『新しい計量経済学』 鹿野研究室 slide23

計量経済学#23

内生性と操作変数法

(2)

鹿野繁樹

大阪府立大学

Outline

1 操作変数法（IV）

2 二段階最小2乗法（2SLS）

テキスト：鹿野繁樹 [2015]、第12.3章・第12.4章。

前回の復習

1 内生性問題

Section 1

操作変数がもたらす外生ショ

ック

講義ノート#22：線形回帰モデル

Yi =α+βXi+ui (1)

に関し、OLS推定量βˆの確率極限は

plim ˆβ=β+Cov(Xi, ui) Var(Xi)

. (2)

∴説明変数X_iと誤差項u_iが

相関しない（外生性）：Cov(Xi, ui) = 0なのでplim ˆβ=β。

OLSの一致性。

相関する（内生性）：Cov(Xi, ui)= 0なのでplim ˆβ =β。内生 性バイアス！

いま、回帰モデル(1)式に関し、説明変数X_iでも被説明変数Y_iで

もない、第三の変数Z_iを観測できるものと仮定。

このZ_iはX_iだけに作用し、u_iとは独立であるとする。

( Zi ) ( Xi ) ց

共振 (

Yi )!! ր ( ui ) (3)

Ziが、X_iに対し外生ショック（exogenous shocks）⇒u_iとは

独立なX_iの変動・個体差が発生。

∴玉突き的な変動「Z_i X_i →Y_i」から、「Z_i X_i」に起因

操作変数を数学的に定義すれば、...

操作変数

次の二つの性質を満たすZ_iを、操作変数と呼ぶ。

Ziの外生性: E(u_i|Z_i) = 0, (IV1)

ZiとX_iの相関: E(X_i|Z_i)= 0. (IV2)

外生的なX_iの性質の導出法をそのまま適用すれば、

E(ui|Zi) = 0

外生性

⇒

E(ui) = 0

E(uiZi) = 0

直交

⇒ Cov(ui, Zi) = 0

無相関

.

(4)

公式

1

操作変数の定義(IV1)式、(IV1)式は、それぞれ次式を意味する。

Ziの外生性: Cov(u_i, Z_i) = 0, (IV1’)

ZiとX_iの相関: Cov(X_i, Z_i)= 0. (IV2’)

証明：前段で証明済み。

(IV1)式・(IV1’)式は、Z_iの変動がu_iに伝わらないための

条件。

Remark 1

操作変数推定量

Ziの外生性から得られる二つの直交条件、E(u_i) = 0、E(u_iZ_i) = 0

に誤差項u_i =Y_i−α−βX_iを代入すると、

E(Yi−α−βXi) = 0, E [(Yi−α−βXi)Zi] = 0. (5)

実際にα、βを解いてみれば、次の公式を得る。

公式

2 (

母回帰係数

)

母集団モーメントの解として母回帰係数を表すと、

α= E(Yi)−βE(Xi), β =

Cov(Zi, Yi)

Cov(Zi, Xi)

. (6)

証明：復習問題とする。

理論上のモーメント条件(5)に対する標本モーメントは、期

待値を平均値で置き換え

1

n

(Yi−αˆ−βXˆ i) = 0,

1

n

(Yi−αˆ−βXˆ i)Zi = 0. (7)

公式

3 (IV

推定量

)

(5)式に対応する標本モーメントより、

ˆ

αIV = ¯Y −βˆIVX,¯ βˆIV =

(Zi−Z¯)(Yi−Y¯)

(Zi−Z¯)(Xi−X¯)

= SZY

SZX

. (8)

証明：モーメント推定量としてのOLS、講義ノート#19参照。

(8)式のβˆ_IVの分子・分母をn−1で割ると

ˆ

βIV = 1 n−1SZY

1 n−1SZX

= sZY

sZX

. (9)

∴βˆ_IVは、(Z_i, Y_i)の標本共分散s_ZY と、(Z_i, X_i)の標本共分散

IV推定の一致性を確認：βˆ_IVをさらに変形。

ˆ

βIV =β+

(Zi −Z¯)(ui −u¯)

(Zi−Z¯)(Xi−X¯)

=β+

1 n−1

(Zi−Z¯)(ui−u¯) 1

n−1

(Zi−Z¯)(Xi−X¯)

=β+ sZu

sZX

(10)

大数の法則より次式が成立。

plimsZu = Cov(Zi, ui), plimsZX = Cov(Zi, Xi). (11)

Ziの外生性により成立する(IV1’)式と(IV2’)式を踏まえれば、

plim ˆβIV =β+

plimsZu

plimsZX

=β+

=0

Cov(Zi, ui)

Cov(Zi, Xi)

=0

公式

4 (IV

の一致性

)

IV推定量は、回帰係数の一致推定量である。

plim ˆαIV =α, plim ˆβIV =β. (13)

証明：前段で証明済み。（αˆ_IVは各自確認せよ。）

Xiの外生性のもとでのOLSと同様、IV推定量も漸近的に正

規分布で近似できる。

IV推定の標準誤差・t値も、ホワイトのアプローチ（講義ノー

ト#20)が適用できる。

∴仮説検定の手順は、OLSとおなじ。詳しくはWooldridge

Example 1

Luechinger [2010]：二酸化硫黄による大気汚染が生活満足度（5段

階評価）に与える影響を推定。

居住地の汚染レベルの内生性を考慮。⇒「隣国の汚染度」を

二酸化硫黄の操作変数に利用。

隣国汚染度は自国民の個人属性とは独立である一方、流入に より自国の汚染度を悪化させるため、操作変数に使える。

OLS IV

係数 t値 係数 t値

二酸化硫黄 -0.001 -4.05 -0.002 -2.31

対数所得 0.208 30.55 0.208 30.55

...

