解答例 ２次数学セレクション

［98 九州大］ (1) 正 角形 , △AEI, △BFJ, △CGK, △DHL 4 , 正 角形 与え 3

点 選び方 4通 。

(2) 正 角形 い 等辺 角形 総数 , 頂点 1 決 底辺 決 方 4

通 , 41248通 。 (1) 正 角形 合わ , 48 4 52通 。

(3) 円 直 直角 角形 斜辺 こ 着目 。

ま , 斜辺 1 決 う1 頂点 決 方 10 通 。ま 斜辺 決 方 6通 , 直角 角形 与え 3点 選び方 10 6 60通

。

(4) 点A 頂点 角形 考え 一般性 失わ い。

(i) 直角 角形 場合

AG 斜辺 , 互い 合同 い 角形 他 頂点 選び方 B, C,

D 3通 。

(ii) 鈍角 角形 場合

対称性 考え , 最大辺 AF, AE, AD, AC あ 。

互い 合同 い 角形 他 頂点 選び方 , 最大辺 AFま AE

B, C 2通 , ADま AC B け 1通 , 合わ

2   2 1 2 6通 。 (iii) 鋭角 角形 場合

対称性 考え , 最大辺 AF, AE あ 。

互い 合同 い 角形 他 頂点 選び方 , 最大辺 AF H, I 2 通 , AE I け 1通 , 合わ 2 1 3通 。

(i)(ii)(iii) , 互い 合同 い 角形 , 3  6 3 12個あ 。

［解 説］

(1) (3)ま 有 問題 。昨年 会津大 6n等分 場合 類題 出 いま 。

［98 お茶の水女大・文］

(1) 9枚 カード 3枚取 出 9C3 84通 組合 同様 確 しい。

対応 3点 角形 さ い , 3点 同一直線上 あ 。

こ , 縦 並び, 横 並び 3 通 , 対角線上 2 通 , 合わ 3  2 2 8通 。

, 角形 確率 , 1 8

84 19 21

  あ 。

(2) 9枚 カード 重複 許し 3枚取 出し 並べ 93 729通 重複順列

同様 確 しい。

対応 3点 角形 さ い , 次 3 場合 あ 。 (i) 3点 異

3点 選び方 (1) 同 く8通 , そ 各々 対し 3!通 取 出し

方 あ , 83!48通 。 (ii) 2点 け 同一点

一致 点 考え 2 点 選び方 9P2 72通 , そ 各々 対し 3 通 取 出し方 あ , 72 3 216通 。

(iii) 3点 同一点

こ 場合 明 9通 。

以上 , 角形 確率 , 1 48 216 9 729

152 243

    あ 。

［解 説］

［98 名古屋大・情報］

(1) 記録さ 数 積 5 割 いう事象 A , 事象A 積 5

割 い, わ 記録さ 数 べ 5以外 数 ,

 

P A

n ( ) 8

9

, P A P A

 

n ( ) 1 ( ) 1 8

9

(2) 記録さ 数 積 2 割 いう事象 B , (1) 同様 し ,

 

P B

n ( ) 5

9

記録さ 数 積 10 割 いう事象 AB ,

P A( B) 1 P A( B)  1 P A( B)

 1



P A( )P B( )P A( B)



 1 P A( )P B( )P A( B)

ここ , 事象AB 積 2 5 割 い, わ 記録さ べ

数 1, 3, 7, 9 い ,

 

P A B

n (  ) 4

9

以上 , P A B

     

n n n (  ) 1 8  

9

5 9

4 9

［解 説］

解 中ほ 書い P A( B)  1 P A( )P B( )P A( B) いう関係式 ポ イント 。余事象 確率 方 考えや い , こ 式 用い 考え 整理しま 。

［98 一橋大］

(1) A 勝 確率, 負け 確率 そ 2

3 1 3

, あ 。

(i) 3回目 A 優勝 , A 3連勝 , そ 確率

 

2 3

8 27 3



(ii) 4回目 A 優勝 , 3回目ま A 2勝1敗 4回目 A 勝

, そ 確率 3 2

 

2 2 3 1 3 2 3 8 27

C  

(iii) 5回目 A 優勝 , 4回目ま A 2勝2敗 5回目 A 勝

, そ 確率 4 2

   

2 2 2 3 1 3 2 3 16 81

C  

(i)(ii)(iii) , p 8   

27 8 27 16 81 64 81

(2) A m回目 優勝 し , そ ま A 勝 回数, 負け 回数

そ a, b , a b m, a b 2 。 こ , a m2 b m

2

2 2

, , m 偶数 あ 。

ま , 2回試合 し , A 1勝1敗 確率 , 2 12 3

1 3

4 9

C   。

k≧2 し 2k回目 A 優勝 , A 2(k1)回目ま 1勝1敗 パタ

ーン 続け, そ 後2連勝 場合 あ 。 こ 確率 ,

     

4

9 2 3 4 9 1 2

k k

  , こ k1 成 立 。

, qn

 

 

 

k n n k n              



4 9 4 9 1 4 9 1 4 9 4 5 1 4 9 1

(3) qn p

 

 

n n   _              4 5 1 4 9 64 81 4 5 1 81 4 9

qn＞p

⇔

1

 

81 4 9

＞ n

⇔

1

 

9 9 4 1 2 n ＞

qn＜p

⇔

1

 

81 4 9

＜ n

⇔

1

 

9 9 4 1 2 n ＜

ここ , 1

 

 

9 9 4 9 4 729 1024 1 1 9 9 4 9 4 6561 4096 1 2 5 3 5 2 6 4 6   ＜ ,   ＞

［98 東京医歯大］

(1) 101. 秒後 粒子 1個 , A→D, B→D, C→D ,

 

P1

3

1 1

3

1 27

( ) 

粒子 2個 , ま A B 合体 考え ,

A→C, B→C, C→任意 ま A→D, B→D, C→D以外 場合 , そ 確率 ,

 

1

 

3 1

1 3

2 3

5 27

2 2

    。

B C 合体 , C A 合体 同様 ,

P2 1 5

27 3 5 9 ( )  

ま , P3 1 1 P1 1 P2 1 11 27 ( )  ( ) ( )

(2) 粒子 n1秒後ま 合体 , n秒後 合体し 2個 確率 ,





 

Q n P n P

n ( ) 3( ) 1 2( ) 

1

1 1 5

9 11 27

(3) 2個 粒子 あ , 1秒後 合体し 1個 確率 , (1) 同様 考え ,

 

