基礎数学B・C Kaneshita's Class

基礎数学 B 前期末模擬試験 I 1 年 組 番 / 名前 点

（注意）この用紙の解答欄に解答を書くこと．計算には別に与えられた計算用紙を使い，この用紙には指示された解 答のみ記すこと．（試験後には，この用紙のみ回収．）この用紙の上部に出席番号，名前を書くこと．裏にも問題があ ります．

1 次の^✞_✝式 の中から，指定されたグラフを表すものを選んで記号で答えよ．当てはまるものがない場合は^☎_✆

「N」と答えよ．

✗

✖

✔

✕ (A) x²+ y = 1 (B) (x − 1)²− y = 0 (C) x − (y + 1)^{2 = 0 (D) y2}− x = −1

(E) x²₋^y

2

3 ^{= 1 (F)} x²

4 ^{+ y}

2_{= −1} (G) (x − 2)^{2+ 2y2= 1} (H) −x^2+y

2

5 ^{= 1}

(1) (1,0)を通る双曲線 (2) y 軸と交わる双曲線 (3) 直線y = 1と接する放物線

解答 [各5点]

(1) (2) (3)

2 O(0，0)，A(2, 8)，_{B(−2, −6)}とするとき，以下の問いに答えよ．

(1) AB間の距離を求めよ．

(2) 線分 AB を1 : 2に内分する点の x 座標を求めよ．

(3) 中心が Oで半径が 1の円を y 軸方向に3 倍に拡大した楕円の方程式を求めよ． 解答 [各5点]

(1) (2) (3)

3 次の連立不等式で表される領域を図示せよ．







x²+ y²> 4 y < x 解答 [10点]

✲

✻

1 1

4 次の問いに答えよ．答のみ記せ．

(1) まっすぐな道を時速 3 km で西に歩く人がいる．郵便局を通過して 1 km 進んだところで時計を見ると 午後 1 時であった．この人が正午にいた場所は，郵便局からみてどちらの方角に何km 離れた場所か． (2) x = 0のとき y = 2となり，_{(2, −4)}を通る直線の方程式求めよ．

解答 [各5点]

(1) (2)

_{y =}

5 y² = 4xの接線で，傾きが ₋₁であるものを求めよ． 解答 [5点]

答： _{y =}

6 次の値を求め，答のみ記せ． (1) tan 120^◦ の値．

(2) sin θ = _√¹

3 ^のときcos

2_θ．

(3) tan θ = 3のとき sin θ + cos θ sin θ − cos θ^．

解答 [各5点]

(1) (2) (3)

7 下の図で，(1) DE とPR が平行でPR = 2，(2) OA = OB = 1 とするとき，PQとAC を求めよ．

(1) D

E P

Q

R θ

(2)

O

A

B C

θ 1

解答 [各5点]

(1)

_{PQ =}

(2)

_{AC =}

8 次の三角関数の値を答えよ．解答は答のみを，分母を有理化した簡単な形で答えよ． (1) cos 30^◦ (2) cos 90^◦ (3) cos 210^◦ (4) sin(−120^◦)

解答 [各5点]

(1) (2) (3) (4)

—————–解答 1 —————–

(1) 双曲線の方程式は E とH．その内，H は(1, 0) を 代入しても成立しない．よって，答えは E． (2) 双曲線の方程式はE とH．これらに x = 0 を代入

してy についての式をつくる．このy についての 方程式が実数解を持つのは H だけ．よって答えは H．

(3) 放物線の式は A,B,C,D．y = 1 を代入した式が x についての2次方程式になるのは A とB．そのう ち，判別式がD = 0 となるのはAのみ．よって答 えは A

—————–解答 2 —————–

(1) √[2 − (−2)]²+ [8 − (−6)]^{2 = 2√53}

(2) ( 2 × 2 + 1 × (−2)

3 ^,

2 × 8 + 1 × (−6) 3

)

=^{( 2} 3^,

10 3

)

