E se esistessero più di una
parallela?
Cabri
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Geometria all’interno di una
circonferenza ()
Interpretiamo:
punti: punti interni a
rette sono di due tipi: i diametri di e gli archi di circonferenze ortogonali a (dove sarà il centro delle circonferenze?).
Cerchiamo di interpretare altri enti geometrici:
segmenti, angoli, circonferenze, rette parallele (chi sono e quante sono, vale la transitività?), distanza tra due punti.
Le rette iperboliche
Rette incidenti: si allontanano tra loro man mano che si allontanano dal punto di incidenza.
Rette parallele: si avvicinano nel verso di parallelismo e si allontanano dall’altro.
Rette iperparallele: si allontanano da tutte e due le parti, hanno un’unica perpendicolare in comune che è la minima distanza.
Proprietà
Esistono due (quindi infinite) rette parallele.
La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180° (varia proporzionalmente all’area del triangolo).
La distanza tra due punti aumenta man mano che ci avviciniamo all’orizzonte del piano iperbolico.
Non esistono rettangoli.
Definizione di distanza nel
piano iperbolico
La misura di AB è una funzione che associa ad un segmento un numero 0.
BU AV
BV AB AU
ln
Perché sia una distanza dovrà essere che:
0 AB
AB = BA
AC = AB + BC
AV cioè che la retta è illimitata
Disco di Poincarè e
rappresentazione di Escher
Semipiano di Poincharè e
rappresentazione di Escher
Rette iperboliche: parallele
Le rette parallele alla retta r per il punto esterno P a distanza d sono: le rette che formano con il segmento PH l’angolo acuto:
funzione decrescente; al variare di d posso avere diversi angoli e quindi diverse parallele.
Osserviamo che:
quindi la geometria euclidea è un caso particolare di geometria iperbolica, quando d 0
k
d
e arctg d 2
2 2 )
(
lim
lim
0 0
k d d
d
e arctg d
