1 – Introduction Le probl`eme `a ´etudier est le suivant: (1

LIMITE DE MODELES DE FLUIDES COMPRESSIBLES

H. Bessaih

Presented by H. Beir˜ao da Veiga

Abstract:We study in this paper the behaviour of the solution of the compressible Navier-Stokes equations for low Mach number and incompressible initial data are shown to be close to corresponding solutions of the equations for incompressible flow.

1 – Introduction

Le probl`eme `a ´etudier est le suivant:

(1)



















ρ( ˙v+ (v· ∇)v−b) =−∇p+µ∆v+β∇divv dansQT,

˙

ρ+ div(ρ v) = 0 dansQT,

v= 0 sur Σ_T,

v(0) =v⁰ dans Ω,

ρ(0) =ρ⁰ dans Ω ,

o`u QT = (0, T) ×Ω, Ω est un ouvert born´e r´egulier de IR<sup>3</sup> de fronti`ere Γ, Σ_T = (0, T)×∂Ω. Le syst`eme (1) d´ecrit le mouvement d’un fluide compress- ible visqueux. Dans (1) v est la vitesse du fluide, ρ est la densit´e du fluide, bla force ext´erieure au fluide,p(ρ) est la pression. β = (ξ+ 1/3µ) o`uµ etξ sont les coefficients de viscosit´e v´erifiant queµ >0 etξ ≥0.

Ici

(v· ∇)v= X3 i=1

vi

∂v

∂xi

, v˙= ∂v

∂t, ρ˙= ∂ρ

∂t .

Received: November 18, 1994; Revised: March 7, 1995.

Keywords: Navier-Stokes equations, Mach number, compressibility.

On pose

ρ= 1

|Ω| Z

Ω

ρ₀(x)dx , (2)

(|Ω|est la mesure de Ω)

ρ=σ+ρ , (3)

m= min

x∈Ω

ρ₀(x), (4)

M = max

x∈Ω

ρ₀(x) . (5)

Il est ´evident que

0< m≤ρ≤M .

On utilise les espaces fonctionelles suivants: H^s(Ω), L^p((0, T);H^s(Ω)), L^p(Ω) muni des normes not´ees respectivementk · k^s, [·]p,s,T,k · k^Lp,p∈IN, 1≤p≤ ∞, s ∈ IN, 0 < T ≤ ∞. On prend en consid´eration une famile de pressions p_λ index´ees parλ, v´erifiant: pλ(ρ)>0,pλ ∈C³(I),

(6) sup

ξ∈I(ρ)|p⁰⁰_λ(ξ)|+ sup

ξ∈I(ρ)|p⁰⁰⁰_λ(ξ)| ≤c₁kλ , o`uI(ρ) = [ρ−l, ρ+l], 0< l≤ρ/2.

On pose

(7) kλ =p⁰_λ(ρ) .

Notre travail consiste `a ´etudier le comportement de la solution (vλ, ρλ) avec la loi d’´etatp<sub>λ</sub>lorsqueλtend vers l’infini: c’est-`a-dire prouver que pour ces mod`eles, l’approximation d’incompressibilit´e est math´ematiquement justifi´ee. Notons que cela ne peut se faire que pour des donn´ees initiales et une force ext´erieure assez petites. Cette question a ´et´e abord´ee par diff´erents auteurs; Klainerman-Majda [15] en 1979 ont montr´e la convergence de la solution locale (v<sub>λ</sub>, ρ<sub>λ</sub>), (avec la force ext´erieureb nulle) quand λ tend vers l’infini et ce pour une relationpλ(ρ) particuli`erepλ(ρ) =λ²p(ρ). A. Lagha [10] en 1979 a montr´e la convergence de la solution globale (vλ, ρλ) pour une loi d’´etat lin´eairepλ(ρ) =λ(ρ−ρ) (avec la force ext´erieure nulle). H. Beir˜ao da Veiga [2], [3], en 1987 a prouv´e la convergence de la solution d’un probl`eme stationnaire et compressible pour de diff´erents mod`eles pλ(ρ). Le probl`eme d’existence de solutions pour (1) a fait l’objet de beaucoup de travaux r´ecents. Matsumura-Nishida [12], [13], A. Valli [23], H. Fujita–Yashima [7], H. Beir˜ao da Veiga [2], [3], M. Padula [18] ainsi que R. Temam [21] pour le

probl`eme incompressible. Notre travail s’inspire de celui de A. Valli [23] pour l’obtention d’estimations sur les inconnuesvλ etρλ du probl`eme compressible et de celui de H. Beir˜ao da Veiga [2], [3] pour l’expression de la compressibilit´e. (3) et (7) donnent

(8) p⁰_λ(ρλ) =p⁰_λ(σλ+ρ) =kλ−wλ(σλ) , w_λ(0) = 0.