(3) 元の円：x²+ y² = 1．ここで _{y →}^y

3 ^とする．

∴ _x²₊^y

2

9 ^{= 1}

—————–解答 3 —————–

図の斜線部分で 境界を含まない．

O ^✲

✻

x y

(^√2,^√2) 2

2 ^{図が正しくない場合は0点．}

「境界を含まない」の説明が ない場合，または「含む」と した場合は5 点．

—————–解答 4 —————–

(1) 問題の状況を次のようにグラフに表す．原点を正午 として，そこから計った時間をx時間とする．西向 きを正とし，郵便局からの距離を y kmとする．

✲

✻

x y

O

1 1

傾きが 3 で (1, 1) を通る直 線になり，その y 切片が正 午での郵便局からの距離とな る（左図）．y 切片を求める

(2) y = ^{−4 − 2}

2 − 0 x + 2 = −3x + 2.^よってy = −3x + 2^．

—————–解答 5 —————–

傾きが −1 なので，求める直線は _{y = −x + k} とおくこ とができる．これとy² = 4xを連立して共有点を求める 方程式を立てると，次のようになる．

(−x + k)^{2= 4x}

∴_x²− 2(k + 2)x + k^{2 = 0．[2点]}

この2次方程式の判別式はD/4 = (k + 2)²_{− k}²= 4k + 4． 接するのでD = 0とする[2点]と，_{k = −1}である． よって，_{y = −x − 1}．[1点]

—————–解答 6 —————–

(1) tan 120^◦ _{= −}^√3． (2) sin²θ + cos²θ = 1 より，

cos²θ = 1 − sin²θ = 1 − ¹₃ ^{= 2}₃^． (3) 分母・分子をcos θでわって，

cos θ + sin θ cos θ − sin θ ⁼

tan θ + 1 tan θ − 1 ^{= 2}

—————–解答 7 —————–

(1) 図より，^∠QPR = ∠QDE = 90^◦ _{− θ}． よって，

∠_{PRQ = θ．} ^PQ

PR ^{= sin θ ∴}PQ = 2 sin θ (2) 図より ^OC

OB ^{= cos θ ∴OC = cos θ．} AC = OA − OC = 1 − cos θ

—————–解答 8 —————–

単位円周上に点Pをとり，OPとx 軸とのなす角をα と する．点P のx 座標がcos α，y座標がsin αである．

(1) cos 30^◦ =

√3

(2) cos 90^◦= 0

基礎数学 B 前期末模擬試験 II 1 年 組 番 / 名前 点

（注意）この用紙の解答欄に解答を書くこと．計算には別に与えられた計算用紙を使い，本紙には必要な解答のみ記 しなさい．（試験後には，この用紙のみ回収．）．裏にも問題があります．

1 次の^✞_✝式 の中から，指定されたグラフを表すものを選んで記号で答えよ．複数ある場合はすべて答え，^☎_✆ 当てはまるものがない場合は「N」と答えよ．

✗

✖

✔

✕ (A) x − y = 1 (B) (x − 1)²− y = 0 (C) x − (y + 1)^{2 = 0 (D) y2+ x = 1}

(E) x²+ 2y² = 1 (F) x²₋^y

2

2 ^{= 1 (G)} x²

2 ^{+ y}

2 _{= −1 (H) −x}2₊^y2

2 ^{= 1}

(1) 楕円 (2) 点(1, 1) を通る直線

(3) y軸と交わる双曲線 (4) 点(0, 1) を通る放物線

解答 [各5点]

(1) (2) (3) (4)

2 次の不等式が表す領域を，図に斜線で示せ．また，境界を含むかどうかを選んで丸で囲め． (1)







y − x + 1 ≤ 0

y + x + 1 ≤ 0 ^{(2) x}

2_{+ y}2 _{< 4} (3) x − y > 0

解答 (1) [完全正答5点]

✲

✻

x y

O O

−1

−1 1 1

境界を

含む・含まない

解答 (2) [完全正答5点]

✲

✻

x y

O

O ^✲

✻

x y

O

O 4

4

−4 −2

2

境界を

含む・含まない

解答 (3) [完全正答5点]

✲

✻

x y

O

O ^✲

✻

x y

O O 1

1 2

−2

境界を

含む・含まない

3 2点 A(4, 2)，B(3, 6)，C(3, 2)について，以下の問いに答えよ． (1) AB間の距離を求めよ．

(2) ABを2:3に内分する点の座標を答えよ． (3) 2点B，C を通る直線の方程式を求めよ．

解答 [各5点]

(1) (2) (3)

