統計学 I (H25 前期 水曜 3限 & 5限） Toshihide Kitakado's Website Lec9

門 利英 海洋生物資源学科

L度ctur度 9

目的

 ^{前回 ，パラメヸタ 推定 ，推定 評価方法}

い 主 述べ

い 主 述べ

 ^{，特定 付 推定 形を想定 ，適}

を，不偏性 散最 を基準 求

 ^{今回 特定 推定 形 わ 推定 ( あ}

 ^{今回 ，特定 推定 形 わ 推定 ( あ}

い 推定値 ₎ を く ，一般的 原理 推定

を くこ を考え

を くこ を考え

尤

尤 ヷヷヷ得 観測値 確率 布を基

パラメヸタ 尤 さを測 相対的尺

パラメ タ 尤 さを測 相対的尺

例え ，

あ 水産生物 集団 ₅ 個体をサンプリン ，

あ 遺伝子 アリルを観測 こ ，

アリル _{A 7} 個，アリル _{a 3} 個 あ ．

集団中 アリル _{A (p)} を推測 ，

p=0.2,  p=0.5, p=0.8 ^{一番尤 い ？}

p p p

例

定式

N: ^{アリル サンプル数} (given)

N:   ^{アリル サンプル数} (given)

Y:   ^アリル A ^観測数 ( ^確率変数 )

p:   ^{集団中 アリル} A

Y ~ Bi (N ) ^{P Y ( )  }   ^N

^{(1 )}

^{( 0 1 2 N )}

Y  ~ Bin(N, p)

N=10 ^{対 ，} Y=7 ^{を観測 確率}

( )

(1 )

( 0,1, 2,..., )

P Y y p p y N

  _{ } y  

 

p=0.2

0 5

( 7)

P Y _{ }

( 7)

p=0.5 P Y

p=0.8

( 7)

P Y _{ }

( 7)

P Y _{ }

計算し み く さい

尤 考え方

尤 ヷヷヷ得 観測値 確率 布を基

パラメヸタ 尤 さを測 相対的尺

パラメ タ 尤 さを測 相対的尺

得 観測値 ：

ＸＸ いうデ タ 得 いう事実を尊

ＸＸ いうデヸタ 得 いう事実を尊

確率 布を基 ：

観測値 出現メカニズムを確率 布 表現

パラメヸタ 尤 さ ：

パラメヸタ 尤 さ ：

得 観測デヸタ 出や さ 確率 断

( ^相対的 ) ^尺 :

確率 絶対値 関係 く，相対的 大 さを問う

尤 関数

尤 関数：

尤 さ 尺 をパラメヸタ 関数 定義

尤 さ 尺 をパラメ タ 関数 定義

2 ^{項 布 場合 尤 関数}

( ) ( ) ^N

(1 )

L ( ) P Y ( ) ^{ } _{ }

(1 )

L p P Y y p p

y

 

   _{ } 

 

先程 例 ， _{N=10,  Y=7}

  10 ¹⁰

( ) ( 7) (1 )

L p P Y p p

y

 

   _{ } 

 

尤 関数

7 10 7

( ) ( 7) 10 (1 )

L p P Y p p

y

 

   _{ } 

  ^y

 

  10 ¹⁰

(0.2) 0.2 (1 0.2) 0.00079

L _ ^{ } _{ } 7 _

_

 

7 10 7

(0.5) 10 0.5 (1 0.5) 0.11719

L _ ^{ } _{ } 7 _

_

 

7 10 7

(0.8) 10 0.8 (1 0.8) 0.20133

L _ ^{ } _{ } 7 _

_

 

p=0.別 尤 最 大 い

尤 関数

7 10 7

( ) ( 7) 10 (1 )

L p _ P Y _{ } ^{ } _{ } p _ p

  ^y

   

0 _{ } p 1

パラメヸタ 範

連続的 プロット

右 通

右 通

パラメヸタ 範 全 を対

パラメヸタ 範 全 を対

象 p=0.判 尤

関数 値 最大

関数 値 最大

最尤推定法 パラメヸタ 推定

最尤推定法 最尤法 ：

最尤推定法 最尤法

尤 関数 値を最大

こ パラメヸタ

推定法を行う方法

推定法を行う方法

最尤推定 ：

最尤推定 ：

最尤推定法

出さ 推定 推定 形 形

最尤推定値：

最尤推定法 求

最尤推定法 求

パラメヸタ 推定値

さ ラフ

N  _{<‐ 10}

y  _{<‐ 7}

( )

pvec < ‐ c(0.2, 0.5, 0.8)

pp  <‐ seq(0.001, 0.999, 0.001)