La condition (6) entraine donc

kwλ(σλ)k^s ≤c2kλkσλk^s, 0≤s≤2, (9)

kw˙λ(σλ)k0 =c₃kλkσ˙λk0 . (10)

λ´etant l’inverse du nombre de Mach,kλ devra v´erifier la relation kλ →^λ→∞ ∞ .

En utilisant les relations (3), (7) et (8), le probl`eme (1) sera re´ecrit sous la forme suivante

(11)

























ρ_λ( ˙v_λ+ (v_λ· ∇)v_λ−b) +k_λ∇σ_λ=

=wλ(σλ)∇σλ+µ∆vλ+β∇divvλ dans QT,

˙

σ_λ+v_λ· ∇σ_λ+σ_λdivv_λ+ρdivv_λ= 0 dansQ_T,

v_λ = 0 sur ΣT,

vλ|t=0=v_λ⁰(x) dans Ω,

σλ|^t=0=σ_λ⁰(x) dans Ω ,

o`uv_λ⁰(x) =v⁰(x) +vλ(x), v´erifiant que kvλk0≤ c

λ et divv⁰ = 0 , c´etant une constante ind´ependante deλ.

2 – Estimations ind´ependantes de λ

2.1. Introduction

Pour ´etablir des estimations sur (v_λ, ρ_λ) ind´ependantes deλ, on red´emontre l’existence de solutions pour (11). Ceci se fait en deux ´etapes: dans la premi`ere

(voir Valli [23]), on montre l’existence d’un T^∗ > 0 tel que (11) admette une unique solution (vλ, ρλ) sur (0, T^∗)×Ω v´erifiant que

vλ∈L²((0, T^∗);H³)∩C⁰((0, T^∗);H²) ,

˙

vλ∈L²((0, T^∗);H¹)∩C⁰((0, T^∗);L²) ,

ρ_λ ∈L²((0, T^∗);H²), ρ˙_λ ∈C⁰((0, T^∗);H¹) , o`u

T^∗=f^³Ω, ξ, µ, ρ, k_λ,[b]_∞,1,∞,[˙b]_∞,−1,∞, D^´ , verifiant

kv⁰_λk²2+k_λkσ_λ⁰k²2 ≤D .

Dans la seconde ´etape, on ´etablit des estimations a priori. On suppose que (11) admet une unique solution (v_λ, ρ_λ) sur (0, T^∗)×Ω (avecT^∗ positif quelconque) dans les espaces de fonctions sus-cit´es. On montre alors que si

kv⁰_λk²2+k_λkσ_λ⁰k²2 ≤D , alors

1

kλ kvλ(T^∗)k²2+kvλ(T^∗)k²1+kλkσλ(T^∗)k²2 ≤D . On applique les r´esultats de la premi`ere ´etape sur [T<sup>∗</sup>, T<sup>∗∗</sup>], o`u

T^∗∗=f^³Ω, ξ, µ, ρ, kλ,[b]∞,1,∞,[˙b]∞,−1,∞, D^´ ,

ce qui donne T^∗∗ = T^∗. Les constantes ´etant ind´ependantes de λ, cela montre l’existence d’une solution (vλ, ρλ) de (11) uniformement born´ee dansH¹(QT).

2.2. Existence locale

Th´eor`eme 2.2.1. SoientΩde classe C³,p_λ ∈C³,

b∈L²_loc(IR⁺;H¹(Ω)), b˙∈L²_loc(IR⁺;H⁻¹(Ω)), v_λ⁰ ∈H²(Ω)∩H₀¹(Ω), ρ⁰_λ ∈H²(Ω),

0< m≤ρ⁰_λ(x)≤M sur Ω.

Alors il existe unT^∗ >0assez petit et une solution(v_λ, ρ_λ)du probl`eme (11) sur (0, T^∗)×Ωv´erifiant

vλ ∈L²((0, T^∗);H³(Ω))∩C⁰((0, T^∗);H²(Ω)) ,

˙

vλ ∈L²((0, T^∗);H¹(Ω))∩C⁰((0, T^∗);L²(Ω)) ,

ρ_λ∈C⁰((0, T^∗);H²(Ω)), ρ˙_λ ∈C⁰((0, T^∗);H¹(Ω)), ρλ(t, x)>0 sur QT^∗ .

Preuve: Le r´esultat du Th´eor`eme 2.2.1 d’existence locale, est dˆu `a l’article de Beir˜ao da Veiga [4], o`u l’auteur montre l’existence d’une solution pour les

´equations d´ecrivant le mouvement d’un fluide non homog`ene visqueux incom- pressible en pr´esence de diffusion. On commencera par consid´erer les deux probl`emes suivants, le premier lin´eaire envλ

(12)





 e

ρλv˙λ+A vλ =F dansQT,

v_λ = 0 dans Σ_T,

vλ(0) =v⁰_λ dans Ω,

o`uA=−µ∆−β∇div etF =−k_λ∇σe_λ+w_λ(σ_eλ)· ∇σe_λ−ρe_λ(v_λ· ∇)v_λ+ρ_eλ·bρ_eλ etF sont deux fonctions connues. Le second est lin´eaire enσλ

(13)

(σ˙_λ+v_eλ· ∇σ_λ+σ_λdivv_eλ = 0 dansQ_T,

σλ(0) =σ⁰_λ sur Ω .