1

3 2

2 9 2

  , 2個 粒子 合体し い確率 , 1 2 9

7 9

  。

そこ , k秒後 1 k n1 粒子 2個 , n秒後 2個 粒子 存在 確率 ,

 

11

 

  



27

5 9

7 9

27 11

5 9

7 9

11 27

9 7 1

k n k n k

      15

   

11

7 9

11 21 n k

こ , kn 場合 ,

P2(n) 

   



 

 _ 

 



  





15

11 7 9

11 21

15 11

7 9

11 10 1

11 21 1

n k k

n _{n n}

 _

   





  

3 2

7 9

11 27 n n

ま , P n

 

n

3 11

27

( ) , P n P n P n

   

n n

1 1 2 3 1 3

2 7 9

1 2

11 27 ( )  ( ) ( )  

［解 説］

［98 名古屋大・理］

n秒後 B, D い 確率 そ bn, dn , a0 1, b0 c0 d0 0 ,

ま a1 c1 0, b1  1 p, d1  p 。 an1 (1p b) n pdn………

bn1 (1p a) n pcn………

cn1  pbn (1p d) n………

dn1  pan (1p c) n……… ＋ , an1cn1 bn dn………

－ , an1cn1 (12p)(bn dn)………  ＋ , bn1dn1 an cn………

－ , bn1dn1 (12p)(an cn)………  , an2cn2 an cn………

  , an2 cn2 (12p) (2 an cn)……… (i) n 偶数

, an cn a0c0 1

, an cn a c p p

n

n

 ( 0  0)(  )  (  ) 2

2

1 2 1 2

, an  1



  p n



cn 



  p n



2 1 1 2

1

2 1 1 2

( ) , ( )

(ii) n 奇数

, an cn a1c1 0 , an cn a c p

n

 ( 1  1)(  )   

2 1 2

1 2 0

, an cn 0

［解 説］

い い 漸化式 立 解い まし , n 奇数 an cn 0 あ こ 題意 明 。そ n 偶数 け 考え い いうこ

, そ う 解 構いま 。

A

B C

D

［98 広島大・理］ (1) E  3 1x  x  y  y  z  z

3 6 13 3 13 5 13 6 13 5 13

  x 2y z   x y  x y   x y

3 1 3

2 3

1 3 1

1 3

4 3

1 3

( )

ここ , yk (0 k 1) 固定 , E  4x k

3 1 3

1 3

, x 増加 伴 E 減少 , 0 x 1k , k 対し

x 0 , E 最大 。

こ x 0 状態 保 まま y 変化さ , E 1y

3 1

3 , y 増加

伴 E 増加 。 , y 1 E 最大 。

こ , z    1 x y 0 , E ( ,x y, z)( ,0 1, 0) い 最大値 2

3 。

(2) E  3yp6zp3xq5zq6xr5yr

 ( 3y6z p) (3x5z q)  ( 6x5y r)

p, q, r う E 0 条件 , ま ( ,p q, r)( ,1 0, 0 ),

( ,0 1 0, ), ( ,0 0 1, ) 対し E 0 こ 必要 ,

3y6z 0……… , 3x5z 0……… , 6x5y 0………

逆 , 成立 任意 p, q, r 対し E 0 。

y 2z…… , x  5z

3 …… 代入  6 5   

3z 5 2z 0 , 成立 。 ここ , x  y z 1 代入 , 14

3 1

3 14

z  , z

以上 , x  5 y  z

14

3 7

3 14

, ,

［解 説］

期待値 計算自体 簡単 , 問わ い , (1) 1 変数固定 いう手

［99 横浜国大・文］ (1) x 3 立 寄 , 移動距離 組合 , ( ,1 1 1, ), ( ,1 2) い あ

。そ 順列 考え , 求 確率 ,

 

1

3

1 3

2 3

13 27 3

2 1

 C  

(2) x 6 立 寄 場合 , サイコロ 投 回数 考え 。

(i) 3回 場合 ( ,2 2, 2) , そ 確率

 

2 3

8 27 3

 。

(ii) 4回 場合 ( ,1 1 2, , 2) , そ 順列 考え , こ 確率 ,

   

4 2

2 2

1 3

2 3

8 27

C 

(iii) 5回 場合 ( ,1 1 1 1, , , 2) , そ 順列 考え , こ 確率 ,

 

5 4 4 1 3

2 3

10 243

C  

(iv) 6回 場合 ( ,1 1 1 1 1 1, , , , ) , そ 確率

 

1 3

1 729 6

 。

(i)～(iv) , 求 確率 , 8 27

8 27

10 243

1 729

463 729

   

(3) (1) , 原点 出発し x 3 立 寄 確率 13

27 , x 3 出発し

x6 立 寄 確率 同 く13

27 。 , x 3 x 6 立 寄

確率

 

13 27

169 729 2

 。

(4) x 3 立 寄 いう事象 A, x6 立 寄 いう事象 B ,

(1)(2)(3) 結果 ,

P A( ) 13

27, P B( ) 463

729 , P A( B) 169 729

x 3 x 6 立 寄 い事象 A B , そ 確率 ,

P A( B)P A( B) 1 P A( B) 1 P A( )P B( )P A( B)

 1 13   27

463 729

169 729

28 243

［解 説］

［99 大阪大・理］

2枚 紙 表 上 し 重 合わ , 16個 マス目 う 重 マス目

同 番号 書い , 右図 う 。こ , 番号

4 マス目 書 い こ わ 。

ここ , A 塗 ぶし マス目 状態 い 場合分け し ,

A B 塗 ぶし マス目 重 い確率 求 。

(i) A 同 番号 2 塗 ぶし

A 選ぶ番号 4C1通 , B A 選 番号以外 番号 書 い 12

個 マス目 2 選 塗 い , 4 2

16 2

12 2

16 2

4 1 1 20

11 20 4

11 100 C

C

C

C C

     

(ii) A 異 番号 2 塗 ぶし

A 選ぶ番号 4C2通 , B A 選 番号以外 番号 書 い 8個

マス目 2 選 塗 い , 4 1 4 1

16 2

8 2

16 2

4 2 2 15

7 30 6

14 75

C C

C

C

C C

 _{     }

以上 , 求 確率 , 11

100 14 75

89 300

 

