1
3．0 次元振動 Lea Fr g
3.1 前回 復習 前回 ，
v dt
dx/ = , (3.1)
kx dt
dv
m( / )=− , (3.2)
いう方程式 解析解 数値解を求 。式(3.1), (3.2) 数値解を求 ，前回 式 (3.1)，(3.2)を以 示 う 前進差分 近似 。
) ) ( ( )
( v t
t t x t t
x =
∆
−
∆
+ , (3.3)
) ) (
( )
( x t
m k t
t v t t
v =−
∆
−
∆
+ . (3.4)
m=k=1.0, ∆t=0.05 数値解を求 ，時間 経過 x, v 変動 振幅 大
く う 解析解 振幅一定 。∆tをさ 小さく 計算誤差 減少
，そう 計算量 増大 ，長時間 計算 必要 。計算時間 そ
(∆t 値を小さく い )， 精度 良い計算を う い う
。
3.2 高精度 差分式
以 示 差分式 前進差分 精度 良い。
) 2 (
) ( )
( v t
t
t t x t t
x =
∆
∆
−
−
∆
+ , (3.5)
) 2 (
) ( )
( x t
m k t
t t v t t
v =−
∆
∆
−
−
∆
+ . (3.6)
式(3.5), (3.6) う 差分 仕方を leapfrog scheme 中点蛙飛び法 いう。Leapfrog scheme
今後頻繁 使用さ 。
式(3.5), (3.6) ,前進差分 式(3.3),(3.4) 時間 関 刻 幅 ∆t を 2 倍 け
う 見え 知 い ,実際 前進差分 精度 良い差分式 い 。
そ こ を次節 見 。
3.3 差分式 精度
2
前進差分 Leapfrog scheme 誤差 い い く い 調べ う。ここ 前進差分 式(3.3)を例 説明 。x(t+∆t)をx(t) 近傍 テイラー展開 以
う 。
.... ) )( (
"
! 2 ) 1 ( ' ) ( )
(t+∆t =x t +x t ∆t+ x t ∆t 2 +
x (3.7)
式(3.7)を式(3.5) 左辺 代入 ，
t t x t t x
∆
−
∆
+ ) ( ) (
=
−
+ ∆ + ∆ +
∆ 2! "( )( ) .... ( ) ) 1
( ' )
1 ( 2
t x t
t x t t x t x t
=
∆ + ∆ +
+ ( )( ) ...
! 3 ) 1 )( (
"
! 2 ) 1 (
' t x t t x(3) t t 2 x
=
∆ + ∆ +
+ ( ) ...
! 3 ) 1
! ( 2
1 2
3 3 2
2
t dt
x t d
dt x d dt
dx (3.8)
。式(3.8) 式(3.1) 左辺 比べ ,
∆ + (∆ ) +...
! 3 ) 1
! ( 2
1 2
3 3 2
2
t dt
x t d
dt x
d (3.9)
項 余計 あ 。こ 計算誤差 い 。∆t 微小量 あ ，通常∆t べ
乗 ∆t 小さく 。 ，式(3.9) 一番大 い項 第 1 項 。こ こ
を 式(3.3) 誤差 ∆t オーダー あ ， 式(3.3) 精度 (∆t 関 )1 次 オー
ダー あ いう う 表現 。
練習 1 (講義中 行う)
式(3.7)～(3.9) 示 方法 同 方法を用い ，leapfrog scheme を用い 差分式(3.5) 誤
差を評価 。
練習 2 (講義中 行う)
=1
= k
m , x(t=0)=x0, v(t=0)=0, , leapfrog scheme を使 , (3.1), (3.2)を解く。t=0 t=3∆t 数値解 求 方を使 説明 板書 。 ，leapfrog scheme
t
t-∆ , t ,t+∆t いう 3 時刻 値 必要 ，最初 計算ステップ 適用
い。そこ ，最初 計算ステップ (3.3), (3.4) 前進差分を用い 計算 , 2 番目以降 計 算ステップ , 式(3.5),(3.6)を用い 計算を行え。
演習 1 (講義後 行う)
=1
= k
m , x(t=0)=1.0, v(t=0)=0.0 , leapfrog scheme を使 , (3.1), (3.2)を解け。 ， leapfrog scheme t-∆t, t ,t+∆t いう 3 時刻 値 必要 ，一番最初 計算ス
3
テップ 適用 い。そこ ，計算 一番最初 ステップ (3.3), (3.4) 前進差分を 用い 計算 , 2 番目以降 計算ステップ , 式(3.5), (3.6)を用い 計算を行え。時間刻
∆t=0.05 。計算回数(n) 少 く 振動 5 周期以 う 設定 。
(1) 以 示 図を作図 。
(i)横軸 t, 縦軸 x, v を グラフ 時系列 呼 。
(ii)横軸 x，縦軸 vを グラフ 相図 呼 こ あ 。 (iii)横軸 t, 縦軸 x 解析解 x 数値解 差を グラフ
(2) 第 2 回 前進差分 場合 解 誤差を比較 。
演習 2 次回行う
作成 プログラム 内容を, プログラム 各行を指 示 説明 。
