『新しい計量経済学』鹿野研究室 slide13

(1)

計量経済学_#13

回帰モデルを工夫する ₍₁₎

鹿野繁樹

大阪府立大学

2017 年 11 月更新

鹿野繁樹 _{(大阪府立大学)} 計量経済学_#13 2017 年 11 月更新 1 / 29

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Outline

1 二次関数モデルと交差項モデル

2 対数線形モデル：弾力性の推定

テキスト：鹿野繁樹 [2015]、第 7.1 章・第 7.2 章。

前回の復習

1 _{偏回帰係数}

2 コントロール変数の重要性

(3)

Section 1 二次関数モデルと交差項モデル

(4)

説明変数・被説明変数の変換

線形回帰モデル（？）

Yi = α + β1X1i+ β2

X_2i³ + ui. (1)

X2i^とYi^{は非線形な関係。}

事前に（エクセルなどで）_X

′ 2i⁼

X_2i³ = X

3 2

2i^{という変数変換}

を行い、新たな変数を作っておけば、上式は

Yi = α + β1X1i+ β2X_2i^′ + ui. (2) これは線形回帰！⇒_β₂のOLS 推定・有意性検定が可能。

(5)

説明変数・被説明変数をうまく変換することで_... モデルのデータへのフィットを改善。

回帰係数（偏回帰係数）にさまざまな意味を持たせる。一見非線形なモデルも、変数変換で線形回帰モデルの形式にすることが可能。

(6)

二次関数モデル：カーブの推定

Example 1

2008 年 ∼2010 年の 36 か月間の近畿県内における電力消費量 eleci

（一千万キロワット）を、同月の大阪の平均気温_temp_i（摂氏）に OLS 回帰。

eleci = 12922.80

(27.00) ^{+ 46.78}(1.84) ^tempⁱ^, ^R

2 _{= 0.09,} _{n = 36.} ₍₃₎

（カッコ内は有意性検定の_{t 値。）temp}_iの統計的有意性は高いとは言えず、またモデルの説明力を測る決定係数_R²も非常に低い。

これは妥当な分析結果？

(7)

図1 A：横軸 temp_i^縦軸eleci^{の散布図 ⇒}(3) 式の回帰直線を示す。 eleci^とtemp_iの関係は、下に凸の曲線。

temp_i^{が低い領域：}temp_iが上がるほど（暖かくなるほど） elec_i^{が下がる傾向。}

temp_i^{が高い領域：}temp_iが上がるほど（暑くなるほど）_elec_i が上がる傾向。

∴ 電力は寒い冬ほど・暑い夏ほど需要され，過ごしやすい気温において需要量が落ちる。... 至極当然の話。

(8)

5 10 15 20 25 30

120001400016000

A

temp_i eleci

5 10 15 20 25 30

120001400016000

B

temp_i eleci

図_{1 :} 気温_temp_iと電力需要_elec_iの関係

(9)

OLS の原理：回帰直線の散布図へのフィット。この散布図に直線を当てはめるのは、ムリ。

下に凸や上に凸の散布図の形状を近似するには？⇒ 直線 f (x) = a + bx よりも二次の曲線 f (x) = a + b1x + b2x²^がよい。

(10)

ある説明変数_X_iの2 乗（2 次の項）を説明変数に含む回帰モデル Y_i = α + β₁X_i+ β₂X_i²+ u_i (4) を、二次関数モデルと呼ぶ。

事前に_X

′

i ^{= X}i²^{という変数を作り、}^Yⁱ^を^Xⁱ^と^X

′

i^{の二つの変}

数に重回帰すれば、_α、β₁、_β₂が_{OLS 推定できる。} Xi以外の説明変数と併用してもよい。

(11)

古典的仮定_E(u_i) = 0 に注意して二次関数モデルの期待値をとり、 X_i^{で微分すると}

E(Yi) = α + β1Xi+ β2X_i² ⁻^微分⁻^→ ^dE(Yⁱ⁾

dX_i ^{= β}¹^{+ 2β}²^Xⁱ^. ⁽⁵⁾

∴_X_iの変化が_E(Y_i) に与える影響（傾き）が、X_i^の水準に依存。

二次の項が必要か否かは、_β₂の有意性検定でチェック可能。

(12)

