Rispondere alle domande pensando
che non c’è la risposta giusta.
Cos’è e a cosa serve la geometria?
Cos’è un punto?
Cos’è una linea retta?
Cos’è una definizione? Un
teorema? Una dimostrazione?
Gli albori della geometria
Geometria = misura della terra (dal greco)
esigenza di molti popoli antichi (Egiziani)
Euclide (Alessandria 300 a.C.) autore degli
“Elementi” opera che raccoglieva tutta la matematica greca degli ultimi 300 anni. Caratteristiche essenziali:
svincolamento della geometria dalla materia
introduzione del procedimento dimostrativo
Gli Elementi
Esposizione in modo logico e organico delle conoscenze del tempo. Fu creata così una teoria matematica con un assetto assiomatico che rimase insuperato per secoli.
Opera in 13 libri. Nel primo troviamo enunciate le proposizioni introduttive: termini, nozioni comuni, postulati.
Gli Elementi è il secondo libro più stampato dopo la Bibbia.
23 Termini
ne vediamo solo alcuni:• punto è ciò che non ha parti
• linea è lunghezza senza larghezza
• linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su essa (cioè, ai suoi punti)
• superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza
• angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e non giacciano in linea retta
• Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall’una all’altra parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle due parti
8 Nozioni comuni
ne vediamo solo alcune:• Cose che sono uguali ad una stessa sono
uguali anche fra loro
• E se cose uguali sono addizionate a cose
uguali, le totalità sono uguali
• Ed il tutto è maggiore della parte
(esclude i casi paradossali che coinvolgono
l’infinito)
5 postulati :
1. Da un punto qualsiasi si può condurre una retta ad un altro punto
2. Un segmento si può prolungare indefinitamente in linea retta
3. Dato un centro e un raggio qualsiasi si può costruire un cerchio
4. Due angoli retti sono uguali 5. Se due rette tagliate da una
trasversale formano da una parte due angoli la cui somma è minore di due angoli retti, allora le due rette si incontrano da quella parte
I Postulati
nell’ideale aristotelicoOsserviamo:
I postulati vengono considerati principi veri di per sé, verità evidenti, che potessero essere accettate da tutti. Questo avrebbe garantito la verità della teoria.
L’evidenza era nel fatto che gli assiomi riguardavano “oggetti” effettivamente costruibili (disegnabili con riga e compasso). Il carattere costruttivo nella mentalità classica era la garanzia di esistenza. (es. definizione di retta)
Problema: il V Postulato non è evidente
Per più di 2000 anni tutti i matematici provarono
ad eliminare i dubbi intorno al postulato delle
parallele.
A tal fine furono tentati, due tipi di approcci:
il primo consisteva nel sostituire il postulato
delle parallele con un enunciato più evidente,
il secondo nel tentare di dedurlo dagli altri
postulati di Euclide.
Gerolamo Saccheri (1667-1733)
dimostrazione per assurdo.
Enunciati equivalenti al quinto postulato
Per un punto esterno ad una retta si può
condurre una ed una sola retta parallela alla
retta data,
Esiste una ed una sola circonferenza che passa
per tre punti non allineati,
