E in Me06 最近の更新履歴 物理学ノート

力学演習 No.6 (May 26, 2010) ^{簡単な運動}II∼空気抵抗を伴う落下運動∼ ₁

y

v

v

t=0

v

ã¸’† ‰º~’†

問題_1. 速度に比例する空気抵抗_{f = −kmv}が働く場合_{(k ≥ 0)}^*1，_{y= 0} から初速度_v0で質点を投げ上げる運動を考える。

1-1.^{鉛直上方を}y軸に選び，運動の概略図を描け。

✎右図を参考にして作用する力を書けばよい。

1-2. k^の次元がT⁻¹(SI^{単位系では}s⁻¹)であることを確認せよ。 1-3.^{運動方程式を書け。}

1-4.^{運動方程式を積分し，}y^{方向の速度}vy(t)が次式で表されることを示せ。

vy_{(t) = −}

g

k^+(v0+ g k^)e

−_kt

. (1)

1-5.^速度vy(t)^{を積分し，高さ}y(t)が次式で表されることを示せ。

y_{(t) = −}^g k^t+

1 k^(v0+

g k^{)(1 − e}

−kt). (2)

1-6.^{十分時間が経った後}_{(t ≫ k}⁻¹)での速度すなわち終端速度_v∞と，_y∞(t)^{を求めよ*2。} 1-7. vy(t)^とy(t)^をtの関数としてグラフで表せ。

1-8. kt ≪ 1^{の場合，vy(t)とy(t)}がそれぞれ下のように展開できることを確認せよ。

vy(t) = (v⁰− gt) − k(v⁰t −^g₂^{t2) + O(k2), (3)} y(t) = (v⁰_{t −}^g

2^t

2) − k(^v₂^0t2−^g 6^t

3) + O(k²). (4)

1-9.^{最高点に達する時刻}th^と高さyh^，更に

kv0

g ^{≪ 1}の場合にそれぞれを展開すると

th= ¹ k^log

(1 +^kv0 g

)= ^v0 g

[1 −^kv0 2g ^{+ O(k}

2)^], (5)

yh= ^v0 k ⁻

g k^2log

(1 + ^kv0 g

)= ^v

2 0

2g

[1 − ^2kv_3g^{0 + O(k2)]. (6)}

となることを示せ。

指数関数と対数関数の_Taylor展開_(Maclaurin 展開₎ e^x= ¹

0!⁺ x 1!⁺

x²

2! ^{+ · · · +} xⁿ

n! ^{+ · · · =}

∞

∑

n=0

xⁿ

n!^{, (7)}

log(1 + x) = ^x 1 ⁻

x² 2 ⁺

x³

3 + · · · + (−1)^n−1x

n

n ^{+ · · · =}

∞

∑

n=1

(−1)^n−1x

n

n ^{. (8)}

問題_2. 同じく，速度に比例する空気抵抗_{f = −kmv}が働くとき，_xy平面で仰角_α方向に原点から初速度_V で質点を投げる。

2-1.^{運動方程式を書け。}

2-2.運動方程式を積分し，速度_vすなわち_vx(t)と_vy(t)を求めよ。 2-3.速度を積分し，位置すなわち_x(t)と_y(t)を求めよ。

2-4.^{十分時間が経った後}_{(t ≫ k}⁻¹)の位置や速度について考察せよ。

*1

このような空気抵抗を_Stokesの粘性抵抗力という。速さ v_{= |v|}が比較的小さい時，あるいは物体の大きさが比較的小さい時に 実現する。実例は，雲や霧雨の水滴，煙突からの煙，花粉の空中飛行，プランクトン・バクテリアの水中の泳ぎなど。

*2

ミリカンの油滴の実験の場合，k_{∼ 4 × 10}

5s^{−1となり t}≫ 10⁻⁵s^{では v∞}∼ 2 × 10⁻⁵ m/sの等速運動と考えてよい。また 同様に，半径_0.1mmの水滴₍霧雨₎の場合，k_{∼ 10 s}

−1

なり t_{≫ 0.1s}では v∞∼ 1m/sの等速運動と考えてよい。

2

y

v

v

t=0

v

ã¸’† ‰º~’†

問題_3. 速度の₂乗に比例する空気抵抗_{f = −κmv}

2

が働く場合_{(κ ≥ 0)} ^*3， y= 0^{から初速度}v0で質点を投げ上げる運動を考える。

3-1.^{鉛直上方を}y軸に選んで，運動の概略図を描け。

✎右図を参考にして作用する力を書けばよい。

3-2. κ^の次元がL⁻¹(SI^{単位系では}m⁻¹)であることを確認せよ。 3-3.運動方程式を書け（上昇中と下降中で分けて考える必要がある）。

✎ついでに下降中の終端速度_v∞を運動方程式だけから求めてみよう。

3-4.上昇中における運動方程式を積分し，速度_vy(t)が次式で表されることを示せ。

vy(t) =^{√ g}

κ^{tan(γ −}

√_{gκ t), (9)}

γ= tan^{−1(√ κ} g^v0

)

. (10)

3-5.質点が最高点に到達する時刻_thが次式になることを示せ。

th=_√¹ gκ^tan

−1⁽√ κ g^v0

). (11)

3-6.^{上昇中の高さ}y(t)^{および最高点の高さ}yhが次式で表されることを確かめよ_:

y(t) = ¹ κ^log

[cos[^√gκ(th_{− t)]}

]+ yh _{for t ≤ t}h, (12)

yh_{= −}

1 κ^log

[cos[^√gκ th]^]_{≥ 0.} (13)

3-7.下降中における運動方程式を積分し，速度_vy(t)が次式で表されることを示せ_:

vy_{(t) = −}

√ g κ^tanh[

√gκ_{(t − t}h)] _{for t ≥ t}h. (14)

3-8.この質点が等速運動になる条件およびその終端速度_v∞を求めよ。 3-9.^速度vy(t)^{をグラフで表せ。}

3-10.^{下降中の高さ}y(t)が下のように表されることを確かめよ。

y_{(t) = −}¹ κ^log

[cosh[^√gκ_{(t − t}h)]^]+ yh _{for t ≥ t}h. (15)

双曲線関数の定義と微分

cosh x := ^e

x_{+ e}−x

2 ^{, sinh x :=}

e^x_{− e}^−x

2 ^{, tanh x :=}

sinh x cosh x ⁼

e^x_{− e}^−x

e^x+ e^{−x, (16)} cosh²_{x − sinh}²x= 1, _{1 − tanh}²x= ¹

cosh²x^{, (17)}

(cosh x)^′ = sinh x, (sinh x)^′= cosh x, (tanh x)^′= ¹

cosh²x^{. (18)}

*3

この空気抵抗を_Newtonの抵抗法則という。この法則が成り立つ条件など詳しいことは流体力学で学ぶ。