La r´esolution de (12) se fait par la m´ethode de continuit´e, celle de (13) se fait par la m´ethode des caract´eristiques (voir [23]). Puis la r´esolution locale de (11) se fait en utilisant le Th´eor`eme du point fixe de Schauder.

2.3. Premi`eres estimations a priori

On suppose l’existence d’un T, 0 < T ≤ ∞ pour lequel (vλ, ρλ) est solution du probl`eme (11) sur (0, T)·Ω, dans les classes de fonctions du Th´eor`eme 2.2.1.

On suppose que Ω est de classeC⁴ et ρ

2 ≤σλ(x, t) +ρ≤3ρ .

On d´efinit dansQT les deux syst`emes d’´equations suivants













(σλ+ρ) ˙vλ+Avλ+kλ∇σλ =

=ρλ(b−(vλ· ∇)vλ) +wλ(σλ)∇σλ dansQT,

vλ= 0 sur ΣT,

v_λ(0) =v_λ⁰ dans Ω,

(14)

(σ˙_λ+ρdivv_λ =−v_λ∇σ_λ−σ_λdivv_λ dansQ_T,

σ_λ(0) =σ_λ⁰ dans Ω.

(15)

Lemme 2.3.1. Il existe une constante c₁ ind´ependante de λtelle que (16) ρ

2 d

dtkvλk²0+kλ

2ρ d

dtkσλk²0+µk∇vλk²0+βkdivvλk²0≤

≤c1

³kbk²0+k_λ²kσλk⁴1+kvλk²1kvλk²3+kλkσλk²1kv˙λk²0

´ .

Preuve: On multiplie (14)₁ par v_λ et (15)₁ par ^k_ρ^λσ_λ, on int`egre sur Ω et on fait la somme des deux ´equations. En int´egrant par parties le terme suivant

kλ

Z

Ωvλ· ∇σλ =−kλ

Z

Ωσλdivvλ ,

puis en utilisant (9) et l’estimation des autres termes, il en resultera sans difficult´e (16).

Lemme 2.3.2. Il existe une constante c₂ ind´ependante de λtelle que (17) µkvλk²3+k_λ²kσλk²2 ≤

≤c2

³kbk²1+k_λ²kσλk⁴2+kvλk²1kvλk²3+k∇v˙λk²0+kdivvλk²2

´, et

(18) µkvλk²3+kλkσλk²2 ≤

≤c₂^³kbk²1+k_λ²kσ_λk⁴2+kv_λk²1kv_λk²3+k∇v˙_λk²0+kdivv_λk²2

´.

Preuve: La preuve repose sur un lemme (voir Temam [20], page 33), qu’on appliquera sur le probl`eme (S) transform´e de (11)

(S)













−µ∆vλ+kλ∇σλ =wλ(σλ)∇σλ+β∇divvλ−

−ρ_λ( ˙v_λ+ (v_λ· ∇)v_λ−b) dansQ_T, divvλ =−¹ρ( ˙σλ+∇σλ·vλ+σλdivvλ) dansQT,

vλ = 0 sur ΣT .

Cela donne

µkvλk²3+k²_λkσλk²2≤c^³kdivvλk²2+kwλ(σλ)∇σλk²1+kρλbk²1

+kρλ∂tvλk²1+kρλ(vλ∇)vλk²1

´ .

En utilisantk · kL⁴ ≤ck · k1 et k · k^L∞ ≤ck · k2 et l’injection continue de H¹(Ω) dansL²(Ω) pour le termekw_λ(σ_λ)∇σ_λk²1, on obtient (17). Pour (18) on utilise que: ∃k₀>0,kλ > k₀ dans (17).

Lemme 2.3.3. Il existe une constante c₃ ind´ependante de λtelle que

(19) µ d

dtk∇vλk²0+β d

dtkdivvλk²0+kAvλk²0 ≤

≤c3

³kb˙k²0+k²_λkσλk⁴1+kvλk²1kvλk²3+k∇v˙λk²0+kσλk²2kvλk²0+kdivvλk²1

´ .

