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(1)

力学演習 No.6 (May 26, 2010) 簡単な運動II∼空気抵抗を伴う落下運動∼ 1

y

v

0

v

y

t=0

v

y

ã¸’† ‰º~’†

問題1. 速度に比例する空気抵抗f = −kmvが働く場合(k ≥ 0)*1y= 0 から初速度v0で質点を投げ上げる運動を考える。

1-1.鉛直上方をy軸に選び,運動の概略図を描け。

✎右図を参考にして作用する力を書けばよい。

1-2. kの次元がT−1(SI単位系ではs−1)であることを確認せよ。 1-3.運動方程式を書け。

1-4.運動方程式を積分し,y方向の速度vy(t)が次式で表されることを示せ。

vy(t) = −

g

k+(v0+ g k)e

kt

. (1)

1-5.速度vy(t)を積分し,高さy(t)が次式で表されることを示せ。

y(t) = −g kt+

1 k(v0+

g k)(1 − e

−kt). (2)

1-6.十分時間が経った後(t ≫ k−1)での速度すなわち終端速度vと,y(t)を求めよ*2 1-7. vy(t)y(t)tの関数としてグラフで表せ。

1-8. kt ≪ 1の場合,vy(t)y(t)がそれぞれ下のように展開できることを確認せよ。

vy(t) = (v0− gt) − k(v0t −g2t2) + O(k2), (3) y(t) = (v0t −g

2t

2) − k(v20t2g 6t

3) + O(k2). (4)

1-9.最高点に達する時刻thと高さyh,更に

kv0

g ≪ 1の場合にそれぞれを展開すると

th= 1 klog

(1 +kv0 g

)= v0 g

[1 −kv0 2g + O(k

2)], (5)

yh= v0 k

g k2log

(1 + kv0 g

)= v

2 0

2g

[1 − 2kv3g0 + O(k2)]. (6)

となることを示せ。

指数関数と対数関数のTaylor展開(Maclaurin 展開) ex= 1

0!+ x 1!+

x2

2! + · · · + xn

n! + · · · =

n=0

xn

n!, (7)

log(1 + x) = x 1

x2 2 +

x3

3 + · · · + (−1)n−1x

n

n + · · · =

n=1

(−1)n−1x

n

n . (8)

問題2. 同じく,速度に比例する空気抵抗f = −kmvが働くとき,xy平面で仰角α方向に原点から初速度V で質点を投げる。

2-1.運動方程式を書け。

2-2.運動方程式を積分し,速度vすなわちvx(t)vy(t)を求めよ。 2-3.速度を積分し,位置すなわちx(t)y(t)を求めよ。

2-4.十分時間が経った後(t ≫ k−1)の位置や速度について考察せよ。

*1

このような空気抵抗をStokesの粘性抵抗力という。速さ v= |v|が比較的小さい時,あるいは物体の大きさが比較的小さい時に 実現する。実例は,雲や霧雨の水滴,煙突からの煙,花粉の空中飛行,プランクトン・バクテリアの水中の泳ぎなど。

*2

ミリカンの油滴の実験の場合,k∼ 4 × 10

5s−1となり t≫ 10−5sでは v∼ 2 × 10−5 m/sの等速運動と考えてよい。また 同様に,半径0.1mmの水滴(霧雨)の場合,k∼ 10 s

−1

なり t≫ 0.1sでは v∼ 1m/sの等速運動と考えてよい。

(2)

2

y

v

0

v

y

t=0

v

y

ã¸’† ‰º~’†

問題3. 速度の2乗に比例する空気抵抗f = −κmv

2

が働く場合(κ ≥ 0) *3, y= 0から初速度v0で質点を投げ上げる運動を考える。

3-1.鉛直上方をy軸に選んで,運動の概略図を描け。

✎右図を参考にして作用する力を書けばよい。

3-2. κの次元がL−1(SI単位系ではm−1)であることを確認せよ。 3-3.運動方程式を書け(上昇中と下降中で分けて考える必要がある)。

✎ついでに下降中の終端速度vを運動方程式だけから求めてみよう。

3-4.上昇中における運動方程式を積分し,速度vy(t)が次式で表されることを示せ。

vy(t) =√ g

κtan(γ −

gκ t), (9)

γ= tan−1(√ κ gv0

)

. (10)

3-5.質点が最高点に到達する時刻thが次式になることを示せ。

th=1tan

−1(√ κ gv0

). (11)

3-6.上昇中の高さy(t)および最高点の高さyhが次式で表されることを確かめよ:

y(t) = 1 κlog

[cos[gκ(th− t)]

]+ yh for t ≤ th, (12)

yh= −

1 κlog

[cos[gκ th]]≥ 0. (13)

3-7.下降中における運動方程式を積分し,速度vy(t)が次式で表されることを示せ:

vy(t) = −

√ g κtanh[

√gκ(t − th)] for t ≥ th. (14)

3-8.この質点が等速運動になる条件およびその終端速度vを求めよ。 3-9.速度vy(t)をグラフで表せ。

3-10.下降中の高さy(t)が下のように表されることを確かめよ。

y(t) = −1 κlog

[cosh[(t − th)]]+ yh for t ≥ th. (15)

双曲線関数の定義と微分

cosh x := e

x+ e−x

2 , sinh x :=

ex− e−x

2 , tanh x :=

sinh x cosh x =

ex− e−x

ex+ ex, (16) cosh2x − sinh2x= 1, 1 − tanh2x= 1

cosh2x, (17)

(cosh x) = sinh x, (sinh x)= cosh x, (tanh x)= 1

cosh2x. (18)

*3

この空気抵抗をNewtonの抵抗法則という。この法則が成り立つ条件など詳しいことは流体力学で学ぶ。

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