逆変換逆変換逆変換逆変換 高速
高速 高速
高速 インイン変換インイン変換変換変換 逆変換逆変換逆変換逆変換 画像処理
画像処理 画像処理
画像処理 応用応用応用応用
角関数 角関数角関数 角関数 公式公式公式公式
加法定理 加法定理 加法定理 加法定理
倍角 倍角 倍角 倍角 公式公式公式公式 半角
半角 半角 半角 公式公式公式公式 積
積 積
積 和和和和 差差差差 直直直直 公式公式公式公式 和
和 和
改訂履歴
改訂履歴
改訂履歴
改訂履歴
表 改訂履歴
改訂日 改訂内容
新規作成
本書
本書
本書
本書
い
い
い
い
本書 規格 書 うえ 必要 信号処理方法 い あ 本書 うえ
参考 文献 ム 表 示
表 参考文献
参考文献 "#$
文献： 応用数学
著作者：田河 生長
発行者：金子 賢太郎
発行所：大日本 書株式会社
ム ：% & ' (
-マン
マン
マン
マン符号化
符号化
符号化
符号化
復号化
復号化
復号化
復号化
本節 一般的 マン符号化 復号化 い
マン符号化 ビッ マン 開発 符号化方式 あ 情報元 対 生起確率
高い 符号化ビッ 数 う 割 当 符号化方法 あ あ ゆ 符号化方法 中 均符号長
最短
マン符号化
方法
表 マン符号化 手 マン符号化 例 示
表 マン符号化法
序 作業
情報元 生起確率 高い 並
生起確率 い
i
S
S
j 割 当ここ i
S
S
j う いほう 大 いほう 任意 あ必 統一 こ
※
i
j
自然数i
S
S
j 組 こ 仮想文i
S
'
表 iS
'
生起確率i
P
'
S
i 生起確率i
P
j
S
生起確率P
j 和j i i
P
P
P
'
=
+
再び 生起確率 大 い 序 ～ 手 割 当
繰 返
逆 い
i
S
到 列i
情報元
マン符号化 方法
マン符号化 例
情報元 対 マン符号
あ 手 ： 生起確率 高い 並 替え
手 ： 割 当
※ 回 いほう
手 ： 仮想文 生成
手 ： 割 当 繰 返
手 ： 逆 い 符号 求
=
16 1 16
6 16
3 16
1 16
5
5 4 3 2
1 S S S S
S X
16 1 16 1 16 3 16 5 16 6
5 2 3 1 4
S S S S S
16 2 '2 S
16 5 '3 S
16 10 '1 S
16 16 '4 S
0111 0110 010
00 1
5 2 3 1 4
S S S S S
4 4 3 4 4 1 3 1 4 4 5 1 1 3 2
1 S S S S S S S S S S S S S S S
S
1 1 010 1 1 00 010 00 1 1 0111 00 00 010 0110 00
マン符号化 例
均符号長
最短
こ
証
示 う 時点
i
情報元i
X
X
i 均符号長i
L
仮想文 生成 文生起確率
(
)
1
i
p
p
0(
i
)
)
(
)
(
01
1
p
i
p
i
L
L
i=
i++
+
式表 え
i
=
4
1
16
10
16
6
0
)
4
(
)
4
(
01 1 4
4
=
L
++
p
+
p
=
+
+
=
L
式5
L
符号 与え い い 均符号長 同様i
=
3
～
1
い 計算表 示 結果 得
以降
i
=
1
情報元1
X
単 情報元 呼びi
>
1
情報元i
情報元
マン符号化 方法
=
16 1 16
6 16
3 16
1 16
5
5 4 3 2
1 S S S S
S X
16 1 16
1 16
3 16
5 16
6
5 2 3 1 4
S S S S S
16 2 '2 S
16 5 '3
S
16 10 '1 S
16 16 '4 S
( )
4 5 S'X =
(
4 1)
4 S S'
X =
(
4 1 3)
3 S S S'
X =
(
4 1 3 2)
2 S S S S'
X =
(
4 1 3 2 5)
1 S S S S S
X =
→
i
マン符号化方法
表 均符号長
i
均符号長i
L
1
16
10
16
6
0
)
4
(
)
4
(
01 1 4
4
=
L
++
p
+
p
=
+
+
=
L
16
26
16
5
16
5
1
)
3
(
)
3
(
01 1 3
3
=
L
++
p
+
p
=
+
+
=
L
16
31
16
2
16
3
16
26
)
2
(
)
2
(
01 1 2
2
=
L
++
p
+
p
=
+
+
=
L
16
33
16
1
16
1
16
31
)
1
(
)
1
(
01 1 1
1
=
L
++
p
+
p
=
+
+
=
L
次 マン符号 最短 こ 示 こ
時点
i
け 縮退情報元i
X
符号語 最短 あ時点
i
−
1
け 縮退情報元X
(i−1) 符号語 最短 あ こ 示元 情報元
(
)
1
X
X
=
