プレゼンファイル・集中講義ノート Jun O'Hara

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... ^Riesz エネルギーの正則化と球体の特徴づけ

今井 淳 （千葉大学・理）

26/03/2017

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今日の内容

M^m⊂ Rⁿ コンパクト多様体（∂M：有/無）

結び目,閉曲面 (m < n, ∂M = ∅),コンパクトボディ(m = n)など.

EM(z) :=

∫

M×M

|x − y|^zdxdy

−m < zでwell-defined.

−m < z < 0のとき, MのRiesz (z-)エネルギーという. 積分が発散するとき(z ≤ −m)には,後述の正則化を行う.

ある条件下で, C ∋ z 7→ E_M(z) は,球体・球面を特徴付ける（この ときEM(z)はベータ関数になる）.

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今日の内容

M^m⊂ Rⁿ コンパクト多様体（∂M：有/無）

結び目,閉曲面 (m < n, ∂M = ∅),コンパクトボディ(m = n)など.

EM(z) :=

∫

M×M

|x − y|^zdxdy

−m < zでwell-defined.

−m < z < 0のとき, MのRiesz (z-)エネルギーという. 積分が発散するとき(z ≤ −m)には,後述の正則化を行う.

ある条件下で, C ∋ z 7→ E_M(z) は,球体・球面を特徴付ける（この ときEM(z)はベータ関数になる）.

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発散積分の正則化 ( 超関数論 ) ∼解析接続

M : fixed, z ∈ Cを動かす. C_{∋ z 7→}

∫

M×M

|x − y|^zdxdy はℜez > −mでzの正則関数. 定義域を解析接続 で^C全体に広げる.

C_{上の有理型関数BM(z)を得る. これは1位の極のみ持つ.} BM(z)を^Mのベータ関数と呼ぶ. (結び目Brylinski 1999, 閉曲面 Fuller-Vemuri 2015,コンパクトボディ O.-Solanes).

BM(z)の留数として, Mの体積,全二乗曲率など,幾何学的な量（局 所的な量の積分）が現れる.

BM(z)（または極での発散を取り除いた残り）はM のRieszエネ ルギーの一般化（大域的な量）.

もう一つの正則化の方法 ^{..Hadamard正則化}

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発散積分の正則化 ( 超関数論 ) ∼解析接続

M : fixed, z ∈ Cを動かす. C_{∋ z 7→}

∫

M×M

|x − y|^zdxdy はℜez > −mでzの正則関数. 定義域を解析接続 で^C全体に広げる.

C_{上の有理型関数BM(z)を得る. これは1位の極のみ持つ.} BM(z)を^Mのベータ関数と呼ぶ. (結び目Brylinski 1999, 閉曲面 Fuller-Vemuri 2015,コンパクトボディ O.-Solanes).

BM(z)の留数として, Mの体積,全二乗曲率など,幾何学的な量（局 所的な量の積分）が現れる.

BM(z)（または極での発散を取り除いた残り）はM のRieszエネ ルギーの一般化（大域的な量）.

もう一つの正則化の方法 ^{..Hadamard正則化}

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発散積分の正則化 ( 超関数論 ) ∼解析接続

M : fixed, z ∈ Cを動かす. C_{∋ z 7→}

∫

M×M

|x − y|^zdxdy はℜez > −mでzの正則関数. 定義域を解析接続 で^C全体に広げる.

C_{上の有理型関数BM(z)を得る. これは1位の極のみ持つ.} BM(z)を^Mのベータ関数と呼ぶ. (結び目Brylinski 1999, 閉曲面 Fuller-Vemuri 2015,コンパクトボディ O.-Solanes).

BM(z)の留数として, Mの体積,全二乗曲率など,幾何学的な量（局 所的な量の積分）が現れる.

BM(z)（または極での発散を取り除いた残り）はM のRieszエネ ルギーの一般化（大域的な量）.

もう一つの正則化の方法 ^{..Hadamard正則化}

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結び目

Brylinski の結び目のベータ関数 BK(z). 極は z = −1, −3, −5, . . . その留数は z = −1   2L(K)

z = −3   ¹ 4

∫

K

κ²ds

z = −2 のときBK(−2) =結び目のメビウスエネルギー 単位円◦では B◦(z) = B^{( z}

2 ⁺ 1 2^,

1 2

)

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結び目

Brylinski の結び目のベータ関数 BK(z). 極は z = −1, −3, −5, . . . その留数は z = −1   2L(K)

z = −3   ¹ 4

∫

K

κ²ds

z = −2 のときBK(−2) =結び目のメビウスエネルギー 単位円◦では B◦(z) = B^{( z}

2 ⁺ 1 2^,

1 2

)

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閉曲面

Fuller-Vemuri のベータ関数 BM(z) 極は z = −2, −4, −6, . . . その留数は z = −2   2πArea(M )

z = −4   ^π 8

∫

M

(κ₁− κ2^)2dµ

n次元単位球面ではBSⁿ(z) = 2^z+nωn−1ωnB^(z 2 ⁺

n 2^,

n 2 )

, ただし ωk= Area(S^k)

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コンパクトボディのベータ関数の留数 (w. Solanes)

Rⁿ_{⊃ Ω}ⁿ _{: コンパクトボディ,境界 ∂Ω は滑らか.} .Theorem (O.-Solanes (Barcelona))

..