Preuve: On multiplie (14)₁ par Av_λ, on int`egre sur Ω, on obtient l’´egalit´e suivante

ρ Z

Ωv˙λ·Avλ+kAvλk²0= Z

Ωσλv˙λ·Avλ+kλ

Z

Ω∇σλ·Avλ

+ Z

Ω

ρ_λ(b−(v_λ· ∇)v_λ)Av_λ+ Z

Ω

w_λ(σ_λ)∇σ_λ·Av_λ . Le premier terme de cette ´egalit´e s’estime comme suit,∃δ >0 et∃c >0 tels que:

¯¯

¯ Z

Ω

σ_λv˙_λ·Av_λ^¯¯_¯≤ c

δkσ_λk²2kv˙_λk²0+δkAv_λk²0 . Or

kσ_λk²2 =k_λ 1

kλ kσ_λk²2 , et comme∃k₀ >0,k_λ > k₀, donc j’en d´eduis que

¯¯

¯ Z

Ω

σ_λv˙_λ·Av_λ^¯¯_¯≤ c k_λ

δ kσ_λk²2kv˙_λk²0+δkAv_λk²0 . Le second terme de l’´egalit´e s’estime de la mani`ere suivante

k_λ^¯¯_¯ Z

Ω∇σ_λ·Av_λ^¯¯_¯≤ c

δk²_λkσ_λk²1+δkAv_λk²0 .

En utilisant (17), puis (9) pour l’estimation des autres termes on obtient (19).

Lemme 2.3.4. On a l’in´egalit´e

(20) kλ

d

dtk∇σλk²1 ≤

≤c4

³kbk²1+k_λ²kσλk⁴2+k∇v˙λk²0+kvλk²1kvλk²3+kdivvλk²2

´+δkvλk²3 ,

o`u δ est un nombre positif qu’on peut choisir arbitrairement et c₄ est une con- stante (d´ependante deδ mais) ind´ependante deλ.

Preuve: On applique l’op´erateur∇`a l’´equation (15)1, on la multiple scalaire- ment park<sub>λ</sub>. Puis on applique l’op´erateurD<sup>2</sup> `a l’´equation (15)₁, on la multiplie par kλD²σλ. On fait la somme des deux ´equations et on int`egre sur Ω. On utilisera (17) pour estimerk²_λkσ_λk²2 dans les int´egrales suivantes

ρ kλ

Z

Ω∇divvλ· ∇σλ et ρ kλ

Z

ΩD²divvλ·D²σλ . Puis des estimations des autres termes de l’´egalit´e, d´ecoule (20).

Lemme 2.3.5. On a l’in´egalit´e

(21) d

dt Z

Ω

(ρ_λ·v˙_λ·v_λ) +k_λkσ˙_λk²0+µ d

dtk∇v_λk²0+β d

dtkdivv_λk²0 ≤

≤c5

³kbk²1+kb˙k²0+k∇v˙λk²0+kλkσλk²2kvλk²1+kv˙λk²1kvλk²1+kλkσ˙λk²0kvλk²1

+kvλk²1kvλk²3+kσ˙λk²0kvλk²1+kσλk²2kvλk²1+kvλk²3kσλk²0+δkvλk²3

´,

o`u δ est un nombre positif qu’on peut choisir arbitrairement et c5 est une con- stante (d´ependante deδ mais) ind´ependante deλ.

Preuve: On multiplie l’´equation (15)₁ par kλσ˙λ et on int`egre sur Ω, on obtient un terme gˆenant, `a savoir

ρ k_λ Z

Ω

divv_λ·σ˙_λ ,

son estimation conduit `a un terme de la forme k<sup>2</sup><sub>λ</sub>kσ˙λk<sup>2</sup>0 qui donne des estima- tions d´ependantes de la compressibilit´e. Pour l’´eliminer, on prend la d´eriv´ee par rapport au temps de (14)<sub>1</sub>, on multiplie par ρvλ et on les int`egre sur Ω puis on fait la somme avec la premi`ere ´equation. Utilisant l’in´egalit´e (9) ainsi que des int´egrations par parties pour l’estimation des autres termes on obtient (21).

Lemme 2.3.6. Il existe une constante c₆ ind´ependante de λtelle que

(22) 1

2 d

dtk√ρλ·v˙λk²0+kλ

2ρ d

dtkσ˙λk²0+µk∇v˙λk²0+βkdiv ˙vλk²0 ≤

≤c₆^³kλkσ˙λk²0kv˙λk²1+kσ˙λk²0kσλk²2+kσ˙λk²0kv˙λk²1+kvλk²3kvλk²1+k²_λkσ˙λk²0kσλk²2

+k_λkσ˙_λk²0kv_λk²3+kv_λk²3kσ˙_λk²0+kv_λk²3kv˙_λk²0+kbk²1+kb˙k²0

´.

Preuve: On prend la d´eriv´ee en temps (respectivement) des ´equations (14)₁ et (15)₁ et on les multiplie par ˙v_λ et ^k_ρ^λσ˙_λ puis on int`egre sur Ω et on fait la somme des deux ´equations. En estimant chaque terme de l’´egalit´e on obtient (22).