符号語 最短 あi
X
均符号長i
L
最短 あ) 1 (i−
X
均符号長) 1 (i−
L
最短 いいう仮定 立 こ 仮定 矛盾 示
i
X
均符号長i
L
最短 あ) 1 (i−
X
均符号長) 1 (i−
L
最短 あこ 証 式
)
(
)
(
01
1
L
p
i
p
i
L
i+=
i−
−
)
1
(
)
1
(
01 ) 1
(
−
−
−
−
=
L
−p
i
p
i
L
i i 式ここ i
L
最 値i
l
表 仮定i i
l
L
=
あ) 1 ( ) 1 (i−
>
l
i−L
あこ 式 代入
)
1
(
)
1
(
01 ) 1
(
−
−
−
−
=
L
−p
i
p
i
L
i il
(i−1)−
p
1(
i
−
1
)
−
p
0(
i
−
1
)
=
l
(i−1)i i
l
L
>
いうこ こi
L
いi
l
こi i
l
L
=
仮定 こ 矛盾生
i
X
均符号長i
L
最短 あ) 1 (i−
X
均符号長) 1 (i−
L
最短 あこ 証 こ
i
最 大 い 例i
=
4
均符号長 最短 あ こ 関係繰 返
i
=
2
当X
1 均符号長 最短 こ 証マン復号化
方法
マン復号化 ビッ 列 文 相当 示 マン 呼ぶ 用い 行う
マン復号化 具体例 示
. . . .
マン符号
マン
復号化 手
実例
" " S 置 換え 手
以降 同様 作業 繰 返 情報元
得
手
込 ビッ 列 " "
ビッ 列" " 対応 文 S→手
手 実例
込 ビッ 列 " "
ビッ 列" " 対応 文 い → 手
ビッ 列 あ 文 置 換え 手
ビッ 列 け 手
手 繰 返 全 タ 処理 終了
手 作業
ビッ 込
マン ビッ 列 検索
1
1
010
1
1
00
010
00
1
1
0111
00
00
010
0110
00
0111
0110
010
00
1
5 2 3 1 4
S
S
S
S
S
4 4 3 4 4 1 3 1 4 4 5 1 1 3 2
1
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
離散
離散
離散
離散
イン
イン変換
イン
イン
変換
変換
変換
本節 エ級数 離散 イン変換式 後 離散 イン変換 画像処理 応用 い
エ級数
周期
T
関数f
(t
)
式 う 角関数 級数 角級数 呼ぶ 用い 表 エ級数 いうこ 周期関数 周波数成分 角関数 総和 あ こ 示 い
(
)
∑
∞ =+
+
=
1 0
sin
cos
2
)
(
n
n
n
n
t
b
n
t
a
a
t
f
ω
ω
式単 各周波数
T
π
ω
=
2
/式 右辺 周期
T
あ こ 証 02
0
a
い 単 各周波数
ω
持 い い 特 考慮 必要 いt
n
t
n
ω
sin
ω
cos
周期ω
π
n
2
あT
π
ω
=
2
代入n
T
T
n
=
π
π
2
2
ここ
n
自然数 あ 周期
T
関数f
(t
)
いf
(
t
+
nT
)
=
f
(
t
)
成 立 こ 自 あT
'
n
T
=
(
t
nT
)
n
(
t
T
)
n
t
n
ω
'
cos
ω
cos
ω
cos
+
=
+
=
sin
n
ω
(
t
+
nT
'
)
=
sin
n
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(
t
+
T
)
=
sin
n
ω
t
周期
T
持 い いえ式 右辺 周期
T
持 い こ 証n n
b
a
a
0 エ係数 呼 式 ～式 表∫
∫
=
−=
22 0
0
(
)
2
)
(
2
TT T
dt
t
f
T
dt
t
f
T
a
式∫
∫
=
−=
22
0
(
)
cos
2
cos
)
(
2
TT T
n
f
t
n
tdt
T
tdt
n
t
f
T
a
ω
ω
式∫
∫
=
−=
22
0
(
)
sin
2
sin
)
(
2
TT T
n
f
t
n
tdt
T
tdt
n
t
f
T
b
ω
ω
式/式 ～式 証 0
式 証 式 両辺
cos
n
ω
t
け 積分(
)
(
a
n
t
n
t
b
n
t
n
t
)
dt
tdt
n
a
tdt
n
t
n
b
t
n
a
a
tdt
n
t
f
n T
n n
T T
n
n n
T
∑ ∫
∫
∫
∑
∫
∞
= ∞
=
+
+
=
+
+
=
1 0 0
0 0
1 0 0
cos
sin
cos
cos
cos
2
cos
sin
cos
2
cos
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(
)
(
b
n
t
n
t
)
dt
dt
t
n
t
n
a
tdt
n
a
n T n n T n T∑ ∫
∑ ∫
∫
∞ = ∞ =+