Example 2

前の分析例で、気温の_{2 乗 temp}²

i ^{を加えた推定結果：}

eleci = 17293.90

(23.89)

−_583.79

(−6.12) ^tempⁱ^{+ 18.09}(6.71) ^temp 2 i^,

R¯² = 0.59, n = 36. (6)

（カッコ内はt 値。）全ての係数は統計的に有意で、モデルのデータへの適合度も大幅に改善。⇒ 図_{1B 参照。}

(13)

交差項モデル

二次関数モデルの応用：交差項モデル

Yi = α + β1X1i+ β2X2i+ β3X1iX2i+ ui. (7)

二つの説明変数_X_1iと_X_2iの交差項、_X_1i_X_2iを含む。あらかじめ変数_X

′

i ^{= X}¹ⁱ^X²ⁱ^{を用意し、}^Yⁱ^を^X¹ⁱ^、^X²ⁱ^、^X

′ i^に

回帰すれば、すべての係数が_{OLS 推定可能。}

(14)

交差項モデルの期待値の、_X_1iに関する導関数は

E(Y_i) = α + β₁X_1i+ β₂X_2i+ β₃X_1iX_2i

−微分−→ ^∂E(Yⁱ⁾

∂X1i

= β₁+ β₂X_2i. (8)

説明変数_X_1iが_E(Y_i) に与える影響が、もう一方の説明変数 X2i^{の水準に依存。}

X2iに関する導関数も同様に、_X_1iに依存。（確認せよ。）

(15)

Section 2 対数線形モデル：弾力性の推定

(16)

コブ・ダグラス型生産関数の対数線形化

経済学における生産関数：企業が生産要素から生産物を生み出す技術のモデル。

生産水準をQ、労働投入量を L、工場設備などの資本ストックをK と置けば、生産関数は一般に Q = f (L, K)。

f (·, ·) は L と K の増加関数。

特によく採用される、コブ・ダグラス型生産関数

Q = AL^β¹K^β². (9) A, β1, β2^{は未知のパラメータ。}

企業の生産活動のデータ_L_i、_K_i、_Q_iから、_{(9) 式のパラメー} タを推定するには？

(17)

準備として、対数関数の基本性質をおさらい。

公式 _{1 (} 対数関数 _log(x) の性質 ₎

肩の荷が下りる_: _log(x^a) = a log(x), (10) 積が和に_: _log(x₁_x₂_{) = log(x}₁_{) + log(x}₂_), ₍₁₁₎ 微分公式_:

d log(x) dx ⁼

1

x^. ⁽¹²⁾

証明：適当な数学のテキストを参照．

(18)

(9) 式両辺を対数変換すれば

log(Q) = logAL^β¹K^β²= log(A) + log(L^β¹) + log(K^β²)

= log(A) + β1log(L) + β2log(K). (13)

∴_Y_i _{= log(Q}_i_)、X_1i_{= log(L}_i_)、X_2i_{= log(K}_i)、α = log(A) と置き、誤差項_u_iを加えれば

Yi = α + β1X1i+ β2X2i+ ui. (14) これは線形回帰モデル！

まずデータ_L_i_{, K}_i_{, Q}_iを対数変換し、それらを使って_{OLS 推} 定すればよい。

(19)

説明変数・被説明変数が対数スケールで一次式の関係になる log(Y_i) = α + β₁log(X_1i) + β₂log(X_2i) + · · · + β_klog(X_ki) + u_i.

(15) を、対数線形モデルと呼ぶ。

事前に_(X_1i_{, X}_2i, . . . , XKi, Yi) を対数変換し、その後 OLS。注意：元々の観測にゼロ以下の値を含む場合、対数変換が定義上できない。

lim_x→0log(x) = −∞なので、統計ソフトなどでゼロ以下の対数変換を実行するとエラー。

(20)

Example 3

北海道内の公立病院のコブ・ダグラス型生産関数：対数線形モデルに変換してOLS 推定（カッコ内は t 値）。

log(Qi)_i = 0.44

(2.78)^{+ 0.72}(10.82) ^log(Lⁱ^{) + 0.18}(2.54) ^log(Kⁱ^),

R¯² = 0.95, n = 89. (16)