［解 説］

難問風 問題設定 ドキッ しま 。し し, ま 中 4 同 いう う 考 え いけ , 結論ま プロセス 次第 見え ま 。

2 4 2 4 1 1 3 3 1 4 2 4 3 2

3

10 ［99 東京大・文］

(1) 辺AB 電流 通 う 場合分け 。

(i) 辺AB 電流 通

点A B 電流 流 確率 1

2 あ 。 (ii) 辺AB 電流 通さ い

点A B 電流 流 い確率 1

2 あ 。 (ii-i) 辺CD 電流 通さ い

辺CD 電流 通さ い確率 1 2 , そ 点A B 電流 流 , 辺AD DB

電流 通 , ま 辺AC CB 電流 通 場合 あ 。そ 確率 ,

     

1

2 1 2

1 2

1 2

7 32

2 2 4

   

  

(ii-ii) 辺CD 電流 通 辺 CD 電流 通 確率 1

2 , そ 点 A B 電流 流 , 辺

AD, AC 少 く 一方 電流 通し, し 辺DB, CB 少 く 一方 電

流 通 場合 あ 。そ 確率 ,

 

 

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

9 32

2 2

    

 

   

 

   



 

(ii-i)(ii-ii) , 点A B 電流 流 確率 , 1





2

7 32

9 32

1 4

  

(i)(ii) , 求 点A B 電流 流 確率 1

2 1 4

3 4

  あ 。

(2) (1) 点B A 電流 流 確率 3

4 , 同様 考え , 点E F

電流 流 確率 3

4 。

, 点B F 電流 流 確率 3

4 3 4

9 16

  。

［解 説］

点 A B 電流 流 確率 求 う , そ 流 い確率 求 う A

B

C D

A B

11 ［99 一橋大］ 箱A 入 い 赤玉 個数 a, 白玉 個数 b , 次 場合 あ 。

( ,a b)( ,0 4), ( ,1 3), ( ,2 2 )

ま , 題意 試行 n 回繰 返し 後 , ( ,a b)( ,0 4), ( ,1 3), ( ,2 2) 確率 そ qn, pn, rn く。

, p0 1 , pn qn rn 1………

次 , n1回後 ( ,a b)( ,1 3) , 次 3 場合 あ 。 (i) n回後 ( ,a b)( ,0 4)

A 白, B 赤 交換 場合 , そ 確率 1 2

4 1 2

  。

(ii) n回後 ( ,a b)( ,1 3)

A 赤, B 赤 交換 , ま A 白, B 白 交換

場合 , そ 確率 1 4

1 4

3 4

3 4

5 8

    。

(iii) n回後 ( ,a b)( ,2 2)

A 赤, B 白 交換 場合 , そ 確率 2

4 1 1 2

  。

(i)(ii)(iii) , pn1  1qn  pn  rn 2

5 8

1

2 ………

, pn1  5 pn  pn  pn  8

1 2 1

1 8

1 2

( )





pn1 4  pn  7

1 8

4 7

, pn



p

   

n n

4   

7

4 7

1 8

3 7

1 8

0 , pn

 

n

 4

7 3 7

1 8

［解 説］

12 ［2000 北海道大・文］

(1) n個 数 積 3 倍数 あ 事象 A ,

 

a_n P A( ) 1 P A( ) 1 3 n 4

次 , n個 数 積 2 倍数 あ 事象 C ,

 

 

P C( ) 1 P C( ) 1 2 n   n

4 1

1 2

ま , n個 数 積 4 倍数 あ 事象 B , 積事象B C , n個 数 積 2 倍数 あ , 4 倍数 い事象 表し, こ 場合 2 1回抜

, そ 以外 1ま 3 抜く ,

 

 

 

P B( C)_nC₁1 n1 n n1 n n 4

2

4 4

1

2 2

1 2

し , b_n P B( )P C( )P B( C) 1



1n

 

n 2

1 2

(2) b_n＞a_n ⇔ 1



1

 

 

2

1

2 1

3 4

 n n＞  n ⇔



1

   

2

1 2

3 4

n n＜ n………(＊) (i) n2



1 2

 

2 1 2

1 2

8 16 2

   ,

 

3 4

9 16 2

 (＊) 成立し, b₂＞a₂ 。

(ii) nk

b_k＞a_k わ



1

   

2

1 2

3 4

 k k＜ k 成 立 仮定 ,

  

3

 



  

 

4 1

1 2

1 2

3 4 1 2

1

2 1

1 2

1 2

1 1 1

k _k k _k k _k k

   ＞    

3 1





 

 



 

 

 2

1

2 2 1

1 2

1 2

2 2

k k k k

 k

 

k k

 

k

2 1 2

1

2 0

2 3

＞

, n k 1 (＊) 成立 , b_k1＞a_k1 。 (i)(ii) , n≧2 , b_n＞a_n あ 。

［解 説］

13 ［2000 一橋大］

(1) 1 目 少 く 1回出 事象 A, 2 目 少 く 1回出 事象 B

, A 1 目 1回 出 い事象, B 2 目 1回 出 い事象, A B

1 2 目 1回 出 い事象 表 。

 

P A( )P B( ) 5 n

6 , P A B

   

n n

( ) 4 

6

2 3

1 目 少 く 1回出 , 2 目 少 く 1回出 事象 A B

, 求 確率 ,

P A( B) 1 P A( B) 1 P A( B)

 1



P A( )P B( )P A( B)



 1

     

5   6

5 6

2 3 n n n

   

 1 2 5 

6

2 3 n n

(2) 1 目 少 く 2回出 事象 C , C 1 目 1回 出 い ま

1回 け出 事象 表 。

 

  

 

 



 

P C( ) 5 n_n n  n n n  n n

6

1 6

5 6

5

6 6

5

6 1 5

5 6 1

1 1

C

ま , C B 2 目 1回 出 く , 1 目 1回 出 い ま 1回 け出 事象 表 。

 

  

 

 



 

P C( B) 2 n_n n  n n n  n n

3

1 6

2 3

2

3 6

2

3 1 4

2 3 1

1 1

C

1 目 少 く 2回出 , 2 目 少 く 1 回出 事象 C B

, (1) 同様 し , 求 確率 ,

P C( B) 1



P C( )P B( )P C( B)



 1



1

    

  

 

5

5 6

5

6 1 4

2 3

n n n n n

 1



2

  

 

 

5

5

6 1 4

2 3

n n n n

［解 説］

(1) 余事象 考え , 関係P A( B) 1



P A( )P B( )P A( B)



利用

頻出題 。(2) ま , (1) 独立 , こ 関係 用いまし 。(1) 誘導 し 設

14 ［2000 広島大・理］ (1) さいこ 3回投 , 1 目 1回, 3ま 5 目 2回出 確率p₁ ,

 

p_{1 3 1}1 2

6 1 3

1 18

 C 

(2) さいこ n回投 , 1 目 k回, 3ま 5 目 nk回出 確率p_k ,

   

p_k_nC_k 1 k n k 6

1 3

ま , n回投 , 出 目 べ 奇数 確率

 

1 2

n

, べ 3ま 5 目

確率

 

1 3

n

, 出 目 べ 奇数 , 1 目 少 く 1 回出

確率q ,

   

q 1 n  n

2

1 3

(3) (2) , p_k1_{n k1}

   

1 k1 n k 1

6

1 3

C ,

   

   

p p

n

k n k

n

k n k

n k

k

k k

k n k k n k



  



   



 



1

1 1

1 1

1 6

1 3 1

6 1 3

2 1

!