Lemme 2.3.7. Il existe une constante c7 ind´ependante de λtelle que (23) d

dt[ϕ(t)]+ψ(t)≤c₇ψ(t) (ϕ(t)+ϕ²(t))+c₇^³[b]²_∞,1,∞+[˙b]²_∞,2,∞^´+kdivvλk²2, o`u

ϕ(t) =a₁kvλk²0+a₂k∇vλk²0+a₃kdivvλk²0+a₄k√ρλv˙λk²0

+a5kλkσλk²0+a6kλk∇σλk²1+a7kλkσ˙λk²0+a8

Z

Ωρλv˙λ·vλ , lesai (i= 1, ...,8), ´etant des constantes (pr´ecis´ees dans la preuve) et

ψ(t) =kvλk²3+kλkσλk²2+kv˙λk²1+kλkσ˙λk²0 .

Preuve: En faisant la somme des in´egalit´es (16), (18), (19), (20), (21), (22) multipli´ees respectivement par 4µ², µ, µ, µ, µ, µ(21) + (2 +c₂ +c₃ +c₄ +ci) (c’est-`a-dire 4m²(16) +µ(18) +µ(19) +µ(20) +µ(21) + (2 +c2+c3+c4+c5)(22)), on obtient

d dt

·

2µ²ρkvλk²0+2µ²

ρ kλkσλk²0+µ Z

Ω

ρλv˙λ·vλ+µ²k∇vλk²0µβkdivvλk²0+ +µk_λk∇σ_λk²1+1

2(2+c₂+c₃+c₄+c₅)k√ρ_λv˙_λk²0+ 1

2ρ(2+c₂+c₃+c₄+c₅)k_λkσ˙_λk

¸ + +

·

4µ³k∇v_λk²0+ 4µ²βkdivv_λk²0+µk_λkσ˙_λk²0+µkAv_λk²0+

+µ²kvλk²3+µkλkσλk²2+ 2µk∇v˙λk²0+β(2 +c₂+c₃+c₄+c₅)kdiv ˙vλk²0

¸

≤

≤c₇

·

kbk²1+kb˙k²0+kλkσλk²2kvλk²1+kv˙λk²1kvλk²1+kλkσ˙λk²0kvλk²1+ +kvλk²1kvλk²3+kλkσ˙λk²0kvλk²1+kλkσλk²2kvλk²1+kλkvλk²3kσλk²0+ +k_λkσ_λk²2kv_λk²0+k_λ²kσ_λk⁴2+k_λkσ˙_λk²0kv˙_λk²1+kσ˙_λk²0kσ_λk²2+kdivv_λk²2

¸ .

En posanta1 = 2µ²ρ,a2=µ²,a3 =β,a4= ¹₂(2 +c2+c3+c4+c5),a5 = 2µ^{2 1}_ρ, a₆ =µ,a₇= _2ρ¹(2 +c₂+c₃+c₄+c₅) et a₈=µ, on obtient (23).

L’in´egalit´e (23) nous permet de montrer que si ϕ(0) est assez petit, ϕ(T^∗) restera assez petit. On en d´eduira que la solution est prolongeable sur IR⁺. Pour obtenir cette in´egalit´e, on remarque que le seul terme gˆenant dans (23) estkdivvλk²2. On le traite alors en particulier. Toutefois l’estimation directe de kdivv_λk²2 nous oblige `a estimer kσ˙_λk²2 et donc ne nous permet pas de boucler.

Pour parer `a cette difficult´e, on va faire un changement de cartes locales sur∂Ω, pour faire apparaˆıtre les d´eriv´ees normales et tangentielles de divv<sub>λ</sub>. Comme dans [23] les estimations de divvλ`a l’int´erieur de Ω et celles concenant ses d´eriv´ees tan- gentielles proviennent de la somme de (14)₁ et (15)₁ en y faisant des int´egrations par parties. Ainsi les termeskλ∇σλetρdivvλs’´eliminent. Par contre le probl`eme se posera pour les estimations des d´eriv´ees normales de divv_λ.

3 – Estimation de kdivv_λk²2

3.1. Estimation de kdivv_λk²2 `a l’int´erieur de Ω Soit χ∈C₀^∞(Ω).

Lemme 3.1.1. On a l’in´egalit´e (24) 1

2 d

dtkχ₀√ρ_λ∇v_λk²0+k_λ 2ρ

d

dtkχ₀∇σ_λk²0+µkχ₀D²v_λk²0+βkχ₀∇divv_λk²0≤

≤c₈^³kλkσ˙λk²0kvλk²3+kλkv˙λk²0kσλk²2+kλkσλk²2kvλk²1+kλkσλk²1kvλk²3

+kv_λk²1kv_λk²3+k_λ²kσ_λk⁴1+k∇v_λk²0+k∇v˙_λk²0+kbk²1

´+δkv_λk²3+δ k_λkσ_λk²2 ,

o`u δ est un nombre positif qu’on peut choisir arbitrairement et c₈ est une cons- tante (d´ependante deδ mais) ind´ependante de λ.