4 直線 ℓがy = ^x

2 ^{+ 1}で表されるとき，次の問いに答えよ．

(1) 点(2, 0) を通り，直線ℓと平行な直線の式をy = ax + b とするとき，bの値を求めよ． (2) 点(2, 2) で直線 ℓと垂直に交わる直線の方程式を求めよ．

解答 [各5点]

(1)

b ₌

y ₌

5 次の三角関数の値を答えよ．解答は答のみを，分母を有理化した簡単な形で答えよ． (1) cos 150^◦ (2) cos 90^◦ (3) sin 30^◦ (4) tan 120^◦

解答 [各5点]

(1) (2) (3) (4)

6 次の値を求め，答のみ記せ．

(1) αが鈍角で sin α =_√²

5 ^のとき， 1 cos α^． (2) tan α = 3のとき ^{sin α}

sin α − cos α^．

解答 [各5点]

(1) (2)

7 下の図において，PQとACを求めよ．（α の三角比を使って表せ．） (1) DEとPRは平行でPR = 1

D

E P

Q

R α

(2) OA = OB = 2 O

A

B C

α 2

解答 [各5点]

(1)

_{PQ =}

(2)

_{AC =}

—————–解答 1 —————–

(1) 選択肢の中で楕円の式は(E)のみ．よって 答えは E．

(2) 直線の式は (A) のみ．これに (1, 1) を代入しても 式は成立しない．よって 答えは N．

(3) 双曲線の式は(F) と(H)．まず，(F)の式にx = 0 を代入すると₋^y2

2 ^{= 1} となり，これを満たす実数 y は存在しない．よってy 軸との交点なし．(H)の 式にx = 0を代入すると ^y2

2 ^{= 1となり，y = ±}

√2 で交点を持つことが分かる．よって 答えはH． (4) 放物線の式は(B)，(C)，(D)．それぞれに(0, 1)を 代入して式が成立するかどうか確かめる．(B) は 左辺_{= (−1)}²_{− 1 = 0 =}右辺 で式が成立する．(C) は 左辺 _{= −(1 + 1)}² _{= −1 ̸=} 右辺 で不成立．(D) は 左辺= 1²+ 0 = 1 =右辺 で成立．

よって 答えは B，D．（完全正答のみ）．

—————–解答 2 —————–

(1) 境界を含む

O ^✲

✻

x y

−1

−1 1 1

(2) 境界を含まない

✲

✻

x y

O

O ⁴

4

−4 −2 ₂

(3) 境界を含まない

✲

✻

x y

O O 1

1 2

−2

—————–解答 3 —————–

(1) _{√(4 − 3)}²_{+ (2 − 6)}² =^√17．

(2) 2点の x 座標が等しいので y 軸に平行．よって， x = 3

(3) ( 3 × 4 + 2 × 3

5 ^,

3 × 2 + 2 × 6 5

)

=^{( 18} 5 ^,

18 5

)

．

—————–解答 4 —————–

(1) 直線 ℓと平行な直線の傾きはa = ¹

2^{．(2, 0)を通る} 直線を考えると，y = ¹

2^{(x − 2)．よって，y =} x 2 ^{− 1．}

∴ _{b = −1．}

(2) 直線 ℓ と垂直な直線の傾きは _{a = −2}．(2, 2) を通 る直線を考えると，y − 2 = −2(x − 2)^．

∴ y = −2x + 6^．

—————–解答 5 —————–

※ここが全問正解でない人は要注意！

−→ 単位円を使った定義を再確認すべし．

(1) cos 150^◦_{= −}

√3

2 ^{(2) cos 90}

◦_{= 0}

(3) sin 30^◦= ¹

2 (4) tan 120^◦_{= −}^√3

—————–解答 6 —————–

(1) sin²α + cos²α = 1より， cos²α = 1 − sin²α = 1 −⁴

5 ⁼ 1 5^． α が鈍角なので，cos α < 0．

よって， ¹ cos α ^{= −}

√5 (2) 分母・分子をcos αでわって，

sin α sin α − cos α ⁼

tan α tan α − 1 ⁼

3 2

—————–解答 7 —————–

(1) 図より，^∠QPR = ∠QDE = α． ^PQ

PR ^{= cos α}

∴_{PQ = cos α} (2) 図より ^OC

OB ^{= cos α ∴}OC = 2 cos α． AC = OA − OC = 2 − 2 cos α