基礎数学B・C Kaneshita's Class

基礎数学 C 後期末模擬試験 1 年 組 番 / 名前 点

（注意）この用紙の解答欄に解答を書くこと．計算には別に与えられた計算用紙を使い，この用紙には指示された解 答のみ記すこと（試験後には，この用紙のみ回収）．答えが根号を含む場合は根号の中を最小の整数にすること．答 えが分数になる場合は，分母を有理化し根号の外は既約分数にすること．裏にも問題があります．

1 ⃗a = (_{−1, 2)}，⃗b = (1, −1)^{で，これらのなす角が θ} のとき，次の問いに答えよ．

(1) |⃗a| ^{を求めよ．} (2) ⃗a + ⃗b を成分で表せ．_{(3) ⃗a ·⃗b}の値を求めよ． (4) cos θ を求めよ． 解答 [各5点]

(1) (2) (3) (4)

2 k が実数で⃗a_{= (1, −1)}，⃗b = (k − 1, 2k) のとき，以下の問いに答えよ．

(1) ⃗aと同じ向きの単位ベクトルを成分で表せ．

(2) ⃗aと^⃗bのなす角が ^π

3 ^{のとき⃗aの⃗b}方向への正射影の大きさ⃗a_{∥を求めよ．} (3) ⃗aと^⃗bが垂直になるようなk を求めよ．

(4) ⃗aと⃗bが平行になるようなk を求めよ． 解答 [各5点]

(1) ( , ) (2) (3) k = (4) k =

3 4点A (4, 1), B (2, 3), C (16, −10), D (19, −14)^{のうち，3点は直線L} 上にあり，その直線上にない1点 は仲間外れである．次の問いに答えよ．

(1) 2点A，Bを通る直線の方向ベクトル^⃗vを求めよ．ただし，^x 成分は 1とする． (2) 2点A，Bを通る直線の傾きを答えよ．

(3) 4点のうち，直線 L上にない点を記号で答えよ．

(4) 直線 L の方向ベクトル⃗u を求めよ．ただし，x 成分は1 とする． (5) 直線 L の方程式を求め，媒介変数を使わずに指定された形で答えよ． 解答 [各4点]

(1) ( 1 , ) (2) 傾き： (3)

(4) ( 1 , ) (5) ^y =

4 平面 P: ax + 2y − z − 6 = 0^{と直線 L: x− 1}

−1 ⁼ y+ 1

5 ⁼

z_{− 4}

7 について，次の問いに答えよ． (1) 平面 P の法線ベクトル^⃗n を答えよ．ただし，^x 成分は ^aとする．

(2) 直線 L の方向ベクトル⃗v を答えよ．ただし，x 成分は ₋₁とする． (3) 直線 L の方程式を媒介変数tを用いて表せ．

(4) 平面 P と直線L が平行となるときの^aの値を求めよ． (5) a = 2のとき，平面 P と直線L の交点の座標を求めよ． 解答 [各4点]

(1) ( a , ^, ) (2) _{( − 1 ,} ^, )

(3)

(4) ^a = (5) ( ^{, ,} )

5 ベクトル ^⃗a = ^−→OA，⃗b = −→OB について，_{|⃗a| = 3}， 

 ^⃗b

 = 4^，⃗a·⃗b = 10のとき，次の問いに答えよ． (1) ⃗a · (⃗a +⃗b) ^{の値を求めよ．}

(2)   

−→AB  

 ^{を求めよ．}

解答 [各4点]

(1) (2)

6 平面上に三角形ABCを考え，その内部（辺上は除く）に点 Pをとる．このとき，次の問いに答えよ． (1) ^−→AB +^−→BC +^−→CA の大きさを答えよ．

(2) 以下の記述（ア），（イ）のそれぞれについて，真（True）なら「T」，偽（False）なら「F」を丸で囲め．

（ア）「^−→AB, ^−→ACは線形独立である．」

（イ）「^−→AB, ^−→AC, ^−→APは線形独立である．」

(3) ^−→PBを^−→AP と ^−→ABの線形結合で表し^−→PB = m^−→AP + n^−→AB とかくとき，実数^m の値を答えよ． 解答 [各4点]

(1)    ^−→ AB + ^−→ BC + ^−→ CA    ₌ (2)

（ア） T · F

（イ） T · F

(2) ^m =

—————–解答 1 —————– (1) |⃗a| =

√

(−1)^{2+ 22 =√5} (2) ⃗a + ⃗b = (−1 + 1, 2 − 1) = (0, 1) (3) ⃗a ·⃗b = (−1) · 1 + 2 · (−1) = −3 (4) cos θ = ^⃗a·⃗b

|⃗a|^⃗b   

= _√⁻³ 5^√2 ^{= −}

3^√10 10

—————–解答 2 —————–

(1) ^⃗a

|⃗a| ⁼ (_√

2 2 ^,−

√2 2

)