Preuve: On applique l’op´erateur ∂i respectivement aux ´equations (14)₁ et (15)1, on fait leur produit scalaire respectivement avec χ₀∂ivλ et ^k_ρ^λχ₀

2 ∂iσλ, on int`egre sur Ω puis on fait la somme des deux ´equations. De l’estimation de chaque terme de l’´egalit´e en passant par l’utilisation de (18) on obtient (24).

Lemme 3.1.2. On a l’in´egalit´e (25) 1

2 d

dtkχ₀√ρλD²vλk²0+kλ

2ρ d

dtkχ₀D²σλk²0+µkχ₀D²vλk²0+βkχ₀D²divvλk²0≤

≤c₉^³kλkσ˙λk²0kvλk²3+kλkv˙λk²1kσλk²2+kλkσλk²2kvλk²3+kvλk²1kvλk²3

+k²_λkσ_λk⁴2+kv_λk²2+k∇v˙_λk²0+kbk²1

´+δkv_λk²3+δ k_λkσ_λk²2 ,

o`u δ est un nombre positif qu’on peut choisir arbitrairement et c₉ est une con- stante (d´ependante deδ mais) ind´ependante deλ.

Preuve: Le raisonnement analogue `a celui du lemme pr´ec´edent avec un ordre de d´erivation ´egal `a 2 nous conduit au lemme.

3.1.1. Estimation de kdivvλk²2 sur ∂Ω

On proc´edera comme dans [23]. On choisit comme coordonn´ees isothermales λs(ψ, ϕ). On va couvrir ∂Ω par un nombre fini d’ouvertsWs tels que: Ws ⊂IR³ o`us= 1,2, .., N.

Tout ´el´ement x de Ws∩Ω peut s’´ecrire de la mani`ere suivante x= Λs(ψ, ϕ, r) =λs(ψ, ϕ) +r·n(λs(ψ, ϕ)),

o`u Λs est un diff´eomorphisme de classe C<sup>3</sup> (pour r assez petit). On omettra dor´enavant l’indices. On choisit un syst`eme orthonorm´e (e1, e2, e3) tel que

e₁ = λψ

|ψ|, e₂ = λϕ

|ϕ|, e₃ =e₁∧e₂ , o`uλϕ = ^∂λ_∂ϕ,λ_ψ = _∂^∂λ

tψ. Soit J =JacΛ avec J ∈C². On va r´eecrire le probl`eme (11) dans le nouveau syst`eme de coordonn´ees avec les notations suivantes

v_λ→V_λ, ρ_λ →R_λ , σ_λ →T_λ, b→B , wλ(σλ)→Wλ(Tλ) .

On noteraa_ki=a_ki(y) l’´el´ement (k, i) de la matice (JacΛ)⁻¹ (JacΛ = (DjΛⁱ)i,j, i, j= 1,2,3) etDk = _∂y^∂

k,k= 1,2,3.

Dans le nouveau syst`eme Dτ (τ = 1,2) sera la d´eriv´ee tangentielle, etD₃ sera la d´eriv´ee normale.

Dans (0, T)×U, (11) s’´ecrit

(26)































 Rλ

hV˙_λ^j +V_λⁱ(asi·DsV_λ^j)−Bⁱ+kλaki·DkTλ =

=kλWλ(Tλ)DkTλ+µakiDk(asiDsV_λ^j) +βakiDk(asiDsV_λ^j) , T˙_λ+ρ asjDsV_λ^j =−(a_kj·D_kT_λ)V_λ^j−T_λ(a_kiD_kV_λ^j),

Vλ|^∂U = 0 , Vλ|t=0 =V_λ⁰ , T_λ|t=0 =T_λ⁰ . Soit χ∈C₀^∞(Λ⁻¹(W)).

On utilisera au cours de nos calculs les relations (27)









D_i(Ja_ij) = 0 j= 1,2,3 ,

χ DτVλ = 0 sur∂U, τ = 1,2 , χ DξDτVλ = 0 sur∂U, ξ, τ = 1,2, ainsi que

(28)









a_ki =eⁱ_k , a_1i·a_3i= 0 , a2i·a3i= 0 .

(conditions d’orthogonalit´e)

Lemme 3.1.3. On a l’in´egalit´e (29) 1

2 d dt

Z

U

Jχ²Rλ|DτVλ|²+kλ

2ρ d dt

Z

U

Jχ²|DτTλ|²+ +c₁₀

Z

U

Jχ²|DτDyV_λ|²+β Z

U

Jχ²|Dτ(asiDsV_λ^j)|² ≤

≤c₁₁^³k_λkσ˙_λk²0kv_λk²2+k_λkσ_λk²2kv_λk²1+kv˙_λk²1kv_λk²1+k_λkσ_λk²1kv_λk²3

+kvλk²1kvλk²3+k∇vλk²0+k∇v˙λk²0+kbk²1

´+δkvλk²3+δ kλkσλk²2 . o`uδest un nombre positif qu’on peut choisir arbitrairement,c₁₀etc₁₁sont deux constantes ind´ependantes deλ(c₁₁´etant d´ependante de δ).

