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(1)

力学演習 No.6 (May 26, 2010) 簡単な運動II∼空気抵抗を伴う落下運動∼ 1

y

v

0

v

y

t

=0

v

y

ã¸’† ‰º~’† 問題1. 速度に比例する空気抵抗f =−kmvが働く場合(k≥0) *1,y= 0

から初速度v0で質点を投げ上げる運動を考える。 1-1.鉛直上方をy軸に選び,運動の概略図を描け。

✎右図を参考にして作用する力を書けばよい。

1-2.kの次元がT −1

(SI単位系ではs −1

)であることを確認せよ。

1-3.運動方程式を書け。

1-4.運動方程式を積分し,y方向の速度vy(t)が次式で表されることを示せ。

vy(t) =−

g k+

(

v0+

g k

)

e−kt

. (1)

1-5.速度vy(t)を積分し,高さy(t)が次式で表されることを示せ。

y(t) =−g

kt+

1

k

(

v0+

g k

)

(1−e−kt

). (2)

1-6.十分時間が経った後(t≫k −1

)での速度すなわち終端速度v∞と,y∞(t)を求めよ*2。

1-7.vy(t)とy(t)をtの関数としてグラフで表せ。

1-8.kt≪1の場合,vy(t)とy(t)がそれぞれ下のように展開できることを確認せよ。

vy(t) = (v0−gt)−k(v0t−

g

2t

2

) +O(k2), (3)

y(t) = (v0t−

g

2t

2

)−k(v0 2t

2 −g

6t

3

) +O(k2). (4)

1-9.最高点に達する時刻thと高さyh,更に

kv0

g ≪1の場合にそれぞれを展開すると

th=

1

klog

(

1 +kv0

g

)

= v0

g

[

1−kv0

2g +O(k

2

)], (5)

yh=

v0

k − g k2log

(

1 + kv0

g

)

= v

2 0

2g

[

1−2kv0

3g +O(k

2

)]. (6)

となることを示せ。

指数関数と対数関数のTaylor展開(Maclaurin 展開)

ex= 1

0!+

x

1!+

x2

2! +· · ·+

xn

n! +· · ·=

∞ ∑

n=0

xn

n!, (7)

log(1 +x) =x 1 −

x2

2 +

x3

3 +· · ·+ (−1)

n−1xn

n +· · ·=

∞ ∑

n=1

(−1)n−1xn

n . (8)

問題2. 同じく,速度に比例する空気抵抗f =−kmvが働くとき,xy平面で仰角α方向に原点から初速度V で質点を投げる。

2-1.運動方程式を書け。

2-2.運動方程式を積分し,速度vすなわちvx(t)とvy(t)を求めよ。 2-3.速度を積分し,位置すなわちx(t)とy(t)を求めよ。

2-4.十分時間が経った後(t≫k −1

)の位置や速度について考察せよ。

*1

このような空気抵抗をStokesの粘性抵抗力という。速さv=|v|が比較的小さい時,あるいは物体の大きさが比較的小さい時に 実現する。実例は,雲や霧雨の水滴,煙突からの煙,花粉の空中飛行,プランクトン・バクテリアの水中の泳ぎなど。

*2

ミリカンの油滴の実験の場合,k∼4×10

5 s−1

となりt≫10

−5

sではv∞∼2×10 −5

m/sの等速運動と考えてよい。また

同様に,半径0.1mmの水滴(霧雨)の場合,k∼10 s

−1

(2)

2

y

v

0

v

y

t

=0

v

y

ã¸’† ‰º~’† 問題3. 速度の2乗に比例する空気抵抗f =−κmv

2

が働く場合(κ≥0) *3,

y= 0から初速度v0で質点を投げ上げる運動を考える。 3-1.鉛直上方をy軸に選んで,運動の概略図を描け。

✎右図を参考にして作用する力を書けばよい。

3-2.κの次元がL −1

(SI単位系ではm −1

)であることを確認せよ。

3-3.運動方程式を書け(上昇中と下降中で分けて考える必要がある)。

✎ついでに下降中の終端速度v∞を運動方程式だけから求めてみよう。

3-4.上昇中における運動方程式を積分し,速度vy(t)が次式で表されることを示せ。

vy(t) =

g

κtan(γ−

gκ t), (9)

γ= tan−1(√κ

gv0

)

. (10)

3-5.質点が最高点に到達する時刻thが次式になることを示せ。

th=

1

tan−1(

κ

gv0

)

. (11)

3-6.上昇中の高さy(t)および最高点の高さyhが次式で表されることを確かめよ:

y(t) = 1

κlog

[

cos[√gκ(th−t)]

]

+yh fort≤th, (12)

yh=−

1

κlog

[

cos[√gκ th]

]

≥0. (13)

3-7.下降中における運動方程式を積分し,速度vy(t)が次式で表されることを示せ:

vy(t) =−

g κtanh[

gκ(t−th)] fort≥th. (14)

3-8.この質点が等速運動になる条件およびその終端速度v∞を求めよ。 3-9.速度vy(t)をグラフで表せ。

3-10.下降中の高さy(t)が下のように表されることを確かめよ。

y(t) =−1

κlog

[

cosh[√gκ(t−th)]

]

+yh fort≥th. (15)

双曲線関数の定義と微分

coshx:=e

x+e−x

2 , sinhx:=

ex

−e−x

2 , tanhx:=

sinhx

coshx = ex

−e−x

ex+e−x, (16)

cosh2x−sinh2x= 1, 1−tanh2x= 1

cosh2x, (17)

(coshx)′

= sinhx, (sinhx)′

= coshx, (tanhx)′

= 1

cosh2x. (18)

*3

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