(2) ⃗aと正射影⃗a_∥ は直角三角形の斜辺と底辺の関係に あり，^π

3 の角を挟んでいる．つまり， ⃗a_∥

|⃗a| ^{= cos} π 3^． ⃗a_{∥= |⃗a| cos}

π

3 ^{= |⃗a| ×} 1

2^{．よって，} ⃗a_∥=

√2 2 (3) 垂直条件より，⃗a_{·⃗b = 0}．

よって1 · (k − 1) + (−1) · 2k = 0 これを解いて，k_{= −1}．

(4) 平行条件より，⃗a= m⃗b（mは実数） となる場合の k を求める．これを成分で表して，

(1, −1) = (m(k − 1), 2mk)^． y 成分の式から m= ⁻¹

2k ^{となり，これをx成分の} 式に代入して _{1 = −}^{k− 1}

2k ^{．これを解くと，k=} 1 3^．

—————–解答 3 —————–

(1) ^−→AB = (2 − 4, 3 − 1) = (−2, 2)^{．ここで，x成分を1} とするためにこのベクトルを₋₂ で割って

(1, −1)

(2) (1)の方向ベクトルより，傾きは₋₁ (3) ^−→AC = (16 − 4, −10 − 1) = (12, −11)^．

また，−→

AD = (19 − 4, −14 − 1) = (15, −15). よって−→

AD = −¹⁵₂ ^−→AB であるが，

−→AC = m^−→AB

となる実数mは存在しない. したがって，点A，B， D は一直線上にあるが，点C はその直線上にはな いということが分かる．

答えはC． (4) (1, −1)

(5) 上で求めた方向ベクトルと点Aを通ることから，直 線の式は ^{x− 4}

1 ⁼

y_{− 1}

−1 ^{．よって，} y_{= −x + 5}

—————–解答 4 —————–

(1) 法線ベクトルはx, y, zの係数を並べたベクトルに平 行．よって，⃗n= (a, 2, −1)

(2) 方向ベクトルは^{x, y, z}の係数の逆数（=分母の数） を並べたベクトルに平行．よって，⃗v= (−1, 5, 7) (3) ^{x− 1}

−1 ⁼ y+ 1

5 ⁼

z_{− 4}

7 ^{= t とおいて，媒介変数表} 示すると

x_{= −t + 1} y_{= 5t − 1} z= 7t + 4. (4) 平面の法線ベクトルと直線の方向ベクトルが垂直

になる場合，すなわち ^⃗n_{· ⃗v = 0} となる場合を考 える．この式をベクトルの成分で表して計算すると a· (−1) + 2 · 5 + (−1) · 7 = 0^{，したがって}

a= 3 (5) 直線の式

x_{= −t + 1,} y_{= 5t − 1,} z= 7t + 4 と平面の式

2x + 2y − z − 6 = 0 の連立方程式を解くと，

t= 10 x_{= −9} y= 49 z= 74. となり，交点の座標は(−9, 49, 74)^となる．

—————–解答 5 —————–

(1) ⃗a · (⃗a +⃗b) = |⃗a|²+ ⃗a ·⃗b = 3^{2+ 10 = 19}

(2) ^−→AB = ^−→AO +^−→OB =^−→_{OB −}^−→OA = ⃗b − ⃗a 

−→AB² = (⃗b − ⃗a) · (⃗b − ⃗a) = ^⃗b   

2 − 2⃗b · ⃗a + |⃗a|^{2 =} 4²− 2 × 10 + 3^{2 = 5 ∴} 

−→AB ₌^√5

—————–解答 6 —————–

(1) ^−→AB+^−→BC+^−→CA = (^−→AB+^−→BC)+^−→CA =^−→AC+^−→CA = ⃗0． よって大きさは0

(2) ^−→AB，^−→ACは平行でないので，線形独立．

また，^−→AP，^−→AB，^−→ACは同じ平面内にあるので，線 形従属．よって（ア）T，（イ）F．

(3) ^−→PB =^−→PA +^−→_{AB = −}^−→AP +^−→AB． よってm_{= −1}

これ以外に解がないことは，次のように示せる．

−→AP, ^−→AB は 平 行 で な い か ら 線 形 独 立 ．よって ，

−→AP, ^−→AB を使ってこれ以外の形に表すことはでき ないので，解は ^m_{= −1} のみ．