Preuve: On applique l’op´erateur Dτ respectivement aux ´equations (26)₁ et (26)2, on les multiplie respetivement par Jχ²DτV_λ^j et ^k_ρ^λJχ²DτTλ, on int`egre surU puis on fait la somme des deux ´equations on obtient une ´egalit´e o`u apparaˆıt le terme suivant

µ Z

U

Jχ²a_siD_τD_sV_λ^j ·a_kiD_τD_kV_λ^j . On pose

(bsk)s,k = (asi·aki)s,k =B = (jacΛ)⁻¹(jacΛ)^t.

Best definie positive (dˆu `a la nature de la transformation Λ qui respecte l’ellipti- cit´e), donc∃c₁₀>0 tel que

µ Z

U

Jχ²bskDτDsV_λ^j ·DτDkV_λ^j ≤c₁₀µ Z

U

Jχ²|DτDkVλ|² . En utilisant (18) pour l’estimation des quatres termes on obtient (29).

Lemme 3.1.4. On a l’in´egalit´e (30) 1

2 d dt

Z

U

Jχ²Rλ|DτDξVλ|²+kλ

2ρ d dt

Z

U

Jχ²|DτDξTλ|²+ +c₁₂

Z

U

Jχ²|DτDξDyVλ|²+β Z

U

Jχ²|DτDξ(akiDkV_λ^j)|² ≤

≤c₁₃^³k_λkσ˙_λk²0kv_λk²3+k_λkσ_λk²2kv_λk²3+kv_λk²1kv_λk²3+k_λkσ_λk²2kv˙_λk²1

+kvλk²2k∇v˙λk²0+k_λ²kσλk⁴2kbk²1

´+δkvλk²3+δ kλkσλk²2 ,

o`uδest un nombre positif qu’on peut choisir arbitrairement,c₁₂etc₁₃sont deux constantes ind´ependantes deλ(c₁₃´etant d´ependante de δ).

Preuve: Le raisonnement est analogue au lemme pr´ec´edent en prenant des d´eriv´ees tangentielles d’ordre 2. En utilisant (27) et la relation suivante

µ Z

U

Jχ²asiDξDτDsV_λ^j ·akiDξDτDkV_λ^j ≤c₁₂µ Z

U

Jχ²|DξDτDyV_λ^j|² on obtient (30).

On remarque que l’on ne peut pas trouver d’estimation sur les d´eriv´ees nor- males de divv_λ par la m´ethode des deux lemmes pr´ec´edents. Ceci est dˆu au fait que les int´egrales de surfaces de divvλ ne s’annullent pas apr`es avoir int´egrer par parties. On va donc prendre la d´eriv´ee normale de (11)<sub>2</sub> et faire le pro- duit scalaire de (11)<sub>1</sub> parn(la normale ext´erieure `a ∂Ω) qui deviennent dans le

nouveau syst`eme comme suit

(31)

β D₃(asiDsV_λⁱ) =−k_λD₃T_λ−µ(a_kiD_k(asiDsV_λ))·e₃−W_λ(T_λ)·D₃R_λ

−Rλ(∂tVλ+V_λⁱ(asiDsV_λⁱ)−B)·e3 ,

D₃∂_tT_λ =−ρ D₃(a_kjD_kV_λ^j)−D₃(a_ki·D_kT_λ)V_λ^j−a_kjD_kT_λ·D₃V_λ^j

−D₃Tλ(akjDkV_λⁱ)−Tλ·D₃(akjDkV_λⁱ) . Lemme 3.1.5. On a l’in´egalit´e

(32) (µ+β) Z

U

Jχ²|D₃(asiDsV_λ^j)|²+k_λ 2ρ

d dt

Z

U

Jχ²|D₃T_λ|²≤

≤c₁₄ Z

U

Jχ²|D_τD_yV_λ|²+c₁₄^³k_λkv_λk²2kσ_λk²1+kv_λk²1kv_λk²3+k∇v_λk²0+kbk²0

+k_λ²kσλk⁴1+k∇v˙λk²0

´+δkvλk²3 ,

o`u δ est un nombre positif qu’on peut choisir arbitrairement et c₁₄ est une con- stante (d´ependante deδ mais) ind´ependante deλ.