+
=
1 0 1 0 0 0cos
sin
cos
cos
cos
2
ω
ω
ω
ω
ω
式
式 第
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
sin
1
2
2
sin
1
2
0
sin
1
sin
1
2
sin
1
2
cos
2
0 0 0 0 0 0 0=
−
=
−
=
−
−
−
=
−
=
∫
n
n
a
T
T
n
n
a
n
T
n
n
a
t
n
n
a
tdt
n
a
T Tπ
ω
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
式
式 第 積 和 差 直 公式 式 用い
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
T
a
T
a
T
n
n
a
T
T
T
n
n
a
n
T
T
n
n
a
t
t
n
n
a
dt
t
n
a
dt
t
n
a
dt
t
n
t
n
a
n n n n n n n n n n T n n T n n T n n T n2
2
4
sin
2
1
2
2
2
sin
2
1
2
0
0
sin
2
1
2
sin
2
1
2
2
sin
2
1
2
1
2
cos
2
0
cos
2
cos
2
1
cos
cos
1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0=
=
+
−
=
+
−
=
+
−
−
+
−
=
−
+
=
+
=
+
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑∫
∑∫
∑ ∫
∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ =π
ω
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
式
(
)
(
)
0
2
1
2
1
2
2
1
4
cos
2
1
2
2
1
2
2
cos
2
1
2
0
cos
2
1
2
cos
2
1
2
2
cos
2
1
2
2
sin
2
0
sin
2
sin
2
1
cos
sin
1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
=
+
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = n n n n n n n n n T n n T n n T n n T nn
n
b
n
n
n
b
n
T
T
n
n
b
n
T
n
n
b
t
n
n
b
dt
t
n
b
dt
t
n
b
dt
t
n
t
n
b
ω
ω
ω
π
ω
ω
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
式 .
0
2
0
cos
)
(
0
=
+
+
∫
Tf
t
n
ω
tdt
a
nT
tdt
n
t
f
T
a
n2
T(
)
cos
ω
0
∫
=
→
式式 い
n
=
0
dt
t
f
T
dt
t
f
T
tdt
t
f
T
a
=
∫
T=
∫
T×
=
∫
T0 0
0
0
(
)
2
1
)
(
2
0
cos
)
(
2
ω
式
式 求 最後 式 証 式 両辺
sin
n
ω
t
け 積分(
)
(
a
n
t
n
t
b
n
t
n
t
)
dt
tdt
n
a
tdt
n
t
n
b
t
n
a
a
tdt
n
t
f
n T n n T T n n n T∑∫
∫
∫
∑
∫
∞ = ∞ =+
+
=
+
+
=
1 0 0 0 0 1 0 0sin
sin
sin
cos
sin
2
sin
sin
cos
2
sin
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(
)
(
b
n
t
n
t
)
dt
dt
t
n
t
n
a
tdt
n
a
n T n n T n T∑ ∫
∑ ∫
∫
∞ = ∞ =+
+
=
1 0 1 0 0 0sin
sin
sin
cos
sin
2
ω
ω
ω
ω
ω
式
( )
0
1
1
2
1
2
cos
1
2
1
2
cos
1
2
0
cos
1
cos
1
2
cos
1
2
sin
2
0 0 0 0 0 0 0 0=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
∫
a
n
n
a
T
T
n
n
a
n
T
n
n
a
t
n
n
a
tdt
n
a
T Tπ
ω
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