( )!( )!

! !( )!

( )

ここ , p

p

k k

1 _{1 ⇔ nk 2(k1) ⇔ k≧}n2

3 ⇔ k≧m

, k＞m p p

k k

1 _{＜1, km} p

p

k k

1 _{1 , k＜m} p

p

k k

1 _{＞1 ,}

p0＜ ＜p1 p2＜pm1＜pm  pm1＞pm2＞＞p3m2

以上 , pk 最大 kmま km1 あ 。

［解 説］

15 ［2000 東北大］

1 a回, 2ま 3 b回, 4 c回, 5ま 6 d回出 , 条件 ,

a   b c d 5……… , a2bc2d0……… ×2＋ , 3a4b c 10………

a≧0, c≧0 4b 10 , b 0以上 整数 , b0 1, , 2

(i) b0 3a c 10

0 ac 5 , ( ,a c)( ,3 1 )

こ ( ,a b, c, d)( ,3 0 1 1, , ) , 満 。 (ii) b1 3a c 6

0 ac 4 , ( ,a c)( ,2 0), ( ,1 3 )

( ,a c)( ,2 0) ( ,a b, c, d)( ,2 1, 0, 2) , 満 。 ( ,a c)( ,1 3) ( ,a b, c, d)( ,1 1 3, , 0) , 満 。 (iii) b2 3a c 2

0 ac 3 , ( ,a c)( ,0 2 )

こ ( ,a b, c, d)( ,0 2, 2 1, ) , 満 。

(i)(ii)(iii) , 5回振 後 点A 原点 あ , ( ,a b, c, d) 組 , ( ,3 0 1 1, , ), ( ,2 1, 0, 2), ( ,1 1 3, , 0), ( ,0 2, 2 1 , )

求 確率 , こ 場合 和 ,

 

   

 

   

5 3

1 6

1 6

1 3

5 2 2

1 6

1 3

1 3

5 3

1 6

1 3

1 6

5 2 2

1 3

1 6

1 3

3 2 2 3 2 2

! !

! ! !

! !

! ! !

       



         

20 3 6

30 3 6

20 3 6

30 3 6

70 3 6

35 486

4 3 2 4 3 2 3 2

［解 説］

16 ［2000 名古屋大・理］ (1) 1 i 3 し , 右 移動 A_i1A_i ルート x_i,

B_i1B_i ル ー ト y_i 。 ま , A B_{0 0} , A B_{1 1}, A B_{2 2}, A B_{3 3} ルート , 右 移動 ルート 対応し

1通 決ま 。

, A₀ A₃ 到 ルート 組合 ,

(x₁, x₂, x₃), (x₁, x₂, y₃), (x₁, y₂, x₃), (x₁, y₂, y₃),

(y₁, x₂, x₃), (y₁, x₂, y₃), (y₁, y₂, x₃), (y₁, y₂, y₃)

し , a₃ 8

A₀ B₃ 到 ルート 組合 上記 8通 , b₃ 8 。

(2) (1) 同様 考え , 右 移動 ルート , 1 i n し , x_iま y_i 選べ い , a_n b_n 2n 。

(3) P Q , A₄ 4秒後 , ま A₃ 5秒後 出会う 場合し い。

4 秒後 出会う , P

右 移動 ルート , (x₁, x₂, x₃, x₄) , そ 確率

 

1 2

1 16 4

 。

ま , 5秒後 出会う , P 右 移動 ルート ,

(x₁, x₂, y₃), (x₁, y₂, x₃), (y₁, x₂, x₃), (x₁, y₂, y₃),

(y₁, y₂, x₃), (y₁, y₂, y₃)

そ 確率 順 ,

 

1 2

4 ,

 

1

2 3

,

 

1 2

3 ,

 

1

2 4

,

 

1 2

3 ,

 

1

2 4

, 合わ

,

 

1

 

2 3

1

2 3

9 16

4 3

    。

以上 , P Q 出会う確率 , 1 16

9 16

5 8

 

［解 説］

(1)や(3) 具体的 考え, そ 過程 解 し 書く問題 。し し, 考え こ

わ や く表現し う , いぶ 時間 しまいま 。

A0 A1 A2 A3

B0 B1 B2 B3 x1 x2 x3

y1 y2 y3

A0 A1 A2 A3

B0 B1 B2 B3 x1 x2 x3

y1 y2 y3

A4 A5 A6 A7

B4 B5 B6 B7 x4 A8

17 ［2000 東京大・文］

P n1( )an, P2(n)bn, P3(n)cn, P4(n)dn く , a0 1 b0 4

1 2

 ,  ,

c0 1 d0 8

1 8

 ,  。 , 条件 ,

an1  1 bn cn dn

3( )………

bn1  1 an cn dn

3( )………

－ , an1bn1  1 an bn

3( )

 

 

an bn a b

n n

 ( 0  0) 1   

3

1 4

1

3 ………

＋ , an1bn1 1 an bn  cn  dn

3( 2 2 )

ここ , an bn cn dn 1 , cn dn  1 an bn ,

an1bn1 1 an bn   an  bn   an bn 

3 2 2 2

1 3

2 3

( ) ( )

変形し , an1bn1 1  



an bn 



2

1 3

1 2



   

an bn a b

n n

 1      

2

1 2

1 3

1 4

1 3 0 0

, an bn

 

n

  1  

4 1 3

1

2……… , an  1

4, bn

 

n

 1  

4 1 3

1 4

わ , P n1 1 4

( ) , P n

 

n

2 1

4 1 3

1 4

( )  

［解 説］

最初 考え 解 書 まし , 全確率 和 1 適用 , 解 簡単 ま 。 い い連立風 解い しまいまし 。

A1

A2

A3

18 [名古屋大・文]

(1) 1秒鳴 m回, 2秒 n回 , 休 mn1回 ,

16 1 2    

 n m n

m , 2m3n17………(＊)