Preuve: On ajoute `a l’´equation (31)<sub>1</sub> le terme µ Jχ<sup>2</sup>D<sub>3</sub>(a<sub>si</sub>D<sub>s</sub>V<sub>λ</sub><sup>j</sup>) et on la multipie par Jχ<sup>2</sup>D<sub>3</sub>(asiDsV<sub>λ</sub><sup>j</sup>). On multiplie (31)<sub>2</sub> par <sup>k</sup><sub>ρ</sub><sup>λ</sup>Jχ<sup>2</sup>D<sub>3</sub>Tλ, on int`egre surU puis on fait la somme des deux ´equations. D’autre part on a

(33) (a_ki·D_k(a_siD_sV_λ))·e₃−D₃(a_siD_sV_λ^j) =

=a_3i·a_3iD₃D₃V_λ·e₃+a_3i(D₃a_3i)D₃V_λ·e₃+aτ i·Dτ(asiDsV_λ)·e₃

+a3i·D3(aτ i·DτVλ)·e3+a3iD3D3V_λⁱ−(D3a3i)D3V_λⁱ−D3(aτ i·DτV_λⁱ) . En utilisant (28) et (33) on obtient

(34) (a_ki·D_k(a_siD_sV_λ))·e₃−D₃(a_siD_sV_λ^j) =a_3i(D₃a_3i)D₃V_λ·e₃+

+aτ i(Dτasi)DsVλ·e₃+aτ i·aξiDξDτVλ·e₃+a_3i(D₃(aτ i)DτVλ)·e₃

−(D₃a_3i)D₃V_λⁱ−(D₃a_{τ i})D_τV_λⁱ−a_{τ i}D₃D_τV_λⁱ), pourξ, τ = 1,2 . En utilisant (34) et en estimant chaque terme, on obtient (32).

Lemme 3.1.6. On a l’in´egalit´e (35) (µ+β)

Z

U

Jχ²|D_ξD₃(asiDsV_λ^j)|²+k_λ 2ρ

d dt

Z

U

Jχ²|D_ξD₃T_λ|² ≤

≤c₁₅ Z

U

Jχ²|D_ξDτDyV_λ|²+c₁₆^³k_λkσ_λk²2kv˙_λk²1+k_λkσ_λk²2kv_λk²3+kv_λk²2+kbk²1

+k_λ²kσλk⁴2+k∇v˙λk²0

´+δkvλk²3 ,

o`uδ est un nombre positif qu’on peut choisir arbitrairement, c₁₅ etc₁₆ sont des constantes ind´ependantes deλ,c16´etant d´ependante de δ.

Preuve: Comme dans le lemme pr´ec´edent, l’´egalit´e (34) (c’est la mˆeme qunantit´e que (∆vλ·n−∇divvλ·n)) ne contient pas de d´eriv´ees normales d’ordre 2. On prend donc la d´eriv´ee tangentielleDξ respectivement des ´equations (34) et (31), on les multiplie respectivement par DξD3(asiDsV_λⁱ) et (kλ/ρ)DξD3Tλ

et on int`egre sur U puis on fait la somme des deux ´equations. On obtient une in´egalit´e o`u il faudra estimer chaque terme pour avoir (35).

Lemme 3.1.7. On a l’inn´egalit´e (36) (µ+β)

Z

U

Jχ²|D₃D₃(asiDsV_λ^j)|²+kλ

2ρ d dt

Z

U

Jχ²|D₃D₃T_λ|² ≤

≤c₁₇ Z

U

Jχ²|D_ξD₃DyV_λ|²+c₁₈^³k_λkσ_λk²2kv˙_λk²1+k_λkσ_λk²2kv_λk²3+kv_λk²2+kbk²1

+k_λ²kσ_λk⁴2+k∇v˙_λk²0

´+δkv_λk²3 ,

o`uδ est un nombre positif qu’on peut choisir arbitrairement, c₁₇ etc₁₈ sont des constantes ind´ependantes deλ,c₁₈´etant d´ependante de δ.

Preuve: Le raisonnement est analogue au lemme pr´ec´edent, `a la diff´erence que l’on prend la d´eriv´ee normale D₃ des ´equations (31) et (34) et qu’on les multiplie respectivement par D3D3(asiDsV_λ^j) et (kλ/ρ)D3D3Tλ. En estimant chaque terme de l’´egalit´e, on obtient (36).

Lemme 3.1.8. On a l’in´egalit´e (37) (µ+β)

Z

U

Jχ²|DτD_y²V_λ²| ≤c₁₉ Z

U

Jχ²|DτDy(ajkDkV_λ^j)|²+ +c₂₀^³kvλk²1kvλk²3+kbk²1+k²_λkσλk⁴2+k∇v˙λk²0

´+δkvλk²3+δ kλkσλk²2 , o`uδ est un nombre positif qu’on peut choisir arbitrairement, c₁₉ etc₂₀ sont des constantes ind´ependantes deλ,c₂₀´etant d´ependante de δ.

Preuve: On prend la d´eriv´ee D_ξ respectivement de (31)₁ et (32)₂ et on les multiplie toutes les deux par χ, on obtient dans le nouveau syst`eme de cartes locales,









−µ∆((χ DτVλ) Λ⁻¹) +kλ∇((χ DτTλ) Λ⁻¹) =H dans (0, T)×U, ρdiv((χ DτVλ) Λ⁻¹) =K dans (0, T)×U,

(χ D_τV_λ) Λ⁻¹ = 0 sur (0, T)×∂U .