式
式 第 積 和 差 直 公式 式 用い
(
)
(
)
( )
1
1
0
2
2
cos
2
1
2
2
sin
2
0
sin
2
sin
2
1
sin
cos
1 1 0 1 0 1 0 1 0=
−
=
=
=
−
=
∑
∑
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = n n n T n n T n n T n n T na
t
n
n
a
dt
t
n
a
dt
t
n
a
dt
t
n
t
n
a
ω
ω
ω
ω
ω
ω
式
式 第 積 和 差 直 公式 式 用い
(
)
(
)
(
)
T
b
n
n
T
b
T
T
n
n
T
b
n
n
T
n
n
T
b
t
n
n
t
b
dt
t
n
b
dt
t
n
b
dt
t
n
t
n
b
n n n n n n n n T n n T n n T n n T n2
4
sin
2
1
2
0
2
2
sin
2
1
2
0
2
sin
2
1
0
2
sin
2
1
2
2
sin
2
1
2
2
cos
1
2
0
cos
2
cos
2
1
sin
sin
1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0=
+
=
−
+
=
−
−
+
=
+
=
−
=
−
−
=
∑
∑
∑
∑
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ =π
ω
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
b
tdt
n
t
f
nT
2
0
0
sin
)
(
0
=
+
+
∫
ω
tdt
n
t
f
T
b
n2
T(
)
sin
ω
0
∫
=
→
式イ 公式
(
θ
θ
)
θ
sin
cos
i
e
i=
+
−
=
+
=
− −
i
e
e
t
n
e
e
t
n
t in t in
t in t in
2
sin
2
cos
ω ω
ω ω
ω
ω
式
求
i
=
−
1
/ イ 公式 証 0 関数
( )
θ
θ
ie
f
1=
f
2( )
θ
=
cos
θ
f
3( )
θ
=
sin
θ
い 記 序 証 関数( )
θ
1
f
関数( )
θ
2
f
f
3( )
θ
次結合( )
θ
1 2( )
θ
2 3( )
θ
1
k
f
k
f
f
=
+
1k
1k
2 定数 式形 表 こ こ 証
式 い 定数
1
1
=
k
k
2=
i
こ 証証 関数
f
1( )
θ
f
2( )
θ
f
3( )
θ
次従属 あ 式 形 表 こ 元連立方程式( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
″
+
″
+
″
=
′
+
′
+
′
+
+
=
0
0
0
3 3 2
2 1
1
3 3 2
2 1
1
3 3 2
2 1
1
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
f
c
f
c
f
c
f
c
f
c
f
c
f
c
f
c
f
c
式 .
い 考え 式 . 行列 用い 書 換え
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
″
″
″
′
′
′
0
0
0
3 2 1
3 2
1
3 2
1
3 2
1
c
c
c
f
f
f
f
f
f
f
f
f
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
式
式 ロン キ 行列 逆行列
n
個個個個 関数関数関数関数n
f
f
f
1 2 次結合次結合次結合次結合0
2 2 1
1
f
+
k
f
+
+
k
nf
n=
k
い いい い 係数係数係数係数
n
k
k
k
1 2 中中中中 いいいい 含含含含 いいいい 成成成成 立立立立 関数関数関数関数n
f
f
f
1 2 次従属次従属次従属次従属 ああああ いういういういう 逆逆逆逆係数 係数 係数 係数
n
k
k
k
1 2 全全全全 いいいい 成成成成 立立立立 いいいい 関数関数関数関数n
f
f
f
1 2 次独立次独立次独立次独立 ああああ いういういういう関数 関数関数 関数
n
f
f
f
1 2 次従属次従属次従属次従属 ああああ 係数係数係数係数n
k
k
k
1 2 中中中中 いいいい 含含含含 いいいい ここここ 仮仮仮仮0
1
≠
k
(
k
f
k
nf
n)
k
f
=
−
2 2+
+
11
1
関数 関数関数 関数
1
f
関数関数関数関数n
f
f ...