(2) (＊) 満 0 以上 整数(m, n) 組 , (＊) 2m173n≧0 , 5

n あ , さ 173n 偶数 n 奇数 , 5n1, 3, あ 。

, )(m, n)(7, 1), (4, 3), (1, 5 。 )

1 , 7 ( ) ,

(m n  , 信号 ₈C₇ 8通 , )(m, n)(4, 3 , 信号 35

C₄

7  通 , )(m, n)(1, 5 , 信号 6C1 6通 。 以上 , 信号 835649通 。

［解 説］

19 [東京大・文] (1) 最初, 2点A, B 原点 あ , n回 試行 後, 2点A, B 距離 1以

あ 。 わ , abま ab1 。

ここ , n 回 試行 後, ab あ , n1回目 投 コイン 表, 裏 い ab 。

ま , n回 試行 後, ab1 あ , n1回目 投 コイン 裏

b

a , n 回 試行 後, ab1 あ , n1回目 投 コイン 表

b

a 。

条件 , n 回 試行 後ab 場合 数 X_n, ab 場合 数 n

n_X

2 ,

n n n X

X _12 

(2) 1回目 試行 後, A, B 位置 (a, b)(1, 0), (0, 1) X₁ 0 。 (1) , X_n n



X_n 2n



3 1 2

3

1 1

1    

 





n n n

n n X

X ( 1)

3 2 ) 1 ( 3 2 )

1 ( 2 3 1 2

3

1 1 1 1

1      

 

  

, Xn 2₃(1)n1₃2n

［解 説］

コイン 表裏 出方 し , A, B 距離 差 , 1以 。こ

20 [一橋大] (1) n枚 カード 2枚選ぶ場合 数 _nC₂通 あ 。

こ X k , k カード 1枚, k1以 カード 1 枚選ぶ 場合 , そ 確率 ,

) 1 ( ) 1 ( 2 C C 1 2 1 1     _ n n k n k ,





         n k n k k k n n n n k k E 1 2 2

1 _{( 1) (} 2 ₁₎ ( )

) 1 ( 2





( 1)

3 2 ) 1 ( 2 1 ) 1 2 )( 1 ( 6 1 ) 1 (

2 _{     }



 n n n n n n

n n

(2) 1X₁ k, X₂ k 場合 確率

n k n

1

1_  _{, X k X k} 2

1 1, 場合 確率

n n

k1_1_{, X X k} 2

1 場合 確率 _n1_n1 あ 。

こ , Y k 確率 ,

2 1 2 1 1 1 1 1 1 n k n n n n k n k n          ,





       n k n k k k n n k k E 1 2 2 1 2

2 2 1 1 (2 )





n n n n n n n n n 6 ) 1 4 )( 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 2 )( 1 ( 6 1 2 1 2         

［解 説］

21 [東北大・理]

1 199 ま 奇数 , 同 得点 数 個数 場合分け 。 ,

そ 場合 適 奇数 n 。

(i) 同 得点 数 そ 数 け 奇数

100＜n 200 , 199n101, 103, 105, , 。

(ii) 同 得点 数 2個あ 奇数

100＜2n 200 , 99n51, 53, 55, , 。

(iii) 同 得点 数 3個あ 奇数

100＜4n 200 , 49n27, 29, 31, , 。

(iv) 同 得点 数 4個あ 奇数

100＜8n 200 , 25n13, 15, 17, , 。

(v) 同 得点 数 5個あ 奇数

100＜16n 200 , 11n7, 9, 。

(vi) 同 得点 数 6個あ 奇数 100＜32n 200 , n5 け あ 。 (vii) 同 得点 数 7個あ 奇数 100＜64n 200 , n3 け あ 。 (viii) 同 得点 数 8個あ 奇数 100＜128n 200 , n1 け あ 。

以上 , 求 期待値E ,

200 3 ) 49 27

( 200

2 ) 99 51

( 200

1 ) 199 101

(           

   

E

200 8 1 200

7 3 200

6 5 200

5 ) 11 9 7 ( 200

4 ) 25 13

(             

 _

200 6 5 200

5 27 200

4 133 200

3 456 200

2 1875 200

1

7500          



200 8 1 200

7 3  



25 1668 200

13344 _



［解 説］

22 [東京工大]

(1) カード 1回取 出し , 番号 1 あ 確率 ,

N P_N(1) 1

カード 2回取 出し , そ 番号 1回目 2, 1回目 2回目 和 2 あ 確率 ,

2 2 1 1 1 ) 2 ( N N N N

P_N    

カード 3回取 出し , そ 番号 1回目 3, 1回目 2回目 和 3, 1 回目 2回目 3回目 和 3 あ 確率 ,

3 2 3 2 ) 1 ( 1 2 1 ) 3 ( N N N N N

P_N     

(2) 1, 2, 3 3枚 カード 1枚取 出し 戻 いう試行 4回行 , 2回

目ま 和 4 組合 (1, 3), (2, 2), 3回目ま 和 4 組合 ) 2 , 1 , 1

( , 4回目ま 和 4 組合 (1, 1, 1, 1) , そ 順

列 考え ,

81 37 3 1 3 3 3 1 2 ) 4 ( 4 3 2

3     

P

次 , 同 試行 5回行 , 2回目ま 和 5 組合 (2, 3), 3 回目ま 和 5 組合 (1, 1, 3), (1, 2, 2), 4回目ま 和 5

組合 (1, 1, 1, 2), 5回目ま 和 5 組合 (1, 1, 1, 1, 1)

, そ 順列 考え ,

243 121 3 1 3 4 3 3 3 3 2 ) 5 ( 5 4 3 2

3      

P

(3) j回目 取 出し カード 番号 Y_j , X_j Y₁Y₂ Y_j

ここ , N枚 カード 1枚取 出し 戻 いう試行 k回行 , j回 目(j1, , k)ま 和 k ,

k Y Y

Y₁ ₂  _j  (1 Y₁ N, 1 Y₂ N, , 1 Y_j N) こ 方程式 満 (Y₁, Y₂, , Y_j) , k N _k1C_j1通 ,

k k k k k k k j j j k N N N N N N k

P 1 1

3 2 1 2 1 1 0 1 1 1

1C C C C C

) (         _{    } 



 k k k k k k k k k N N N

N 1 _{1 1} 2 _{1 2} 3 _{1 1}

0

1C C C  C 

            k k N N 1) 1

(  



23 [九州大・文]