国ダミー YES YES

年ダミー YES YES

R2 0.20 0.20

n 223,982 223,982

Section 2

2SLS

：操作変数のもう一つの側面

Ziのもう一つの側面：(3)式で見た模式図を連立方程式で表せば、

Xi =γ0+γ1Zi+vi, (14)

Yi =α+βXi+ui. (15)

(14)式：Z_iがX_iに作用することを表すモデル。条件(IV2’)よ

りCov(Z_i, X_i)= 0 ⇔γ₁ = 0のはず。

(14)式の誤差項v_iに関する興味深いロジック。

Xiとu_iが相関、かつZ_iとu_iが無相関ならば、v_iとu_iは相

関。（v_iとu_iが無相関なら、X_iとu_iも無相関になるはず。）

Cov(Zi, ui) = 0, Cov(Zi, Xi)= 0,

Cov(Xi, ui)= 0, Cov(Xi, vi)= 0,

⇒ Cov(vi, ui)= 0.

(16)

∴(14)式のv_iこそが、X_iとu_iの相関・内生性の原因！

Xiを次式のように分解可能。

Xi =γ0+γ1Zi

外生的

+ vi

内生的

=X_ie+vi. (17)

Xiは「何もかも」が内生的な訳ではなく、Z_iによって動かさ

Remark 2

内生変数X_iの変動は、操作変数Z_iに依存する外生的なパートX_ie と、u_iと相関する内生的なパートv_iに分かれる。

(14)式は、OLS推定できる点に注意。

次の手順で(15)式の推定を試みる。これを二段階最小2乗法

（two stage least squares，2SLS）と呼ぶ。

Remark 3

二段階最小二乗法（2SLS）の手順

1 X

iの浄化：X_iをZ_iにOLS回帰し，Z_iによるX_iのOLS予測 値=外生的なパートX_ieの推定値を作る．

ˆ

Xi = ˆγ0+ ˆγ1Zi, i= 1,2, . . . , n. (18)

ただし

ˆ

γ0 = ¯X−γˆ1Z,¯ γˆ1 =

(Zi−Z¯)(Xi−X¯)

(Zi−Z¯)2

= SZX

SZZ

. (19)

2 _Xˆ

iによる推定：Y_iをXˆ_iにOLS回帰し，βを推定．

ˆ

β2SLS =

( ˆXi−X¯)(Yi −Y¯)

( ˆXi−X¯)2

= SXYˆ

SXˆXˆ

2SLS

と

IV

の同値性

操作変数Z_iを利用した二つの推定法。

操作変数法IV：Z_iの直交条件から標本モーメントを構成。

二段階最小2乗法2SLS：ZをX_iの外生的な変動の抽出に 使う。

... 実証分析ではどちらを使うべき？⇒ここまでの議論で想定

公式

5

単一の操作変数Z_iに関し、IV推定量と2SLS推定量は同値である。

ˆ

β_IV = ˆβ_2SLS. (21)

証明：テキストp215 - p216参照。

多くの統計ソフトでは、「2SLS」と「IV」が共通のコマンドと

して扱われる。

「単一の操作変数Z_iに関し」という点に注意。⇒操作変数が

複数ある場合、単一操作変数によるIVと、複数の操作変数を

2SLS

による操作変数の統合

内生的な説明変数X_iを持つ回帰モデル(1)式に対し、操作変数の

条件を満たすL個の外生変数が利用可能な場合、どうする？

Z₁i, Z2i, . . . ZLi, Cov(Zpi, ui) = 0

外生性

, Cov(Zpi, Xi)= 0

Xiとの相関

. (22)

係数βに対しL通りのIV推定量！⇒Z_piによるIV推定量を

ˆ

β_IV(p), p= 1.2. . . . , L (23)

と置く。（αも同様。）... どのIVを使うべきか？

いずれのIVも一致性・漸近正規性を満たすので、選抜の基準

2SLSは、全てのZ_1i, Z_2i, . . . Z_Liを統合して使うことが可能。

まず内生的なX_iを、操作変数（外生変数）Z_1i, Z_2i, . . . Z_Liに

OLS回帰し、予測値Xˆ_iを作る。

全てのZ_1i, Z_2i, . . . Z_Liによる2SLSをβˆ_2SLS∗ と置けば、一般的に

Avar( ˆβ_2SLS∗ )<Avar( ˆβ_IV(p)) (24)

が成立。（証明は大学院レベルの難易度、省略。）

L個の操作変数による2SLSは、どの単体操作変数によるIV

よりも漸近分散が小さい！

∴操作変数が複数ある場合は、2SLSで一気にまとめて推定に

Remark 3

単一の操作変数があれば回帰係数の一致推定が可能だが、操作変

今回の復習問題

次の設問に答えよ。各自用意した紙に解答し、退出時に提出せよ。 講義名、日付、学籍番号、氏名を明記すること。

References

S. Luechinger. Life satisfaction and transboundary air pollution.

Economics Letters, 107(1):4–6, 2010.

J. M. Wooldridge. Introductory Econometrics. Cengage Learning, 5th edition, 2013.