2 次結合次結合次結合次結合 表表表表 ここここ式 式 式
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
″
″
″
′
′
′
=
−0
0
0
1
3 2
1
3 2
1
3 2
1
3 2 1
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
f
f
f
f
f
f
f
f
f
c
c
c
式
係数
0
3 2 1
=
c
=
c
=
c
い 関数( )
θ
1
f
f
2( )
θ
f
3( )
θ
次独立 う 逆ロン キ 行列 逆行列 け 関数
( )
θ
1
f
f
2( )
θ
f
3( )
θ
次従属 あ ロンキ 行列
W
逆行列1
−
W
余因子行列W
~
W
W
W
~
1
=
−
式
求 行列式
W
=
0
あ 逆行列 いこ 関数( )
θ
1
f
f
2( )
θ
( )
θ
3
f
次従属 あ いえ 実際 計算( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
) (
)
( )
(
) (
)
(
)
0
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
2 2
2 2
3 2
1
3 2
1
3 2
1
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
″
″
″
′
′
′
=
″
″
″
′
′
′
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
i i
i
i i
i i i i i i i
ie
e
e
ie
e
e
e
ie
e
e
e
e
f
f
f
f
f
f
f
f
f
式
逆行列 い 関数
( )
θ
θ
ie
f
1=
f
2( )
θ
=
cos
θ
f
3( )
θ
=
sin
θ
θ
θ
θ
cos
sin
2
1
k
k
e
i=
+
11
k
k
2 定数 式表 こ
次 証 式
θ
=
0
代入0
1
0
sin
0
cos
1
2 1
0
+
=
→
+
=
k
k
k
e
i式
1
1
=
k
あ 式 両辺 微分θ
=
0
代入( ) ( ) ( )
=
− −
− 1 1
2 1 1
' '
2 '
1
2 1
n n n
n
n n
f
f
f
f
f
f
f
f
f
( )
(
)
2 2 1 0 2 1 2 10
0
cos
0
sin
cos
sin
sin
cos
k
i
k
k
ie
k
k
ie
k
k
e
i i i+
=
→
+
−
=
→
+
−
=
→
′
+
=
′
θ
θ
θ
θ
θ θ式
i
k
2=
あ こ 式 代入θ
θ
θ
sin
cos
i
e
i=
+
式イ 公式 こ
式 式 代入
(
)
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞ −∞ = − −∞ = ∞ = ∞ = − ∞ = − − ∞ = − − ∞ =
−
=
−
+
−
+
=
−
+
+
+
=
−
−
+
+
=
−
+
+
+
=
+
+
=
n t in n n n t in n n n t in n n n t in n n t in n n n t in t in n t in t in n n t in t in n t in t in n n n ne
ib
a
e
ib
a
e
ib
a
a
e
ib
a
e
ib
a
a
e
e
ib
e
e
a
a
i
e
e
b
e
e
a
a
t
n
b
t
n
a
a
t
f
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ωω
ω
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
cos
2
)
(
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0式
[ ]
n
F
ib
a
n−
n=
2
[ ]
∑
∞ −∞ ==
n t ine
n
F
t
f
(
)
ω 式 .複素系 エ級数 求
F
[ ]
n
複素 エ係数 び 計算 以 う[ ]
(
)
∫
∫
∫
−
=
−
=
−
=
T T T n ndt
t
n
i
t
n
t
f
T
tdt
n
t
f
T
i
tdt
n
t
f
T
ib
a
n
F
0 0 0sin
cos
)
(
2
2
1
sin
)
(
2
cos
)
(
2
2
1
2
ω
ω
ω
ω
∫
∫
−=
− −=
2 20
(
)
1
)
(
1
T T t in T in tdt
e
t
f
T
dt
e
t
f
T
ω ω式
エ変換
逆変換
式 .
f
( )
t
全 実数 定義 い い 式 区間[ ]
0
,
T
外 非周期関数 い 有効 い こ 非周期関数 周期
∞
わT
→
∞
式 . 極限 計算こ
f
( )
t
定積分 式 表 式以 再 複素系 エ級数 び複素系 エ係数 式 記
[ ]
∑
∞ −∞ ==
n
t in
e
n
F
t
f
(
)
ω 式[ ]
∫
−
−
=
22
)
(
1
TT
u in
du
e
u
f
T
n
F
ω 式※ こ 後 式 式 代入 式 変数
t
u
置 換え[ ]
nF
n
関数 あt
依 い 置 換え 可能 あ式 .