(1) n1本 直線 平面 Ln1個 領域 分割さ い , 条件 直線

1本引く , 新 n1個 交点 , そ 分割さ 平面 n個増

え 。

n L

Ln  n1  (n≧2) 2

1 

L ,

2 2 )

1 ( 2 2 2 ) 3

2 (

2          2 

 n n n n n

Ln 

1



n あ , 2L1  成立 ,

2 2 2 _{ }

n n

Ln (n≧1)

(2) 2H1  , 条件 1 回折 線 1本引く , 交点 4 個 , そ 分割さ 平面 415個増え 。

7 5 1 2 H  

H

さ , 条件 1 回折 線 う 1 本引く , 交点 8

2

4  個 , そ 分割さ 平面 819個増え 。

16 9 2 3 H  

H

(3) (2) 同様 考え , n1本 1 回折 線 平面 Hn1個 領域 分割さ い , 条件 1 回折 線 1 本引く , 新 4(n1)個 交点 , そ 分割さ 平面 4(n1)14n3個増え 。

3 4 1  

H  n

Hn n (n≧2)

2 1 

H , ( 1) 2 1

2 3 4 5 2 ) 3 4 9

5 (

2            2  

 n n n n n

Hn 

1



n あ , 2H1  成立 , Hn 2n2 n1 (n≧1)

［解 説］

(1) 参考書 く載 い 問題 。(2) (3) こ 類題 , 見 け 反し

24 [神戸大・理] (1) (x1, x2, , xk) 数字 組 , NPk通 あ 。

こ 中 x1＜x2＜＜xk 満 , N枚 k枚 , 書 い 数字 小さい順 x1, x2, , xk 対応さ い。こ , 場合 数 NCk通

, そ 確率 ,

! 1 P 1 ! P P

C

k k

p

k N k N k N

k

N _{  }



(2) (x1, x2, , xi) 数字 組 , NPi通 あ 。

こ 中 x1＜x2＜＜xi1 xi1＞xi 満 , N枚 i枚 , 最大 数以外 数字 xi し, そ 以外 i1枚 書 い 数字 小さい順

1 2

1, x , , xi

x  対応さ い。こ , xi 方 i1通 ,

(1) 同様 考え , そ 場合 数 NCi(i1)通 。 ま , )(xi1, , xk 数字 組 い 任意 あ ,

! 1 P

) 1 ( C

i i i

q

i N i N

i  

  

(3) 得点 期待値 E ,

3 8 6 1 2 1 1 1 ! ) 2 (

1 !

1 5

2 5

2 5

2

      

  









 

 i i

i i

i i

i i iq

E

［解 説］

25 [東北大・理] 6回目 B 以外 地点 進 B 止ま いう条件

, 6回目 D→B, E→B, F→B い 。

(i) 6回目 D→B

6 回目 1 目 出 こ , そ 確率

6

1 _{あ 。}

, 5 回目ま D 到達し い こ , A→D

進 , 3 目 2 回出 , 4 5 6 目 3 回出 く, そ 確率 ,

   

144 5 2

1 6 1 ! 3 ! 2

!

5 2 3

 

 あ 。

(ii) 6回目 E→B

6回目 2 目 出 こ , そ 確率 6

1 _{あ 。}

, 5回目ま E 到達し い こ , A→E 進 , 2 目 1回,

3 目 2 回 出 , 4 5 6 目 2 回 出 く, そ 確 率 ,

   

144 5 2

1 6 1 6 1 ! 2 ! 2

!

5 2 2

 



 あ 。

(iii) 6回目 F→B

6回目 3 目 出 こ , そ 確率 6

1 _{あ 。}

, 5回目ま F 到達し い こ , A→F 進 次 2 場 合 あ 。1 , 1 目 1回出 , 3 目 1回, 4 5 6 目 3回出 , そ 確率

 

72 5 2

1 6 1 6 1 ! 3

!

5 3

 



 あ 。 う1 , 2 目 2回出 , 3 目 1回,

4 5 6 目 2回出 , そ 確率

 

 

144 5 2

1 6 1 6 1 ! 2 ! 2

!

5 2 2

 



 あ 。

, 5回目ま F 到達し い 確率 ,

48 5 144

5 72

5 _{  あ 。}

(i)(ii)(iii) , 6回目 B 到達 確率 ,

864 25 48

5 6 1 144

5 6 1 144

5 6

1_{      ………}

次 , 7回目以降 B→C 進 , 7回目 n回目ま , 1 2 目 少 く 1回出 , し 3 目 少 く 1回出 い。

ここ , 1 2 目 少 く 1回出 いう事象 X, 3 目 少 く 1回 出 いう事象 Y く , そ 余事象 確率 ,

A

B

C

D E

) (

1 ) (

1 )

(X Y P X Y P X Y

P       

1



P(X)P(Y)P(XY)



1P(X)P(Y)P(XY)

 

6

 

6

 

6

2 1 6

5 3

2

1     

 n n n ………

, n回目ま C地点 到達 確率 , )

( 864

25 _{P XY}

  

6

 

6

  

6

2 1 6

5 3

2 1 864

25 _  _  _ 

 n n n

［解 説］

文系 類題 あ , 理系 本問 方 難しく いま 。 いう

, A→B 確率 求 B→C 確率 求 , 異 方法 必要 , 1

26 [神戸大・文]

右図よりD =D ++=

=D + + =

D

Q 本の線分$3 … $3 Q %3 …%3Qによって第

象限がDQ個の部分に分けられているとする。

このとき線分$3Q+を引くとこの線分は%3 %3

… %3Qと つずつ交点をもつことより分けられた部分

がQ+個増加する。さらに線分%3Q+を引くとこの線

分は他の線分と交点をもたないことから分けられた部分 は 個だけ増加する。よって分けられた部分は合わせ てQ+個増加することより

= + +

+ D Q

DQ Q

よりQ≧で

¦

−

=

+ +

=

Q

N

Q N

D

+ + = − + − +

= Q Q Q Q Q

=

Q をあてはめるとD =となり成立するので

_{+ +}

= Q Q

DQ

［解 説］

分割される平面の個数についての頻出問題です。交点の個数に注目するのがポイン トです。

2 3 3 3

$ % \

[

2 3 3 3

$ % \

27 [千葉大・文]

枚のカードの表と裏の数の組合せは=通りでありこ

の中で表と裏の数が一致していないのは右表の 通りであ る。よってこの確率Sは S = =である。

枚のカードの表と裏の数が一致する枚数を;とすると ; = の場合

がある。

L ; =のとき

枚とも一致する場合は通りよりこの確率は= である。

LL ; =のとき

一致する 枚のカードの選び方は& =通りで一致しない 枚については表

と裏の対応が通りしかないのでこの確率は×= である。

LLL ; =のとき

一致する 枚のカードの選び方は& =通りで一致しない 枚については表

と裏の対応がより通りなのでこの確率は× = である。

以上より;の期待値は ×

(

− − −

)