...

B_Ω(z)は1位の極を z = −n, −n − 1, −n − 3, −n − 5, . . . に持ちうる. Res_z=−nB_Ω(z) = ω_n−1Vol(Ω),

Res_z=−n−1B_Ω(z) = −^ωn−2

n − 1^Vol(∂Ω), Res_z=−n−3B_Ω(z) = − ^ωn−2

24(n²− 1)

∫

∂Ω

(3(n − 1)²H²− 4K)dµ, 但し, ∂Ωの主曲率をk₁, . . . , knとして, H = _n−1^{1 ∑}_iki は平均曲率, K =^∑_i<jkikj はスカラー曲率.

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n = 2, 3 の場合 (with Solanes)

R² _{⊃ Ω:コンパクトボディ. 極は}z = −2, −3, −5, . . . B_Ω(z)の留数: z = −2 2π Area(Ω)

z = −3 −2L(∂Ω) z = −5 − ¹

12

∫

∂Ω

κ²ds

R³ _{⊃ Ω:コンパクトボディ. 極は}z = −3, −4, −6, . . . B_Ω(z)の留数: z = −3 2π Vol(Ω)

z = −4 −π Area(∂Ω) z = −6 ^π

24

∫

∂Ω

(3H²− K)dµ = ^π 8

∫

∂Ω

H²dµ −^π

2

12^χ(∂Ω)

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(Open) Problems

BM(z)の留数から得られる情報.

凸幾何・積分幾何の内在的体積との関係? ^..^{内在的体積}

BM(z)でMはどこまで決まるか. .Problem

.. ...

BM(z) = BM^′(z) (∀z ∈ C) =⇒合同変換を除き M = M^′か? 問題の答は一般的には NO.

.注 .. ...

M^∗ M 鏡像=⇒ BM(z) = BM^∗(z) (∀z ∈ C) ^..Writhe

..^Bnのベータ関数

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(Open) Problems

BM(z)の留数から得られる情報.

凸幾何・積分幾何の内在的体積との関係? ^..^{内在的体積}

BM(z)でMはどこまで決まるか. .Problem

.. ...

BM(z) = BM^′(z) (∀z ∈ C) =⇒合同変換を除き M = M^′か? 問題の答は一般的には NO.

.注 .. ...

M^∗ M 鏡像=⇒ BM(z) = BM^∗(z) (∀z ∈ C) ^..Writhe

..^Bnのベータ関数

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(Open) Problems

BM(z)の留数から得られる情報.

凸幾何・積分幾何の内在的体積との関係? ^..^{内在的体積}

BM(z)でMはどこまで決まるか. .Problem

.. ...

BM(z) = BM^′(z) (∀z ∈ C) =⇒合同変換を除き M = M^′か? 問題の答は一般的には NO.

.注 .. ...

M^∗ M 鏡像=⇒ BM(z) = BM^∗(z) (∀z ∈ C) ^..Writhe

..^Bnのベータ関数

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(Open) Problems

BM(z)の留数から得られる情報.

凸幾何・積分幾何の内在的体積との関係? ^..^{内在的体積}

BM(z)でMはどこまで決まるか. .Problem

.. ...

BM(z) = BM^′(z) (∀z ∈ C) =⇒合同変換を除き M = M^′か? 問題の答は一般的には NO.

.注 .. ...

M^∗ M 鏡像=⇒ BM(z) = BM^∗(z) (∀z ∈ C) ^..Writhe

..^Bnのベータ関数

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反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

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反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

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反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

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反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

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反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

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反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

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反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

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反例

Blaschke予想に対するMallows-Clark (’70)の反例は,先の問題に対 する反例にもなっている.

Waksman (’85)によれば,この例は例外的.

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B

(z)(Riesz エネルギー ) による球体・球面の識別

ベータ関数(Rieszエネルギー)は,ある仮定の下球体・球面を特徴付ける. .Theorem

..

...

X ⊂ R^N をコンパクト多様体で, dim X < N ならば ∂X = ∅とする. 合 同変換を除き以下が成立.

1... _{BX(z) = BB}n

(r)(z) (∀z ∈ C) ならば X = Bⁿ(r).

2... _{BX(z) = BS1}

(r)(z) (∀z ∈ C) ならば X = S¹(r).