t
式t
同 い式 式 代入
∑ ∫
∞−∞
= −
−
=
n T
T
t in u in
du
e
e
u
f
T
t
f
2
2
)
(
1
)
(
ω ω
( )
∑ ∫
∞−∞
= −
− −
=
n T
T
t u in
du
e
u
f
T
2
2
)
(
1
ω式 ここ
T
π
ω
=
2
定義T
→
∞
0
2
→
∆
=
ω
π
T
( )
∑
∞∫
−∞ =
∆
∆ −
− ∆ −
∆
=
n
t u in
du
e
u
f
t
f
ω π
ω
π ω
π
ω
(
)
2
)
(
( )
ω
π
ωπ
ω
π ω
∆
=
∑∫
∞−∞ =
∆
∆ −
− ∆ −
n
t u in
du
e
u
f
(
)
2
1
式
( )
du
I
( )
v
e
u
f
ivu t=
∫
∆∆ −
− −
ω π
ω
π
(
)
∆
ω
微 あ 式( )
(
ω
)
ω
π
∆
∆
=
∑
∞−∞ =
n
n
I
t
f
2
1
式
置 換え こ 定積分 定義 式
∆
ω
→
0
極限( )
t
=
π
∫
−∞∞I
( )
ω
d
ω
f
2
1
式
式
T
→
∞
極限( )
( )
∫ ∫
−∞∞ −∞∞ − −
=
ω
π
f
u
e
ωdu
d
t
f
t u i
)
(
2
1
∫ ∫
−∞∞ −∞∞ −
=
ω
π
f
u
e
ωdu
e
ωd
t i u i
)
(
2
1
式
一般 全 実数 定義 関数
f
( )
t
対 積分( )
[ ]
( )
∫
∞∞ −
−
=
=
F
f
t
e
dt
t
こ
f
( )
t
エ変換 いうf
( )
t
t
連続 あ( )
∫
∞( )
∞ −
=
ω
ω
π
F
e
ωd
t
f
i t2
1
式 .
成 立 こ エ逆変換 いう
/定積分 定義0
関数
f
( )
x
区間[ ]
a,
b
連続 あ( )
x
f
a
b
x
n
S
∆
S
1
+
n
c
n
c
1−
n
c
1−
∆
S
n定積分 定義
関数
f
( )
x
直線x
=
a
直線x
=
b
x
軸 部分 面積S
区間[ ]
a,
b
間 点0
c
…
…
+11
c
nc
nc
置 底辺n n
c
c
c
=
−
∆
+1 高f
( )
c
四角形 面積∆
S
こ う 四角形
∆
c
→
0
極限 区間[ ]
a,
b
間 隙間 並 こ 四角形 面積 総和S
以 う 式 求
( )
∑
∞ = →∆
∆
=
0 0
n n
c
f
c
c
S
式こ 関数
f
( )
x
区間[ ]
a,
b
け 定積分 いい( )
∫
=
ba
f
x
dx
S
式う 表
離散
エ変換
逆変換
式 式 . い 関数
f
( )
t
時間間隔N
T
=
τ
標本化 得 離散信号[ ]
( )
;
=
0
,
1
,
2
,...,
−
1
=
=
n
N
N
T
n
f
n
f
n
f
τ
式び 関数
F
( )
ω
時間間隔N
T
=
. . . .
[ ]
( )
2
2
;
=
0
,
1
,
2
,...
−
1
=
=
=
k
N
N
k
F
T
k
F
k
F
k
F
τ
π
π
ω
式い 考え 離散 エ変換 び逆変換 式
再 以 エ変換 び逆変換式 示
( )
∫
∞ ∞ −−
=
f
t
e
dt
F
ω
(
)
iωt 式( )
∫
∞( )
∞ −
=
ω
ω
π
F
e
ωd
t
f
i t2
1
式
式 時間間隔
N
T
=
τ
標本化 式 式 び定積分 定義( )
∑
[ ]
∑
−[ ]
=
− −
=
−
=
≈
10
2 1
0
2 N
n
N kn i N
n
n N
k i
e
n
f
N
T
N
T
e
n
f
F
π τ
τ π
ω
式式 時間間隔
N
T
=
τ
標本化 式 式 び定積分 定義( )
∑
[ ]
∑
−[ ]
= −
=
=
≈
10
2 1
0
2
1
2
2
1
Nk
N kn i N
k
n N
k i
e
k
F
T
T
e
k
F
t
f
π τ
τ
π
π
π
式式 式 代入 定数 整理
( )
[ ]
∑
−∑
=
−
=
−
≈
10
2 1
0
2
1
N kN kn i N
n
N kn i
e
e
n
f
N
T
T
t
f
π π
[ ]
∑ ∑
−= −
=
−
=
10
2 1
0 '
' 2
'
1
Nk
N kn i N
n
N kn i
e
e
n
f
N
π π
式
※ 式 式
n
同 い 式n
n
'
置 換え い
以 整理 離散 エ変換式 記式 . 離散 エ逆変換式 記式
[ ]
[ ]
;
0
,
1
,
2
,...,
1
1
0
2
−
=
=
∑
−=
−
N
k
e
n
f
k
F
N n
N kn i π
式 .