+× +× +× =

まず表の数に裏の数が対応する場合を考える。 L 表の数に裏の数が対応するとき

表の数 に対して裏の数は より から通りの場合がある。

LL 表の数に裏の数が対応しないとき

表の数 に裏の数 が対応するとき右表より

通りの場合がある。表の数に裏の数表の数に 裏の数 が対応するときも同様なので合わせて

× = 通りの場合がある。

LLLより表の数に裏の数が対応する場合は+=通りになる。

よって表の数に裏の数が対応する場合も同様に考えると枚のカー ドの表と裏の数が一致しない確率Sは S =× =である。

表

裏

裏

表

裏 ＊ ＊ ＊

表

裏

裏

28 [北海道大]

;=となるのは 回の移動のうち正の向きに回負の向きに 回進ん

だときなのでその確率は&

( ) ( )

= である。

正の向きに D 回負の向きに E 回進んだとき ;=Nとなったとすると

= +E

D D−E=NよりNは奇数となる。

また正の向きに進む確率と負の向きに進む確率は同じなので ;=Nとなる

確率と;=−Nとなる確率は等しい。

L ; =のとき 正の向きに 回負の向きに 回進むと;=となる

ことより ; =の確率は

( ) ( )

&

× = となる。

LL ; =のとき 正の向きに 回負の向きに 回進むと;=となる

ことより ; =の確率は

( ) ( )

&

× = となる。

LLL ; =のとき 正の向きに 回負の向きに 回進むと;=となる

ことより ; =の確率は

( ) ( )

&

× = となる。

LY ; = の と き 正 の 向 き に 回 進 む と ;=と な る こ と よ り

=

; の確率は

( )

×= となる。

L∼LYより ; の期待値は× +×+× +× =である。

回目が正の向きに進んだとき 回目までの移 動で一度も2に戻っていない場合について横軸に

3 の座標縦軸に移動回数グラフの中の数字をそ の点に到達したときの条件を満たす場合の数とする と右図のようになる。

すると 回目までの移動で一度も2に戻ってい ない場合は++=通りある。

また 回目に負の向きに進んだときも同様とな るので求める確率は×

( )

×= である。

［解 説］

回

回

回

回

回

_回

回

2

29 [京都大・文]

試合数は全部で& =なのであるチームが 勝 敗の場合は他のチームはす

べて勝以下となる。

次にあるチームが勝 敗の場合は他のチームがすべて勝以下ということは ありえないので勝敗のチーム数はまたはとなる。

まず 勝敗のチーム数がのとき残りチームはともに勝敗となる。ま た勝敗のチーム数がのとき残りのチームは勝敗である。

さらにチームとも同じ勝ち数という場合はないので位のチーム数はの いずれかである。以下チーム名を$%&'とする。

L 位のチーム数がのとき

まず位のチームの選び方は& =通りある。

ここで 位のチームが$のとき $は% & 'に対して全勝となりまた% & 'どうしの対戦での勝敗は任意なのでその確率は×

( )

=である。

LL 位のチーム数がのとき

まず位のチームの選び方は& =通りある。

ここで位のチームが$%&のとき'は$%&に対して全敗となり$% &どうしの対戦での勝敗は $ % &すべて勝敗なので勝ちを○負けを×で 表すと次のつの場合がある。

% $

= ○ × % &=○ × & $=○ ×

% $

= × ○ % &=× ○ & $=× ○ よってその確率は

( ) ( )

× × × = である。

LLL 位のチーム数がのとき

LLLよりその確率は−− = である。

以上より位のチーム数の期待値は×+×+× = である。

［解 説］

30 [一橋大]

; =となるのはD≧ の場合でD D " DQは任意である。

L D＞ のときD

からQまでの数からつ選び大きい方をD小さい方をDに対応させる。各

数の書かれているカードは枚ずつあるのでこのときの確率は

3 &

− − = − − =

×

Q Q Q

QQ Q

Q

Q

LL D =Dのとき

からQまでの数からつ選びそれをD Dに対応させる。その数の書かれて

いるカードは枚あるのでこのときの確率は

3 &

− = − =

×

Q Q

Q Q

Q

Q

LLLより ; =となる確率は

− + − = − −

QQ Q

Q

Q _である。

; =QとなるのはD＜D＜D＜"＜DQ−＜DQ ≧DQ+の場合で DQ+ " DQ

は任意である。このときは D = D = D =… DQ− =Q− DQ =Qの場 合しかなくしかもDQ≧DQ+はつねに成立する。

各数の書かれているカードは枚ずつあるので ; =Qとなる確率は

3

Q

Q

Q

Q Q

Q

=

≦P＜Q を満たす整数に対して;≧P となるのはD＜D＜"＜DP−＜DPの場

合で DP+ " DQは任意である。

すると からQまでの数から P 個選び小さい方からD D " DPを対応

させる。各数の書かれているカードは枚ずつあるので;≧Pとなる確率は

3 &

Q Q P P

P Q Q

P QQ

P P

Q Q P P

P Q

P P Q

− − =

− ⋅ −

=

×

［解 説］

31 [東京大・文]

を からまでの数で割った余りが;より

; の各々の値に対する確率は右表のようになる。

次に ;Qを から までの数で割った余りが

+

Q

; より ;Q =のときどんな場合も;Q+ =である。

=

Q

; のとき ;Q+ =となる確率は

;Q+ =となる確率は

_である。

=

Q

; のとき ;Q+ =となる確率は

;Q+ =となる確率は

_である。

さらに ;Q =のとき ;Q+ =となる確率は

;Q+ =となる確率は

=

+

Q

; となる確率は ;Q+ =となる確率は

_である。

ここで ;Q = ;Q = ;Q = ;Q =となる確率をそれぞれDQEQ FQ Q

G とおくと D =

=

E F =

=

G であり

=D + E + F + G =

D E =E +G =

F F G

= G =

G

よって ; =となる確率は

=D + E + F + G =

D

と同様にすると GQ+ =GQとなり ;Q =となる確率は

( )

Q

( )

Q

Q G

G = − =

と同様にしの結果を用いるとEQ+ =EQ +GQ

( )

Q Q

E

₊

=

( )

Q

{

Q

( ) }

Q

Q E

E + + + = +

( )

Q

(

)( )

Q

( )

Q

( )

Q

Q E

E + = +⋅ − = − = よって ;Q =となる確率は

( )

Q

( )

Q

Q

E = −

［解 説］

で一般的に考えておくととは漸化式を解くだけで済みます。

;

32 [金沢大・文] (1) 動点 P 原点 n 回進 , 直線xyn上 到達

, i 0 i n し , 右 i回, 上 ni回 け移動 場合 あ 。 わ , a i個, b ni個, c 0個 文字列 対応し, そ 総数 ,



 

n

i i n i

n

0 !( )!

