第3回小テスト lecture Shinya Sugawara（菅原慎矢）

統計学 ^I 演習 ^, 小テスト ³

菅原慎矢

July 7

注意

• 解答用紙には最終解答だけを記入すること。途中式での加点は行われない

• 問題用紙・計算用紙の持ち帰りを許可する

• 解答用紙は返却しないので、問題用紙に自分の解答を記載しておくことを推奨する

• 解答が小数として得られた場合には、分数にする必要はない。

演習問題

1 _標本平均 1

{X₁, ..., Xⁿ_X} を母分布 N(µ^X, σX²) からの大きさ n^X の無作為標本と,{Y₁, ..., Yⁿ_Y}を母 分布 N(µ^Y, σY²) からの大きさ n^Y の無作為標本とする。さらに、 ¯X, ¯Y を {X₁, ..., Xn_X}, {Y₁, ..., Yⁿ_Y}の標本平均としたとき、E( ¯X ¯Y ) = αとする。また Z^X = ( ¯X −µ^X)/√σX²/n^X, Z^Y = ( ¯Y − µ^Y)/√σY²/n^Y と定義する。

1. E( ¯X + ¯Y )を上記で定義した定数によって表記せよ (1 点)

2. Cov( ¯X, ¯Y ), V ( ¯X + ¯Y )を上記で定義した定数によって表記せよ (1 点) 3. Z^Xの従う分布を求めよ (1 点)

4. ZX² の従う分布を求めよ (1 点)

2 _標本平均 2

母集団 N(10, 9) から大きさ 25 の無作為標本を取った時、以下の問いに答えよ 5. 標本平均 ¯Xの従う分布を求めよ (1 点)

6. 標本平均 ¯Xについて ¯X ≥ 11.5となる確率の近似値を求めよ。なお、標準正規分 布表は後ろのページにある (2 点)

3 _標本分散 1

母分布を N(0, 2) とする大きさ n = 21 の無作為標本 {X1^{, ..., X}21^}を考える。 ¯X, S²を標 本平均, 標本分散を求めた。χ², t分布表は後半に添付している。

7. P (S² ≥ 1)の最大値と最小値の近似値を求めよ。回答の記法としては、最小値が a, 最大値が b の時、a ≤ P (S² ≥ 1) ≤ bとせよ (1 点): ヒント: N(µ, σ²)からの大きさ n の 無作為標本 {X₁, ..., Xⁿ}について,U = (n − 1)S²/σ²の分布を授業で示した。

8. P (1 ≤ S² ≤ 3)の最大値と最小値の近似値を求めよ。回答の記法としては、最小値 が a, 最大値が b の時、a ≤ P (1 ≤ S² ≤ 3) ≤ bとせよ (1 点)

9. T = ¯X/√S²/21とする時、P (|T | ≥ q) = 0.2 となる q の近似値を求めよ  (1 点)

Solutions and scores

1. µ^X + µ^Y, (Score: 1)

2. Cov( ¯X, ¯Y ) = α − µ^Xµ^Y, V ( ¯X + ¯Y ) = σX²/n^X + σY²/n^Y + 2α − 2µ^Xµ^Y 3. N (0, 1): (平均 0, 分散 1 の正規分布でも OK), (Score: 1)

4. χ²(1): (自由度 1 のカイ二乗分布でも OK) (Score: 1)

5. ¯X ∼ N (10, 9/25): (平均 10, 分散 9/25 の正規分布でも OK), (Score: 1) 6. 0.0062 (Score: 2)

7. 0.950 ≤ P (S² ≥ 1) ≤ 0.975: (Score: 1) 8. 0.850 ≤ P (1 ≤ S² ≤ 3) ≤ 0.925: (Score: 1) 9. 1.33 (Score: 1)

回答詳細

1.

E( ¯X + ¯Y ) = µ^X + µ^Y (1) 今 Cov(X,Y) ̸= 0 だが、和の平均に関する上記の式はこのような条件と関係なく成立す ることに注意

2.

Cov( ¯X, ¯Y ) = E( ¯X ¯Y ) − E( ¯X)E( ¯Y ) = α − µ^Xµ^Y (2)

5. ¯X ∼ N (µ, σ²/n) = N (10, 9/25)

6. Z = ( ¯X − 10)/√9/25 = 5( ¯X − 10)/3とすると、Z ∼ N(0, 1). 従って

P ( ¯X ≥ 11.5) = P^{(5( ¯X − 10)}

3 ^≥

5(11.5 − 10) 3

) (4)

= P (Z ≥ 2.5) (5)

= 1 − P (Z ≤ 2.5) (6)

= 1 − 0.9938 = 0.0062 (7) 7.

U = 20S²/2 = 10S²とすると、U ∼ χ²(20). 従って P (S² ≥ 1) = P^(U

10 ^{≥ 1} )

(8)

= P (U ≥ 10) (9)

分布表より

0.950 ≤ P (U ≥ 10) ≤ 0.975 (10) 注意: 回答は 0.950 ≤ P (S² ≥ 1) ≤ 0.975の形で表記して欲しかったが、演習問題で Uの不等式で回答していたので、0.950 ≤ P (U ≥ 10) ≤ 0.975 も正解とする。また、最 大値は 0.975, 最小値は 0.950 という答え方でも正解とする。(次の問題でも同様の答えを 正解とする)

とはいえ答え方を指示してるので、本当は 0.950 ≤ P (S² ≥ 1) ≤ 0.975としないと駄 目ですよ。

8.

P (1 ≤ S² ≤ 3) = P (S² ≥ 1) − P (S² ≥ 3) (11)

= P (U ≥ 10) − P (U ≥ 30) (12) 分布表より

0.050 ≤ P (U ≥ 30) ≤ 0.100 (13) 従って

P (U ≥ 10) − P (U ≥ 30) ≥ 0.950 − 0.100 = 0.850 (14) P (U ≥ 10) − P (U ≥ 30) ≤ 0.975 − 0.050 = 0.925 (15)

⇒ 0.850 ≤ P (1 ≤ S² ≤ 3) ≤ 0.925 (16) 9.

今 T ∼ t(20) なので、密度関数が 0 で左右対称であることから

0.2 = P (|T | ≥ q) (17)

= P (T ≥ q) + P (T ≤ −q) (18)

= 2P (T ≥ q) (19)

よって求める q は P (T ≥ q) = 0.1 を満たす。分布表より q = 1.33