[ ]
1
[ ]
;
0
,
1
,
2
,...,
1
1
0
2
−
=
=
∑
−=
N
n
e
k
F
N
n
f
N k
N kn i π
式
式 係数
N
1
方根 分割 式 . 式 整理
[ ]
1
[ ]
;
0
,
1
,
2
,...,
1
1
0
2
−
=
=
∑
−=
−
N
k
e
n
f
N
k
F
N n
N kn i π
式
[ ]
1
[ ]
;
0
,
1
,
2
,...,
1
1
0
2
−
=
=
∑
−=
N
n
e
k
F
N
n
f
N k
N kn i π
式
指数関数 符号 異 離散 エ変換 逆変換 同様 演算 行うこ こ 分 本
書 離散 エ変換 式 逆変換 式
積 総和 こ 変換式 計算 計算 標本点 個当
N
比例 標本点2個当2
N
比例 増加 こ 応用範 限 う 標本点 増加 演算5! ：高速 エ変換 関 節 紹
こ イ 公式 用い 式 式 書 換え
[ ]
[ ]
[ ]
∑
∑
−
= −
=
−
=
−
+
−
=
1
0 1
0
2
sin
2
cos
1
2
sin
2
cos
1
N n N n
N
kn
i
N
kn
n
f
N
N
kn
i
N
kn
n
f
N
k
F
π
π
π
π
[ ]
∑
[ ]
∑
−= −
=
−
=
10 1
0
2
sin
1
2
cos
1
Nn N
n
N
kn
n
f
N
i
N
kn
n
f
N
π
π
式
[ ]
[ ]
∑
− =
+
=
10
2
sin
2
cos
1
Nk
N
kn
i
N
kn
k
F
N
n
f
π
π
[ ]
∑
[ ]
∑
−= −
=
+
=
10 1
0
2
sin
1
2
cos
1
Nk N
k
N
kn
k
F
N
i
N
kn
k
F
N
π
π
式
実数部 6! 成分 虚数部 成分 示 い こ 分 以 7 6! !5 896 タ分析機能
エ解析 用い 実際 い 関数 離散 エ変換 紹 ここ 関数
f
[ ]
n
偶関数波 波 波
波 フ ーフ ーフ ーフ ー エエエエ 変 換変 換変 換変 換
◆サンプ 数
◆離散時間 [sc ]
◆周波数 [ ]
◆式
◆ 波 ◆フー エ変換した値
周波数
波 フー エ変換
実部 虚部
時間 波 サンプ 値
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0
6
2
.5
1
2
5
1
8
7
.5
2
5
0
3
1
2
.5
3
7
5
4
3
7
.5
5
0
0
5
6
2
.5
6
2
5
6
8
7
.5
7
5
0
8
1
2
.5
8
7
5
9
3
7
.5
実部
虚部 ( )ft
波 波 波
波 フ ーフ ーフ ーフ ー エエエエ 変 換変 換変 換変 換
◆サンプ 数
◆離散時間 [sc ]
◆周波数 [ ]
◆式
◆ 波 ◆フー エ変換した値
i
i
周波数
波 フー エ変換
実部 虚部
時間 波 サンプ 値
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
0
6
2
.5
1
2
5
1
8
7
.5
2
5
0
3
1
2
.5
3
7
5
4
3
7
.5
5
0
0
5
6
2
.5
6
2
5
6
8
7
.5
7
5
0
8
1
2
.5
8
7
5
9
3
7
.5 実部
虚部 ( )ft