!

_

  n i i n 0

C (11)n 2n

(2) (1) 同様 し , 直線xyk (1 k n)上 到達 , j 0 j k

し , 右 j回, 上 kj回 け移動し, 停留 nk回 場合 あ 。 わ , a

j個, b kj個, c nk個 文字列 対応し, そ 総数Fn(k) ,



) (k

Fn



  

k

j j k j n k

n

0 !( )!( )!

! _ ! ) ( ! ! ! ) ( ! !

0 k n k

n j k j k k j   







  k j j k k n 0 C C



  k j j k k n 0 C

C  nCk(11)k nCk2k

(3) ま ,

k k k k n k k n n n k n k n k n k n k F k F 2 ! ) ( ! ! 2 ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! 2 C 2 C ) ( ) 1 ( 1 1 1               1 ) ( 2    k k n 。

そこ , 1 ) ( ) 1 ( ＞ k F k F n n 

, 12(nk)＞k

3 1 2n

k＜ ,

) ( ) 1

(k F k

Fn  ＞ n ⇔

3 1 2n k＜

, )Fn(k1)Fn(k ⇔

3 1 2 

 n

k , )Fn(k1)＜Fn(k ⇔

3 1 2n k＞

さ , l 自然数 し , n n3l, n3l1, n3l2 3 場合 分け, )

(k

Fn 最大 考え 。

(i) n3l

3 1 2 3 1 6 3 1

2n _ l _{ l , k 2l1 F (k 1) F (k)}

n

n  ＞ , k≧2l )

( ) 1

(k F k

Fn  ＜ n 。

, Fn(k) k l n n 3 2 3 2 2   

 最大 。

(ii) n3l1

1 2 3 6 1

2n _ l _{ l , 2k 2l F (k 1) F (k)}

n

n  ＞ , 1k2l

O n

n

(iii) n3l2

3 4 2 3

4 6 3

1

2n _ l _{ l , k 2l2 F (k 1) F (k)}

n

n  ＞ , k≧2l1 )

( ) 1

(k F k

Fn  ＜ n 。

, )Fn(k

3 1 3 2 1 3

2 2 1

2       

 l n n

k 最大 。

［解 説］

33 [東北大・文]

(1) 3人 け , 手 出方 総数 , 2733  通 あ 。

勝者 決ま , 勝者 決 方 3 通 , 勝 手 出方 3 通 , 9

3

3  通 , そ 確率

3 1 27

9 _{ あ 。}

(2) 3人 け , (1) 1人勝 確率

3

1 , 同様 , 1人負け 確

率 3

1 , あいこ 確率

3 1 3 1 3 1

1   あ 。ま , 2人 け , 1

人勝 確率

3 2 3

3 2

2 

 _{, あいこ 確率}

3 1 3 2

1  あ 。

さ , 3 人 け し , 2 回目 勝者 決ま , け 人 数 場合分け , 次 2 場合 あ 。

(i) 3人 1回 _3人 2回 _{1人 こ 確率 ,}

9 1 3 1 3 1_{ }

(ii) 3人 1回 _{2人 }2_回 _{1人 こ 確率 ,}

9 2 3 2 3 1_{ }

(i)(ii) , 2回目 勝者 決ま 確率 ,

3 1 9 2 9 1 _{ }

(3) (i) 3人 1回 _{3人 }2_回 _{3人 }3_回 _1人

 

27 1 3 1 3 1 2

 

(ii) 3人 1回 _{3人 }2_回 _{2人 }3_回 _1人

27 2 3 2 3 1 3

1_{  }

(iii) 3人 1回 _2人 2回 _2人 3回 _1人

27 2 3 2 3 1 3

1_{  }

(i)(ii)(iii) , 3回目 勝者 決ま 確率 ,

27 5 27

2 27

2 27

1 _{  }

(4) (i) 1n 回目ま 3人 続け

3 人 1回 _{3 人} 2回 _… n1回 _{3 人 }n_回 _{1 人 け 人数}

変化 , そ 確率 ,

 

n

 

n 3 1 3 1 3

1 1

 



あ 。

(ii) k回目(1 k n1) 1人負け 後, 2人 続け

3 人 1回 _{… }k1_回 _{3 人 }k_回 _{2 人 }k1_回 _{… }n1_回 _{2 人 }n_回 _{1 人}

け 人数 変化 , そ 確率 ,

 

k

 

n k

 

n

3 1 2 3 2 3

1 3 1 3

1 1 1

  

  



(i)(ii) , n回目 け 勝者 決ま 確率 ,

 

1 n n



1

 

1 n

 

₁ n

 

₁ n

 

₁ n

  

34 [神戸大・理] (1) ＊印 3 並べ 終了 , 最小 得点 3 あ 。

こ , 縦 3 並ぶ 3種類, 横 3 並ぶ 3種類, 斜 3 並ぶ 2種類, 合わ 8種類 場合 あ 。

そ い 場合 , 起こ 確率 3 9C

1 _{, 最小 得点 確率 ,}

21 2 8 C 1 3 9

 

(2) ま , ＊印 7 , 数字 2 けし 残 , こ い

行ま 列 ＊印 3 並 い 。

次 , ＊印 6 , 数字 3 残 い 。こ 数字 , 行 , 列 あ , さ 斜 ＊印 3 い

, 右 2 場合 け あ 。こ ,

最大 得点 7 あ 。

数字 8, 9, 7 残 い , 7回目 い

カード 並べ ＊印 3 並ぶ , そ 確率 ,

84 1 1 C 1 6 9



 あ 。数字 5, 9, 6 残 い , 同様 , 7

回目 ＊印 3 並ぶ確率 84

1 _{あ 。}

, 最大 得点 確率 ,

42 1 2 84

1 _{  。}

［解 説］

パズル 解い いく し さ 感 ま 。 , そ 過程 記述 , 別 。

＊ 8

9

7

9

6

＊ ＊

＊ ＊

＊ ＊

5 ＊ ＊

＊ ＊