3... _{更に X は余次元1}またはコンパクトボディとすると, B_X(z) = B_S²_(r)(z) (∀z ∈ C) ならば X = S²(r) .

Xが境界付き曲面など, dim X < N かつ∂X ̸= ∅ の可能性を排除してい ることに注意.

..^Bnのベータ関数

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証明

(1) z = −n, −n − 1 での留数の情報 ⇒ X はコンパクトボディで Vol(X) = Vol(Bⁿ(r)), Vol(∂X) = Vol(∂Bⁿ(r)). あとは等周不等式.

(2) z = −1, −2での留数の情報 ⇒ X は閉曲線. BX(−2) = E(K) = E(S¹(r)) = −4 ⇒ X は円

∵ (Freedman-He-Wang ’94). ^..円 ⇔ メビウスエネルギーの最小

z = −1 での留数= Length(X) より,単位円.

Fenchel の定理と Cauchy-Schwarz不等式を用いても証明できる. (3) z = −2, −3での留数の情報と余次元の仮定 ⇒ X は ^R3 の閉曲面. z = −4 での留数 ^π₈^∫_M(κ₁− κ2^{)2dµ = 0 ⇒ X} は全臍的.

Xはコンパクトより球面.

z = −2 での留数= Area(X) より,単位球面.

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証明

(1) z = −n, −n − 1 での留数の情報 ⇒ X はコンパクトボディで Vol(X) = Vol(Bⁿ(r)), Vol(∂X) = Vol(∂Bⁿ(r)). あとは等周不等式.

(2) z = −1, −2での留数の情報 ⇒ X は閉曲線. BX(−2) = E(K) = E(S¹(r)) = −4 ⇒ X は円

∵ (Freedman-He-Wang ’94). ^..円 ⇔ メビウスエネルギーの最小

z = −1 での留数= Length(X) より,単位円.

Fenchel の定理と Cauchy-Schwarz不等式を用いても証明できる. (3) z = −2, −3での留数の情報と余次元の仮定 ⇒ X は ^R3 の閉曲面. z = −4 での留数 ^π₈^∫_M(κ₁− κ2^{)2dµ = 0 ⇒ X} は全臍的.

Xはコンパクトより球面.

z = −2 での留数= Area(X) より,単位球面.

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証明

(1) z = −n, −n − 1 での留数の情報 ⇒ X はコンパクトボディで Vol(X) = Vol(Bⁿ(r)), Vol(∂X) = Vol(∂Bⁿ(r)). あとは等周不等式.

(2) z = −1, −2での留数の情報 ⇒ X は閉曲線. BX(−2) = E(K) = E(S¹(r)) = −4 ⇒ X は円

∵ (Freedman-He-Wang ’94). ^..円 ⇔ メビウスエネルギーの最小

z = −1 での留数= Length(X) より,単位円.

Fenchel の定理と Cauchy-Schwarz不等式を用いても証明できる. (3) z = −2, −3での留数の情報と余次元の仮定 ⇒ X は ^R3 の閉曲面. z = −4 での留数 ^π₈^∫_M(κ₁− κ2^{)2dµ = 0 ⇒ X} は全臍的.

Xはコンパクトより球面.

z = −2 での留数= Area(X) より,単位球面.

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定理の仮定について

定理の「dim X < N ならば ∂X = ∅」という仮定について. dim X < N かつ ∂X ̸= ∅ のときの困難：

B_X(z)の留数が分からない. 等周不等式が使えない.

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ご清聴ありがとうございました

C. L. Mallows and J. M. C. Clark, Linear-Intercept Distributions Do Not Characterize Plane Sets. Journal of Applied Probability, 7 (1970), 240–244.

J. O’Hara and G. Solanes, Regularized Riesz energies of submanifolds. arXiv:1512.07935.

P. Waksman, Plane polygons and a conjecture of Blaschke’s. Advances in Applied Probability 17 (1985), 774–793.

mille feuilles =千葉

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発散積分の正則化 ( 超関数論 ) ∼ Hadamard 正則化

M : fixed, z ∈ R: fixed

∫

M×M

|x − y|^zdxdy は対角成分∆ = {(x, x)}上発散する.

∆ε:= {(x, y) : |x − y| ≤ ε} とし

∫

M×M \∆^ε

|x − y|^zdxdy をεで(Laurent)級数展開する. Hadamard の有限部分(Pf.) はΦ_M,z(ε) をうまくとって,

Pf.

∫

M×M

|x − y|^zdxdy := lim

ε→0⁺

(∫

M×M \∆^ε

dxdy

|x − y|^{z − ΦM,z(ε)} )

で与えられる.

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発散積分の正則化 ( 超関数論 ) ∼ Hadamard 正則化

M : fixed, z ∈ R: fixed

∫

M×M

|x − y|^zdxdy は対角成分∆ = {(x, x)}上発散する.