( 1 2)

par(cex=1.2)

plot(  pvec, dbinom(y, N, pvec), xlim=c(0,1), ylim=c(0, 0.3), pch=19, col=“red”, 

main="Likelihood for p" xlab="p" ylab="")

main= Likelihood  for p , xlab= p , ylab= )

points(  pp, dbinom(y, N, pp), type="l", lwd=2, col="red") 

尤 関数 最大 ： ₂ 項 布 場合

年分 y 特 値を想定 一般的 考え

( ) ( ) ^N

(1 )

L p P Y y p p

y

 

   _{ } 

 

最大

対数を 大 関係 変わ い ，対数を

（ わ L < L ⇔ l gL < l gL

（ わ ，L < L ⇔ l gL < l gL

log ( ) g ( ) L p _ log ( g ( P Y _{ } y ) ) log g _ ^ _{ } ^{  N} p

(1 ( _ p ) )

^ _

log

p y p p

y

N

   _{ } 

 

 ^g   _{ } 

  y

 



尤 関数 最大 ： ₂ 項 布 場合 続

log ( ) L p ^{を最大 う pを求 p 偏微}

log ( ) L p

p

 _



こ 微 係数 う pを求 ，

 _{log ( ) 0}

1 1

p L p

 _



1 1

0 ( ) 0

y N y 1

p p

    



ˆp _

推定値

ˆ ( )

p Y _ ^推定

例

水槽 _N

1 ^{,  N} 2 ^{個体 同種同 齢 魚を入 ，}

カ月後 死亡数を観測 ． 水槽 条件 全く同

あ ，死亡率を _p ． 死亡尾数 _Y

1 ^{,  Y} 2

独立 項 布 従う ， _p 最尤推定 を求 ．

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( , ) ( ) ( )

L p P Y y Y y P Y y P Y y

N N

     

  ¹

  ²

1 2

(1 ) (1 )

y N y y N y

N N

p p p p

y y

 

   

 _{ }  _{ } 

   

log ( ) L p _

最尤推定法 パラメヸタ 推定

 ^{観測デヸタ 確率 布を設定 ，尤 関数を定義}

独立 デヸタ 場合 確率関数あ い 確率

独立 デ タ 場合 ，確率関数あ い 確率

密 関数 積 尤 を定義

 ^{尤 対数を ，対数尤 関数を定義}

 ^{対数尤 関数をパラメヸタ い 最大}

 ^{対数尤 関数をパラメ タ い 最大}

ヷ解析的 解く場合：パラメヸタ い 偏微

ヷ数値的 解く場合：ニュヸトン法 最適

ヷ数値的 解く場合：ニュ トン法 最適

 ^{最尤推定 不偏性や 散 ( あ い 標準誤差 ) 評価}

on th度 attachm度nt

最尤推定 特徴

利点：

 ^{単純 単一 原理 推定 を 出}

 ^{信 区間 仮説検定 モデル選択 一貫 統計}

 ^信 区間，仮説検定，モデル選択 一貫 統計

推測 可能

 ^{サンプル数 大 い ，真 パラメヸタ 収束}

こ 保証さ い モデル 正 い

注意点：

 ^{必 不偏 あ 限 い}

例：正規 布 散 推定 過 評価

項 布 対数尤 関数 サンプル数を増や ？

Smaller  sample size

Larger  sample size

最尤推定 漸近的性質 項 布 _N を増や

漸近分布

( ^{拡大眼鏡 み 場合} )

一致性

最尤推定 漸近的性質

一致性 _ ^ˆ



 ^{ˆ }  _n

漸近 規性 有効性

漸近正規性 有効性

))

(

0

(

ˆ )

( _{ } N I ^{ 1} _ ^•

標準誤差の近似値

))

(

,

0

(

)

( _{   } N I ^{ 1} _

n ^{を評価可能}

• ^{漸近的に分散最小}

最尤法を利用 推定 水産資源 い や常識！

 生物学的ヷ生態学的パラメヸタ 推定

資源 や資源変動 推定

 ^{資源 や資源変動 推定}

 ^{漁具性能 推定}

 ^{遺伝デヸタ 解析}

 ^{海洋環境デヸタ 解析}

 ^{海洋環境デ タ 解析}

 ^{水産経済デヸタ 解析}

Lecture  _10‐12

 ^{区間推定法}

 ^{区間推定法}

ヷ正規 布 均 信 区間 散既知

ヷ正規 布 均 信 区間 散既知

ヷ正規 布 均 信 区間 散既知

 ^{仮説検定 ロジッ}

 ^{様々 仮説 検定法}

ヷ正規 布 均 検定 標本， 散既知

正規 布 均 検定 標本 散未知

ヷ正規 布 均 検定 標本， 散未知

ヷ正規 布 均 検定 標本，等 散

比率 検定 項 布 正規 布近似

ヷ比率 検定 項 布 正規 布近似