Qi = 病院 i の患者数、Li = 総従業員数（医師・看護師・職員など）、_K_i = 病床数 × 稼働率。

(21)

対数線形モデルによる弾力性の推定

二つの変数x、y について、それぞれの変化率を dx/x ≈ ∆x/x、 dy/y ≈ ∆y/y と置く。y の x に対する^弾力性ǫ（イプシロン）は

ǫ = ^∆y/y

∆x/x ⁼

∆y

∆x x y ^≈

dy dx

x

y^. ⁽¹⁷⁾

弾力性ǫ は「x が 1%変化したとき、 y が何%変化するか」を測る指標。

経済学では「需要の価格弾力性」や「輸出の為替レート弾力性」など、頻出。

... 対数線形モデルの係数は、弾力性と密接な関係！

(22)

対数線形化されたコブ・ダグラス型生産関数(14) 式の、誤差項を u_i = u_oに固定したバージョンを考える。

Y = α + β1X1+ β2X2+ uo. (18)

上式を_X₁で微分すると dY dX1

= β₁. (19) Y = log(Q)、X1 = log(L) より

β₁ = ^{d log(Q)}

d log(L)^. ⁽²⁰⁾

(23)

一方対数関数の微分公式(12) を変形すると d log(x)

dx ⁼ 1

x ^⇔ ^{d log(x) =} dx

x ^. ⁽²¹⁾

d log(Q) = dQ/Q、d log(L) = dL/L と書けるので、結局 β1^は

β1 = ^{d log(Q)} d log(L) ⁼

dQ/Q

dL/L^. ⁽²²⁾ これは生産量Q の、労働 L に関する弾力性！

(24)

対数線形モデルの回帰係数の_{OLS 推定値 ˆ}_β₁は，弾力性の推定値。例：(16) 式の log(Li) の係数推定値 ˆβ1 = 0.72 ⇒「従業員が 1%増えると医療サービスの生産が 0.72%増える」。

∴ 弾力性を推定したければ、対数線形モデルを_{OLS 推定すれ} ばよい。

(25)

半弾力性と半対数線形モデル

一方、半弾力性（デルタ） δ = ^∆y/y

∆x ⁼

∆y

∆x 1 y ^≈

dy dx

1

y ⁽²³⁾

は、「x が 1 単位したとき、y が何%変化するか」を測る。弾力性ǫ の定義式 (17) と比較せよ。

(26)

被説明変数_Y_iだけを対数スケールに変換したモデル

log(Y_i) = α + β₁X_1i+ β₂X_2i+ · · · + β_kX_ki+ u_i (24) を半対数線形モデルと呼ぶ。

対数線形モデルと同様の操作をすると βj = ^{dY /Y}

dXj

(25)

を得る。∴(24) 式の回帰係数は、Y の Xj^{に関する半弾力性に}

等しい。

対数線形モデルも、実証分析でよく採用さる。（教科書_p132 の例を参照。）

(27)

モデル被説明変数説明変数回帰係数の解釈線形回帰 _Y_i _X_i 通常の導関数：_β ₌ ^∆Y

∆Xj

対数線形 _log(Y_i₎ _log(X_i₎ 弾力性：_β ₌

∆Y /Y

∆Xj/Xj ^{= ǫ}

半対数線形 _log(Y_i₎ _X_i 半弾力性：_β ₌

∆Y /Y

∆Xj ^{= δ}

表_{1 :} 説明変数・被説明変数の対数変換

Remark 1

表1：対数線形・半対数線形モデルの係数の解釈。

(28)

今回の復習問題

次の設問に答えよ。各自用意した紙に解答し、退出時に提出せよ。講義名、日付、学籍番号、氏名を明記すること。

1 _{テキスト第}7 章復習問題 7.1。

2 _{上の問題で、}_sales_i_の_pop

iに対する半弾力性を、回帰モデルを使って推定する方法を述べよ。（テキスト第_{7 章復習問題} 7.1 の例題。）

(29)

References

鹿野繁樹. 新しい計量経済学. 日本評論社, 2015.

『新しい計量経済学』 鹿野研究室 slide13

回帰モデルを工夫する (1)