∆ε:= {(x, y) : |x − y| ≤ ε} とし

∫

M×M \∆^ε

|x − y|^zdxdy をεで(Laurent)級数展開する. Hadamard の有限部分(Pf.) はΦ_M,z(ε) をうまくとって,

Pf.

∫

M×M

|x − y|^zdxdy := lim

ε→0⁺

(∫

M×M \∆^ε

dxdy

|x − y|^{z − ΦM,z(ε)} )

で与えられる.

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発散積分の正則化 ( 超関数論 ) ∼ Hadamard 正則化

M : fixed, z ∈ R: fixed

∫

M×M

|x − y|^zdxdy は対角成分∆ = {(x, x)}上発散する.

∆ε:= {(x, y) : |x − y| ≤ ε} とし

∫

M×M \∆^ε

|x − y|^zdxdy をεで(Laurent)級数展開する. Hadamard の有限部分(Pf.) はΦ_M,z(ε) をうまくとって,

Pf.

∫

M×M

|x − y|^zdxdy := lim

ε→0⁺

(∫

M×M \∆^ε

dxdy

|x − y|^{z − ΦM,z(ε)} )

で与えられる.

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Hadamard 正則化と解析接続

Hadamard正則化=解析接続. Pf.

∫

M×M

|x − y|^zdxdy

=







BM(z) (Zは極でない)

w→zlim (

B_M(w) −^{zでの留数} w − z

)

(z は極)

..Back

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ボールのベータ関数

R. E. Miles 1971, J. Hansen and M. Reitzner 2004

B_Bⁿ(z) = ²

z+n_o

n−1^on−2

(n − 1)(z + n)^B

( z + n + 1

2 ^,

n + 1 2

)

=















2^z+n+1πⁿ⁻¹² Γ^(z₂ +ⁿ⁺¹₂ ⁾

(z + n)⁽ⁿ₂ − 1)! Γ (^z₂ + n + 1^{) (偶)} 2^z+2n+1πⁿ⁻¹

(z + n) (n − 2)!! (z + n + 1)(z + n + 3) · · · (z + 2n) ^(奇). n:偶数⇒ z = −n, −n − 1, −n − 3, −n − 5, . . . の無限個の極

n:奇数⇒ z = −n, −n − 1, −n − 3, . . . , −2nの(n + 3)/2個の極

..(Open) Problems ..球体・球面の特徴付け

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Writhe 関数

K とその鏡像K^∗ をいかに区別するか. WK(z) := ¹

4π

∫

K×K

|x − y|^zdet(x − y, dx, dy).

絡み目 K₁∪ K2 の絡み数は下で与えられる:

lk(K1, K2) = ¹ 4π

∫

K1

∫

K2

det(x − y, dx, dy)

|x − y|^{3 ∈ Z.}

WK(−3)は結び目のwrithe.

..Back

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Writhe 関数

K とその鏡像K^∗ をいかに区別するか. WK(z) := ¹

4π

∫

K×K

|x − y|^zdet(x − y, dx, dy). 絡み目 K₁∪ K2 の絡み数は下で与えられる:

lk(K1, K2) = ¹ 4π

∫

K1

∫

K2

det(x − y, dx, dy)

|x − y|^{3 ∈ Z.}

WK(−3)は結び目のwrithe.

..Back

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Writhe 関数

K とその鏡像K^∗ をいかに区別するか. WK(z) := ¹

4π

∫

K×K

|x − y|^zdet(x − y, dx, dy). 絡み目 K₁∪ K2 の絡み数は下で与えられる:

lk(K1, K2) = ¹ 4π

∫

K1

∫

K2

det(x − y, dx, dy)

|x − y|^{3 ∈ Z.} WK(−3)は結び目のwrithe.

..Back

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内在的体積

Ωを^Rnの凸コンパクトボディ, Ωをそのε-平行体Ωε= ∪x∈ΩB_εⁿ(x) とする. Vol(Ωε)をεで級数展開した係数がΩの内在的体積.

積分幾何,凸幾何学で重要(cf. Hadwigerの定理) n = 2 Area(Ωε) = Area(Ω) + L(∂Ω)ε + πε². n = 3

Vol(Ωε) = Vol(Ω) + Area(∂Ω)ε + (

π

∫

∂Ω

H dµ )

ε²+⁴ 3^πε

3_,

H は平均曲率.

..Back

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結び目のメビウスエネルギー B

(−2)

..Back

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Open problem

2, 3次元のとき,

∫

Ω×Ω

|x − y|^zdxdy と

∫

Ω×∂Ω

|x − y|^zdxdy の留数か ら内在的体積が得られる.

.問題 .. ...

高次元のときもそうか?