実定積分による Re[Li(z)]の計算
Riemann による の公式には
の計算が含まれ、この値は互いの虚部が打ち消し合って
となり、 さえ計算出来れば良い。これを実定積分のみで求める。
について、複素平面上で、原点から真直ぐ へ向かう経路を 、原点から実軸に沿って に至る経路を 、 から へ に沿って行く経路を とする。この時
であり を求めたい。
の極は でその留数は 1 だから、留数定理により
実部を取ると
右辺第一項については、Nielsen 及び Ramanujan による級数
等で計算できる。
右辺第二項の積分を考える。 として
は実だから、
以上より
となる。
参考等
[1] Harold M. Edwards. Riemann’s Zeta Function. Dover Publications, 2001, 315p. ISBN978-0-486-41740-0
[2] Wolfram Research. “Logarithmic Integral”. Wolfram MathWolrd. http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html, (accessed 2011-04-16)
